Страница 180, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

4. Может ли в результате сокращения алгебраической дроби в ответе получиться одночлен? число?

Да, в результате сокращения алгебраической дроби может получиться и одночлен, и число. Число является частным случаем одночлена (одночлен нулевой степени). Рассмотрим оба варианта подробно.

Может ли в результате сокращения алгебраической дроби в ответе получиться одночлен?

Да, может. Алгебраическая дробь — это отношение двух многочленов $\frac{P}{Q}$, где $Q \neq 0$. Одночлен — это выражение, представляющее собой произведение числа (коэффициента) и переменных в натуральных степенях.

Чтобы в результате сокращения получился одночлен, необходимо, чтобы после разложения числителя и знаменателя на множители все множители знаменателя сократились с соответствующими множителями в числителе, а оставшееся выражение в числителе было одночленом.

Рассмотрим пример. Пусть дана алгебраическая дробь $\frac{8x^3-16x^2}{x-2}$.

Сначала разложим числитель на множители. Вынесем общий множитель $8x^2$ за скобки:

$8x^3-16x^2 = 8x^2(x-2)$.

Теперь подставим это выражение обратно в дробь и выполним сокращение. Сокращение возможно при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $x-2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

$\frac{8x^2(x-2)}{x-2} = 8x^2$.

Полученное выражение $8x^2$ является одночленом, где 8 — коэффициент, $x$ — переменная, 2 — степень.

Ответ: да, может.

Может ли в результате сокращения алгебраической дроби в ответе получиться число?

Да, может. Как уже было сказано, число — это частный случай одночлена, не содержащего переменных (или, что то же самое, все переменные возведены в нулевую степень). Это происходит, когда числитель можно представить как произведение некоторого числа и выражения, полностью совпадающего со знаменателем.

Рассмотрим пример. Возьмем алгебраическую дробь $\frac{5a-10}{a-2}$.

Разложим числитель на множители, вынеся за скобки числовой множитель 5:

$5a-10 = 5(a-2)$.

Теперь сократим дробь, учитывая область допустимых значений ($a-2 \neq 0$, то есть $a \neq 2$):

$\frac{5(a-2)}{a-2} = 5$.

В результате сокращения дроби получилось число 5.

Ответ: да, может.

5. Приведите пример алгебраической дроби, в результате сокращения которой получается двучлен.

Чтобы составить пример алгебраической дроби, в результате сокращения которой получается двучлен, необходимо выполнить обратную операцию: взять любой двучлен и умножить его числитель (сам двучлен) и знаменатель (который равен 1) на один и тот же ненулевой многочлен или одночлен.

Рассмотрим пошаговое построение примера.

1. Выберем двучлен, который мы хотим получить в итоге. Пусть это будет двучлен $x - 3$.

2. Выберем простой множитель, на который мы "доумножим" дробь. Пусть это будет одночлен $2x$.

3. Теперь создадим новую дробь. Числителем будет произведение нашего двучлена и выбранного множителя:
$(x - 3) \cdot 2x = 2x^2 - 6x$.

4. Знаменателем будет сам множитель $2x$.

Таким образом, мы получаем алгебраическую дробь:
$\frac{2x^2 - 6x}{2x}$

Теперь выполним проверку и сократим полученную дробь. Для этого вынесем общий множитель в числителе за скобки:
$\frac{2x(x - 3)}{2x}$

Сократим общий множитель $2x$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \neq 0$):
$\frac{\cancel{2x}(x - 3)}{\cancel{2x}} = x - 3$

В результате сокращения мы получили двучлен $x - 3$, что соответствует поставленной задаче.

Существует бесконечное множество таких примеров. Другой классический пример основан на формуле разности квадратов:

$\frac{a^2 - b^2}{a + b} = \frac{(a - b)(a + b)}{a + b} = a - b$

Здесь в результате сокращения дроби $\frac{a^2 - b^2}{a + b}$ получается двучлен $a - b$.

Ответ: $\frac{2x^2 - 6x}{2x}$ (или, например, $\frac{a^2 - b^2}{a + b}$).

