Страница 187, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Разложение многочлена на множители способом группировки.

Разложение многочлена на множители способом группировки.

Способ группировки применяется для разложения многочлена на множители, когда не все его члены имеют общий множитель. Суть метода заключается в том, чтобы объединить члены многочлена в группы таким образом, чтобы в каждой группе появился свой общий множитель. После вынесения за скобки общих множителей из каждой группы должен появиться новый общий множитель (в виде многочлена), который также можно вынести за скобки.

Этот метод обычно используется для многочленов, состоящих из четырех или шести членов.

Алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки:

1. Объединить члены многочлена в группы (чаще всего по два), которые имеют общий множитель.

2. Вынести общий множитель за скобки в каждой группе.

3. Вынести за скобки общий множитель (который теперь является многочленом), получившийся для всех групп.

4. Если после выполнения шагов многочлен представлен в виде произведения, то разложение завершено. Если нет, следует попробовать объединить члены в группы другим способом.

Пример 1: Разложить на множители многочлен $ax + bx + ay + by$.

1. Сгруппируем члены: $(ax + bx) + (ay + by)$.

2. В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x$, а во второй — общий множитель $y$.

$x(a + b) + y(a + b)$

3. Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель — это двучлен $(a + b)$. Вынесем его за скобки.

$(a + b)(x + y)$

Разложение завершено. Исходный многочлен представлен в виде произведения двух двучленов.

Замечание: можно было сгруппировать члены иначе: $(ax + ay) + (bx + by)$.

$a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)$. Результат тот же.

Пример 2: Разложить на множители многочлен $x^3 - 3x^2 + 4x - 12$.

1. Сгруппируем первые два члена и последние два члена: $(x^3 - 3x^2) + (4x - 12)$.

2. В первой группе вынесем за скобки $x^2$, а во второй — $4$.

$x^2(x - 3) + 4(x - 3)$

3. Общим множителем является двучлен $(x - 3)$. Вынесем его за скобки.

$(x - 3)(x^2 + 4)$

Пример 3: Разложить на множители многочлен $ab - 5b + ac - 5c$.

1. Сгруппируем члены: $(ab - 5b) + (ac - 5c)$.

2. Вынесем общие множители из каждой группы: $b(a - 5) + c(a - 5)$.

3. Вынесем общий двучлен $(a - 5)$ за скобки: $(a - 5)(b + c)$.

Ответ: Способ группировки — это метод разложения многочлена на множители, при котором его члены объединяются в группы, из каждой группы выносится общий множитель, что приводит к появлению общего множителя-многочлена для всех групп, который затем также выносится за скобки. В результате многочлен представляется в виде произведения.

2. Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приёмов.

Разложение многочлена на множители — это представление его в виде произведения более простых многочленов или одночленов. Часто, чтобы полностью разложить многочлен, одного метода недостаточно, и требуется последовательное применение нескольких приёмов. Этот процесс называется разложением с помощью комбинации различных приёмов.

Основная идея заключается в том, чтобы на каждом шаге упрощать выражение, применяя наиболее подходящий метод, а затем анализировать полученные множители и, если это возможно, продолжать их разложение.

Общий алгоритм разложения многочлена на множители:

Шаг 1. Вынесение общего множителя. Всегда начинайте с поиска общего множителя для всех членов многочлена. Если он есть, вынесите его за скобки. Этот шаг упрощает все последующие действия.

Шаг 2. Анализ оставшегося многочлена. После вынесения общего множителя (или если его не было) проанализируйте полученное выражение. В зависимости от количества членов, попробуйте применить:

- Для двучлена: формулы разности квадратов ($a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$), разности кубов ($a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$) или суммы кубов ($a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$).

- Для трехчлена: формулы квадрата суммы или разности ($a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$). Если это квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$, можно разложить его с помощью нахождения корней по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$.

- Для четырехчлена и более: способ группировки. Иногда требуется искусственно разбить какой-либо член на два для успешной группировки.

Шаг 3. Повторное разложение. После применения одного из методов проверьте каждый из полученных множителей. Возможно, его тоже можно разложить дальше. Повторяйте Шаги 1 и 2 для каждого нового множителя.

Шаг 4. Завершение. Разложение считается законченным, когда ни один из множителей в произведении нельзя разложить дальше на более простые множители с целыми коэффициентами.

Рассмотрим применение этого алгоритма на примерах.

Пример 1

Разложить на множители многочлен $5x^3 - 45x$.

