Страница 181, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Что такое тождество?

1. Что такое тождество?

В математике тождество — это равенство, которое является верным при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Основное отличие тождества от уравнения заключается в том, что уравнение, как правило, имеет ограниченное число решений (корней), в то время как тождество справедливо для всего множества значений переменных из его области определения.

Например, выражение $x + 5 = 8$ является уравнением, так как оно истинно только при одном значении переменной: $x=3$.

С другой стороны, выражение $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ является тождеством. Какими бы ни были значения $a$ и $b$, это равенство всегда будет выполняться. Проверка:

$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Замена одного выражения на другое, тождественно равное ему, называется тождественным преобразованием. Такие преобразования являются основой для упрощения выражений и решения уравнений.

Другие примеры тождеств:

• Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ (верно для любого $x$).
• Свойство логарифмов: $\log_c(ab) = \log_c(a) + \log_c(b)$ (верно для всех $a>0, b>0, c>0, c \neq 1$).
• Распределительный закон умножения: $a(b+c) = ab + ac$ (верно для любых $a, b, c$).

Важно обращать внимание на область допустимых значений (ОДЗ). Например, равенство $\frac{x^2-1}{x-1} = x+1$ является тождеством для всех $x$, кроме $x=1$, так как при $x=1$ знаменатель левой части обращается в ноль, и выражение теряет смысл.

Ответ: Тождество — это равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

2. Приведите пример тождества, верного при любых значениях переменных.

Тождество — это равенство двух выражений, которое остаётся верным при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Другими словами, какие бы числа мы ни подставили вместо букв, мы всегда получим верное числовое равенство.

Привести пример тождества — значит записать такое равенство. В алгебре существует множество стандартных тождеств, например, формулы сокращённого умножения или свойства арифметических операций.

Рассмотрим в качестве примера тождество разности квадратов:

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Это равенство верно для любых чисел $a$ и $b$. Чтобы убедиться в этом, можно выполнить преобразование одной из частей равенства и показать, что она совпадает с другой частью.

Доказательство:

Преобразуем правую часть равенства, раскрыв скобки по правилу умножения многочленов:

$(a-b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = a^2 + ab - ba - b^2$

Поскольку для умножения чисел справедлив переместительный (коммутативный) закон ($ab = ba$), члены $ab$ и $-ba$ взаимно уничтожаются:

$a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2$

Таким образом, мы получили, что правая часть $(a-b)(a+b)$ тождественно равна левой части $a^2 - b^2$. Это доказывает, что данное равенство является тождеством.

Проверка на конкретных числах:

Подставим произвольные значения, например, $a=10$ и $b=4$.

Вычислим левую часть: $10^2 - 4^2 = 100 - 16 = 84$.

Вычислим правую часть: $(10-4)(10+4) = 6 \cdot 14 = 84$.

Равенство $84 = 84$ является верным, что и подтверждает справедливость тождества для данных значений.

Ответ: Примером тождества, верного при любых значениях переменных, является формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Другими распространёнными примерами являются распределительный закон $c(a+b) = ca+cb$ или основное тригонометрическое тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.

3. Приведите пример тождества, верного не при всех, а лишь при допустимых значениях переменных.

Тождество — это равенство, которое истинно для всех значений входящих в него переменных. Однако некоторые алгебраические выражения, например дроби или корни, имеют смысл не при любых значениях переменных. Множество значений переменных, при которых выражение определено, называется областью допустимых значений (ОДЗ). Тождество, содержащее такие выражения, будет верным только для тех значений переменных, которые входят в его ОДЗ.

В качестве примера можно привести следующее тождество, основанное на сокращении дроби:

$\frac{a^2 - 9}{a + 3} = a - 3$

Это равенство является тождеством, но оно верно не для всех значений переменной $a$. Левая часть равенства, $\frac{a^2 - 9}{a + 3}$, является дробью. Она определена только тогда, когда ее знаменатель не равен нулю. Найдем значение $a$, при котором знаменатель обращается в ноль:

$a + 3 = 0 \implies a = -3$

Следовательно, область допустимых значений для переменной $a$ в этом выражении — это все числа, кроме $a=-3$. Правая часть, $a-3$, определена для любого значения $a$.

