Страница 173, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Вычислите наиболее рациональным способом:

39.47 a) $\frac{53^2 + 22^2 - 47^2 - 16^2}{65^2 - 2 \cdot 65 \cdot 59 + 59^2}$;

б) $\frac{59^3 - 41^3}{18} + 59 \cdot 41$;

в) $\frac{109^2 - 2 \cdot 109 \cdot 61 + 61^2}{79^2 + 73^2 - 49^2 - 55^2}$;

г) $\frac{67^3 + 52^3}{119} - 67 \cdot 52$.

а) $ \frac{53^2 + 22^2 - 47^2 - 16^2}{65^2 - 2 \cdot 65 \cdot 59 + 59^2} $

Для решения применим формулы сокращенного умножения.

1. Упростим числитель. Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$ 53^2 + 22^2 - 47^2 - 16^2 = (53^2 - 47^2) + (22^2 - 16^2) = (53-47)(53+47) + (22-16)(22+16) $

Вычислим значения в скобках:

$ (6)(100) + (6)(38) = 600 + 228 = 828 $

2. Упростим знаменатель. Здесь используется формула квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $ a=65 $ и $ b=59 $:

$ 65^2 - 2 \cdot 65 \cdot 59 + 59^2 = (65-59)^2 = 6^2 = 36 $

3. Теперь разделим полученный числитель на знаменатель:

$ \frac{828}{36} = 23 $

Ответ: 23.

б) $ \frac{59^3 - 41^3}{18} + 59 \cdot 41 $

1. Рассмотрим числитель дроби. Это разность кубов, которая раскладывается по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$. В нашем случае $ a=59 $ и $ b=41 $.

$ 59^3 - 41^3 = (59-41)(59^2 + 59 \cdot 41 + 41^2) = 18 \cdot (59^2 + 59 \cdot 41 + 41^2) $

2. Подставим это выражение обратно в дробь и сократим:

$ \frac{18 \cdot (59^2 + 59 \cdot 41 + 41^2)}{18} = 59^2 + 59 \cdot 41 + 41^2 $

3. Теперь добавим оставшуюся часть исходного выражения:

$ (59^2 + 59 \cdot 41 + 41^2) + 59 \cdot 41 = 59^2 + 2 \cdot 59 \cdot 41 + 41^2 $

4. Полученное выражение является квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $ a=59 $ и $ b=41 $.

$ (59+41)^2 = 100^2 = 10000 $

Ответ: 10000.

в) $ \frac{109^2 - 2 \cdot 109 \cdot 61 + 61^2}{79^2 + 73^2 - 49^2 - 55^2} $

1. Упростим числитель. Выражение в числителе соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $ a=109 $ и $ b=61 $:

$ 109^2 - 2 \cdot 109 \cdot 61 + 61^2 = (109-61)^2 = 48^2 = 2304 $

2. Упростим знаменатель. Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$ 79^2 + 73^2 - 49^2 - 55^2 = (79^2 - 49^2) + (73^2 - 55^2) = (79-49)(79+49) + (73-55)(73+55) $

Вычислим значения:

$ (30)(128) + (18)(128) $

Вынесем общий множитель 128 за скобки:

$ (30+18) \cdot 128 = 48 \cdot 128 = 6144 $

3. Разделим числитель на знаменатель и сократим дробь:

$ \frac{2304}{6144} = \frac{48^2}{48 \cdot 128} = \frac{48}{128} = \frac{3 \cdot 16}{8 \cdot 16} = \frac{3}{8} $

Ответ: $ \frac{3}{8} $.

г) $ \frac{67^3 + 52^3}{119} - 67 \cdot 52 $

1. Рассмотрим числитель дроби. Это сумма кубов, которая раскладывается по формуле $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. В данном случае $ a=67 $ и $ b=52 $.