Решение:

1. Вынесение общего множителя. Замечаем, что оба члена делятся на $5x$. Выносим $5x$ за скобки:$5x^3 - 45x = 5x(x^2 - 9)$.

2. Применение формулы сокращенного умножения. Выражение в скобках, $x^2 - 9$, представляет собой разность квадратов, так как $x^2$ это квадрат $x$, а 9 это квадрат 3. Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=x$, $b=3$:$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)$.

3. Запись итогового результата. Собираем все вместе. Множители $(x-3)$ и $(x+3)$ дальше не раскладываются.$5x^3 - 45x = 5x(x-3)(x+3)$.

Здесь мы скомбинировали два приема: вынесение общего множителя и формулу разности квадратов.

Ответ: $5x(x-3)(x+3)$.

Пример 2

Разложить на множители многочлен $x^3 - 3x^2 - 4x + 12$.

Решение:

1. Вынесение общего множителя. Общего множителя для всех четырех членов нет.

2. Способ группировки. Так как у нас четыре члена, попробуем сгруппировать их попарно. Сгруппируем первый со вторым и третий с четвертым:$(x^3 - 3x^2) + (-4x + 12)$.

Из первой группы вынесем общий множитель $x^2$. Из второй группы вынесем $-4$, чтобы в скобках получилось такое же выражение, как и в первой группе:$x^2(x - 3) - 4(x - 3)$.

Теперь у нас есть общий множитель $(x-3)$, который мы можем вынести за скобки:$(x - 3)(x^2 - 4)$.

3. Повторное разложение. Проверим полученные множители. Множитель $(x-3)$ дальше не раскладывается. Множитель $(x^2-4)$ является разностью квадратов, которую можно разложить:$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

4. Запись итогового результата. Подставляем разложенный множитель в наше выражение:$(x - 3)(x - 2)(x + 2)$.

Ответ: $(x-3)(x-2)(x+2)$.

Пример 3

Разложить на множители многочлен $x^4 + x^2 - 2$.

Решение:

Данный многочлен является биквадратным. Можно решить его заменой $y=x^2$, но можно использовать и другой комбинированный подход.

1. Представление члена в виде суммы. Представим средний член $x^2$ в виде $2x^2 - x^2$. Это позволит в дальнейшем применить группировку и формулы:$x^4 + x^2 - 2 = x^4 + 2x^2 - x^2 - 2$.

2. Группировка. Сгруппируем члены:$(x^4 + 2x^2) - (x^2 + 2)$.

Вынесем из первой скобки $x^2$:$x^2(x^2+2) - 1(x^2+2)$.

Вынесем общий множитель $(x^2+2)$:$(x^2+2)(x^2-1)$.

3. Повторное разложение. Множитель $(x^2+2)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами. Множитель $(x^2-1)$ — это разность квадратов:$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.

4. Запись итогового результата.$(x^2+2)(x-1)(x+1)$.

Ответ: $(x^2+2)(x-1)(x+1)$.

Пример 4

Разложить на множители многочлен $x^2 - 6x + 9 - y^2$.

Решение:

1. Группировка. Общего множителя для всех нет. Замечаем, что первые три члена $x^2 - 6x + 9$ образуют формулу сокращенного умножения. Сгруппируем их:$(x^2 - 6x + 9) - y^2$.

2. Применение формулы полного квадрата. Выражение в скобках является полным квадратом разности:$x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$.

3. Применение формулы разности квадратов. Подставим это обратно в выражение:$(x-3)^2 - y^2$.

Теперь мы получили разность квадратов вида $a^2-b^2$, где $a = (x-3)$ и $b = y$. Применим соответствующую формулу:$( (x-3) - y )( (x-3) + y ) = (x-3-y)(x-3+y)$.

Для удобства записи можно упорядочить переменные:$(x-y-3)(x+y-3)$.

Ответ: $(x-y-3)(x+y-3)$.

3. Различные применения метода разложения на множители.

Метод разложения на множители — это фундаментальный приём в математике, который заключается в представлении исходного выражения (числа, многочлена и т.д.) в виде произведения более простых сомножителей. Это преобразование не меняет само выражение, а лишь его форму, что часто позволяет значительно упростить решение задачи. Рассмотрим различные области применения этого метода.

1. Решение уравнений

Это одно из самых частых применений метода. Если уравнение можно привести к виду $f(x) = 0$, то, разложив выражение $f(x)$ на множители, например, $f(x) = g(x) \cdot h(x)$, мы можем свести исходное уравнение к совокупности более простых уравнений: $g(x) = 0$ или $h(x) = 0$. Это основано на свойстве произведения: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Пример: Решить уравнение $x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0$.

