Страница 169, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

39.7 a) $c^2d^2 - m^2;$

б) $a^2x^2 - 0,25y^2;$

в) $16y^2z^2 - 9a^2n^2;$

г) $x^2y^2 - 0,25p^2q^2.$

Для решения всех заданий необходимо разложить выражения на множители, используя формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

а) $c^2d^2 - m^2$

Представим данное выражение в виде разности квадратов.
Первый член $c^2d^2$ можно записать как $(cd)^2$.
Второй член $m^2$ уже является квадратом.
Получаем выражение $(cd)^2 - m^2$.
Применим формулу разности квадратов, где $A = cd$ и $B = m$:
$(cd)^2 - m^2 = (cd - m)(cd + m)$.
Ответ: $(cd - m)(cd + m)$.

б) $a^2x^2 - 0,25y^2$

Представим данное выражение в виде разности квадратов.
Первый член $a^2x^2$ можно записать как $(ax)^2$.
Второй член $0,25y^2$ можно записать как $(0,5y)^2$, поскольку $0,25 = 0,5^2$.
Получаем выражение $(ax)^2 - (0,5y)^2$.
Применим формулу разности квадратов, где $A = ax$ и $B = 0,5y$:
$(ax)^2 - (0,5y)^2 = (ax - 0,5y)(ax + 0,5y)$.
Ответ: $(ax - 0,5y)(ax + 0,5y)$.

в) $16y^2z^2 - 9a^2n^2$

Представим данное выражение в виде разности квадратов.
Первый член $16y^2z^2$ можно записать как $(4yz)^2$, поскольку $16 = 4^2$.
Второй член $9a^2n^2$ можно записать как $(3an)^2$, поскольку $9 = 3^2$.
Получаем выражение $(4yz)^2 - (3an)^2$.
Применим формулу разности квадратов, где $A = 4yz$ и $B = 3an$:
$(4yz)^2 - (3an)^2 = (4yz - 3an)(4yz + 3an)$.
Ответ: $(4yz - 3an)(4yz + 3an)$.

г) $x^2y^2 - 0,25p^2q^2$

Представим данное выражение в виде разности квадратов.
Первый член $x^2y^2$ можно записать как $(xy)^2$.
Второй член $0,25p^2q^2$ можно записать как $(0,5pq)^2$, поскольку $0,25 = 0,5^2$.
Получаем выражение $(xy)^2 - (0,5pq)^2$.
Применим формулу разности квадратов, где $A = xy$ и $B = 0,5pq$:
$(xy)^2 - (0,5pq)^2 = (xy - 0,5pq)(xy + 0,5pq)$.
Ответ: $(xy - 0,5pq)(xy + 0,5pq)$.

39.8 a) $144a^4 - 625c^2;$

б) $25p^{10} - \frac{1}{9}q^{12};$

в) $169x^8 - 400y^{16};$

г) $4b^{16} - \frac{1}{16}d^4.$

а) Для разложения на множители выражения $144a^4 - 625c^2$ применяется формула разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Сначала представим каждый член выражения в виде квадрата некоторого одночлена.
Первый член: $144a^4 = 12^2 \cdot (a^2)^2 = (12a^2)^2$.
Второй член: $625c^2 = 25^2 \cdot c^2 = (25c)^2$.
Теперь исходное выражение можно записать как разность квадратов: $(12a^2)^2 - (25c)^2$.
Применим формулу, где $A = 12a^2$ и $B = 25c$:
$(12a^2 - 25c)(12a^2 + 25c)$.
Ответ: $(12a^2 - 25c)(12a^2 + 25c)$.

б) Для разложения на множители выражения $25p^{10} - \frac{1}{9}q^{12}$ используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим каждый член в виде квадрата:
$25p^{10} = 5^2 \cdot (p^5)^2 = (5p^5)^2$.
$\frac{1}{9}q^{12} = (\frac{1}{3})^2 \cdot (q^6)^2 = (\frac{1}{3}q^6)^2$.
Теперь выражение имеет вид $(5p^5)^2 - (\frac{1}{3}q^6)^2$.
Подставляем в формулу, где $A = 5p^5$ и $B = \frac{1}{3}q^6$:
$(5p^5 - \frac{1}{3}q^6)(5p^5 + \frac{1}{3}q^6)$.
Ответ: $(5p^5 - \frac{1}{3}q^6)(5p^5 + \frac{1}{3}q^6)$.