$ 67^3 + 52^3 = (67+52)(67^2 - 67 \cdot 52 + 52^2) $

Так как $ 67+52=119 $, получаем:

$ 119 \cdot (67^2 - 67 \cdot 52 + 52^2) $

2. Подставим это выражение в дробь и сократим:

$ \frac{119 \cdot (67^2 - 67 \cdot 52 + 52^2)}{119} = 67^2 - 67 \cdot 52 + 52^2 $

3. Теперь вычтем оставшуюся часть исходного выражения:

$ (67^2 - 67 \cdot 52 + 52^2) - 67 \cdot 52 = 67^2 - 2 \cdot 67 \cdot 52 + 52^2 $

4. Полученное выражение является квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $ a=67 $ и $ b=52 $.

$ (67-52)^2 = 15^2 = 225 $

Ответ: 225.

39.48 a) $\left(\frac{97^3 - 53^3}{44} + 97 \cdot 53\right) : (152,5^2 - 27,5^2);$

б) $(36,5^2 - 27,5^2) : \left(\frac{57^3 + 33^3}{90} - 57 \cdot 33\right);$

в) $\left(\frac{79^3 - 41^3}{38} + 79 \cdot 41\right) : (133,5^2 - 58,5^2);$

г) $(94,5^2 - 30,5^2) : \left(\frac{69^3 + 29^3}{98} - 69 \cdot 29\right).$

а) Для решения выражения $(\frac{97^3 - 53^3}{44} + 97 \cdot 53) : (152,5^2 - 27,5^2)$ воспользуемся формулами сокращенного умножения.
Упростим выражение в первых скобках. Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ к числителю дроби: $97^3 - 53^3 = (97-53)(97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2) = 44(97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2)$.
Тогда вся скобка равна: $\frac{44(97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2)}{44} + 97 \cdot 53 = (97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2) + 97 \cdot 53 = 97^2 + 2 \cdot 97 \cdot 53 + 53^2$.
Это формула квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Следовательно, выражение равно $(97+53)^2 = 150^2 = 22500$.
Упростим выражение во вторых скобках, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$152,5^2 - 27,5^2 = (152,5 - 27,5)(152,5 + 27,5) = 125 \cdot 180 = 22500$.
Выполним деление: $22500 : 22500 = 1$.
Ответ: 1

б) Решим выражение $(36,5^2 - 27,5^2) : (\frac{57^3 + 33^3}{90} - 57 \cdot 33)$.
Сначала преобразуем делимое, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$36,5^2 - 27,5^2 = (36,5 - 27,5)(36,5 + 27,5) = 9 \cdot 64 = 576$.
Теперь преобразуем делитель. Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ к числителю дроби: $57^3 + 33^3 = (57+33)(57^2 - 57 \cdot 33 + 33^2) = 90(57^2 - 57 \cdot 33 + 33^2)$.
Выражение в скобках равно: $\frac{90(57^2 - 57 \cdot 33 + 33^2)}{90} - 57 \cdot 33 = (57^2 - 57 \cdot 33 + 33^2) - 57 \cdot 33 = 57^2 - 2 \cdot 57 \cdot 33 + 33^2$.
Это формула квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Выражение равно $(57-33)^2 = 24^2 = 576$.
Выполним деление: $576 : 576 = 1$.
Ответ: 1

в) Решим выражение $(\frac{79^3 - 41^3}{38} + 79 \cdot 41) : (133,5^2 - 58,5^2)$.
Упростим первую скобку. По формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$: $79^3 - 41^3 = (79-41)(79^2 + 79 \cdot 41 + 41^2) = 38(79^2 + 79 \cdot 41 + 41^2)$.
Выражение в скобках равно: $\frac{38(79^2 + 79 \cdot 41 + 41^2)}{38} + 79 \cdot 41 = (79^2 + 79 \cdot 41 + 41^2) + 79 \cdot 41 = 79^2 + 2 \cdot 79 \cdot 41 + 41^2$.
По формуле квадрата суммы $(a+b)^2$: $(79+41)^2 = 120^2 = 14400$.
Упростим вторую скобку по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$133,5^2 - 58,5^2 = (133,5 - 58,5)(133,5 + 58,5) = 75 \cdot 192 = 14400$.
Выполним деление: $14400 : 14400 = 1$.
Ответ: 1