41.23 a) $$$\frac{3x^2 - 6xy + 3y^2}{6x^2 - 6y^2}$$$

Б) $$$\frac{m^2 + 6mn + 9n^2}{4m^2 + 12mn}$$$

В) $$$\frac{40c^2 - 10d^2}{20c^2 + 20cd + 5d^2}$$$

Г) $$$\frac{4n^2 - 4n + 1}{2n - 4n^2}$$$

а) Чтобы сократить дробь $\frac{3x^2 - 6xy + 3y^2}{6x^2 - 6y^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки: $3x^2 - 6xy + 3y^2 = 3(x^2 - 2xy + y^2)$.
Выражение в скобках является формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Следовательно, числитель равен $3(x - y)^2$.
В знаменателе вынесем общий множитель 6 за скобки: $6x^2 - 6y^2 = 6(x^2 - y^2)$.
Выражение в скобках является формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Следовательно, знаменатель равен $6(x - y)(x + y)$.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь и сократим общие множители:
$\frac{3(x - y)^2}{6(x - y)(x + y)} = \frac{3(x - y)(x - y)}{6(x - y)(x + y)} = \frac{x - y}{2(x + y)}$.
Ответ: $\frac{x - y}{2(x + y)}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{m^2 + 6mn + 9n^2}{4m^2 + 12mn}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $m^2 + 6mn + 9n^2$ является формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=m$ и $b=3n$.
Следовательно, числитель равен $(m + 3n)^2$.
В знаменателе $4m^2 + 12mn$ вынесем общий множитель $4m$ за скобки.
Знаменатель равен $4m(m + 3n)$.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим:
$\frac{(m + 3n)^2}{4m(m + 3n)} = \frac{(m + 3n)(m + 3n)}{4m(m + 3n)} = \frac{m + 3n}{4m}$.
Ответ: $\frac{m + 3n}{4m}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{40c^2 - 10d^2}{20c^2 + 20cd + 5d^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель 10: $10(4c^2 - d^2)$.
Выражение в скобках является разностью квадратов: $4c^2 - d^2 = (2c)^2 - d^2 = (2c - d)(2c + d)$.
Таким образом, числитель равен $10(2c - d)(2c + d)$.
В знаменателе вынесем общий множитель 5: $5(4c^2 + 4cd + d^2)$.
Выражение в скобках является квадратом суммы: $4c^2 + 4cd + d^2 = (2c)^2 + 2(2c)(d) + d^2 = (2c + d)^2$.
Таким образом, знаменатель равен $5(2c + d)^2$.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим:
$\frac{10(2c - d)(2c + d)}{5(2c + d)^2} = \frac{10(2c - d)(2c + d)}{5(2c + d)(2c + d)} = \frac{2(2c - d)}{2c + d}$.
Ответ: $\frac{2(2c - d)}{2c + d}$

г) Чтобы сократить дробь $\frac{4n^2 - 4n + 1}{2n - 4n^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $4n^2 - 4n + 1$ является формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=2n$ и $b=1$.
Следовательно, числитель равен $(2n - 1)^2$.
В знаменателе $2n - 4n^2$ вынесем общий множитель $2n$: $2n(1 - 2n)$.
Чтобы получить множитель, совпадающий с числителем, вынесем $-2n$: $-2n(-1 + 2n) = -2n(2n - 1)$.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим:
$\frac{(2n - 1)^2}{-2n(2n - 1)} = \frac{2n - 1}{-2n} = -\frac{2n - 1}{2n} = \frac{-(2n - 1)}{2n} = \frac{1 - 2n}{2n}$.
Ответ: $\frac{1 - 2n}{2n}$

41.24 a) $\frac{(a^2 - b^2)^2}{a^2 + 2ab + b^2}$;

б) $\frac{7x^2 y^2 - 14xy^3 + 7y^4}{x^4 - 2x^2 y^2 + y^4}$;

в) $\frac{p^2 - 2pq + q^2}{(q^2 - p^2)^2}$;

г) $\frac{m^4 - 2m^2 n^2 + n^4}{6m^3 n + 12m^2 n^2 + 6n^3 m}$.