в) Для разложения на множители выражения $169x^8 - 400y^{16}$ используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим каждый член в виде квадрата:
$169x^8 = 13^2 \cdot (x^4)^2 = (13x^4)^2$.
$400y^{16} = 20^2 \cdot (y^8)^2 = (20y^8)^2$.
Выражение принимает вид $(13x^4)^2 - (20y^8)^2$.
Применим формулу, где $A = 13x^4$ и $B = 20y^8$:
$(13x^4 - 20y^8)(13x^4 + 20y^8)$.
Ответ: $(13x^4 - 20y^8)(13x^4 + 20y^8)$.

г) Для разложения на множители выражения $4b^{16} - \frac{1}{16}d^4$ используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим каждый член в виде квадрата:
$4b^{16} = 2^2 \cdot (b^8)^2 = (2b^8)^2$.
$\frac{1}{16}d^4 = (\frac{1}{4})^2 \cdot (d^2)^2 = (\frac{1}{4}d^2)^2$.
Выражение принимает вид $(2b^8)^2 - (\frac{1}{4}d^2)^2$.
Применим формулу, где $A = 2b^8$ и $B = \frac{1}{4}d^2$:
$(2b^8 - \frac{1}{4}d^2)(2b^8 + \frac{1}{4}d^2)$.
Ответ: $(2b^8 - \frac{1}{4}d^2)(2b^8 + \frac{1}{4}d^2)$.

Решите уравнение:

39.9 а) $x^2 - 49 = 0;$

б) $y^2 - 100 = 0;$

в) $z^2 - 625 = 0;$

г) $t^2 - 1 = 0.$

а) $x^2 - 49 = 0$

Данное уравнение является неполным квадратным уравнением вида $ax^2 + c = 0$. Его можно решить двумя способами.

Способ 1: Перенос слагаемого и извлечение корня

Перенесем свободный член (-49) в правую часть уравнения, изменив его знак:

$x^2 = 49$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у положительного числа существует два квадратных корня: положительный и отрицательный.

$x = \pm\sqrt{49}$

Следовательно, корни уравнения:

$x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.

Способ 2: Использование формулы разности квадратов

Формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Представим 49 как $7^2$:

$x^2 - 7^2 = 0$

Разложим левую часть на множители:

$(x - 7)(x + 7) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x - 7 = 0 \quad$ или $\quad x + 7 = 0$

$x_1 = 7 \quad$ или $\quad x_2 = -7$

Ответ: $\pm 7$.

б) $y^2 - 100 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем 100 в правую часть уравнения:

$y^2 = 100$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$y = \pm\sqrt{100}$

Получаем два корня:

$y_1 = 10, \quad y_2 = -10$

Это уравнение также можно было решить, разложив левую часть по формуле разности квадратов: $y^2 - 10^2 = 0 \implies (y-10)(y+10)=0$.

Ответ: $\pm 10$.

в) $z^2 - 625 = 0$

Решаем аналогично предыдущим. Переносим 625 в правую часть:

$z^2 = 625$

Извлекаем квадратный корень. Так как $25^2 = 625$, то $\sqrt{625} = 25$.

$z = \pm\sqrt{625}$

Корни уравнения:

$z_1 = 25, \quad z_2 = -25$

Также можно использовать разложение на множители: $z^2 - 25^2 = 0 \implies (z-25)(z+25)=0$.

Ответ: $\pm 25$.

г) $t^2 - 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$t^2 = 1$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$t = \pm\sqrt{1}$

Получаем два корня:

$t_1 = 1, \quad t_2 = -1$

Используя формулу разности квадратов, получаем: $t^2 - 1^2 = 0 \implies (t-1)(t+1)=0$.

Ответ: $\pm 1$.

39.10 а) $4x^2 - 1 = 0;$

б) $25y^2 - 49 = 0;$

В) $36a^2 - 25 = 0;$

Г) $144z^2 - 1 = 0.$

а) Для решения уравнения $4x^2 - 1 = 0$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим уравнение в виде $(2x)^2 - 1^2 = 0$.
Разложим левую часть на множители: $(2x - 1)(2x + 1) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:
$2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$.
$2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $x = \pm \frac{1}{2}$.