г) Решим выражение $(94,5^2 - 30,5^2) : (\frac{69^3 + 29^3}{98} - 69 \cdot 29)$.
Упростим делимое по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$94,5^2 - 30,5^2 = (94,5 - 30,5)(94,5 + 30,5) = 64 \cdot 125 = 8000$.
Упростим делитель. По формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$: $69^3 + 29^3 = (69+29)(69^2 - 69 \cdot 29 + 29^2) = 98(69^2 - 69 \cdot 29 + 29^2)$.
Выражение в скобках равно: $\frac{98(69^2 - 69 \cdot 29 + 29^2)}{98} - 69 \cdot 29 = (69^2 - 69 \cdot 29 + 29^2) - 69 \cdot 29 = 69^2 - 2 \cdot 69 \cdot 29 + 29^2$.
По формуле квадрата разности $(a-b)^2$: $(69-29)^2 = 40^2 = 1600$.
Выполним деление: $8000 : 1600 = 5$.
Ответ: 5

Замените символы * такими одночленами, чтобы выполнялось равенство:

а) Чтобы найти недостающий одночлен в выражении $a^2 + * + b^2 = (a + b)^2$, необходимо раскрыть скобки в правой части равенства, используя формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.

В данном случае $x=a$ и $y=b$. Применим формулу:

$(a + b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Теперь сравним полученное выражение с левой частью исходного равенства:

$a^2 + * + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Из сравнения очевидно, что одночлен, который нужно вставить вместо символа *, это $2ab$.

Ответ: $2ab$.

б) В равенстве $b^2 + 20b + * = (b + 10)^2$ также используется формула квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.

Здесь $x=b$ и $y=10$. Раскроем скобки в правой части:

$(b + 10)^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 10 + 10^2 = b^2 + 20b + 100$

Сравнивая левую и правую части исходного равенства:

$b^2 + 20b + * = b^2 + 20b + 100$

Видно, что недостающий одночлен — это $100$.

Ответ: $100$.

в) Для равенства $* - 56a + 49 = (4a - 7)^2$ воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

В этом выражении $x=4a$ и $y=7$. Раскроем скобки:

$(4a - 7)^2 = (4a)^2 - 2 \cdot 4a \cdot 7 + 7^2 = 16a^2 - 56a + 49$

Сравним полученный результат с левой частью исходного уравнения:

$* - 56a + 49 = 16a^2 - 56a + 49$

Следовательно, на месте символа * должен стоять одночлен $16a^2$.

Ответ: $16a^2$.

г) В выражении $* - 12c + * = (3c - 2)^2$ необходимо найти два одночлена. Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

В нашем случае $x=3c$ и $y=2$. Раскроем скобки в правой части:

$(3c - 2)^2 = (3c)^2 - 2 \cdot 3c \cdot 2 + 2^2 = 9c^2 - 12c + 4$

Теперь подставим это в исходное равенство:

$* - 12c + * = 9c^2 - 12c + 4$

Сопоставляя члены многочленов в левой и правой частях, мы видим, что первый символ * соответствует $9c^2$, а второй — $4$.

Ответ: первый * это $9c^2$, второй * это $4$.

39.50 а) $b^2 - 20b + * = (* - 10)^2;$

б) $* - 42pq + 49q^2 = (3p - *)^2;$

в) $25a^2 + * + \frac{1}{4}b^2 = (* + \frac{1}{2}b)^2;$

г) $0.01b^2 + * + 100c^2 = (0.1b + *)^2.$

а) Заданное равенство: $b^2 - 20b + * = (* - 10)^2$.
Это равенство основано на формуле квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Рассмотрим правую часть равенства: $(* - 10)^2$. Сравнивая ее с формулой, видим, что второй член в скобках $y = 10$.
Теперь раскроем скобки в правой части: $(* - 10)^2 = (*)^2 - 2 \cdot (*) \cdot 10 + 10^2 = (*)^2 - 20(*) + 100$.
Приравняем левую и правую части исходного выражения: $b^2 - 20b + * = (*)^2 - 20(*) + 100$.
Сравнивая соответствующие члены, видим, что:
- Первый член слева $b^2$ соответствует первому члену справа $(*)^2$, значит, первая звездочка (в скобках справа) - это $b$.
- Второй член слева $-20b$ соответствует второму члену справа $-20(*)$, что также подтверждает, что звездочка в скобках - это $b$.
- Третий член слева $*$ соответствует третьему члену справа $100$. Значит, вторая звездочка (в левой части выражения) - это $100$.
Таким образом, получаем верное тождество: $b^2 - 20b + 100 = (b - 10)^2$.
Ответ: $b^2 - 20b + 100 = (b - 10)^2$.

