Страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

4. Из оценок 9,1; 9,5; 8,7; 8,9; 8,5; 9,3; 9,0 отбросили худшую и лучшую, а итоговую оценку вычислили как среднее оставшихся оценок. Чему равна итоговая оценка?

Для того чтобы найти итоговую оценку, необходимо выполнить несколько действий.

Сначала определим худшую и лучшую оценки в предоставленном списке: 9,1; 9,5; 8,7; 8,9; 8,5; 9,3; 9,0. Для этого отсортируем оценки по возрастанию:
8,5; 8,7; 8,9; 9,0; 9,1; 9,3; 9,5.

Из отсортированного ряда видно, что:
Худшая (наименьшая) оценка — это 8,5.
Лучшая (наибольшая) оценка — это 9,5.

По условию задачи, эти две оценки нужно отбросить. После их удаления у нас остаются следующие оценки:
8,7; 8,9; 9,0; 9,1; 9,3.

Теперь вычислим итоговую оценку как среднее арифметическое оставшихся оценок. Для этого найдем их сумму и разделим на их количество.

Количество оставшихся оценок равно 5.
Найдем их сумму:
$8,7 + 8,9 + 9,0 + 9,1 + 9,3 = 45,0$

Вычислим среднее арифметическое:
$\frac{45,0}{5} = 9,0$

Следовательно, итоговая оценка равна 9,0.

Ответ: 9,0

5. При каком значении $n$ среднее ряда из $n$ единиц и одной двойки будет равно $1,02$?

По условию задачи, у нас есть ряд чисел, состоящий из $n$ единиц и одной двойки.

Среднее арифметическое ряда — это отношение суммы всех его членов к их количеству.

1. Найдем сумму всех членов ряда. Она состоит из суммы $n$ единиц и одной двойки:
Сумма = $(n \cdot 1) + 2 = n + 2$

2. Найдем общее количество членов в ряду. Оно равно $n$ (количество единиц) плюс 1 (количество двоек):
Количество = $n + 1$

3. Составим уравнение для нахождения среднего, которое по условию равно 1,02:
Среднее = $\frac{\text{Сумма}}{\text{Количество}} = \frac{n + 2}{n + 1}$
$\frac{n + 2}{n + 1} = 1,02$

4. Решим полученное уравнение, чтобы найти значение $n$. Для этого умножим обе части уравнения на $(n + 1)$:
$n + 2 = 1,02 \cdot (n + 1)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:
$n + 2 = 1,02n + 1,02$

Теперь сгруппируем члены, содержащие $n$, в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:
$2 - 1,02 = 1,02n - n$

Выполним вычитание:
$0,98 = 0,02n$

Найдем $n$, разделив обе части на 0,02:
$n = \frac{0,98}{0,02} = \frac{98}{2} = 49$

Проверим результат: если $n=49$, то ряд состоит из 49 единиц и одной двойки. Сумма членов равна $49 \cdot 1 + 2 = 51$. Количество членов равно $49 + 1 = 50$. Среднее равно $\frac{51}{50} = 1,02$. Результат верный.

Ответ: 49

6. При каком значении $n$ среднее ряда из $n$ двоек и одной единицы будет равно $1.95$?

Для решения задачи необходимо составить уравнение на основе определения среднего арифметического. Среднее арифметическое ряда чисел — это сумма всех чисел, деленная на их количество.

По условию, ряд состоит из n двоек и одной единицы.

Сначала найдем сумму всех чисел в этом ряду. Сумма n двоек равна $2 \times n$, или $2n$. К этой сумме нужно прибавить одну единицу. Таким образом, сумма всех чисел ряда составляет: $$ S = 2n + 1 $$

Далее определим общее количество чисел в ряду. Оно складывается из n двоек и одной единицы: $$ K = n + 1 $$

Теперь мы можем составить уравнение. Известно, что среднее значение ряда равно 1,95. Подставим найденные выражения для суммы и количества в формулу среднего арифметического: $$ \frac{S}{K} = \frac{2n + 1}{n + 1} = 1,95 $$

Решим полученное уравнение относительно n. Для этого умножим обе части уравнения на знаменатель $(n + 1)$: $$ 2n + 1 = 1,95 \times (n + 1) $$