б) Решим уравнение $25y^2 - 49 = 0$ с помощью формулы разности квадратов.
Представим уравнение как $(5y)^2 - 7^2 = 0$.
Разложим на множители: $(5y - 7)(5y + 7) = 0$.
Приравняем каждый множитель к нулю:
$5y - 7 = 0 \implies 5y = 7 \implies y = \frac{7}{5}$.
$5y + 7 = 0 \implies 5y = -7 \implies y = -\frac{7}{5}$.
Ответ: $y = \pm \frac{7}{5}$.

в) Решим уравнение $36a^2 - 25 = 0$, используя формулу разности квадратов.
Перепишем уравнение в виде $(6a)^2 - 5^2 = 0$.
Разложим на множители: $(6a - 5)(6a + 5) = 0$.
Найдем корни, приравняв множители к нулю:
$6a - 5 = 0 \implies 6a = 5 \implies a = \frac{5}{6}$.
$6a + 5 = 0 \implies 6a = -5 \implies a = -\frac{5}{6}$.
Ответ: $a = \pm \frac{5}{6}$.

г) Решим уравнение $144z^2 - 1 = 0$ по формуле разности квадратов.
Представим уравнение как $(12z)^2 - 1^2 = 0$.
Разложим на множители: $(12z - 1)(12z + 1) = 0$.
Приравняем каждый множитель к нулю:
$12z - 1 = 0 \implies 12z = 1 \implies z = \frac{1}{12}$.
$12z + 1 = 0 \implies 12z = -1 \implies z = -\frac{1}{12}$.
Ответ: $z = \pm \frac{1}{12}$.

39.11 Запишите сумму и неполный квадрат разности одночленов:

а) $a$ и $b$;

б) $m^2$ и $2n^2$;

в) $2c$ и $3d$;

г) $3p$ и $4q^2$.

а) Для одночленов $a$ и $b$.
1. Найдём их сумму. Сумма — это результат сложения одночленов:
$a + b$
2. Найдём неполный квадрат их разности. Формула неполного квадрата разности для двух выражений $x$ и $y$ имеет вид $x^2 - xy + y^2$. В данном случае $x=a$ и $y=b$. Подставим эти значения в формулу:
$a^2 - a \cdot b + b^2 = a^2 - ab + b^2$
Ответ: Сумма: $a + b$; неполный квадрат разности: $a^2 - ab + b^2$.

б) Для одночленов $m^2$ и $2n^2$.
1. Найдём их сумму:
$m^2 + 2n^2$
2. Найдём неполный квадрат их разности. Используем формулу $x^2 - xy + y^2$, где $x=m^2$ и $y=2n^2$:
$(m^2)^2 - (m^2)(2n^2) + (2n^2)^2 = m^4 - 2m^2n^2 + 4n^4$
Ответ: Сумма: $m^2 + 2n^2$; неполный квадрат разности: $m^4 - 2m^2n^2 + 4n^4$.

в) Для одночленов $2c$ и $3d$.
1. Найдём их сумму:
$2c + 3d$
2. Найдём неполный квадрат их разности. Используем формулу $x^2 - xy + y^2$, где $x=2c$ и $y=3d$:
$(2c)^2 - (2c)(3d) + (3d)^2 = 4c^2 - 6cd + 9d^2$
Ответ: Сумма: $2c + 3d$; неполный квадрат разности: $4c^2 - 6cd + 9d^2$.

г) Для одночленов $3p$ и $4q^2$.
1. Найдём их сумму:
$3p + 4q^2$
2. Найдём неполный квадрат их разности. Используем формулу $x^2 - xy + y^2$, где $x=3p$ и $y=4q^2$:
$(3p)^2 - (3p)(4q^2) + (4q^2)^2 = 9p^2 - 12pq^2 + 16q^4$
Ответ: Сумма: $3p + 4q^2$; неполный квадрат разности: $9p^2 - 12pq^2 + 16q^4$.

39.12 Запишите разность и неполный квадрат суммы одночленов:

а) $k$ и $l$;

б) $5a^2$ и $b^2$;

в) $3p$ и $2m$;

г) $4s$ и $3t^2$.