б) Заданное равенство: $* - 42pq + 49q^2 = (3p - *)^2$.
Это также формула квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Рассмотрим правую часть: $(3p - *)^2$. Здесь первый член в скобках $x = 3p$. Раскроем скобки: $(3p - *)^2 = (3p)^2 - 2 \cdot 3p \cdot (*) + (*)^2 = 9p^2 - 6p(*) + (*)^2$.
Теперь приравняем левую и правую части: $* - 42pq + 49q^2 = 9p^2 - 6p(*) + (*)^2$.
Сравнивая члены равенства, получаем:
- Последний член слева $49q^2$ соответствует последнему члену справа $(*)^2$. Отсюда находим, что звездочка в скобках справа равна $\sqrt{49q^2} = 7q$.
- Средний член слева $-42pq$ должен быть равен среднему члену справа $-6p(*)$. Подставив найденное значение $7q$ вместо звездочки, получаем: $-6p(7q) = -42pq$. Равенство выполняется.
- Первый член слева $*$ соответствует первому члену справа $9p^2$. Значит, первая звездочка (в левой части выражения) равна $9p^2$.
Получаем тождество: $9p^2 - 42pq + 49q^2 = (3p - 7q)^2$.
Ответ: $9p^2 - 42pq + 49q^2 = (3p - 7q)^2$.

в) Заданное равенство: $25a^2 + * + \frac{1}{4}b^2 = (* + \frac{1}{2}b)^2$.
Это равенство основано на формуле квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Рассмотрим правую часть: $(* + \frac{1}{2}b)^2$. Здесь второй член в скобках $y = \frac{1}{2}b$. Раскроем скобки: $(* + \frac{1}{2}b)^2 = (*)^2 + 2 \cdot (*) \cdot \frac{1}{2}b + (\frac{1}{2}b)^2 = (*)^2 + (*)b + \frac{1}{4}b^2$.
Приравняем левую и правую части: $25a^2 + * + \frac{1}{4}b^2 = (*)^2 + (*)b + \frac{1}{4}b^2$.
Сравнивая члены равенства:
- Первый член слева $25a^2$ соответствует первому члену справа $(*)^2$. Отсюда звездочка в скобках справа равна $\sqrt{25a^2} = 5a$.
- Последние члены $\frac{1}{4}b^2$ в обеих частях совпадают.
- Средний член слева $*$ соответствует среднему члену справа $(*)b$. Подставив найденное значение $5a$ вместо звездочки в скобках, получаем средний член $5a \cdot b = 5ab$. Значит, звездочка в левой части равна $5ab$.
Получаем тождество: $25a^2 + 5ab + \frac{1}{4}b^2 = (5a + \frac{1}{2}b)^2$.
Ответ: $25a^2 + 5ab + \frac{1}{4}b^2 = (5a + \frac{1}{2}b)^2$.

г) Заданное равенство: $0,01b^2 + * + 100c^2 = (0,1b + *)^2$.
Это формула квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В правой части $(0,1b + *)^2$ имеем первый член $x=0,1b$. Раскрываем скобки: $(0,1b + *)^2 = (0,1b)^2 + 2 \cdot 0,1b \cdot (*) + (*)^2 = 0,01b^2 + 0,2b(*) + (*)^2$.
Приравняем левую и правую части: $0,01b^2 + * + 100c^2 = 0,01b^2 + 0,2b(*) + (*)^2$.
Сравнивая члены равенства:
- Первые члены $0,01b^2$ в обеих частях совпадают.
- Последний член слева $100c^2$ соответствует последнему члену справа $(*)^2$. Отсюда звездочка в скобках справа равна $\sqrt{100c^2} = 10c$.
- Средний член слева $*$ соответствует среднему члену справа $0,2b(*)$. Подставив найденное значение $10c$ вместо звездочки, получаем средний член $0,2b(10c) = 2bc$. Значит, звездочка в левой части равна $2bc$.
Получаем тождество: $0,01b^2 + 2bc + 100c^2 = (0,1b + 10c)^2$.
Ответ: $0,01b^2 + 2bc + 100c^2 = (0,1b + 10c)^2$.