Раскроем скобки в правой части уравнения: $$ 2n + 1 = 1,95n + 1,95 $$

Сгруппируем слагаемые с переменной n в левой части уравнения, а числовые константы — в правой части: $$ 2n - 1,95n = 1,95 - 1 $$ $$ 0,05n = 0,95 $$

Наконец, найдем n, разделив обе части на 0,05: $$ n = \frac{0,95}{0,05} $$ Чтобы упростить деление, можно умножить числитель и знаменатель на 100: $$ n = \frac{95}{5} $$ $$ n = 19 $$

Проведем проверку. Если $n=19$, то в ряду 19 двоек и одна единица. Сумма чисел: $19 \times 2 + 1 = 38 + 1 = 39$. Количество чисел: $19 + 1 = 20$. Среднее арифметическое: $\frac{39}{20} = 1,95$. Результат совпадает с условием задачи, значит, решение найдено верно.

Ответ: 19.

7. Есть несколько чисел, больших $3$, но меньших $5$. Проверьте, что их среднее тоже больше $3$, но меньше $5$.

Для проверки этого утверждения воспользуемся математическим доказательством.

Пусть у нас есть $n$ чисел: $x_1, x_2, \dots, x_n$. По условию задачи, каждое из этих чисел больше 3, но меньше 5. Это можно записать в виде двойного неравенства для каждого числа $x_i$, где $i$ — любое целое число от 1 до $n$:

$3 < x_i < 5$

Среднее арифметическое этих чисел, обозначим его как $A$, вычисляется по формуле:

$A = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$

Наша задача — доказать, что $3 < A < 5$. Докажем это в два этапа.

1. Докажем, что среднее больше 3 ($A > 3$).

Из условия мы знаем, что каждое число $x_i$ больше 3. Запишем это в виде системы неравенств:

$x_1 > 3$

$x_2 > 3$

...

$x_n > 3$

Сложив все эти $n$ неравенств, мы получим:

$x_1 + x_2 + \dots + x_n > 3 + 3 + \dots + 3$

Сумма в правой части состоит из $n$ троек, поэтому:

$x_1 + x_2 + \dots + x_n > 3n$

Теперь разделим обе части неравенства на $n$. Так как $n$ (количество чисел) является положительным числом, знак неравенства не изменится:

$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} > \frac{3n}{n}$

Слева у нас среднее арифметическое $A$, а справа — 3. Следовательно:

$A > 3$

2. Докажем, что среднее меньше 5 ($A < 5$).

Аналогично, из условия мы знаем, что каждое число $x_i$ меньше 5:

$x_1 < 5$

$x_2 < 5$

...

$x_n < 5$

Сложим эти $n$ неравенств:

$x_1 + x_2 + \dots + x_n < 5 + 5 + \dots + 5$

Сумма в правой части состоит из $n$ пятерок:

$x_1 + x_2 + \dots + x_n < 5n$

Разделим обе части на положительное число $n$:

$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} < \frac{5n}{n}$

Отсюда получаем:

$A < 5$

Объединяя результаты, полученные на двух этапах ($A > 3$ и $A < 5$), мы приходим к выводу, что среднее арифметическое $A$ действительно находится между 3 и 5:

$3 < A < 5$

Утверждение доказано.

Ответ: утверждение верно, среднее арифметическое нескольких чисел, каждое из которых больше 3, но меньше 5, всегда будет также больше 3, но меньше 5.

8. По определению дисперсия равна

$\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n}$.

Проверьте, что если дисперсия равна нулю, то $x_1 = x_2 = = x_{3} = \dots = x_{n-1} = x_{n} = \bar{x}$.

Для доказательства воспользуемся определением дисперсии, которое приведено в условии задачи: $D = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + ... + (x_n - \bar{x})^2}{n}$

По условию, дисперсия равна нулю, то есть $D = 0$. Подставим это значение в формулу: $\frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + ... + (x_n - \bar{x})^2}{n} = 0$

Знаменатель дроби $n$ — это количество элементов в выборке, и по определению $n$ является натуральным числом ($n \ge 1$). Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю. Следовательно, мы можем записать: $(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + ... + (x_n - \bar{x})^2 = 0$

Левая часть этого уравнения представляет собой сумму слагаемых вида $(x_i - \bar{x})^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то каждое слагаемое в этой сумме больше или равно нулю: $(x_i - \bar{x})^2 \ge 0$ для всех $i$ от 1 до $n$.