Сгруппируем слагаемые:

$(x^3 + 2x^2) - (9x + 18) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 2) - 9(x + 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x+2)$ за скобки:

$(x + 2)(x^2 - 9) = 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ ко второму множителю:

$(x + 2)(x - 3)(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$

$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

$x + 3 = 0 \implies x_3 = -3$

Ответ: Корни уравнения: $-3, -2, 3$.

2. Упрощение алгебраических дробей

При работе с рациональными выражениями (дробями, где числитель и знаменатель — многочлены) разложение на множители позволяет сокращать дроби, приводя их к более простому виду. Это полезно как для упрощения выражений, так и при выполнении сложения, вычитания, умножения и деления дробей.

Пример: Сократить дробь $\frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 6}$.

Разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель — это разность квадратов:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Знаменатель — квадратный трехчлен. Найдем его корни по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$. Тогда:

$x^2 + x - 6 = (x - (-3))(x - 2) = (x + 3)(x - 2)$

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x + 3)(x - 2)}$

Сократим общий множитель $(x-2)$, при условии, что $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Ответ: $\frac{x+2}{x+3}$ при $x \neq 2$.

3. Доказательство неравенств и тождеств

Разложение на множители может помочь выявить структуру выражения и доказать, что оно всегда положительно, отрицательно или равно другому выражению. Особенно часто это применяется при работе с выражениями, которые можно представить в виде полных квадратов.

Пример: Доказать, что при любых действительных значениях $x$ и $y$ выполняется неравенство $x^2 - 6xy + 10y^2 \ge 0$.

Представим $10y^2$ как $9y^2 + y^2$:

$x^2 - 6xy + 9y^2 + y^2 \ge 0$

Первые три слагаемых образуют полный квадрат разности $(x - 3y)^2$:

$(x^2 - 6xy + (3y)^2) + y^2 = (x - 3y)^2 + y^2$

Получили выражение $(x - 3y)^2 + y^2 \ge 0$.

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(x - 3y)^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна. Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано, так как оно эквивалентно верному неравенству $(x - 3y)^2 + y^2 \ge 0$.

4. Решение уравнений в целых числах (диофантовых уравнений)

Если требуется найти целочисленные решения уравнения, метод разложения на множители позволяет свести задачу к перебору делителей целого числа.

Пример: Найти все пары целых чисел $(x, y)$, удовлетворяющие уравнению $xy - 5x + 2y = 14$.

Применим метод группировки. Для этого добавим и вычтем число, которое позволит "дополнить" выражение до произведения скобок.

$x(y-5) + 2y = 14$

Мы хотим вынести множитель $(y-5)$. Для этого нам нужен член $-10$ рядом с $2y$.

$x(y-5) + 2y - 10 = 14 - 10$

$x(y-5) + 2(y-5) = 4$

Теперь выносим общий множитель $(y-5)$:

$(x+2)(y-5) = 4$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $(x+2)$ и $(y-5)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 4. Следовательно, они являются парами делителей числа 4. Возможные пары:

• $x+2=1, y-5=4 \implies x=-1, y=9$
• $x+2=4, y-5=1 \implies x=2, y=6$
• $x+2=-1, y-5=-4 \implies x=-3, y=1$
• $x+2=-4, y-5=-1 \implies x=-6, y=4$
• $x+2=2, y-5=2 \implies x=0, y=7$
• $x+2=-2, y-5=-2 \implies x=-4, y=3$

Ответ: Целочисленные решения $(x, y)$: $(-1, 9), (2, 6), (-3, 1), (-6, 4), (0, 7), (-4, 3)$.

5. Нахождение области определения функции и решение неравенств

При нахождении области определения функций, содержащих дроби или корни, часто приходится решать неравенства. Метод разложения на множители является основой для метода интервалов.

Пример: Найти область определения функции $y = \sqrt{2x^2 + 5x - 3}$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$2x^2 + 5x - 3 \ge 0$

Разложим левую часть на множители. Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

$x_1 = \frac{-5 - 7}{4} = -3$

$x_2 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

Тогда неравенство принимает вид:

$2(x - 0.5)(x + 3) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни $-3$ и $0.5$ делят числовую ось на три интервала. Определив знаки на каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [0.5, +\infty)$.