39.51 а) $* + 56ab + 49b^2 = (4a + *)^2;$

б) $225x^2 - * + 64y^2 = (15x - *)^2;$

в) $* + 96xy + 36y^2 = (8x + *)^2;$

г) $100a^2 + * + 49b^2 = (10a + *)^2.$

а) Данное равенство основано на формуле квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В выражении $* + 56ab + 49b^2 = (4a + *)^2$ мы видим, что первый член в скобках — это $4a$, а третий член многочлена в левой части — $49b^2$.
Поскольку $49b^2 = (7b)^2$, второй член в скобках (вторая звездочка) равен $7b$.
Проверим средний член многочлена, который является удвоенным произведением первого и второго членов: $2 \cdot 4a \cdot 7b = 56ab$. Это соответствует условию.
Первый член многочлена (первая звездочка) должен быть квадратом первого члена в скобках: $(4a)^2 = 16a^2$.
Таким образом, полное тождество выглядит так: $16a^2 + 56ab + 49b^2 = (4a + 7b)^2$.
Ответ: первая звездочка — $16a^2$, вторая звездочка — $7b$.

б) Здесь используется формула квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В выражении $225x^2 - * + 64y^2 = (15x - *)^2$ мы видим, что первый член многочлена $225x^2 = (15x)^2$, что соответствует первому члену в скобках.
Третий член многочлена $64y^2 = (8y)^2$, значит, второй член в скобках (вторая звездочка) равен $8y$.
Средний член многочлена (первая звездочка) — это удвоенное произведение первого и второго членов со знаком минус: $2 \cdot 15x \cdot 8y = 240xy$.
Таким образом, полное тождество: $225x^2 - 240xy + 64y^2 = (15x - 8y)^2$.
Ответ: первая звездочка — $240xy$, вторая звездочка — $8y$.

в) Это снова формула квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В выражении $* + 96xy + 36y^2 = (8x + *)^2$ первый член в скобках равен $8x$.
Третий член многочлена $36y^2 = (6y)^2$, следовательно, второй член в скобках (вторая звездочка) равен $6y$.
Проверим средний член: $2 \cdot 8x \cdot 6y = 96xy$. Это соответствует условию.
Первый член многочлена (первая звездочка) — это квадрат первого члена в скобках: $(8x)^2 = 64x^2$.
Полное тождество: $64x^2 + 96xy + 36y^2 = (8x + 6y)^2$.
Ответ: первая звездочка — $64x^2$, вторая звездочка — $6y$.

г) Используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В выражении $100a^2 + * + 49b^2 = (10a + *)^2$ первый член многочлена $100a^2 = (10a)^2$, что соответствует первому члену в скобках.
Третий член многочлена $49b^2 = (7b)^2$, значит, второй член в скобках (вторая звездочка) равен $7b$.
Средний член многочлена (первая звездочка) — это удвоенное произведение: $2 \cdot 10a \cdot 7b = 140ab$.
Полное тождество: $100a^2 + 140ab + 49b^2 = (10a + 7b)^2$.
Ответ: первая звездочка — $140ab$, вторая звездочка — $7b$.

39.52 а) $m^2 + 40m + * = (* + 20)^2;$

б) $* - 70pq + * = (7p - *)^2;$

в) $* + 42ac + 49c^2 = (* + *)^2;$

г) $25z^2 - * + * = (* - 8t)^2.$

а) Рассматриваем равенство $m^2 + 40m + * = (* + 20)^2$.

Правая часть равенства представляет собой квадрат суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае, $(* + 20)^2$. Здесь второе слагаемое $b=20$. Первое слагаемое, которое мы обозначим как $a$, неизвестно. Развернув правую часть по формуле, получим: $(a + 20)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 20 + 20^2 = a^2 + 40a + 400$.