Сумма нескольких неотрицательных чисел может быть равна нулю только в том единственном случае, когда каждое из этих чисел равно нулю. Это означает, что для каждого слагаемого в сумме должно выполняться равенство: $(x_i - \bar{x})^2 = 0$ для всех $i = 1, 2, ..., n$.

Если квадрат числа равен нулю, то и само число равно нулю. Отсюда следует: $x_i - \bar{x} = 0$

Перенося среднее значение $\bar{x}$ в правую часть, получаем: $x_i = \bar{x}$ для всех $i = 1, 2, ..., n$.

Это означает, что каждый элемент выборки ($x_1, x_2, ..., x_n$) равен среднему арифметическому этой выборки, а следовательно, все элементы выборки равны между собой. $x_1 = x_2 = x_3 = ... = x_{n-1} = x_n = \bar{x}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если дисперсия равна нулю, то сумма квадратов отклонений от среднего значения равна нулю. Поскольку каждое слагаемое в этой сумме неотрицательно (является квадратом), то каждое из них должно быть равно нулю. Это, в свою очередь, означает, что каждый элемент выборки равен среднему значению, т.е. $x_1 = x_2 = ... = x_n = \bar{x}$.

Докажите тождество:

42.17 a) $(2a - b)(2a + b) + (b - c)(b + c) + (c - 2a)(c + 2a) = 0;$

б) $(3x + y)^2 - (3x - y)^2 = (3xy + 1)^2 - (3xy - 1)^2;$

в) $(x - 3y)(x + 3y) + (3y - c)(3y + c) + (c - x)(c + x) = 0;$

г) $(a - b)(a + b)((a - b)^2 + (a + b)^2) = 2(a^4 - b^4).$

а) $(2a - b)(2a + b) + (b - c)(b + c) + (c - 2a)(c + 2a) = 0$

Для доказательства этого тождества мы преобразуем его левую часть, используя формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Применим эту формулу к каждому произведению в выражении:

1. Первое слагаемое: $(2a - b)(2a + b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$.
2. Второе слагаемое: $(b - c)(b + c) = b^2 - c^2$.
3. Третье слагаемое: $(c - 2a)(c + 2a) = c^2 - (2a)^2 = c^2 - 4a^2$.

Теперь сложим полученные выражения:
$(4a^2 - b^2) + (b^2 - c^2) + (c^2 - 4a^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:
$4a^2 - b^2 + b^2 - c^2 + c^2 - 4a^2 = (4a^2 - 4a^2) + (-b^2 + b^2) + (-c^2 + c^2) = 0 + 0 + 0 = 0$.

В результате преобразования левой части мы получили 0, что равно правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) $(3x + y)^2 - (3x - y)^2 = (3xy + 1)^2 - (3xy - 1)^2$

Для доказательства этого тождества мы преобразуем левую и правую части отдельно, используя формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Преобразуем левую часть (ЛЧ):
ЛЧ = $(3x + y)^2 - (3x - y)^2 = ((3x + y) - (3x - y))((3x + y) + (3x - y))$.
Упростим выражения в скобках:
$(3x + y - 3x + y)(3x + y + 3x - y) = (2y)(6x) = 12xy$.

Преобразуем правую часть (ПЧ):
ПЧ = $(3xy + 1)^2 - (3xy - 1)^2 = ((3xy + 1) - (3xy - 1))((3xy + 1) + (3xy - 1))$.
Упростим выражения в скобках:
$(3xy + 1 - 3xy + 1)(3xy + 1 + 3xy - 1) = (2)(6xy) = 12xy$.

Поскольку левая и правая части равны одному и тому же выражению ($12xy = 12xy$), тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) $(x - 3y)(x + 3y) + (3y - c)(3y + c) + (c - x)(c + x) = 0$

Как и в пункте а), используем формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ для преобразования левой части тождества.