Ответ: Область определения функции: $D(y) = (-\infty, -3] \cup [0.5, +\infty)$.

4. Среднее арифметическое числовых данных. Дисперсия числовых данных.

Среднее арифметическое числовых данных

Среднее арифметическое (часто называемое просто "средним") является одной из ключевых мер центральной тенденции в статистике. Оно представляет собой значение, которое обобщает весь набор числовых данных, указывая на его "центр тяжести". Иными словами, это число, которое лучше всего характеризует совокупность данных одним значением.

Для вычисления среднего арифметического необходимо выполнить два простых шага:
1. Сложить все числа (значения) в рассматриваемом наборе данных.
2. Разделить полученную сумму на общее количество этих чисел.

Математически это выражается следующей формулой. Для набора данных, состоящего из $n$ элементов $x_1, x_2, \dots, x_n$, среднее арифметическое, которое обычно обозначается как $\bar{x}$ (читается "икс с чертой"), вычисляется так: $$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i $$

Пример:
Предположим, у нас есть набор данных о количестве осадков (в мм) за 5 дней: 10, 5, 0, 8, 12.
1. Найдем сумму всех значений: $10 + 5 + 0 + 8 + 12 = 35$.
2. Посчитаем количество значений в наборе: их 5.
3. Разделим сумму на количество: $\bar{x} = \frac{35}{5} = 7$.
Таким образом, среднее количество осадков за эти 5 дней составляет 7 мм.

Важно отметить, что среднее арифметическое чувствительно к "выбросам" — аномально большим или малым значениям в наборе, которые могут значительно исказить представление о "типичном" значении.

Ответ: Среднее арифметическое — это число, равное сумме всех значений в наборе данных, деленной на их количество. Оно служит мерой центрального положения данных и вычисляется по формуле $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i$.

Дисперсия числовых данных

Дисперсия — это статистическая мера, которая показывает, насколько сильно значения в наборе данных разбросаны относительно их среднего арифметического. Она является мерой изменчивости или вариации данных.

• Если дисперсия мала (близка к нулю), это означает, что все значения в наборе данных сгруппированы очень близко к среднему арифметическому.
• Если дисперсия велика, это указывает на то, что значения сильно разбросаны и находятся на значительном удалении от среднего.

Дисперсия определяется как среднее арифметическое квадратов отклонений каждого значения данных от их общего среднего. Возведение в квадрат необходимо для того, чтобы отклонения в большую и меньшую сторону не компенсировали друг друга (сумма отклонений от среднего всегда равна нулю), и чтобы большие отклонения имели больший "вес".

Алгоритм расчета дисперсии:
1. Вычислить среднее арифметическое ($\bar{x}$) набора данных.
2. Для каждого значения $x_i$ найти его отклонение от среднего: $(x_i - \bar{x})$.
3. Каждое полученное отклонение возвести в квадрат: $(x_i - \bar{x})^2$.
4. Сложить все полученные квадраты отклонений.
5. Разделить полученную сумму на количество значений ($n$).

Формула для расчета дисперсии (обозначается как $D$ или $\sigma^2$): $$ D = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n} $$

Пример:
Рассчитаем дисперсию для того же набора данных об осадках: 10, 5, 0, 8, 12.
1. Среднее арифметическое мы уже знаем: $\bar{x} = 7$.
2. Найдем квадраты отклонений для каждого значения:
$(10 - 7)^2 = 3^2 = 9$
$(5 - 7)^2 = (-2)^2 = 4$
$(0 - 7)^2 = (-7)^2 = 49$
$(8 - 7)^2 = 1^2 = 1$
$(12 - 7)^2 = 5^2 = 25$
3. Найдем сумму квадратов отклонений: $9 + 4 + 49 + 1 + 25 = 88$.
4. Разделим сумму на количество значений (5): $D = \frac{88}{5} = 17.6$.

Дисперсия измеряется в квадратных единицах исходных данных (в нашем примере — мм²), что не всегда интуитивно понятно. Поэтому часто используют стандартное отклонение $\sigma$ — квадратный корень из дисперсии ($\sigma = \sqrt{D}$), которое измеряется в тех же единицах, что и исходные данные.

Ответ: Дисперсия — это мера разброса значений в наборе данных относительно их среднего арифметического, вычисляемая как среднее арифметическое квадратов отклонений. Формула: $D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$.

43.3 Вычислите среднее:

а) всех однозначных целых чисел;

б) всех чётных однозначных целых чисел;

в) всех нечётных однозначных целых чисел;

г) всех простых однозначных целых чисел.