а) Для одночленов $k$ и $l$:

1. Разность одночленов. Это результат вычитания одного одночлена из другого. Для $k$ и $l$ разность записывается как:

$k - l$

2. Неполный квадрат суммы одночленов. Для двух одночленов $A$ и $B$ это выражение имеет вид $A^2 + AB + B^2$. Оно является одним из множителей в формуле разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.

В данном случае, $A = k$ и $B = l$.

Вычисляем составляющие:

• Квадрат первого одночлена: $A^2 = k^2$
• Произведение одночленов: $AB = k \cdot l = kl$
• Квадрат второго одночлена: $B^2 = l^2$

Складываем полученные выражения:

$k^2 + kl + l^2$

Ответ: разность: $k - l$; неполный квадрат суммы: $k^2 + kl + l^2$.

б) Для одночленов $5a^2$ и $b^2$:

1. Разность одночленов:

$5a^2 - b^2$

2. Неполный квадрат суммы одночленов. Пусть $A = 5a^2$ и $B = b^2$.

Вычисляем составляющие по формуле $A^2 + AB + B^2$:

• Квадрат первого одночлена: $A^2 = (5a^2)^2 = 25a^4$
• Произведение одночленов: $AB = (5a^2)(b^2) = 5a^2b^2$
• Квадрат второго одночлена: $B^2 = (b^2)^2 = b^4$

Складываем полученные выражения:

$25a^4 + 5a^2b^2 + b^4$

Ответ: разность: $5a^2 - b^2$; неполный квадрат суммы: $25a^4 + 5a^2b^2 + b^4$.

в) Для одночленов $3p$ и $2m$:

1. Разность одночленов:

$3p - 2m$

2. Неполный квадрат суммы одночленов. Пусть $A = 3p$ и $B = 2m$.

Вычисляем составляющие по формуле $A^2 + AB + B^2$:

• Квадрат первого одночлена: $A^2 = (3p)^2 = 9p^2$
• Произведение одночленов: $AB = (3p)(2m) = 6pm$
• Квадрат второго одночлена: $B^2 = (2m)^2 = 4m^2$

Складываем полученные выражения:

$9p^2 + 6pm + 4m^2$

Ответ: разность: $3p - 2m$; неполный квадрат суммы: $9p^2 + 6pm + 4m^2$.

г) Для одночленов $4s$ и $3t^2$:

1. Разность одночленов:

$4s - 3t^2$

2. Неполный квадрат суммы одночленов. Пусть $A = 4s$ и $B = 3t^2$.

Вычисляем составляющие по формуле $A^2 + AB + B^2$:

• Квадрат первого одночлена: $A^2 = (4s)^2 = 16s^2$
• Произведение одночленов: $AB = (4s)(3t^2) = 12st^2$
• Квадрат второго одночлена: $B^2 = (3t^2)^2 = 9t^4$

Складываем полученные выражения:

$16s^2 + 12st^2 + 9t^4$

Ответ: разность: $4s - 3t^2$; неполный квадрат суммы: $16s^2 + 12st^2 + 9t^4$.

39.13 Представьте в виде куба одночлена заданные выражения:

а) $a^3b^3$, $x^6y^9$, $8m^3n^9$, $125k^9t^{27}$;

б) $\frac{1}{64}p^9$, $\frac{27}{125}s^{18}$, $\frac{1}{343}m^{12}$, $\frac{125}{216}a^{24}$;

в) $0,064a^3b^3$, $0,125x^9y^3$, $0,216m^3n^{18}$, $0,008p^9q^{12}$;

г) $125x^3y^6z^9$, $216a^{12}b^{36}c^{24}$, $8m^6n^3p^{12}$, $0,343k^9l^{18}p^{15}$.

Для того чтобы представить заданные выражения в виде куба одночлена, необходимо каждый множитель в одночлене представить в виде куба, используя свойства степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

а)

Для выражения $a^3b^3$:
$a^3b^3 = (a)^3 \cdot (b)^3 = (ab)^3$.
Ответ: $(ab)^3$.

Для выражения $x^6y^9$:
$x^6 = x^{2 \cdot 3} = (x^2)^3$
$y^9 = y^{3 \cdot 3} = (y^3)^3$
Следовательно, $x^6y^9 = (x^2)^3 \cdot (y^3)^3 = (x^2y^3)^3$.
Ответ: $(x^2y^3)^3$.