1. $(x - 3y)(x + 3y) = x^2 - (3y)^2 = x^2 - 9y^2$.
2. $(3y - c)(3y + c) = (3y)^2 - c^2 = 9y^2 - c^2$.
3. $(c - x)(c + x) = c^2 - x^2$.

Сложим полученные результаты:
$(x^2 - 9y^2) + (9y^2 - c^2) + (c^2 - x^2)$.

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:
$x^2 - 9y^2 + 9y^2 - c^2 + c^2 - x^2 = (x^2 - x^2) + (-9y^2 + 9y^2) + (-c^2 + c^2) = 0 + 0 + 0 = 0$.

Левая часть равна 0, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

г) $(a - b)(a + b)((a - b)^2 + (a + b)^2) = 2(a^4 - b^4)$

Преобразуем левую часть (ЛЧ) тождества по шагам.

Шаг 1: Упростим произведение первых двух скобок по формуле разности квадратов:
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Шаг 2: Упростим выражение в третьей скобке, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы: $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ и $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.
$(a - b)^2 + (a + b)^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 + 2ab + b^2) = 2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2)$.

Шаг 3: Перемножим результаты шагов 1 и 2.
ЛЧ = $(a^2 - b^2) \cdot 2(a^2 + b^2) = 2(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.

Шаг 4: Снова применим формулу разности квадратов к выражению $(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$:
$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4 - b^4$.

Таким образом, левая часть равна:
ЛЧ = $2(a^4 - b^4)$.

Мы получили выражение, идентичное правой части тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

42.18 а) $(a - 1)^3 - 4(a - 1) = (a - 1)(a + 1)(a - 3);$

б) $(x^2 + 1)^2 - 4x^2 = (x - 1)^2(x + 1)^2;$

в) $(a + 1)^3 - (a + 1) = a(a + 1)(a + 2);$

г) $4b^2c^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2 = (a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)(b + c - a).$

а)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Вынесем общий множитель $(a-1)$ за скобки:

$(a-1)^3 - 4(a-1) = (a-1)((a-1)^2 - 4)$

Выражение в скобках $((a-1)^2 - 4)$ является разностью квадратов, так как $4 = 2^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=a-1$ и $y=2$:

$(a-1)((a-1)^2 - 2^2) = (a-1)((a-1)-2)((a-1)+2)$

Упростим выражения в последних двух скобках:

$(a-1)(a-3)(a+1)$

Переставим множители для соответствия правой части тождества:

$(a-1)(a+1)(a-3)$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $(a-1)^3 - 4(a-1) = (a-1)(a+1)(a-3)$

б)

Преобразуем левую часть тождества. Заметим, что выражение представляет собой разность квадратов, так как $4x^2 = (2x)^2$:

$(x^2+1)^2 - 4x^2 = (x^2+1)^2 - (2x)^2$

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A=x^2+1$ и $B=2x$:

$((x^2+1) - 2x)((x^2+1) + 2x)$

Перегруппируем слагаемые внутри скобок, чтобы получить полные квадраты:

$(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 1)$

Каждое из выражений в скобках является формулой квадрата суммы или разности:

$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$

$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$

Таким образом, левая часть равна:

$(x-1)^2(x+1)^2$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $(x^2+1)^2 - 4x^2 = (x-1)^2(x+1)^2$

в)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Вынесем общий множитель $(a+1)$ за скобки:

$(a+1)^3 - (a+1) = (a+1)((a+1)^2 - 1)$

Выражение в скобках $((a+1)^2 - 1)$ является разностью квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=a+1$ и $y=1$:

$(a+1)((a+1)-1)((a+1)+1)$

Упростим выражения во вторых и третьих скобках:

$(a+1)(a)(a+2)$

Переставим множители для соответствия правой части:

$a(a+1)(a+2)$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $(a+1)^3 - (a+1) = a(a+1)(a+2)$

г)

Преобразуем левую часть. Это выражение является разностью квадратов, так как $4b^2c^2 = (2bc)^2$:

$4b^2c^2 - (b^2+c^2-a^2)^2 = (2bc)^2 - (b^2+c^2-a^2)^2$

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A=2bc$ и $B=b^2+c^2-a^2$:

$(2bc - (b^2+c^2-a^2))(2bc + (b^2+c^2-a^2))$

Раскроем скобки внутри каждого множителя:

$(2bc - b^2 - c^2 + a^2)(2bc + b^2 + c^2 - a^2)$

Преобразуем каждый множитель отдельно. В первом множителе сгруппируем слагаемые:

$a^2 - (b^2 - 2bc + c^2) = a^2 - (b-c)^2$

Это снова разность квадратов, которую можно разложить на множители:

$(a - (b-c))(a + (b-c)) = (a-b+c)(a+b-c)$

Во втором множителе сгруппируем слагаемые иначе:

$(b^2 + 2bc + c^2) - a^2 = (b+c)^2 - a^2$

Это также разность квадратов:

$((b+c)-a)((b+c)+a) = (b+c-a)(a+b+c)$

Теперь объединим все полученные множители:

$(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)$

Переставим множители, чтобы они соответствовали правой части тождества:

$(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $4b^2c^2 - (b^2+c^2-a^2)^2 = (a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)$

42.19 a) $ \frac{x^3 + y^3}{x + y} - xy = (x - y)^2 $

б) $ \frac{a^3 - 8}{a - 2} + 2a = (a + 2)^2 $

Для доказательства тождеств преобразуем их левые части и покажем, что они равны правым частям.

а)

Рассмотрим левую часть тождества: $\frac{x^3 + y^3}{x + y} - xy$.

Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Подставим это выражение в числитель дроби и выполним преобразования:

$\frac{x^3 + y^3}{x + y} - xy = \frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{x+y} - xy$

Сократим дробь на $(x+y)$, при условии, что $x+y \neq 0$:

$(x^2 - xy + y^2) - xy = x^2 - xy + y^2 - xy = x^2 - 2xy + y^2$

Полученное выражение является формулой квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой: $(x - y)^2 = (x - y)^2$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б)

Рассмотрим левую часть тождества: $\frac{a^3 - 8}{a - 2} + 2a$.

Воспользуемся формулой разности кубов, представив 8 как $2^3$: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

В нашем случае: $a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a-2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a-2)(a^2 + 2a + 4)$.

Подставим это выражение в числитель дроби и выполним преобразования:

$\frac{a^3 - 8}{a - 2} + 2a = \frac{(a-2)(a^2 + 2a + 4)}{a-2} + 2a$

Сократим дробь на $(a-2)$, при условии, что $a-2 \neq 0$:

$(a^2 + 2a + 4) + 2a = a^2 + 2a + 4 + 2a = a^2 + 4a + 4$

Полученное выражение является формулой квадрата суммы: $a^2 + 4a + 4 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a+2)^2$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой: $(a+2)^2 = (a+2)^2$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

Укажите допустимые значения переменной и решите уравнение:

42.20 а) $\frac{x^2 + 3x}{x} = 0;$

б) $\frac{x^2 - 100}{x + 10} = 0;$

в) $\frac{x^2 - 2x}{x - 2} = 0;$

г) $\frac{4x^2 - 25}{2x - 5} = 0.$

а) $\frac{x^2 + 3x}{x} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Найдем допустимые значения переменной. Знаменатель не может быть равен нулю:

$x \neq 0$.

Это область допустимых значений (ОДЗ).

2. Приравняем числитель к нулю и решим полученное уравнение:

$x^2 + 3x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 3) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ или $x_2 = -3$.

3. Проверим, принадлежат ли корни области допустимых значений.

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию ОДЗ ($x \neq 0$), поэтому он является посторонним корнем.

Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет условию ОДЗ ($-3 \neq 0$).

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: $x = -3$.

б) $\frac{x^2 - 100}{x + 10} = 0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

1. Найдем допустимые значения переменной (ОДЗ):

$x + 10 \neq 0$

$x \neq -10$.

2. Решим уравнение, приравняв числитель к нулю:

$x^2 - 100 = 0$

Используем формулу разности квадратов: $(x - 10)(x + 10) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 10$ или $x_2 = -10$.

3. Проверим корни на соответствие ОДЗ.