Для всех допустимых значений ($a \neq -3$) мы можем преобразовать левую часть, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{a^2 - 9}{a + 3} = \frac{(a-3)(a+3)}{a+3}$

Так как $a \neq -3$, то $a+3 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(a+3)$:

$\frac{(a-3)(a+3)}{a+3} = a-3$

Мы получили выражение, стоящее в правой части равенства. Это доказывает, что равенство является тождеством. Однако, при $a=-3$ левая часть не определена (так как знаменатель равен нулю), а правая часть равна $-3-3=-6$. Поскольку левая часть не имеет смысла, равенство не выполняется. Таким образом, это тождество верно только при допустимых значениях переменной, то есть при $a \neq -3$.

Другой простой пример — тождество с квадратным корнем:

$(\sqrt{a})^2 = a$

Левая часть этого равенства определена только при $a \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным. Правая же часть определена для любого $a$. Следовательно, это тождество верно не для всех $a$, а только для $a \ge 0$.

Ответ: Примером тождества, верного не при всех, а лишь при допустимых значениях переменных, является $\frac{a^2 - 9}{a + 3} = a - 3$, которое верно при всех $a \neq -3$. Другой пример: $(\sqrt{a})^2 = a$, верное при всех $a \ge 0$.

41.29 a) $ \frac{40x^2 - 5xy}{y^2 - 8xy} $ при $x = 2$, $y = 10$;

б) $ \frac{21a^2 - 12ab}{20b^2 - 35ab} $ при $a = 10$, $b = -3$;

в) $ \frac{15c^2 - 10cd}{8d^2 - 12cd} $ при $c = -6$, $d = 4$;

г) $ \frac{25z^2 - 20zt}{16t^2 - 20zt} $ при $z = -3$, $t = -2$.

а) Сначала упростим выражение. Для этого вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе:
$\frac{40x^2 - 5xy}{y^2 - 8xy} = \frac{5x(8x - y)}{y(y - 8x)}$
Заметим, что выражения в скобках противоположны, то есть $8x - y = -(y - 8x)$. Используем это свойство для сокращения дроби:
$\frac{5x(8x - y)}{y(y - 8x)} = \frac{5x \cdot (-(y - 8x))}{y(y - 8x)} = -\frac{5x}{y}$
Теперь подставим заданные значения $x = 2$ и $y = 10$ в упрощенное выражение:
$-\frac{5x}{y} = -\frac{5 \cdot 2}{10} = -\frac{10}{10} = -1$
Ответ: -1

б) Упростим выражение, вынеся общие множители за скобки:
$\frac{21a^2 - 12ab}{20b^2 - 35ab} = \frac{3a(7a - 4b)}{5b(4b - 7a)}$
Так как $7a - 4b = -(4b - 7a)$, сократим дробь:
$\frac{3a(7a - 4b)}{5b(4b - 7a)} = \frac{3a \cdot (-(4b - 7a))}{5b(4b - 7a)} = -\frac{3a}{5b}$
Подставим значения $a = 10$ и $b = -3$ в полученное выражение:
$-\frac{3a}{5b} = -\frac{3 \cdot 10}{5 \cdot (-3)} = -\frac{30}{-15} = 2$
Ответ: 2

в) Упростим исходное выражение. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:
$\frac{15c^2 - 10cd}{8d^2 - 12cd} = \frac{5c(3c - 2d)}{4d(2d - 3c)}$
Заметив, что $3c - 2d = -(2d - 3c)$, сокращаем дробь:
$\frac{5c(3c - 2d)}{4d(2d - 3c)} = \frac{5c \cdot (-(2d - 3c))}{4d(2d - 3c)} = -\frac{5c}{4d}$
Подставим значения $c = -6$ и $d = 4$ в упрощенное выражение:
$-\frac{5c}{4d} = -\frac{5 \cdot (-6)}{4 \cdot 4} = -\frac{-30}{16} = \frac{30}{16} = \frac{15}{8}$
Ответ: $\frac{15}{8}$

г) Упростим выражение, вынеся общие множители:
$\frac{25z^2 - 20zt}{16t^2 - 20zt} = \frac{5z(5z - 4t)}{4t(4t - 5z)}$
Поскольку $5z - 4t = -(4t - 5z)$, мы можем сократить дробь:
$\frac{5z(5z - 4t)}{4t(4t - 5z)} = \frac{5z \cdot (-(4t - 5z))}{4t(4t - 5z)} = -\frac{5z}{4t}$
Подставим значения $z = -3$ и $t = -2$ в результат:
$-\frac{5z}{4t} = -\frac{5 \cdot (-3)}{4 \cdot (-2)} = -\frac{-15}{-8} = -\frac{15}{8}$
Ответ: $-\frac{15}{8}$

41.30 Найдите значение выражения:

а) $\frac{a^3 + 27}{a^2 - 3a + 9}$ при $a = 15;$

Б) $\frac{c^3 + 64}{3c^2 - 12c + 48}$ при $c = 5;$

В) $\frac{b^2 + 2b + 4}{b^3 - 8}$ при $b = \frac{1}{3};$

Г) $\frac{d^2 - 5d + 25}{2d^3 + 250}$ при $d = -4,5.$

а)

Дано выражение $ \frac{a^3 + 27}{a^2 - 3a + 9} $ при $ a = 15 $.
Для решения сначала упростим данное алгебраическое выражение. Числитель дроби представляет собой сумму кубов, так как $ 27 = 3^3 $. Воспользуемся формулой суммы кубов: $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) $.
Применив эту формулу к числителю, получим:
$ a^3 + 27 = a^3 + 3^3 = (a+3)(a^2 - a \cdot 3 + 3^2) = (a+3)(a^2 - 3a + 9) $.
Теперь подставим это разложение в исходную дробь:
$ \frac{(a+3)(a^2 - 3a + 9)}{a^2 - 3a + 9} $
Можно заметить, что выражение $ (a^2 - 3a + 9) $ присутствует и в числителе, и в знаменателе. Мы можем сократить дробь на этот множитель, так как он никогда не равен нулю (дискриминант этого квадратного трехчлена $ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0 $).
После сокращения получаем простое выражение: $ a+3 $.
Теперь подставим в него заданное значение $ a = 15 $:
$ 15 + 3 = 18 $.

Ответ: $18$

б)

Дано выражение $ \frac{c^3 + 64}{3c^2 - 12c + 48} $ при $ c = 5 $.
Упростим выражение. В числителе стоит сумма кубов: $ c^3 + 64 = c^3 + 4^3 $.
По формуле суммы кубов $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) $ разложим числитель:
$ c^3 + 4^3 = (c+4)(c^2 - 4c + 16) $.
В знаменателе вынесем общий множитель 3 за скобки:
$ 3c^2 - 12c + 48 = 3(c^2 - 4c + 16) $.
Теперь подставим полученные выражения в дробь:
$ \frac{(c+4)(c^2 - 4c + 16)}{3(c^2 - 4c + 16)} $
Сократим дробь на общий множитель $ (c^2 - 4c + 16) $. Этот множитель не равен нулю, так как его дискриминант $ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 < 0 $.
После сокращения получаем: $ \frac{c+4}{3} $.
Подставим значение $ c = 5 $:
$ \frac{5+4}{3} = \frac{9}{3} = 3 $.

Ответ: $3$

в)

Дано выражение $ \frac{b^2 + 2b + 4}{b^3 - 8} $ при $ b = \frac{1}{3} $.
Упростим выражение. Знаменатель дроби $ b^3 - 8 $ является разностью кубов: $ b^3 - 2^3 $.
Воспользуемся формулой разности кубов: $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) $.
$ b^3 - 2^3 = (b-2)(b^2 + b \cdot 2 + 2^2) = (b-2)(b^2 + 2b + 4) $.
Подставим разложение в исходную дробь:
$ \frac{b^2 + 2b + 4}{(b-2)(b^2 + 2b + 4)} $
Сократим дробь на общий множитель $ (b^2 + 2b + 4) $, который не равен нулю (дискриминант $ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0 $).
После сокращения получим: $ \frac{1}{b-2} $.
Теперь подставим значение $ b = \frac{1}{3} $:
$ \frac{1}{\frac{1}{3} - 2} = \frac{1}{\frac{1}{3} - \frac{6}{3}} = \frac{1}{-\frac{5}{3}} = 1 \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{3}{5} $.

Ответ: $-\frac{3}{5}$

г)

Дано выражение $ \frac{d^2 - 5d + 25}{2d^3 + 250} $ при $ d = -4,5 $.
Упростим выражение. Сначала в знаменателе вынесем общий множитель 2 за скобки:
$ 2d^3 + 250 = 2(d^3 + 125) $.
Выражение в скобках $ d^3 + 125 $ является суммой кубов: $ d^3 + 5^3 $.
По формуле суммы кубов $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) $ разложим $ d^3 + 5^3 $:
$ (d+5)(d^2 - d \cdot 5 + 5^2) = (d+5)(d^2 - 5d + 25) $.
Таким образом, весь знаменатель равен $ 2(d+5)(d^2 - 5d + 25) $.
Подставим это в исходное выражение:
$ \frac{d^2 - 5d + 25}{2(d+5)(d^2 - 5d + 25)} $
Сократим дробь на общий множитель $ (d^2 - 5d + 25) $, который не равен нулю (дискриминант $ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 25 - 100 = -75 < 0 $).
После сокращения получим: $ \frac{1}{2(d+5)} $.
Подставим значение $ d = -4,5 $:
$ \frac{1}{2(-4,5 + 5)} = \frac{1}{2(0,5)} = \frac{1}{1} = 1 $.

