Страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

37.1 Запишите три одночлена, на которые делится каждый из заданных одночленов:

а) $2m^2$, $2m$, $4$;

б) $4x$, $16x$, $8xy$;

в) $15ab^2$, $25ab$, $30a^2b$;

г) $56xyz$, $42x^2z$, $14y^2z$.

Для того чтобы найти три одночлена, на которые делится каждый из заданных одночленов, необходимо найти их общие делители. Самый системный подход — это найти их наибольший общий делитель (НОД), а затем выбрать три любых делителя этого НОД. НОД для группы одночленов находится путем перемножения НОД их числовых коэффициентов и каждой переменной в наименьшей степени, в которой она встречается в каждом из одночленов.

а) Для одночленов $2m^2$, $2m$, $4$ находим их наибольший общий делитель (НОД). НОД коэффициентов 2, 2 и 4 равен 2. Общая переменная часть равна 1, так как одночлен 4 не содержит переменной $m$. Следовательно, НОД данных одночленов равен 2. Любой делитель числа 2 будет общим делителем. Делителями числа 2 являются 1, -1, 2, -2. В качестве трех общих делителей выберем, например, 1, 2 и -1.

Ответ: 1, 2, -1.

б) Для одночленов $4x$, $16x$, $8xy$ находим их НОД. НОД коэффициентов 4, 16 и 8 равен 4. Общая переменная часть определяется как переменные в наименьшей степени, присутствующие в каждом одночлене. Переменная $x$ входит во все одночлены в первой степени, а переменная $y$ — только в последний. Значит, общая переменная часть равна $x$. Таким образом, НОД равен $4x$. В качестве трех общих делителей можно взять любые делители одночлена $4x$. Например: 2, 4 и $x$.

Ответ: 2, 4, $x$.

в) Для одночленов $15ab^2$, $25ab$, $30a^2b$ находим их НОД. НОД коэффициентов 15, 25 и 30 равен 5. Наименьшая степень переменной $a$, входящей во все одночлены, — первая ($a^1=a$). Наименьшая степень переменной $b$ — также первая ($b^1=b$). Следовательно, общая переменная часть — $ab$. Таким образом, НОД равен $5ab$. В качестве трех общих делителей можно взять любые делители одночлена $5ab$. Например: 5, $a$ и $b$.

Ответ: 5, $a$, $b$.

г) Для одночленов $56xyz$, $42x^2z$, $14y^2z$ находим их НОД. НОД коэффициентов 56, 42 и 14 равен 14. Рассмотрим переменные: $x$ отсутствует в третьем одночлене, $y$ — во втором. Переменная $z$ есть во всех трех одночленах в первой степени. Значит, общая переменная часть равна $z$. Таким образом, НОД равен $14z$. В качестве трех общих делителей можно взять любые делители одночлена $14z$. Например: 7, $z$ и $2z$.

Ответ: 7, $z$, $2z$.

Разложите многочлен на множители:

37.2

а) $3x + 3y;$

б) $5a - 5b;$

в) $7a + 7y;$

г) $8x - 8a.$

а) Чтобы разложить многочлен $3x + 3y$ на множители, необходимо найти общий множитель для каждого его члена и вынести его за скобки. В данном выражении члены $3x$ и $3y$ имеют общий множитель 3. Применяя распределительный закон, выносим 3 за скобки:

$3x + 3y = 3(x+y)$

В скобках остаются выражения, полученные делением каждого члена исходного многочлена на общий множитель: $3x \div 3 = x$ и $3y \div 3 = y$.

Ответ: $3(x+y)$

б) В многочлене $5a - 5b$ оба члена, $5a$ и $-5b$, содержат общий множитель 5. Вынесем этот общий множитель за скобки:

$5a - 5b = 5(a-b)$

Эта операция является обратной к раскрытию скобок. Если мы умножим 5 на двучлен $(a-b)$, то получим исходное выражение: $5 \cdot a - 5 \cdot b = 5a - 5b$.

Ответ: $5(a-b)$

в) Рассмотрим многочлен $7a + 7y$. Чтобы разложить его на множители, найдем общий множитель для членов $7a$ и $7y$. Этим множителем является число 7. Вынесем его за скобки:

$7a + 7y = 7(a+y)$

В результате разложения мы получили произведение числа 7 и двучлена $(a+y)$.

Ответ: $7(a+y)$

г) В многочлене $8x - 8a$ члены $8x$ и $-8a$ имеют общий множитель 8. Выполним вынесение общего множителя за скобки:

$8x - 8a = 8(x-a)$

После вынесения общего множителя 8 за скобки, в скобках остается разность $x - a$, так как $8x \div 8 = x$ и $-8a \div 8 = -a$.