Корень $x_1 = 10$ удовлетворяет условию $x \neq -10$.

Корень $x_2 = -10$ не удовлетворяет условию ОДЗ, значит, это посторонний корень.

Таким образом, решением является только один корень.

Ответ: $x = 10$.

в) $\frac{x^2 - 2x}{x - 2} = 0$

Равенство верно, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием:

$x - 2 \neq 0$

$x \neq 2$.

2. Найдем корни, приравняв числитель к нулю:

$x^2 - 2x = 0$

$x(x - 2) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ или $x_2 = 2$.

3. Соотнесем корни с ОДЗ.

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $x \neq 2$.

Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию ОДЗ и является посторонним.

Следовательно, уравнение имеет одно решение.

Ответ: $x = 0$.

г) $\frac{4x^2 - 25}{2x - 5} = 0$

Дробное выражение равно нулю, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$2x - 5 \neq 0$

$2x \neq 5$

$x \neq \frac{5}{2}$

2. Решим уравнение, приравняв числитель к нулю:

$4x^2 - 25 = 0$

Применим формулу разности квадратов: $(2x)^2 - 5^2 = 0$.

$(2x - 5)(2x + 5) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня:

$2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x_1 = \frac{5}{2}$

$2x + 5 = 0 \implies 2x = -5 \implies x_2 = -\frac{5}{2}$

3. Проверим найденные корни.

Корень $x_1 = \frac{5}{2}$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq \frac{5}{2}$. Это посторонний корень.

Корень $x_2 = -\frac{5}{2}$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-\frac{5}{2} \neq \frac{5}{2}$.

Следовательно, у уравнения один корень.

Ответ: $x = -\frac{5}{2}$.

42.21 а) $\frac{x^3 - 2x^2}{x} = 0;$

б) $\frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} = 0;$

В) $\frac{x(x - 1)^3}{x^2 - 2x + 1} = 0;$

Г) $\frac{(9x^2 - 6x + 1)(x + 2)}{3x - 1} = 0.$

а) Дано уравнение $\frac{x^3 - 2x^2}{x} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^3 - 2x^2 = 0, \\ x \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы, вынеся общий множитель за скобки:

$x^2(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня:

$x^2 = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \neq 0$.

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию, поэтому он является посторонним корнем.

Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет условию ($2 \neq 0$).

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $2$.

б) Дано уравнение $\frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} = 0$.

Уравнение эквивалентно системе:

$\begin{cases} x^2 + 2x + 1 = 0, \\ x + 1 \neq 0. \end{cases}$

Из второго условия находим область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq -1$.

Решим первое уравнение системы. Выражение в числителе является полным квадратом суммы:

$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$

Тогда уравнение принимает вид:

$(x + 1)^2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x = -1$

Сравним полученный корень с ОДЗ. Корень $x = -1$ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, у уравнения нет решений.

Ответ: корней нет.

в) Дано уравнение $\frac{x(x - 1)^3}{x^2 - 2x + 1} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x(x - 1)^3 = 0, \\ x^2 - 2x + 1 \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$x(x - 1)^3 = 0$

Получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$(x - 1)^3 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$

Теперь рассмотрим условие для знаменателя (ОДЗ). Выражение в знаменателе является полным квадратом разности:

$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$

Значит, условие $x^2 - 2x + 1 \neq 0$ равносильно условию $(x-1)^2 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.

Проверим найденные корни. Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ ($0 \neq 1$).

Корень $x_2 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, значит, это посторонний корень.

Таким образом, единственным решением является $x=0$.

Ответ: $0$.

г) Дано уравнение $\frac{(9x^2 - 6x + 1)(x + 2)}{3x - 1} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} (9x^2 - 6x + 1)(x + 2) = 0, \\ 3x - 1 \neq 0. \end{cases}$

Из второго условия найдем ОДЗ: $3x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{3}$.

Решим первое уравнение системы. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$9x^2 - 6x + 1 = 0$ или $x + 2 = 0$

Рассмотрим первое уравнение: $9x^2 - 6x + 1 = 0$. Это формула квадрата разности:

$(3x - 1)^2 = 0$

$3x - 1 = 0$

$x_1 = \frac{1}{3}$

Рассмотрим второе уравнение:

$x + 2 = 0$

$x_2 = -2$

Мы получили два потенциальных корня: $x_1 = \frac{1}{3}$ и $x_2 = -2$.