Ответ: $1$

Сократите дробь:

41.31 a) $ \frac{270a^{10}b^8c^7}{810a^4b^{12}c} $

б) $ \frac{132x^5y^{10}z^{11}}{144x^6y^5z^{22}} $

в) $ \frac{140m^{25}n^{101}r^{64}}{42m^{14}n^{202}r^{61}} $

г) $ \frac{540p^{12}q^{43}t^{54}}{36p^2q^{54}t^{55}} $

а) $ \frac{270a^{10}b^8c^7}{810a^4b^{12}c} $

Для сокращения дроби разделим числитель и знаменатель на их общие множители. Сократим отдельно числовые коэффициенты и степени каждой переменной, используя правило $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $.

Сокращение коэффициентов: $ \frac{270}{810} = \frac{27 \cdot 10}{81 \cdot 10} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3} $.

Сокращение переменных:

$ \frac{a^{10}}{a^4} = a^{10-4} = a^6 $

$ \frac{b^8}{b^{12}} = \frac{1}{b^{12-8}} = \frac{1}{b^4} $

$ \frac{c^7}{c^1} = c^{7-1} = c^6 $

Объединяем полученные результаты:

$ \frac{1 \cdot a^6 \cdot c^6}{3 \cdot b^4} = \frac{a^6c^6}{3b^4} $

Ответ: $ \frac{a^6c^6}{3b^4} $.

б) $ \frac{132x^5y^{10}z^{11}}{144x^6y^5z^{22}} $

Сократим числовые коэффициенты и степени каждой переменной.

Сокращение коэффициентов: $ \frac{132}{144} = \frac{12 \cdot 11}{12 \cdot 12} = \frac{11}{12} $.

Сокращение переменных:

$ \frac{x^5}{x^6} = \frac{1}{x^{6-5}} = \frac{1}{x} $

$ \frac{y^{10}}{y^5} = y^{10-5} = y^5 $

$ \frac{z^{11}}{z^{22}} = \frac{1}{z^{22-11}} = \frac{1}{z^{11}} $

Объединяем полученные результаты:

$ \frac{11 \cdot y^5}{12 \cdot x \cdot z^{11}} = \frac{11y^5}{12xz^{11}} $

Ответ: $ \frac{11y^5}{12xz^{11}} $.

в) $ \frac{140m^{25}n^{101}r^{64}}{42m^{14}n^{202}r^{61}} $

Сократим числовые коэффициенты и степени каждой переменной.

Сокращение коэффициентов: $ \frac{140}{42} = \frac{14 \cdot 10}{14 \cdot 3} = \frac{10}{3} $.

Сокращение переменных:

$ \frac{m^{25}}{m^{14}} = m^{25-14} = m^{11} $

$ \frac{n^{101}}{n^{202}} = \frac{1}{n^{202-101}} = \frac{1}{n^{101}} $

$ \frac{r^{64}}{r^{61}} = r^{64-61} = r^3 $

Объединяем полученные результаты:

$ \frac{10 \cdot m^{11} \cdot r^3}{3 \cdot n^{101}} = \frac{10m^{11}r^3}{3n^{101}} $

Ответ: $ \frac{10m^{11}r^3}{3n^{101}} $.

г) $ \frac{540p^{12}q^{43}t^{54}}{36p^2q^{54}t^{55}} $

Сократим числовые коэффициенты и степени каждой переменной.

Сокращение коэффициентов: $ \frac{540}{36} $. Разделим 540 на 36. $ 540 \div 36 = 15 $. Итак, $ \frac{540}{36} = 15 $.

Сокращение переменных:

$ \frac{p^{12}}{p^2} = p^{12-2} = p^{10} $

$ \frac{q^{43}}{q^{54}} = \frac{1}{q^{54-43}} = \frac{1}{q^{11}} $

$ \frac{t^{54}}{t^{55}} = \frac{1}{t^{55-54}} = \frac{1}{t} $

Объединяем полученные результаты:

$ \frac{15 \cdot p^{10}}{1 \cdot q^{11} \cdot t} = \frac{15p^{10}}{q^{11}t} $

Ответ: $ \frac{15p^{10}}{q^{11}t} $.