а) всех однозначных целых чисел;
Чтобы найти среднее арифметическое, необходимо найти сумму всех чисел в наборе и разделить её на количество этих чисел.
Однозначные целые числа — это числа от 0 до 9 включительно: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Количество чисел в наборе: $n = 10$.
Сумма этих чисел: $S = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$.
Среднее арифметическое: $M = \frac{S}{n} = \frac{45}{10} = 4.5$.
Ответ: 4.5

б) всех чётных однозначных целых чисел;
Чётные однозначные целые числа: 0, 2, 4, 6, 8.
Количество чисел в наборе: $n = 5$.
Сумма этих чисел: $S = 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 20$.
Среднее арифметическое: $M = \frac{S}{n} = \frac{20}{5} = 4$.
Ответ: 4

в) всех нечётных однозначных целых чисел;
Нечётные однозначные целые числа: 1, 3, 5, 7, 9.
Количество чисел в наборе: $n = 5$.
Сумма этих чисел: $S = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$.
Среднее арифметическое: $M = \frac{S}{n} = \frac{25}{5} = 5$.
Ответ: 5

г) всех простых однозначных целых чисел.
Простое число — это натуральное число больше 1, у которого есть только два делителя: 1 и оно само.
Простые однозначные целые числа: 2, 3, 5, 7.
Количество чисел в наборе: $n = 4$.
Сумма этих чисел: $S = 2 + 3 + 5 + 7 = 17$.
Среднее арифметическое: $M = \frac{S}{n} = \frac{17}{4} = 4.25$.
Ответ: 4.25

43.4 Какое число следует включить в набор -5, 3, 9, -2 для того, чтобы среднее стало равняться:

а) 0;

б) -5;

в) 10;

г) 2015?

Для решения этой задачи необходимо найти такое число x, которое нужно добавить к исходному набору, чтобы среднее арифметическое нового набора стало равно заданному значению.

Исходный набор чисел: $ -5, 3, 9, -2 $. В наборе 4 числа.

Сначала найдем сумму чисел в исходном наборе:

$ S_{исх} = -5 + 3 + 9 + (-2) = 5 $

Когда мы добавим новое число x, в наборе станет 5 чисел, а новая сумма будет равна $ S_{нов} = 5 + x $.

Среднее арифметическое (М) нового набора вычисляется по формуле:

$ M = \frac{S_{нов}}{\text{количество чисел}} = \frac{5 + x}{5} $

Теперь, используя эту формулу, найдем x для каждого из случаев.

а)

Требуется, чтобы среднее стало равно 0.

$ \frac{5 + x}{5} = 0 $

Чтобы дробь была равна нулю, ее числитель должен быть равен нулю:

$ 5 + x = 0 $

$ x = -5 $

Ответ: -5.

б)

Требуется, чтобы среднее стало равно -5.

$ \frac{5 + x}{5} = -5 $

Умножим обе части уравнения на 5:

$ 5 + x = -5 \cdot 5 $

$ 5 + x = -25 $

$ x = -25 - 5 $

$ x = -30 $

Ответ: -30.

в)

Требуется, чтобы среднее стало равно 10.

$ \frac{5 + x}{5} = 10 $

Умножим обе части уравнения на 5:

$ 5 + x = 10 \cdot 5 $

$ 5 + x = 50 $

$ x = 50 - 5 $

$ x = 45 $

Ответ: 45.

г)

Требуется, чтобы среднее стало равно 2015.

$ \frac{5 + x}{5} = 2015 $

Умножим обе части уравнения на 5:

$ 5 + x = 2015 \cdot 5 $

$ 5 + x = 10075 $

$ x = 10075 - 5 $

$ x = 10070 $

Ответ: 10070.

43.5 Ученик хочет, чтобы его средняя отметка стала больше 4. Какое наименьшее количество пятёрок подряд он должен в дальнейшем для этого получить, если сейчас его отметки таковы:

а) 4, 4, 4, 4, 3;

б) 4, 4, 4, 3, 3;

в) 4, 4, 4, 4, 2;

г) 4, 4, 3, 3, 2, 2?

Для решения задачи в каждом пункте необходимо составить и решить неравенство. Пусть $S_0$ — начальная сумма отметок, $N_0$ — начальное количество отметок, а $x$ — количество пятёрок, которые нужно получить. Новая сумма отметок будет $S = S_0 + 5x$. Новое количество отметок будет $N = N_0 + x$. Средняя отметка вычисляется как $\frac{S}{N}$. По условию, она должна быть больше 4. Получаем неравенство: $\frac{S_0 + 5x}{N_0 + x} > 4$. Решив это неравенство для каждого случая, мы найдем наименьшее целое значение $x$.