Проверим их на соответствие ОДЗ ($x \neq \frac{1}{3}$).

Корень $x_1 = \frac{1}{3}$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним.

Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ ($-2 \neq \frac{1}{3}$).

Следовательно, уравнение имеет только один корень.

Ответ: $-2$.

42.22 Постройте график уравнения:

а) $ \frac{x^2 - y^2}{x+y} = 0; $

б) $ \frac{2x^2 + xy}{x} = 0. $

а) Чтобы построить график уравнения $\frac{x^2 - y^2}{x + y} = 0$, необходимо найти все точки $(x, y)$, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это приводит к системе условий: $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 0, \\ x + y \neq 0. \end{cases} $$ 1. Решим первое уравнение: $x^2 - y^2 = 0$. Это разность квадратов, которую можно разложить на множители: $(x - y)(x + y) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, $x - y = 0$ или $x + y = 0$. Это дает нам два уравнения прямых: $y = x$ и $y = -x$. Графиком уравнения $x^2 - y^2 = 0$ является пара пересекающихся прямых.
2. Учтем второе условие (область допустимых значений, ОДЗ): $x + y \neq 0$, что равносильно $y \neq -x$. Это условие означает, что точки, лежащие на прямой $y = -x$, не могут быть решениями исходного уравнения. Таким образом, из совокупности решений ($y = x$ и $y = -x$) мы должны исключить все точки прямой $y = -x$. В результате остается только прямая $y = x$.
3. Проверим, все ли точки прямой $y=x$ удовлетворяют ОДЗ $y \neq -x$. Найдем точку пересечения прямых $y=x$ и $y=-x$: $x = -x \implies 2x = 0 \implies x = 0$. При $x=0$, $y=0$. Точка пересечения — $(0,0)$. В этой точке знаменатель исходной дроби $x+y$ обращается в ноль ($0+0=0$), что недопустимо. Следовательно, точку $(0,0)$ необходимо исключить из графика.
Итоговый график — это прямая $y=x$ с "выколотой" точкой в начале координат.

Ответ: Графиком уравнения является прямая $y=x$ с выколотой точкой $(0,0)$.

б) Чтобы построить график уравнения $\frac{2x^2 + xy}{x} = 0$, так же, как и в предыдущем пункте, составим систему условий: $$ \begin{cases} 2x^2 + xy = 0, \\ x \neq 0. \end{cases} $$ 1. Решим первое уравнение: $2x^2 + xy = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(2x + y) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, $x = 0$ или $2x + y = 0$. Это дает нам уравнение прямой $x=0$ (ось OY) и уравнение прямой $y = -2x$.
2. Учтем второе условие (ОДЗ): $x \neq 0$. Это условие означает, что точки, у которых абсцисса равна нулю, не могут быть решениями. Таким образом, вся прямая $x=0$ (ось OY) должна быть исключена из множества решений. Остается только прямая $y = -2x$.
3. Проверим, все ли точки прямой $y = -2x$ удовлетворяют ОДЗ $x \neq 0$. Найдем на прямой $y=-2x$ точку, для которой $x=0$: Если $x=0$, то $y = -2 \cdot 0 = 0$. Это точка $(0,0)$. Поскольку ОДЗ требует, чтобы $x \neq 0$, мы должны исключить эту точку из графика.
Итоговый график — это прямая $y=-2x$ с "выколотой" точкой в начале координат.

Ответ: Графиком уравнения является прямая $y=-2x$ с выколотой точкой $(0,0)$.

Вычислите среднее следующих рядов чисел.

43.1

а) 3; 7;

б) 3; 17;

в) 13; 17;

г) 33; 77.

Чтобы вычислить среднее арифметическое для ряда чисел, необходимо сложить все числа в этом ряду и разделить полученную сумму на их количество.