а)

Чтобы упростить выражение $ \frac{(a^2 - b^2)^2}{a^2 + 2ab + b^2} $, разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель представляет собой квадрат разности квадратов. Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ (a^2 - b^2)^2 = ((a-b)(a+b))^2 = (a-b)^2(a+b)^2 $

Знаменатель $ a^2 + 2ab + b^2 $ является полным квадратом суммы: $ (a+b)^2 $.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$ \frac{(a-b)^2(a+b)^2}{(a+b)^2} $

Сократим общий множитель $ (a+b)^2 $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ a+b \neq 0 $).

В результате получаем:

$ (a-b)^2 $

Ответ: $ (a-b)^2 $

б)

Упростим выражение $ \frac{7x^2y^2 - 14xy^3 + 7y^4}{x^4 - 2x^2y^2 + y^4} $.

Сначала разложим на множители числитель. Вынесем за скобки общий множитель $ 7y^2 $:

$ 7x^2y^2 - 14xy^3 + 7y^4 = 7y^2(x^2 - 2xy + y^2) $

Выражение в скобках $ x^2 - 2xy + y^2 $ — это квадрат разности, то есть $ (x-y)^2 $. Таким образом, числитель равен $ 7y^2(x-y)^2 $.

Теперь разложим на множители знаменатель. Выражение $ x^4 - 2x^2y^2 + y^4 $ является квадратом разности выражений $ x^2 $ и $ y^2 $:

$ x^4 - 2x^2y^2 + y^4 = (x^2 - y^2)^2 $

Применив формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $ к выражению в скобках, получим:

$ (x^2 - y^2)^2 = ((x-y)(x+y))^2 = (x-y)^2(x+y)^2 $

Подставим разложенные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{7y^2(x-y)^2}{(x-y)^2(x+y)^2} $

Сократим дробь на общий множитель $ (x-y)^2 $ (при условии, что $ x \neq y $):

$ \frac{7y^2}{(x+y)^2} $

Ответ: $ \frac{7y^2}{(x+y)^2} $

в)

Упростим выражение $ \frac{p^2 - 2pq + q^2}{(q^2 - p^2)^2} $.

Числитель $ p^2 - 2pq + q^2 $ является формулой квадрата разности: $ (p-q)^2 $.

В знаменателе $ (q^2 - p^2)^2 $ сначала разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов $ q^2 - p^2 = (q-p)(q+p) $:

$ (q^2 - p^2)^2 = ((q-p)(q+p))^2 = (q-p)^2(q+p)^2 $

Подставим разложенные выражения в дробь:

$ \frac{(p-q)^2}{(q-p)^2(q+p)^2} $

Так как $ (p-q)^2 = (-(q-p))^2 = (-1)^2(q-p)^2 = (q-p)^2 $, мы можем заменить $ (p-q)^2 $ на $ (q-p)^2 $:

$ \frac{(q-p)^2}{(q-p)^2(q+p)^2} $

Сократим общий множитель $ (q-p)^2 $ (при условии, что $ q \neq p $):

$ \frac{1}{(q+p)^2} $

Ответ: $ \frac{1}{(p+q)^2} $

г)

Упростим выражение $ \frac{m^4 - 2m^2n^2 + n^4}{6m^3n + 12m^2n^2 + 6n^3m} $.