Для выражения $8m^3n^9$:
$8 = 2^3$
$m^3 = (m)^3$
$n^9 = n^{3 \cdot 3} = (n^3)^3$
Следовательно, $8m^3n^9 = 2^3 \cdot m^3 \cdot (n^3)^3 = (2mn^3)^3$.
Ответ: $(2mn^3)^3$.

Для выражения $125k^9t^{27}$:
$125 = 5^3$
$k^9 = k^{3 \cdot 3} = (k^3)^3$
$t^{27} = t^{9 \cdot 3} = (t^9)^3$
Следовательно, $125k^9t^{27} = 5^3 \cdot (k^3)^3 \cdot (t^9)^3 = (5k^3t^9)^3$.
Ответ: $(5k^3t^9)^3$.

б)

Для выражения $\frac{1}{64}p^9$:
$\frac{1}{64} = \frac{1^3}{4^3} = (\frac{1}{4})^3$
$p^9 = p^{3 \cdot 3} = (p^3)^3$
Следовательно, $\frac{1}{64}p^9 = (\frac{1}{4})^3 \cdot (p^3)^3 = (\frac{1}{4}p^3)^3$.
Ответ: $(\frac{1}{4}p^3)^3$.

Для выражения $\frac{27}{125}s^{18}$:
$\frac{27}{125} = \frac{3^3}{5^3} = (\frac{3}{5})^3$
$s^{18} = s^{6 \cdot 3} = (s^6)^3$
Следовательно, $\frac{27}{125}s^{18} = (\frac{3}{5})^3 \cdot (s^6)^3 = (\frac{3}{5}s^6)^3$.
Ответ: $(\frac{3}{5}s^6)^3$.

Для выражения $\frac{1}{343}m^{12}$:
$\frac{1}{343} = \frac{1^3}{7^3} = (\frac{1}{7})^3$
$m^{12} = m^{4 \cdot 3} = (m^4)^3$
Следовательно, $\frac{1}{343}m^{12} = (\frac{1}{7})^3 \cdot (m^4)^3 = (\frac{1}{7}m^4)^3$.
Ответ: $(\frac{1}{7}m^4)^3$.

Для выражения $\frac{125}{216}a^{24}$:
$\frac{125}{216} = \frac{5^3}{6^3} = (\frac{5}{6})^3$
$a^{24} = a^{8 \cdot 3} = (a^8)^3$
Следовательно, $\frac{125}{216}a^{24} = (\frac{5}{6})^3 \cdot (a^8)^3 = (\frac{5}{6}a^8)^3$.
Ответ: $(\frac{5}{6}a^8)^3$.

в)

Для выражения $0,064a^3b^3$:
$0,064 = (0,4)^3$
$a^3 = (a)^3$
$b^3 = (b)^3$
Следовательно, $0,064a^3b^3 = (0,4)^3 \cdot a^3 \cdot b^3 = (0,4ab)^3$.
Ответ: $(0,4ab)^3$.

Для выражения $0,125x^9y^3$:
$0,125 = (0,5)^3$
$x^9 = x^{3 \cdot 3} = (x^3)^3$
$y^3 = (y)^3$
Следовательно, $0,125x^9y^3 = (0,5)^3 \cdot (x^3)^3 \cdot y^3 = (0,5x^3y)^3$.
Ответ: $(0,5x^3y)^3$.

Для выражения $0,216m^3n^{18}$:
$0,216 = (0,6)^3$
$m^3 = (m)^3$
$n^{18} = n^{6 \cdot 3} = (n^6)^3$
Следовательно, $0,216m^3n^{18} = (0,6)^3 \cdot m^3 \cdot (n^6)^3 = (0,6mn^6)^3$.
Ответ: $(0,6mn^6)^3$.

Для выражения $0,008p^9q^{12}$:
$0,008 = (0,2)^3$
$p^9 = p^{3 \cdot 3} = (p^3)^3$
$q^{12} = q^{4 \cdot 3} = (q^4)^3$
Следовательно, $0,008p^9q^{12} = (0,2)^3 \cdot (p^3)^3 \cdot (q^4)^3 = (0,2p^3q^4)^3$.
Ответ: $(0,2p^3q^4)^3$.