Ответ: $8(x-a)$

37.3 а) $3x + 6y;$

б) $5a - 15b;$

в) $7a + 14y;$

г) $8x - 32a.$

а) $3x + 6y$

Чтобы вынести общий множитель за скобки, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для каждого члена выражения.
Коэффициенты членов: 3 и 6. НОД(3, 6) = 3.
Переменные $x$ и $y$ различны, поэтому их общий множитель равен 1.
Следовательно, общий множитель для всего выражения $3x + 6y$ равен 3.
Вынесем 3 за скобки, разделив каждый член выражения на 3:
$3x + 6y = 3 \cdot \frac{3x}{3} + 3 \cdot \frac{6y}{3} = 3(x + 2y)$.

Ответ: $3(x + 2y)$

б) $5a - 15b$

Найдем наибольший общий делитель для коэффициентов 5 и 15. НОД(5, 15) = 5.
Переменные $a$ и $b$ различны.
Общий множитель для выражения $5a - 15b$ равен 5.
Вынесем 5 за скобки:
$5a - 15b = 5 \cdot \frac{5a}{5} - 5 \cdot \frac{15b}{5} = 5(a - 3b)$.

Ответ: $5(a - 3b)$

в) $7a + 14y$

Найдем наибольший общий делитель для коэффициентов 7 и 14. НОД(7, 14) = 7.
Переменные $a$ и $y$ различны.
Общий множитель для выражения $7a + 14y$ равен 7.
Вынесем 7 за скобки:
$7a + 14y = 7 \cdot \frac{7a}{7} + 7 \cdot \frac{14y}{7} = 7(a + 2y)$.

Ответ: $7(a + 2y)$

г) $8x - 32a$

Найдем наибольший общий делитель для коэффициентов 8 и 32. НОД(8, 32) = 8.
Переменные $x$ и $a$ различны.
Общий множитель для выражения $8x - 32a$ равен 8.
Вынесем 8 за скобки:
$8x - 32a = 8 \cdot \frac{8x}{8} - 8 \cdot \frac{32a}{8} = 8(x - 4a)$.

Ответ: $8(x - 4a)$

37.4 a) $8x + 12y;$

б) $15a - 25b;$

В) $21a + 28y;$

Г) $24x - 32a.$

а) Чтобы разложить на множители выражение $8x + 12y$, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 8 и 12 и вынести его за скобки.

Найдем НОД для чисел 8 и 12.

Делители числа 8: 1, 2, 4, 8.

Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Наибольший общий делитель для 8 и 12 равен 4.

Теперь вынесем общий множитель 4 за скобки. Для этого разделим каждый член выражения на 4:

$8x + 12y = 4 \cdot (\frac{8x}{4}) + 4 \cdot (\frac{12y}{4}) = 4 \cdot (2x) + 4 \cdot (3y) = 4(2x + 3y)$.

Ответ: $4(2x + 3y)$

б) Рассмотрим выражение $15a - 25b$. Найдем наибольший общий делитель для коэффициентов 15 и 25.

Делители числа 15: 1, 3, 5, 15.

Делители числа 25: 1, 5, 25.

Наибольший общий делитель для 15 и 25 равен 5.

Вынесем общий множитель 5 за скобки:

$15a - 25b = 5 \cdot (\frac{15a}{5}) - 5 \cdot (\frac{25b}{5}) = 5 \cdot (3a) - 5 \cdot (5b) = 5(3a - 5b)$.

Ответ: $5(3a - 5b)$

в) В выражении $21a + 28y$ найдем наибольший общий делитель для коэффициентов 21 и 28.

Делители числа 21: 1, 3, 7, 21.

Делители числа 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28.

Наибольший общий делитель для 21 и 28 равен 7.

Вынесем общий множитель 7 за скобки:

$21a + 28y = 7 \cdot (\frac{21a}{7}) + 7 \cdot (\frac{28y}{7}) = 7 \cdot (3a) + 7 \cdot (4y) = 7(3a + 4y)$.

Ответ: $7(3a + 4y)$

г) Для выражения $24x - 32a$ найдем наибольший общий делитель для коэффициентов 24 и 32.

Делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Делители числа 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

Наибольший общий делитель для 24 и 32 равен 8.

Вынесем общий множитель 8 за скобки:

$24x - 32a = 8 \cdot (\frac{24x}{8}) - 8 \cdot (\frac{32a}{8}) = 8 \cdot (3x) - 8 \cdot (4a) = 8(3x - 4a)$.

Ответ: $8(3x - 4a)$

37.5 а) $2.4x + 7.2y$

б) $1.8a - 2.4b$

в) $0.01a + 0.03y$

г) $1.25x - 1.75a$

а) Чтобы вынести общий множитель за скобки в выражении $2,4x + 7,2y$, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов $2,4$ и $7,2$.