Числитель $ m^4 - 2m^2n^2 + n^4 $ является квадратом разности выражений $ m^2 $ и $ n^2 $: $ (m^2 - n^2)^2 $. Разложим его дальше по формуле разности квадратов:

$ (m^2 - n^2)^2 = ((m-n)(m+n))^2 = (m-n)^2(m+n)^2 $

В знаменателе $ 6m^3n + 12m^2n^2 + 6n^3m $ вынесем за скобки общий множитель $ 6mn $:

$ 6mn(m^2 + 2mn + n^2) $

Выражение в скобках $ m^2 + 2mn + n^2 $ является квадратом суммы: $ (m+n)^2 $. Таким образом, знаменатель равен $ 6mn(m+n)^2 $.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$ \frac{(m-n)^2(m+n)^2}{6mn(m+n)^2} $

Сократим дробь на общий множитель $ (m+n)^2 $ (при условии, что $ m+n \neq 0 $, а также $ m \neq 0, n \neq 0 $):

$ \frac{(m-n)^2}{6mn} $

Ответ: $ \frac{(m-n)^2}{6mn} $

41.25 a) $\frac{1-c^2}{1-c^3}$;

б) $\frac{8t^3+125}{4t^2-25}$;

В) $\frac{b^2-4}{b^3-8}$;

Г) $\frac{16z^2-9}{27-64z^3}$.

а)

Для сокращения дроби $\frac{1 - c^2}{1 - c^3}$ разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.
Числитель $1 - c^2$ является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$1 - c^2 = 1^2 - c^2 = (1 - c)(1 + c)$.
Знаменатель $1 - c^3$ является разностью кубов. Применим формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$1 - c^3 = 1^3 - c^3 = (1 - c)(1^2 + 1 \cdot c + c^2) = (1 - c)(1 + c + c^2)$.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{1 - c^2}{1 - c^3} = \frac{(1 - c)(1 + c)}{(1 - c)(1 + c + c^2)}$.
Сократим общий множитель $(1 - c)$ (при условии $1 - c \neq 0$, то есть $c \neq 1$):
$\frac{\sout{(1 - c)}(1 + c)}{\sout{(1 - c)}(1 + c + c^2)} = \frac{1 + c}{1 + c + c^2}$.

Ответ: $\frac{1 + c}{1 + c + c^2}$.

б)

Для сокращения дроби $\frac{8t^3 + 125}{4t^2 - 25}$ разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $8t^3 + 125$ является суммой кубов. Представим его как $(2t)^3 + 5^3$ и применим формулу $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:
$8t^3 + 125 = (2t)^3 + 5^3 = (2t + 5)((2t)^2 - 2t \cdot 5 + 5^2) = (2t + 5)(4t^2 - 10t + 25)$.
Знаменатель $4t^2 - 25$ является разностью квадратов. Представим его как $(2t)^2 - 5^2$ и применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$4t^2 - 25 = (2t)^2 - 5^2 = (2t - 5)(2t + 5)$.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{8t^3 + 125}{4t^2 - 25} = \frac{(2t + 5)(4t^2 - 10t + 25)}{(2t - 5)(2t + 5)}$.
Сократим общий множитель $(2t + 5)$ (при условии $2t + 5 \neq 0$, то есть $t \neq -2.5$):
$\frac{\sout{(2t + 5)}(4t^2 - 10t + 25)}{(2t - 5)\sout{(2t + 5)}} = \frac{4t^2 - 10t + 25}{2t - 5}$.

Ответ: $\frac{4t^2 - 10t + 25}{2t - 5}$.

в)

Для сокращения дроби $\frac{b^2 - 4}{b^3 - 8}$ разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $b^2 - 4$ является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$b^2 - 4 = b^2 - 2^2 = (b - 2)(b + 2)$.
Знаменатель $b^3 - 8$ является разностью кубов. Применим формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$b^3 - 8 = b^3 - 2^3 = (b - 2)(b^2 + b \cdot 2 + 2^2) = (b - 2)(b^2 + 2b + 4)$.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{b^2 - 4}{b^3 - 8} = \frac{(b - 2)(b + 2)}{(b - 2)(b^2 + 2b + 4)}$.
Сократим общий множитель $(b - 2)$ (при условии $b - 2 \neq 0$, то есть $b \neq 2$):
$\frac{\sout{(b - 2)}(b + 2)}{\sout{(b - 2)}(b^2 + 2b + 4)} = \frac{b + 2}{b^2 + 2b + 4}$.

Ответ: $\frac{b + 2}{b^2 + 2b + 4}$.