г)

Для выражения $125x^3y^6z^9$:
$125 = 5^3$
$x^3 = (x)^3$
$y^6 = y^{2 \cdot 3} = (y^2)^3$
$z^9 = z^{3 \cdot 3} = (z^3)^3$
Следовательно, $125x^3y^6z^9 = 5^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3 \cdot (z^3)^3 = (5xy^2z^3)^3$.
Ответ: $(5xy^2z^3)^3$.

Для выражения $216a^{12}b^{36}c^{24}$:
$216 = 6^3$
$a^{12} = a^{4 \cdot 3} = (a^4)^3$
$b^{36} = b^{12 \cdot 3} = (b^{12})^3$
$c^{24} = c^{8 \cdot 3} = (c^8)^3$
Следовательно, $216a^{12}b^{36}c^{24} = 6^3 \cdot (a^4)^3 \cdot (b^{12})^3 \cdot (c^8)^3 = (6a^4b^{12}c^8)^3$.
Ответ: $(6a^4b^{12}c^8)^3$.

Для выражения $8m^6n^3p^{12}$:
$8 = 2^3$
$m^6 = m^{2 \cdot 3} = (m^2)^3$
$n^3 = (n)^3$
$p^{12} = p^{4 \cdot 3} = (p^4)^3$
Следовательно, $8m^6n^3p^{12} = 2^3 \cdot (m^2)^3 \cdot n^3 \cdot (p^4)^3 = (2m^2np^4)^3$.
Ответ: $(2m^2np^4)^3$.

Для выражения $0,343k^9l^{18}p^{15}$:
$0,343 = (0,7)^3$
$k^9 = k^{3 \cdot 3} = (k^3)^3$
$l^{18} = l^{6 \cdot 3} = (l^6)^3$
$p^{15} = p^{5 \cdot 3} = (p^5)^3$
Следовательно, $0,343k^9l^{18}p^{15} = (0,7)^3 \cdot (k^3)^3 \cdot (l^6)^3 \cdot (p^5)^3 = (0,7k^3l^6p^5)^3$.
Ответ: $(0,7k^3l^6p^5)^3$.

Разложите многочлен на множители:

39.14 а) $a^3 + 8;$

б) $b^3 - 27;$

в) $c^3 - 64;$

г) $d^3 + 125.$

а) Для разложения многочлена $a^3 + 8$ на множители используется формула суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Сначала представим число 8 в виде куба: $8 = 2^3$. Таким образом, выражение принимает вид $a^3 + 2^3$.

Теперь применим формулу суммы кубов, где $x=a$ и $y=2$:

$a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - a \cdot 2 + 2^2) = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.

Ответ: $(a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.

б) Для разложения многочлена $b^3 - 27$ на множители используется формула разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Представим число 27 в виде куба: $27 = 3^3$. Таким образом, выражение принимает вид $b^3 - 3^3$.

Применим формулу разности кубов, где $x=b$ и $y=3$:

$b^3 - 3^3 = (b - 3)(b^2 + b \cdot 3 + 3^2) = (b - 3)(b^2 + 3b + 9)$.

Ответ: $(b - 3)(b^2 + 3b + 9)$.

в) Для разложения многочлена $c^3 - 64$ на множители используется формула разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Представим число 64 в виде куба: $64 = 4^3$. Таким образом, выражение принимает вид $c^3 - 4^3$.

Применим формулу разности кубов, где $x=c$ и $y=4$:

$c^3 - 4^3 = (c - 4)(c^2 + c \cdot 4 + 4^2) = (c - 4)(c^2 + 4c + 16)$.

Ответ: $(c - 4)(c^2 + 4c + 16)$.

г) Для разложения многочлена $d^3 + 125$ на множители используется формула суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Представим число 125 в виде куба: $125 = 5^3$. Таким образом, выражение принимает вид $d^3 + 5^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $x=d$ и $y=5$:

$d^3 + 5^3 = (d + 5)(d^2 - d \cdot 5 + 5^2) = (d + 5)(d^2 - 5d + 25)$.

Ответ: $(d + 5)(d^2 - 5d + 25)$.

39.15 a) $216 - m^3$;

б) $1000 + m^3$;

в) $729 + p^3$;

г) $343 - q^3$.

а) Для разложения выражения $216 - m^3$ на множители необходимо применить формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Сначала представим число 216 как куб некоторого числа. Известно, что $6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216$.
Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде $6^3 - m^3$.
В данном случае $a = 6$ и $b = m$.
Подставляем эти значения в формулу разности кубов:
$6^3 - m^3 = (6 - m)(6^2 + 6 \cdot m + m^2) = (6 - m)(36 + 6m + m^2)$.
Ответ: $(6 - m)(36 + 6m + m^2)$.