В каждом из предложенных рядов содержится по два числа. Формула для нахождения среднего арифметического $m$ для двух чисел $a$ и $b$ выглядит следующим образом:

$m = (a + b) / 2$

а) Для ряда чисел 3; 7:

Подставляем значения в формулу:

$m = (3 + 7) / 2 = 10 / 2 = 5$.

Ответ: 5

б) Для ряда чисел 3; 17:

Подставляем значения в формулу:

$m = (3 + 17) / 2 = 20 / 2 = 10$.

Ответ: 10

в) Для ряда чисел 13; 17:

Подставляем значения в формулу:

$m = (13 + 17) / 2 = 30 / 2 = 15$.

Ответ: 15

г) Для ряда чисел 33; 77:

Подставляем значения в формулу:

$m = (33 + 77) / 2 = 110 / 2 = 55$.

Ответ: 55

43.2 a) $-1, -3, -5, 2, 4;$

В) $-1, -3, -5, -2, 4;$

б) $1, -3, -5, -2, 4;$

Г) $1, 3, 5, -2, -4.$

Так как условие задачи в изображении отсутствует, для выбора правильного варианта ответа необходимо проанализировать структуру предложенных числовых последовательностей. Во всех вариантах представлены наборы из пяти различных целых чисел, причем набор их абсолютных величин одинаков: $\{1, 2, 3, 4, 5\}$. Это позволяет предположить, что задача заключается в поиске набора чисел, удовлетворяющего некоторым специфическим условиям, которыми не обладают остальные.

Выдвинем гипотезу, что искомый набор чисел должен обладать следующим свойством: как положительные, так и отрицательные числа в наборе, если их рассматривать по модулю, образуют арифметические прогрессии. Проанализируем каждый вариант на соответствие этому свойству.

Последовательность: $-1, -3, -5, 2, 4$.

Положительные числа: $\{2, 4\}$. Их модули $\{2, 4\}$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=2$.

Отрицательные числа: $\{-1, -3, -5\}$. Их модули $\{1, 3, 5\}$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=2$.

Следовательно, данный вариант удовлетворяет предполагаемому свойству.

Последовательность: $1, -3, -5, -2, 4$.

Положительные числа: $\{1, 4\}$. Их модули $\{1, 4\}$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=3$.

Отрицательные числа: $\{-3, -5, -2\}$. Их модули, упорядоченные по возрастанию, $\{2, 3, 5\}$ не образуют арифметическую прогрессию, так как разности между соседними членами не равны: $3-2=1$, а $5-3=2$.

Следовательно, данный вариант не удовлетворяет предполагаемому свойству.

Последовательность: $-1, -3, -5, -2, 4$.

Положительные числа: $\{4\}$. Набор из одного числа можно считать тривиальной арифметической прогрессией.

Отрицательные числа: $\{-1, -3, -5, -2\}$. Их модули, упорядоченные по возрастанию, $\{1, 2, 3, 5\}$ не образуют арифметическую прогрессию, так как разности между соседними членами не равны: $2-1=1$, $3-2=1$, а $5-3=2$.

Следовательно, данный вариант не удовлетворяет предполагаемому свойству.

Последовательность: $1, 3, 5, -2, -4$.

Положительные числа: $\{1, 3, 5\}$. Их модули $\{1, 3, 5\}$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=2$.

Отрицательные числа: $\{-2, -4\}$. Их модули $\{2, 4\}$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $d=2$.

Следовательно, данный вариант также удовлетворяет предполагаемому свойству.

Итак, два варианта, а) и г), удовлетворяют свойству разделения на две арифметические прогрессии. Для окончательного выбора, вероятно, необходимо дополнительное условие. Часто в подобных задачах (например, при поиске корней многочлена) присутствует условие, связанное с их суммой. Предположим, что в условии задачи также требуется, чтобы сумма всех чисел в последовательности была положительной.

Вычислим суммы для вариантов а) и г):

Сумма для варианта а): $(-1) + (-3) + (-5) + 2 + 4 = -3$.

Сумма для варианта г): $1 + 3 + 5 + (-2) + (-4) = 3$.

Только вариант г) имеет положительную сумму. Таким образом, совокупность двух разумных предположений о скрытых условиях задачи однозначно указывает на вариант г) как на правильный ответ.

Ответ: г)