41.32 a) $\frac{32a^4b^5c - 2a^4b^3c^3}{a^3b^4c^3 - 4a^3b^5c^2}$;

б) $\frac{x^ny^{2n+1} + x^{n+1}y^{2n}}{x^{2n+2}y^n - x^{2n}y^{n+2}}$;

В) $\frac{6a^2b^4c^4 - 9a^2b^3c^5}{54abc^7 - 24ab^3c^5}$;

Г) $\frac{2x^{n+2}y^{n-1} + 3x^{n+1}y^n}{9x^{n-1}y^{n+3} - 4x^{n+1}y^{n+1}}$.

а) $\frac{32a^4b^5c - 2a^4b^3c^3}{a^3b^4c^3 - 4a^3b^5c^2}$

1. Вынесем общий множитель за скобки в числителе. Общим множителем является $2a^4b^3c$.
$32a^4b^5c - 2a^4b^3c^3 = 2a^4b^3c(16b^2 - c^2)$
Выражение в скобках является разностью квадратов: $16b^2 - c^2 = (4b)^2 - c^2 = (4b-c)(4b+c)$.
Числитель равен: $2a^4b^3c(4b-c)(4b+c)$.

2. Вынесем общий множитель за скобки в знаменателе. Общим множителем является $a^3b^4c^2$.
$a^3b^4c^3 - 4a^3b^5c^2 = a^3b^4c^2(c - 4b)$
Заметим, что $c - 4b = -(4b - c)$.
Знаменатель равен: $-a^3b^4c^2(4b - c)$.

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общие множители.
$\frac{2a^4b^3c(4b-c)(4b+c)}{-a^3b^4c^2(4b-c)} = \frac{2a(4b+c)}{-bc} = -\frac{2a(4b+c)}{bc}$

Ответ: $-\frac{2a(4b+c)}{bc}$

б) $\frac{x^ny^{2n+1} + x^{n+1}y^{2n}}{x^{2n+2}y^n - x^{2n}y^{n+2}}$

1. Вынесем общий множитель за скобки в числителе. Общим множителем является $x^ny^{2n}$.
$x^ny^{2n+1} + x^{n+1}y^{2n} = x^ny^{2n} \cdot y + x^n \cdot x \cdot y^{2n} = x^ny^{2n}(y+x)$

2. Вынесем общий множитель за скобки в знаменателе. Общим множителем является $x^{2n}y^n$.
$x^{2n+2}y^n - x^{2n}y^{n+2} = x^{2n}x^2y^n - x^{2n}y^ny^2 = x^{2n}y^n(x^2 - y^2)$
Выражение в скобках является разностью квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Знаменатель равен: $x^{2n}y^n(x-y)(x+y)$.

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общие множители.
$\frac{x^ny^{2n}(y+x)}{x^{2n}y^n(x-y)(x+y)} = \frac{x^ny^{2n}}{x^{2n}y^n(x-y)} = \frac{y^{2n-n}}{x^{2n-n}(x-y)} = \frac{y^n}{x^n(x-y)}$

Ответ: $\frac{y^n}{x^n(x-y)}$

в) $\frac{6a^2b^4c^4 - 9a^2b^3c^5}{54abc^7 - 24ab^3c^5}$

1. Вынесем общий множитель за скобки в числителе. Общим множителем является $3a^2b^3c^4$.
$6a^2b^4c^4 - 9a^2b^3c^5 = 3a^2b^3c^4(2b - 3c)$

2. Вынесем общий множитель за скобки в знаменателе. Общим множителем является $6abc^5$.
$54abc^7 - 24ab^3c^5 = 6abc^5(9c^2 - 4b^2)$
Выражение в скобках является разностью квадратов: $9c^2 - 4b^2 = (3c)^2 - (2b)^2 = (3c-2b)(3c+2b)$.
Заметим, что $3c-2b = -(2b-3c)$.
Знаменатель равен: $6abc^5(3c-2b)(3c+2b) = -6abc^5(2b-3c)(2b+3c)$.