б) Для разложения выражения $1000 + m^3$ на множители необходимо применить формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Представим число 1000 как куб некоторого числа. Известно, что $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$.
Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде $10^3 + m^3$.
В данном случае $a = 10$ и $b = m$.
Подставляем эти значения в формулу суммы кубов:
$10^3 + m^3 = (10 + m)(10^2 - 10 \cdot m + m^2) = (10 + m)(100 - 10m + m^2)$.
Ответ: $(10 + m)(100 - 10m + m^2)$.

в) Для разложения выражения $729 + p^3$ на множители необходимо применить формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Представим число 729 как куб некоторого числа. Известно, что $9^3 = 9 \times 9 \times 9 = 729$.
Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде $9^3 + p^3$.
В данном случае $a = 9$ и $b = p$.
Подставляем эти значения в формулу суммы кубов:
$9^3 + p^3 = (9 + p)(9^2 - 9 \cdot p + p^2) = (9 + p)(81 - 9p + p^2)$.
Ответ: $(9 + p)(81 - 9p + p^2)$.

г) Для разложения выражения $343 - q^3$ на множители необходимо применить формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Представим число 343 как куб некоторого числа. Известно, что $7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 343$.
Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде $7^3 - q^3$.
В данном случае $a = 7$ и $b = q$.
Подставляем эти значения в формулу разности кубов:
$7^3 - q^3 = (7 - q)(7^2 + 7 \cdot q + q^2) = (7 - q)(49 + 7q + q^2)$.
Ответ: $(7 - q)(49 + 7q + q^2)$.

39.16 a) $64a^3 + 1$;

б) $27d^3 - 8$;

в) $512b^3 - 125$;

г) $216c^3 + 1000$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $64a^3 + 1$, применим формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба: $64a^3 = (4a)^3$ и $1 = 1^3$. Таким образом, в нашей формуле $x = 4a$ и $y = 1$.

Подставим эти значения в формулу:

$64a^3 + 1 = (4a)^3 + 1^3 = (4a + 1)((4a)^2 - 4a \cdot 1 + 1^2) = (4a + 1)(16a^2 - 4a + 1)$.

Ответ: $(4a + 1)(16a^2 - 4a + 1)$.

б) Для разложения выражения $27d^3 - 8$ воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Представим члены выражения в виде кубов: $27d^3 = (3d)^3$ и $8 = 2^3$. Следовательно, $x = 3d$ и $y = 2$.

Подставим значения в формулу:

$27d^3 - 8 = (3d)^3 - 2^3 = (3d - 2)((3d)^2 + 3d \cdot 2 + 2^2) = (3d - 2)(9d^2 + 6d + 4)$.

Ответ: $(3d - 2)(9d^2 + 6d + 4)$.

в) Выражение $512b^3 - 125$ раскладывается на множители с помощью формулы разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Представим члены выражения в виде кубов: $512b^3 = (8b)^3$ и $125 = 5^3$. В этом случае $x = 8b$ и $y = 5$.

Подставим в формулу:

$512b^3 - 125 = (8b)^3 - 5^3 = (8b - 5)((8b)^2 + 8b \cdot 5 + 5^2) = (8b - 5)(64b^2 + 40b + 25)$.

Ответ: $(8b - 5)(64b^2 + 40b + 25)$.

г) Для разложения выражения $216c^3 + 1000$ на множители применим формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Сначала можно вынести за скобки общий множитель 8, так как 216 делится на 8 и 1000 делится на 8:

$216c^3 + 1000 = 8(27c^3 + 125)$.

Теперь разложим выражение в скобках. Представим его члены в виде кубов: $27c^3 = (3c)^3$ и $125 = 5^3$. Здесь $x = 3c$ и $y = 5$.

Применим формулу суммы кубов к выражению в скобках:

$8((3c)^3 + 5^3) = 8((3c + 5)((3c)^2 - 3c \cdot 5 + 5^2)) = 8(3c + 5)(9c^2 - 15c + 25)$.

Ответ: $8(3c + 5)(9c^2 - 15c + 25)$.