Заметим, что $7,2$ делится на $2,4$ без остатка: $7,2 \div 2,4 = 3$.

Следовательно, общим множителем является $2,4$. Вынесем его за скобки, разделив каждый член выражения на $2,4$:

$2,4x + 7,2y = 2,4 \cdot x + 2,4 \cdot 3 \cdot y = 2,4(x + 3y)$.

Ответ: $2,4(x + 3y)$.

б) Рассмотрим выражение $1,8a - 2,4b$. Найдем НОД для коэффициентов $1,8$ и $2,4$.

Для удобства можно работать с целыми числами, умножив коэффициенты на 10. Получим 18 и 24. Наибольший общий делитель для 18 и 24 равен 6. Соответственно, НОД для десятичных дробей $1,8$ и $2,4$ будет $0,6$.

Проверим деление: $1,8 \div 0,6 = 3$ и $2,4 \div 0,6 = 4$.

Теперь вынесем общий множитель $0,6$ за скобки:

$1,8a - 2,4b = 0,6 \cdot 3 \cdot a - 0,6 \cdot 4 \cdot b = 0,6(3a - 4b)$.

Ответ: $0,6(3a - 4b)$.

в) В выражении $0,01a + 0,03y$ коэффициенты равны $0,01$ и $0,03$.

Наибольший общий делитель для этих чисел легко найти, так как $0,03$ кратно $0,01$: $0,03 \div 0,01 = 3$.

Общий множитель — это $0,01$. Выносим его за скобки:

$0,01a + 0,03y = 0,01 \cdot a + 0,01 \cdot 3 \cdot y = 0,01(a + 3y)$.

Ответ: $0,01(a + 3y)$.

г) В выражении $1,25x - 1,75a$ найдем НОД для коэффициентов $1,25$ и $1,75$.

Можно представить эти числа как количество "четвертинок" ($0,25$). $1,25 = 5 \cdot 0,25$ и $1,75 = 7 \cdot 0,25$.

Следовательно, наибольший общий делитель равен $0,25$.

Вынесем общий множитель $0,25$ за скобки:

$1,25x - 1,75a = 0,25 \cdot 5 \cdot x - 0,25 \cdot 7 \cdot a = 0,25(5x - 7a)$.

Ответ: $0,25(5x - 7a)$.

37.6 a) $\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}y$;

б) $\frac{8}{9}a - \frac{16}{27}b$;

в) $\frac{18}{25}a + \frac{12}{35}y$;

г) $\frac{12}{49}x - \frac{3}{28}y$.

а) В выражении $\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}y$ коэффициенты при переменных $\frac{1}{3}$ и $\frac{4}{3}$ имеют общий множитель $\frac{1}{3}$. Вынесем его за скобки. Для этого разделим каждый член выражения на $\frac{1}{3}$.
$\frac{1}{3}x : \frac{1}{3} = x$
$\frac{4}{3}y : \frac{1}{3} = \frac{4}{3}y \cdot 3 = 4y$
Таким образом, получаем:
$\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}y = \frac{1}{3}(x + 4y)$.
Ответ: $\frac{1}{3}(x + 4y)$.

б) В выражении $\frac{8}{9}a - \frac{16}{27}b$ нужно вынести за скобки общий множитель коэффициентов $\frac{8}{9}$ и $\frac{16}{27}$. Наибольший общий делитель (НОД) для дробей находится как дробь, числитель которой равен НОД числителей, а знаменатель — наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей.
Находим НОД числителей: НОД(8, 16) = 8.
Находим НОК знаменателей: НОК(9, 27) = 27.
Общий множитель равен $\frac{8}{27}$.
Выносим его за скобки, деля каждый член выражения на $\frac{8}{27}$:
$\frac{8}{9}a : \frac{8}{27} = \frac{8}{9}a \cdot \frac{27}{8} = 3a$
$\frac{16}{27}b : \frac{8}{27} = \frac{16}{27}b \cdot \frac{27}{8} = 2b$
Следовательно, выражение примет вид:
$\frac{8}{9}a - \frac{16}{27}b = \frac{8}{27}(3a - 2b)$.
Ответ: $\frac{8}{27}(3a - 2b)$.