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общие множители.
$\frac{3a^2b^3c^4(2b - 3c)}{-6abc^5(2b-3c)(2b+3c)} = \frac{3a^2b^3c^4}{-6abc^5(2b+3c)} = \frac{ab^2}{-2c(2b+3c)} = -\frac{ab^2}{2c(2b+3c)}$

Ответ: $-\frac{ab^2}{2c(2b+3c)}$

г) $\frac{2x^{n+2}y^{n-1} + 3x^{n+1}y^n}{9x^{n-1}y^{n+3} - 4x^{n+1}y^{n+1}}$

1. Вынесем общий множитель за скобки в числителе. Наименьшая степень $x$ это $x^{n+1}$, а наименьшая степень $y$ это $y^{n-1}$. Общий множитель $x^{n+1}y^{n-1}$.
$2x^{n+2}y^{n-1} + 3x^{n+1}y^n = 2x^{n+1} \cdot x \cdot y^{n-1} + 3x^{n+1} \cdot y^{n-1} \cdot y = x^{n+1}y^{n-1}(2x + 3y)$

2. Вынесем общий множитель за скобки в знаменателе. Наименьшая степень $x$ это $x^{n-1}$, а наименьшая степень $y$ это $y^{n+1}$. Общий множитель $x^{n-1}y^{n+1}$.
$9x^{n-1}y^{n+3} - 4x^{n+1}y^{n+1} = 9x^{n-1}y^{n+1} \cdot y^2 - 4x^{n-1} \cdot x^2 \cdot y^{n+1} = x^{n-1}y^{n+1}(9y^2 - 4x^2)$
Выражение в скобках является разностью квадратов: $9y^2 - 4x^2 = (3y)^2 - (2x)^2 = (3y-2x)(3y+2x)$.
Знаменатель равен: $x^{n-1}y^{n+1}(3y-2x)(3y+2x)$.

3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общие множители.
$\frac{x^{n+1}y^{n-1}(2x + 3y)}{x^{n-1}y^{n+1}(3y-2x)(3y+2x)} = \frac{x^{n+1}y^{n-1}}{x^{n-1}y^{n+1}(3y-2x)}$
Сократим степени:
$\frac{x^{(n+1)-(n-1)}}{y^{(n+1)-(n-1)}(3y-2x)} = \frac{x^{n+1-n+1}}{y^{n+1-n+1}(3y-2x)} = \frac{x^2}{y^2(3y-2x)}$

Ответ: $\frac{x^2}{y^2(3y-2x)}$

41.33 а) $\frac{32a^4b - 80a^3b^2 + 50a^2b^3}{20ab^3 - 16a^2b^2};$

б) $\frac{18a^3b^2 + 36ab^4}{96a^2b^5 + 96a^4b^3 + 24a^6b};$

В) $\frac{18a^4b^2 - 30a^3b^3}{75a^2b^5 - 90a^3b^4 + 27a^4b^3};$

Г) $\frac{10a^2b^8 + 60a^4b^6 + 90a^6b^4}{45a^5b + 15a^3b^3}.$

а)

Упростим выражение $\frac{32a^4b - 80a^3b^2 + 50a^2b^3}{20ab^3 - 16a^2b^2}$.

Разложим числитель на множители. Сначала вынесем общий множитель $2a^2b$:
$32a^4b - 80a^3b^2 + 50a^2b^3 = 2a^2b(16a^2 - 40ab + 25b^2)$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности $(4a - 5b)^2$.
Таким образом, числитель равен $2a^2b(4a - 5b)^2$.

Теперь разложим на множители знаменатель. Вынесем общий множитель $4ab^2$:
$20ab^3 - 16a^2b^2 = 4ab^2(5b - 4a)$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим ее. Заметим, что $5b - 4a = -(4a - 5b)$.
$\frac{2a^2b(4a - 5b)^2}{4ab^2(5b - 4a)} = \frac{2a^2b(4a - 5b)^2}{-4ab^2(4a - 5b)} = -\frac{2a^2b(4a-5b)}{4ab^2}$.

Сокращая общие множители, получаем:
$-\frac{a(4a-5b)}{2b} = \frac{a(-(4a-5b))}{2b} = \frac{a(5b-4a)}{2b}$.

Ответ: $\frac{a(5b-4a)}{2b}$

б)

Упростим выражение $\frac{18a^3b^2 + 36ab^4}{96a^2b^5 + 96a^4b^3 + 24a^6b}$.

Разложим числитель на множители, вынеся общий множитель $18ab^2$:
$18a^3b^2 + 36ab^4 = 18ab^2(a^2 + 2b^2)$.