а)

Начальные отметки: 4, 4, 4, 4, 3.

Начальное количество отметок: $N_0 = 5$.

Начальная сумма отметок: $S_0 = 4 + 4 + 4 + 4 + 3 = 19$.

Пусть $x$ — необходимое количество пятёрок. Составим неравенство: $\frac{19 + 5x}{5 + x} > 4$

Умножим обе части на $5 + x$ (это выражение всегда положительно): $19 + 5x > 4(5 + x)$

$19 + 5x > 20 + 4x$

$5x - 4x > 20 - 19$

$x > 1$

Поскольку $x$ должно быть целым числом, наименьшее целое число, большее 1, это 2.

Ответ: 2.

б)

Начальные отметки: 4, 4, 4, 3, 3.

Начальное количество отметок: $N_0 = 5$.

Начальная сумма отметок: $S_0 = 4 + 4 + 4 + 3 + 3 = 18$.

Пусть $x$ — необходимое количество пятёрок. Составим неравенство: $\frac{18 + 5x}{5 + x} > 4$

Умножим обе части на $5 + x$: $18 + 5x > 4(5 + x)$

$18 + 5x > 20 + 4x$

$5x - 4x > 20 - 18$

$x > 2$

Наименьшее целое число, большее 2, это 3.

Ответ: 3.

в)

Начальные отметки: 4, 4, 4, 4, 2.

Начальное количество отметок: $N_0 = 5$.

Начальная сумма отметок: $S_0 = 4 + 4 + 4 + 4 + 2 = 18$.

Пусть $x$ — необходимое количество пятёрок. Составим неравенство: $\frac{18 + 5x}{5 + x} > 4$

Умножим обе части на $5 + x$: $18 + 5x > 4(5 + x)$

$18 + 5x > 20 + 4x$

$5x - 4x > 20 - 18$

$x > 2$

Наименьшее целое число, большее 2, это 3.

Ответ: 3.

г)

Начальные отметки: 4, 4, 3, 3, 2, 2.

Начальное количество отметок: $N_0 = 6$.

Начальная сумма отметок: $S_0 = 4 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 = 18$.

Пусть $x$ — необходимое количество пятёрок. Составим неравенство: $\frac{18 + 5x}{6 + x} > 4$

Умножим обе части на $6 + x$: $18 + 5x > 4(6 + x)$

$18 + 5x > 24 + 4x$

$5x - 4x > 24 - 18$

$x > 6$

Наименьшее целое число, большее 6, это 7.

Ответ: 7.

43.6 При каком наименьшем $n$ среднее ряда из $n$ двоек и одной пятёрки будет:

а) меньше $3$;

б) меньше $2.5$;

в) меньше $2.1$;

г) равняться $2.01$?

Для начала, запишем формулу для среднего значения (среднего арифметического) ряда. Ряд состоит из $n$ двоек и одной пятёрки. Сумма всех чисел в ряду: $S = 2 \cdot n + 5$. Общее количество чисел в ряду: $k = n + 1$. Следовательно, среднее значение ряда $M$ вычисляется по формуле: $M = \frac{S}{k} = \frac{2n + 5}{n + 1}$. Во всех пунктах $n$ должно быть целым неотрицательным числом, так как это количество двоек.

а) Найдём наименьшее $n$, при котором среднее значение будет меньше 3. Составим и решим неравенство: $\frac{2n + 5}{n + 1} < 3$ Поскольку $n \ge 0$, то $n + 1$ всегда положительно. Умножим обе части неравенства на $(n + 1)$: $2n + 5 < 3(n + 1)$ $2n + 5 < 3n + 3$ $5 - 3 < 3n - 2n$ $2 < n$ Наименьшее целое число $n$, которое больше 2, это 3. Ответ: 3.

б) Найдём наименьшее $n$, при котором среднее значение будет меньше 2,5. Составим и решим неравенство: $\frac{2n + 5}{n + 1} < 2,5$ $2n + 5 < 2,5(n + 1)$ $2n + 5 < 2,5n + 2,5$ $5 - 2,5 < 2,5n - 2n$ $2,5 < 0,5n$ $5 < n$ Наименьшее целое число $n$, которое больше 5, это 6. Ответ: 6.