Сравним это с левой частью $m^2 + 40m + *$.

Сравнивая первые два члена, видим, что $a^2$ соответствует $m^2$ и $40a$ соответствует $40m$. Отсюда очевидно, что $a=m$. Это и есть недостающий член в скобках справа.

Теперь, когда мы знаем оба члена в скобках, правая часть равна $(m + 20)^2 = m^2 + 40m + 400$.

Следовательно, левая часть $m^2 + 40m + *$ должна быть равна $m^2 + 40m + 400$. Это означает, что недостающее слагаемое в левой части равно $400$.

Таким образом, искомое тождество: $m^2 + 40m + 400 = (m + 20)^2$.

Ответ: $m^2 + 40m + 400 = (m + 20)^2$.

б) Рассматриваем равенство $* - 70pq + * = (7p - *)^2$.

Правая часть — это квадрат разности. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В выражении $(7p - *)^2$ первое слагаемое $a = 7p$. Второе слагаемое $b$ неизвестно. Раскроем скобки по формуле: $(7p - b)^2 = (7p)^2 - 2 \cdot 7p \cdot b + b^2 = 49p^2 - 14pb + b^2$.

Сравним это с левой частью $* - 70pq + *$.

Удвоенное произведение в левой части равно $-70pq$, а в правой $-14pb$. Приравнивая их, получаем: $14pb = 70pq$.

Отсюда находим неизвестное в скобках: $b = \frac{70pq}{14p} = 5q$.

Теперь мы можем найти недостающие члены в левой части. Первый член (первая звездочка) — это квадрат первого слагаемого из скобок: $a^2 = (7p)^2 = 49p^2$.

Последний член (вторая звездочка в левой части) — это квадрат второго слагаемого из скобок: $b^2 = (5q)^2 = 25q^2$.

Получаем тождество: $49p^2 - 70pq + 25q^2 = (7p - 5q)^2$.

Ответ: $49p^2 - 70pq + 25q^2 = (7p - 5q)^2$.

в) Рассматриваем равенство $* + 42ac + 49c^2 = (* + *)^2$.

Данное равенство основано на формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

Сравним левую часть $* + 42ac + 49c^2$ с развернутой формулой $A^2 + 2AB + B^2$.

Член $49c^2$ является полным квадратом, поэтому можем предположить, что это $B^2$. Тогда $B^2 = 49c^2$, откуда $B = 7c$.

Средний член $42ac$ должен соответствовать удвоенному произведению $2AB$. Подставляя найденное значение $B$, получаем: $2 \cdot A \cdot (7c) = 42ac$.

Это дает нам уравнение $14Ac = 42ac$. Отсюда находим $A = \frac{42ac}{14c} = 3a$.

Теперь мы можем заполнить все пропуски. Первое слагаемое в левой части (звездочка) равно $A^2 = (3a)^2 = 9a^2$.

Слагаемые в скобках в правой части — это $A$ и $B$, то есть $3a$ и $7c$.

Итоговое тождество: $9a^2 + 42ac + 49c^2 = (3a + 7c)^2$.

Ответ: $9a^2 + 42ac + 49c^2 = (3a + 7c)^2$.

г) Рассматриваем равенство $25z^2 - * + * = (* - 8t)^2$.

Это равенство основано на формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Сравнивая правую часть $(* - 8t)^2$ с формулой, мы видим, что вычитаемое $b = 8t$.

Сравнивая левую часть $25z^2 - * + *$ с формулой, мы видим, что первый член $a^2 = 25z^2$. Отсюда $a = \sqrt{25z^2} = 5z$.

Таким образом, неизвестное слагаемое в скобках в правой части равно $5z$.

Теперь найдем недостающие члены в левой части. Средний член (первая звездочка) — это удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot (5z) \cdot (8t) = 80zt$.

Последний член (вторая звездочка) — это квадрат вычитаемого $b^2 = (8t)^2 = 64t^2$.

В результате получаем тождество: $25z^2 - 80zt + 64t^2 = (5z - 8t)^2$.

Ответ: $25z^2 - 80zt + 64t^2 = (5z - 8t)^2$.