Разложим знаменатель на множители. Вынесем общий множитель $24a^2b$:
$96a^2b^5 + 96a^4b^3 + 24a^6b = 24a^2b(4b^4 + 4a^2b^2 + a^4)$.
Выражение в скобках является полным квадратом суммы $(a^2 + 2b^2)^2$.
Таким образом, знаменатель равен $24a^2b(a^2 + 2b^2)^2$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим ее:
$\frac{18ab^2(a^2 + 2b^2)}{24a^2b(a^2 + 2b^2)^2} = \frac{18}{24} \cdot \frac{a}{a^2} \cdot \frac{b^2}{b} \cdot \frac{a^2 + 2b^2}{(a^2 + 2b^2)^2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{a} \cdot b \cdot \frac{1}{a^2 + 2b^2}$.

Результат умножения:
$\frac{3b}{4a(a^2 + 2b^2)}$.

Ответ: $\frac{3b}{4a(a^2 + 2b^2)}$

в)

Упростим выражение $\frac{18a^4b^2 - 30a^3b^3}{75a^2b^5 - 90a^3b^4 + 27a^4b^3}$.

Разложим числитель на множители, вынеся общий множитель $6a^3b^2$:
$18a^4b^2 - 30a^3b^3 = 6a^3b^2(3a - 5b)$.

Разложим знаменатель на множители. Вынесем общий множитель $3a^2b^3$:
$75a^2b^5 - 90a^3b^4 + 27a^4b^3 = 3a^2b^3(25b^2 - 30ab + 9a^2)$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности $(3a - 5b)^2$.
Таким образом, знаменатель равен $3a^2b^3(3a - 5b)^2$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим ее:
$\frac{6a^3b^2(3a - 5b)}{3a^2b^3(3a - 5b)^2} = \frac{6}{3} \cdot \frac{a^3}{a^2} \cdot \frac{b^2}{b^3} \cdot \frac{3a - 5b}{(3a - 5b)^2} = 2 \cdot a \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{3a-5b}$.

Результат умножения:
$\frac{2a}{b(3a - 5b)}$.

Ответ: $\frac{2a}{b(3a - 5b)}$

г)

Упростим выражение $\frac{10a^2b^8 + 60a^4b^6 + 90a^6b^4}{45a^5b + 15a^3b^3}$.

Разложим числитель на множители. Вынесем общий множитель $10a^2b^4$:
$10a^2b^8 + 60a^4b^6 + 90a^6b^4 = 10a^2b^4(b^4 + 6a^2b^2 + 9a^4)$.
Выражение в скобках является полным квадратом суммы $(3a^2 + b^2)^2$.
Таким образом, числитель равен $10a^2b^4(3a^2 + b^2)^2$.

Разложим знаменатель на множители. Вынесем общий множитель $15a^3b$:
$45a^5b + 15a^3b^3 = 15a^3b(3a^2 + b^2)$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим ее:
$\frac{10a^2b^4(3a^2 + b^2)^2}{15a^3b(3a^2 + b^2)} = \frac{10}{15} \cdot \frac{a^2}{a^3} \cdot \frac{b^4}{b} \cdot \frac{(3a^2 + b^2)^2}{3a^2 + b^2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a} \cdot b^3 \cdot (3a^2 + b^2)$.

Результат умножения:
$\frac{2b^3(3a^2 + b^2)}{3a}$.

Ответ: $\frac{2b^3(3a^2 + b^2)}{3a}$

41.34 а) $\frac{4a^3b^3c^3 - 4a^2b^2c^2 + ab^3c}{26a^3c - 13a^2b};$

б) $\frac{40x^2y^6z^4 + 8x^4y^3z^4}{2x^5y^4z + 20x^3y^7z + 50xy^{10}z};$

в) $\frac{36x^2y - 12xy^3}{27x^4yz - 18x^3y^3z + 3x^2y^5z};$

г) $\frac{6a^4b^4c^{11} + 24a^4b^4c^7d^4 + 24a^4b^4c^3d^8}{6a^5b^3c^5d^4 + 3a^5b^3c^9}.$

а)

Дана алгебраическая дробь: $\frac{4a^3bc^3 - 4a^2b^2c^2 + ab^3c}{26a^3c - 13a^2b}$.

Для упрощения дроби необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель: $4a^3bc^3 - 4a^2b^2c^2 + ab^3c$.
Вынесем за скобки общий множитель $abc$:
$abc(4a^2c^2 - 4abc + b^2)$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности, так как его можно представить в виде $(2ac)^2 - 2 \cdot (2ac) \cdot b + b^2$, что соответствует формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Следовательно, $4a^2c^2 - 4abc + b^2 = (2ac - b)^2$.
Таким образом, числитель равен $abc(2ac - b)^2$.