в) Найдём наименьшее $n$, при котором среднее значение будет меньше 2,1. Составим и решим неравенство: $\frac{2n + 5}{n + 1} < 2,1$ $2n + 5 < 2,1(n + 1)$ $2n + 5 < 2,1n + 2,1$ $5 - 2,1 < 2,1n - 2n$ $2,9 < 0,1n$ $29 < n$ Наименьшее целое число $n$, которое больше 29, это 30. Ответ: 30.

г) Найдём $n$, при котором среднее значение будет равняться 2,01. Составим и решим уравнение: $\frac{2n + 5}{n + 1} = 2,01$ $2n + 5 = 2,01(n + 1)$ $2n + 5 = 2,01n + 2,01$ $5 - 2,01 = 2,01n - 2n$ $2,99 = 0,01n$ $n = \frac{2,99}{0,01}$ $n = 299$ Так как мы получили целое число, оно и является решением. Ответ: 299.

43.7 Портной семь раз отмеряет, отбрасывает наименьший и наибольший результаты и вычисляет дисперсию оставшихся результатов. По правилам, отрезать можно, если дисперсия окажется меньше 0,09. Для следующих семи результатов измерения найдите дисперсию и определите, можно отрезать или нет:

a) 14,8; 15,2; 15,0; 14,5; 15,1; 15,4; 14,9;

б) 20,5; 19,6; 20,2; 19,4; 20,4; 20,3; 19,5.

Для решения задачи необходимо для каждого набора измерений выполнить следующие действия: упорядочить все семь результатов по возрастанию, отбросить наименьший и наибольший, а для оставшихся пяти вычислить дисперсию. Если полученная дисперсия меньше 0,09, то отрезать можно.

Дисперсия $D$ для набора данных $x_1, x_2, \dots, x_n$ вычисляется по формуле:

$D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$, где $\bar{x}$ — среднее арифметическое значение, а $n$ — количество элементов в наборе.

а) Даны результаты измерений: 14,8; 15,2; 15,0; 14,5; 15,1; 15,4; 14,9.

1. Упорядочим исходный ряд данных по возрастанию: 14,5; 14,8; 14,9; 15,0; 15,1; 15,2; 15,4.

2. Отбросим наименьшее значение (14,5) и наибольшее (15,4). Остаются следующие пять результатов: 14,8; 14,9; 15,0; 15,1; 15,2. Количество элементов для расчета $n=5$.

3. Найдем среднее арифметическое $\bar{x}$ оставшихся результатов:

$\bar{x} = \frac{14,8 + 14,9 + 15,0 + 15,1 + 15,2}{5} = \frac{75,0}{5} = 15,0$.

4. Вычислим дисперсию $D$:

$D = \frac{(14,8 - 15,0)^2 + (14,9 - 15,0)^2 + (15,0 - 15,0)^2 + (15,1 - 15,0)^2 + (15,2 - 15,0)^2}{5}$

$D = \frac{(-0,2)^2 + (-0,1)^2 + (0)^2 + (0,1)^2 + (0,2)^2}{5}$

$D = \frac{0,04 + 0,01 + 0 + 0,01 + 0,04}{5} = \frac{0,10}{5} = 0,02$.

5. Сравним полученную дисперсию с пороговым значением: $0,02 < 0,09$.

Так как дисперсия меньше 0,09, отрезать можно.

Ответ: дисперсия равна 0,02; отрезать можно.

б) Даны результаты измерений: 20,5; 19,6; 20,2; 19,4; 20,4; 20,3; 19,5.

1. Упорядочим исходный ряд данных по возрастанию: 19,4; 19,5; 19,6; 20,2; 20,3; 20,4; 20,5.

2. Отбросим наименьшее значение (19,4) и наибольшее (20,5). Остаются следующие пять результатов: 19,5; 19,6; 20,2; 20,3; 20,4. Количество элементов для расчета $n=5$.

3. Найдем среднее арифметическое $\bar{x}$ оставшихся результатов:

$\bar{x} = \frac{19,5 + 19,6 + 20,2 + 20,3 + 20,4}{5} = \frac{100,0}{5} = 20,0$.

4. Вычислим дисперсию $D$:

$D = \frac{(19,5 - 20,0)^2 + (19,6 - 20,0)^2 + (20,2 - 20,0)^2 + (20,3 - 20,0)^2 + (20,4 - 20,0)^2}{5}$

$D = \frac{(-0,5)^2 + (-0,4)^2 + (0,2)^2 + (0,3)^2 + (0,4)^2}{5}$

$D = \frac{0,25 + 0,16 + 0,04 + 0,09 + 0,16}{5} = \frac{0,70}{5} = 0,14$.