г)

Для сокращения дроби $\frac{16z^2 - 9}{27 - 64z^3}$ разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $16z^2 - 9$ является разностью квадратов. Представим его как $(4z)^2 - 3^2$ и применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$16z^2 - 9 = (4z - 3)(4z + 3)$.
Знаменатель $27 - 64z^3$ является разностью кубов. Представим его как $3^3 - (4z)^3$ и применим формулу $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$27 - 64z^3 = (3 - 4z)(3^2 + 3 \cdot 4z + (4z)^2) = (3 - 4z)(9 + 12z + 16z^2)$.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{16z^2 - 9}{27 - 64z^3} = \frac{(4z - 3)(4z + 3)}{(3 - 4z)(9 + 12z + 16z^2)}$.
Заметим, что множитель в знаменателе $(3 - 4z)$ можно представить как $-(4z - 3)$.
$\frac{(4z - 3)(4z + 3)}{-(4z - 3)(9 + 12z + 16z^2)}$.
Сократим общий множитель $(4z - 3)$ (при условии $4z - 3 \neq 0$, то есть $z \neq \frac{3}{4}$):
$\frac{\sout{(4z - 3)}(4z + 3)}{-\sout{(4z - 3)}(9 + 12z + 16z^2)} = \frac{4z + 3}{-(9 + 12z + 16z^2)} = -\frac{4z + 3}{16z^2 + 12z + 9}$.

Ответ: $-\frac{4z + 3}{16z^2 + 12z + 9}$.

41.26 a) $\frac{3qp^2 - 27q}{27q - p^3q}$;

Б) $\frac{x^6 - y^6}{x^3 + y^3}$;

В) $\frac{8mn^2 - 2m}{8mn^4 + mn}$;

Г) $\frac{y^6 + y^3}{y^6 - 1}$.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{3qp^2 - 27q}{27q - p^3q}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе вынесем общий множитель $3q$ за скобки: $3qp^2 - 27q = 3q(p^2 - 9)$. Выражение в скобках является разностью квадратов $p^2 - 3^2$, которую можно разложить как $(p-3)(p+3)$. Таким образом, числитель равен $3q(p-3)(p+3)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $q$ за скобки: $27q - p^3q = q(27 - p^3)$. Выражение в скобках является разностью кубов $3^3 - p^3$, которую можно разложить как $(3-p)(3^2 + 3p + p^2) = (3-p)(9+3p+p^2)$. Таким образом, знаменатель равен $q(3-p)(9+3p+p^2)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь: $\frac{3q(p-3)(p+3)}{q(3-p)(9+3p+p^2)}$.

Заметим, что $(p-3) = -(3-p)$. Заменим это в числителе: $\frac{3q(-(3-p))(p+3)}{q(3-p)(9+3p+p^2)}$.

Сократим общие множители $q$ и $(3-p)$. Получим: $\frac{-3(p+3)}{9+3p+p^2}$.

Ответ: $-\frac{3(p+3)}{p^2+3p+9}$

б) Чтобы упростить выражение $\frac{x^6 - y^6}{x^3 + y^3}$, разложим на множители числитель.

Числитель $x^6 - y^6$ можно представить как разность квадратов, так как $x^6 = (x^3)^2$ и $y^6 = (y^3)^2$.

Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем: $x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$.

Подставим это выражение в дробь: $\frac{(x^3 - y^3)(x^3 + y^3)}{x^3 + y^3}$.

Сократим общий множитель $(x^3 + y^3)$ в числителе и знаменателе.

В результате остается: $x^3 - y^3$.

Ответ: $x^3 - y^3$

в) Чтобы упростить выражение $\frac{8mn^2 - 2m}{8mn^4 + mn}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе вынесем общий множитель $2m$: $8mn^2 - 2m = 2m(4n^2 - 1)$. Выражение $4n^2-1$ является разностью квадратов $(2n)^2-1^2$, которая раскладывается как $(2n-1)(2n+1)$. Числитель: $2m(2n-1)(2n+1)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $mn$: $8mn^4 + mn = mn(8n^3 + 1)$. Выражение $8n^3+1$ является суммой кубов $(2n)^3+1^3$, которая раскладывается по формуле $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ как $(2n+1)((2n)^2 - 2n \cdot 1 + 1^2) = (2n+1)(4n^2-2n+1)$. Знаменатель: $mn(2n+1)(4n^2-2n+1)$.

Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{2m(2n-1)(2n+1)}{mn(2n+1)(4n^2-2n+1)}$.

Сократим общие множители $m$ и $(2n+1)$. Получим: $\frac{2(2n-1)}{n(4n^2-2n+1)}$.

Ответ: $\frac{2(2n-1)}{n(4n^2-2n+1)}$

г) Чтобы упростить выражение $\frac{y^6 + y^3}{y^6 - 1}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе вынесем общий множитель $y^3$ за скобки: $y^6 + y^3 = y^3(y^3 + 1)$.

Знаменатель $y^6 - 1$ представим как разность квадратов $(y^3)^2 - 1^2$. Используя формулу разности квадратов, получим: $(y^3-1)(y^3+1)$.

Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{y^3(y^3+1)}{(y^3-1)(y^3+1)}$.

Сократим общий множитель $(y^3+1)$ в числителе и знаменателе.

В результате остается: $\frac{y^3}{y^3-1}$.

Ответ: $\frac{y^3}{y^3-1}$

Найдите значение алгебраической дроби, предварительно сократив её:

41.27 а) $ \frac{a^2 - 2a}{6 - 3a} $ при $a = -108$;

б) $ \frac{3b^2 + 9b}{b^2 - 9} $ при $b = 3,1$;

в) $ \frac{c^2 + 4c}{12 + 3c} $ при $c = 24$;

г) $ \frac{x^2 - 9}{3x^2 + x^3} $ при $x = 3$.

а) Сначала сократим данную алгебраическую дробь. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a^2 - 2a = a(a - 2)$. В знаменателе вынесем общий множитель 3 за скобки: $6 - 3a = 3(2 - a)$. Исходная дробь примет вид: $\frac{a(a - 2)}{3(2 - a)}$. Заметим, что выражения в скобках $(a - 2)$ и $(2 - a)$ являются противоположными, то есть $(2 - a) = -(a - 2)$. Перепишем дробь: $\frac{a(a - 2)}{3(-(a - 2))}$. Сократим дробь на общий множитель $(a - 2)$, при условии, что $a \neq 2$: $\frac{a}{-3} = -\frac{a}{3}$. Теперь подставим значение $a = -108$ в упрощенное выражение: $-\frac{-108}{3} = \frac{108}{3} = 36$. Ответ: 36

б) Сначала сократим дробь $\frac{3b^2 + 9b}{b^2 - 9}$. Разложим числитель на множители, вынеся за скобки общий множитель $3b$: $3b^2 + 9b = 3b(b + 3)$. Разложим знаменатель по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $b^2 - 9 = b^2 - 3^2 = (b - 3)(b + 3)$. Дробь примет вид: $\frac{3b(b + 3)}{(b - 3)(b + 3)}$. Сократим на общий множитель $(b + 3)$, при условии, что $b \neq -3$: $\frac{3b}{b - 3}$. Теперь подставим значение $b = 3,1$ в полученное выражение: $\frac{3 \cdot 3,1}{3,1 - 3} = \frac{9,3}{0,1} = 93$. Ответ: 93

в) Упростим дробь $\frac{c^2 + 4c}{12 + 3c}$. В числителе вынесем за скобки общий множитель $c$: $c^2 + 4c = c(c + 4)$. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель 3: $12 + 3c = 3(4 + c)$. Дробь примет вид: $\frac{c(c + 4)}{3(4 + c)}$. Сократим на общий множитель $(c + 4)$, так как $c+4 = 4+c$, при условии, что $c \neq -4$: $\frac{c}{3}$. Подставим значение $c = 24$ в упрощенное выражение: $\frac{24}{3} = 8$. Ответ: 8