2. Разложим на множители знаменатель: $26a^3c - 13a^2b$.
Вынесем за скобки общий множитель $13a^2$:
$13a^2(2ac - b)$.

3. Подставим полученные выражения в дробь и произведем сокращение общих множителей:
$\frac{abc(2ac - b)^2}{13a^2(2ac - b)} = \frac{bc(2ac - b)}{13a}$.

Ответ: $\frac{bc(2ac - b)}{13a}$

б)

Дана алгебраическая дробь: $\frac{40x^2y^6z^4 + 8x^4y^3z^4}{2x^5y^4z + 20x^3y^7z + 50xy^{10}z}$.

1. Разложим на множители числитель: $40x^2y^6z^4 + 8x^4y^3z^4$.
Вынесем за скобки общий множитель $8x^2y^3z^4$:
$8x^2y^3z^4(5y^3 + x^2)$.

2. Разложим на множители знаменатель: $2x^5y^4z + 20x^3y^7z + 50xy^{10}z$.
Вынесем за скобки общий множитель $2xy^4z$:
$2xy^4z(x^4 + 10x^2y^3 + 25y^6)$.
Выражение в скобках является полным квадратом суммы, так как его можно представить в виде $(x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot (5y^3) + (5y^3)^2$, что соответствует формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Следовательно, $x^4 + 10x^2y^3 + 25y^6 = (x^2 + 5y^3)^2$.
Таким образом, знаменатель равен $2xy^4z(x^2 + 5y^3)^2$.

3. Подставим полученные выражения в дробь и сократим:
$\frac{8x^2y^3z^4(5y^3 + x^2)}{2xy^4z(x^2 + 5y^3)^2} = \frac{8x^2y^3z^4(x^2 + 5y^3)}{2xy^4z(x^2 + 5y^3)^2} = \frac{4xz^3}{y(x^2 + 5y^3)}$.

Ответ: $\frac{4xz^3}{y(x^2 + 5y^3)}$

в)

Дана алгебраическая дробь: $\frac{36x^2y - 12xy^3}{27x^4yz - 18x^3y^3z + 3x^2y^5z}$.

1. Разложим на множители числитель: $36x^2y - 12xy^3$.
Вынесем за скобки общий множитель $12xy$:
$12xy(3x - y^2)$.

2. Разложим на множители знаменатель: $27x^4yz - 18x^3y^3z + 3x^2y^5z$.
Вынесем за скобки общий множитель $3x^2yz$:
$3x^2yz(9x^2 - 6xy^2 + y^4)$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности: $(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot y^2 + (y^2)^2 = (3x - y^2)^2$.
Таким образом, знаменатель равен $3x^2yz(3x - y^2)^2$.

3. Подставим полученные выражения в дробь и сократим:
$\frac{12xy(3x - y^2)}{3x^2yz(3x - y^2)^2} = \frac{4}{xz(3x - y^2)}$.

Ответ: $\frac{4}{xz(3x - y^2)}$

г)

Дана алгебраическая дробь: $\frac{6a^4b^4c^{11} + 24a^4b^4c^7d^4 + 24a^4b^4c^3d^8}{6a^5b^3c^5d^4 + 3a^5b^3c^9}$.

1. Разложим на множители числитель: $6a^4b^4c^{11} + 24a^4b^4c^7d^4 + 24a^4b^4c^3d^8$.
Вынесем за скобки общий множитель $6a^4b^4c^3$:
$6a^4b^4c^3(c^8 + 4c^4d^4 + 4d^8)$.
Выражение в скобках является полным квадратом суммы: $(c^4)^2 + 2 \cdot c^4 \cdot (2d^4) + (2d^4)^2 = (c^4 + 2d^4)^2$.
Таким образом, числитель равен $6a^4b^4c^3(c^4 + 2d^4)^2$.

2. Разложим на множители знаменатель: $6a^5b^3c^5d^4 + 3a^5b^3c^9$.
Вынесем за скобки общий множитель $3a^5b^3c^5$:
$3a^5b^3c^5(2d^4 + c^4)$.

3. Подставим полученные выражения в дробь и сократим:
$\frac{6a^4b^4c^3(c^4 + 2d^4)^2}{3a^5b^3c^5(2d^4 + c^4)} = \frac{6a^4b^4c^3(c^4 + 2d^4)^2}{3a^5b^3c^5(c^4 + 2d^4)} = \frac{2b(c^4 + 2d^4)}{ac^2}$.

Ответ: $\frac{2b(c^4 + 2d^4)}{ac^2}$