5. Сравним полученную дисперсию с пороговым значением: $0,14 > 0,09$.

Так как дисперсия больше 0,09, отрезать нельзя.

Ответ: дисперсия равна 0,14; отрезать нельзя.

43.8 а) Используя теорему 1 в § 43 учебника, докажите, что при увеличении каждого числа ряда на постоянное число $a$ дисперсия ряда не изменяется.

б) Используя теорему 2 в § 43 учебника, докажите, что при умножении каждого числа ряда на постоянное число $b$ дисперсия ряда умножается на $b^2$.

а) Пусть исходный ряд чисел состоит из n элементов: $x_1, x_2, \dots, x_n$.

Среднее арифметическое этого ряда $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$, а дисперсия $D_x = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$.

Создадим новый ряд чисел, увеличив каждый элемент исходного ряда на постоянное число a. Новый ряд будет: $y_1, y_2, \dots, y_n$, где $y_i = x_i + a$.

Согласно теореме 1 из § 43, при увеличении каждого числа ряда на a, среднее арифметическое ряда также увеличивается на a. Покажем это. Найдем среднее арифметическое нового ряда $\bar{y}$:

$\bar{y} = \frac{\sum_{i=1}^{n}y_i}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i+a)}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i + \sum_{i=1}^{n}a}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i + n \cdot a}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n} + a = \bar{x} + a$.

Таким образом, среднее нового ряда действительно равно $\bar{x} + a$.

Теперь, используя этот результат, найдем дисперсию нового ряда $D_y$:

$D_y = \frac{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}{n}$.

Подставим в эту формулу значения $y_i = x_i + a$ и $\bar{y} = \bar{x} + a$:

$D_y = \frac{\sum_{i=1}^{n}((x_i+a) - (\bar{x}+a))^2}{n}$.

Упростим выражение под знаком суммы:

$D_y = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i+a - \bar{x}-a)^2}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$.

Полученное выражение в точности совпадает с формулой для дисперсии исходного ряда $D_x$.

Следовательно, $D_y = D_x$, что и требовалось доказать. При увеличении каждого числа ряда на постоянное число a дисперсия ряда не изменяется.

Ответ: Доказано, что при увеличении каждого числа ряда на постоянное число a дисперсия ряда не изменяется.

б) Пусть исходный ряд чисел состоит из n элементов: $x_1, x_2, \dots, x_n$.

Его среднее арифметическое $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$, а дисперсия $D_x = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$.

Создадим новый ряд, умножив каждый элемент исходного ряда на постоянное число b. Новый ряд: $z_1, z_2, \dots, z_n$, где $z_i = b \cdot x_i$.

Согласно теореме 2 из § 43, при умножении каждого числа ряда на b, среднее арифметическое ряда также умножается на b. Покажем это. Найдем среднее арифметическое нового ряда $\bar{z}$:

$\bar{z} = \frac{\sum_{i=1}^{n}z_i}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(b \cdot x_i)}{n} = b \cdot \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n} = b \cdot \bar{x}$.

Таким образом, среднее нового ряда действительно равно $b \cdot \bar{x}$.

Теперь, используя этот результат, найдем дисперсию нового ряда $D_z$:

$D_z = \frac{\sum_{i=1}^{n}(z_i - \bar{z})^2}{n}$.

Подставим в эту формулу значения $z_i = b \cdot x_i$ и $\bar{z} = b \cdot \bar{x}$:

$D_z = \frac{\sum_{i=1}^{n}(b \cdot x_i - b \cdot \bar{x})^2}{n}$.

Вынесем общий множитель b за скобки внутри суммы:

$D_z = \frac{\sum_{i=1}^{n}(b(x_i - \bar{x}))^2}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n}b^2(x_i - \bar{x})^2}{n}$.

Так как $b^2$ является константой, его можно вынести за знак суммы:

$D_z = b^2 \cdot \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$.

Выражение $\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$ является дисперсией исходного ряда $D_x$.

Следовательно, $D_z = b^2 \cdot D_x$, что и требовалось доказать. При умножении каждого числа ряда на постоянное число b дисперсия ряда умножается на $b^2$.

Ответ: Доказано, что при умножении каждого числа ряда на постоянное число b дисперсия ряда умножается на $b^2$.