г) Сократим дробь $\frac{x^2 - 9}{3x^2 + x^3}$. Разложим числитель по формуле разности квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. Разложим знаменатель, вынеся за скобки общий множитель $x^2$: $3x^2 + x^3 = x^2(3 + x)$. Дробь примет вид: $\frac{(x - 3)(x + 3)}{x^2(3 + x)}$. Сократим на общий множитель $(x + 3)$, так как $x+3 = 3+x$, при условии, что $x \neq -3$: $\frac{x - 3}{x^2}$. Подставим значение $x = 3$ в полученное выражение: $\frac{3 - 3}{3^2} = \frac{0}{9} = 0$. Ответ: 0

41.28 а) $ \frac{x+6}{x^2+12x+36} $ при $ x = 94; $

б) $ \frac{z^2-8z+16}{z^2-16} $ при $ z = -16; $

в) $ \frac{y^2-14y+49}{y-7} $ при $ y = -4; $

г) $ \frac{t^2-100}{t^2+20t+100} $ при $ t = -8. $

а) Найдем значение выражения $\frac{x + 6}{x^2 + 12x + 36}$ при $x = 94$.

Сначала упростим выражение. Знаменатель $x^2 + 12x + 36$ представляет собой полный квадрат. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 6$, так как $x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = x^2 + 12x + 36$.

Таким образом, знаменатель можно переписать как $(x+6)^2$.

Исходная дробь принимает вид: $\frac{x + 6}{(x+6)^2}$.

Сократим дробь на общий множитель $(x+6)$, поскольку при $x=94$ он не равен нулю. В результате получаем: $\frac{1}{x+6}$.

Теперь подставим значение $x = 94$ в упрощенное выражение:

$\frac{1}{94+6} = \frac{1}{100} = 0.01$.

Ответ: $0.01$

б) Найдем значение выражения $\frac{z^2 - 8z + 16}{z^2 - 16}$ при $z = -16$.

Сначала упростим дробь. Числитель $z^2 - 8z + 16$ является полным квадратом разности $(z-4)^2$ по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Знаменатель $z^2 - 16$ является разностью квадратов $z^2 - 4^2$, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получив $(z-4)(z+4)$.

Дробь принимает вид: $\frac{(z-4)^2}{(z-4)(z+4)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(z-4)$, так как при $z=-16$ он не равен нулю. Получаем: $\frac{z-4}{z+4}$.

Теперь подставим значение $z = -16$ в упрощенное выражение:

$\frac{-16-4}{-16+4} = \frac{-20}{-12} = \frac{20}{12} = \frac{5 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{5}{3}$.

Ответ: $\frac{5}{3}$

в) Найдем значение выражения $\frac{y^2 - 14y + 49}{y - 7}$ при $y = -4$.

Упростим выражение. Числитель $y^2 - 14y + 49$ является полным квадратом разности $(y-7)^2$ по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Выражение принимает вид: $\frac{(y-7)^2}{y-7}$.

Сократим дробь на $(y-7)$, так как при $y=-4$ этот множитель не равен нулю. В результате получаем: $y-7$.

Теперь подставим значение $y = -4$ в упрощенное выражение:

$-4 - 7 = -11$.

Ответ: $-11$

г) Найдем значение выражения $\frac{t^2 - 100}{t^2 + 20t + 100}$ при $t = -8$.

Упростим выражение. Числитель $t^2 - 100$ является разностью квадратов $t^2 - 10^2$. Разложим его на множители: $(t-10)(t+10)$.

Знаменатель $t^2 + 20t + 100$ является полным квадратом суммы $(t+10)^2$.

Теперь выражение принимает вид: $\frac{(t-10)(t+10)}{(t+10)^2}$.

Сократим дробь на общий множитель $(t+10)$, поскольку при $t=-8$ он не равен нулю. Получаем: $\frac{t-10}{t+10}$.

Теперь подставим значение $t = -8$ в упрощенное выражение:

$\frac{-8-10}{-8+10} = \frac{-18}{2} = -9$.

Ответ: $-9$