в) В выражении $\frac{18}{25}a + \frac{12}{35}y$ найдем общий множитель для коэффициентов $\frac{18}{25}$ и $\frac{12}{35}$.
Находим НОД числителей: НОД(18, 12) = 6.
Находим НОК знаменателей: $25 = 5^2$, $35 = 5 \cdot 7$. НОК(25, 35) = $5^2 \cdot 7 = 175$.
Общий множитель равен $\frac{6}{175}$.
Выносим его за скобки:
$\frac{18}{25}a : \frac{6}{175} = \frac{18}{25}a \cdot \frac{175}{6} = 3a \cdot 7 = 21a$
$\frac{12}{35}y : \frac{6}{175} = \frac{12}{35}y \cdot \frac{175}{6} = 2y \cdot 5 = 10y$
Таким образом, получаем:
$\frac{18}{25}a + \frac{12}{35}y = \frac{6}{175}(21a + 10y)$.
Ответ: $\frac{6}{175}(21a + 10y)$.

г) В выражении $\frac{12}{49}x - \frac{3}{28}y$ найдем общий множитель для коэффициентов $\frac{12}{49}$ и $\frac{3}{28}$.
Находим НОД числителей: НОД(12, 3) = 3.
Находим НОК знаменателей: $49 = 7^2$, $28 = 2^2 \cdot 7$. НОК(49, 28) = $2^2 \cdot 7^2 = 4 \cdot 49 = 196$.
Общий множитель равен $\frac{3}{196}$.
Выносим его за скобки:
$\frac{12}{49}x : \frac{3}{196} = \frac{12}{49}x \cdot \frac{196}{3} = 4x \cdot 4 = 16x$
$\frac{3}{28}y : \frac{3}{196} = \frac{3}{28}y \cdot \frac{196}{3} = y \cdot 7 = 7y$
Следовательно, выражение примет вид:
$\frac{12}{49}x - \frac{3}{28}y = \frac{3}{196}(16x - 7y)$.
Ответ: $\frac{3}{196}(16x - 7y)$.

37.7 a) $3\frac{1}{5}x + 3\frac{2}{15}y;$

б) $4\frac{2}{7}a - 1\frac{1}{14}b.$

а) $3\frac{1}{5}x + 3\frac{2}{15}y$

Для того чтобы вынести общий множитель за скобки, представим коэффициенты в виде неправильных дробей. Это позволит нам найти их наибольший общий делитель (НОД).

1. Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{15+1}{5} = \frac{16}{5}$

$3\frac{2}{15} = \frac{3 \cdot 15 + 2}{15} = \frac{45+2}{15} = \frac{47}{15}$

2. Запишем исходное выражение с неправильными дробями:

$\frac{16}{5}x + \frac{47}{15}y$

3. Приведем дроби к общему знаменателю, чтобы найти общий множитель. Наименьший общий знаменатель для 5 и 15 равен 15.

$\frac{16}{5} = \frac{16 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{48}{15}$

4. Теперь выражение выглядит так:

$\frac{48}{15}x + \frac{47}{15}y$

5. Мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $\frac{1}{15}$. Вынесем его за скобки. Для этого разделим каждый член выражения на $\frac{1}{15}$:

$\frac{48}{15}x : \frac{1}{15} = \frac{48}{15} \cdot \frac{15}{1} \cdot x = 48x$

$\frac{47}{15}y : \frac{1}{15} = \frac{47}{15} \cdot \frac{15}{1} \cdot y = 47y$

6. Запишем выражение с вынесенным общим множителем:

$\frac{1}{15}(48x + 47y)$

Ответ: $\frac{1}{15}(48x + 47y)$

б) $4\frac{2}{7}a - 1\frac{1}{14}b$

Как и в предыдущем примере, вынесем общий множитель за скобки, предварительно преобразовав коэффициенты в неправильные дроби.

1. Переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$4\frac{2}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{28+2}{7} = \frac{30}{7}$

$1\frac{1}{14} = \frac{1 \cdot 14 + 1}{14} = \frac{15}{14}$

2. Запишем выражение с новыми коэффициентами:

$\frac{30}{7}a - \frac{15}{14}b$

3. Найдем наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов $\frac{30}{7}$ и $\frac{15}{14}$. НОД дробей находится как $\frac{\text{НОД(числителей)}}{\text{НОК(знаменателей)}}$.

НОД(30, 15) = 15

НОК(7, 14) = 14

Следовательно, общий множитель равен $\frac{15}{14}$.

4. Вынесем $\frac{15}{14}$ за скобки. Для этого разделим каждый член выражения на $\frac{15}{14}$:

$(\frac{30}{7}a) : \frac{15}{14} = \frac{30}{7} \cdot \frac{14}{15} \cdot a = \frac{30}{15} \cdot \frac{14}{7} \cdot a = 2 \cdot 2 \cdot a = 4a$

$(\frac{15}{14}b) : \frac{15}{14} = 1 \cdot b = b$

5. Запишем итоговое выражение:

$\frac{15}{14}(4a - b)$

6. Представим неправильную дробь $\frac{15}{14}$ в виде смешанного числа, чтобы соответствовать формату исходного задания:

$\frac{15}{14} = 1\frac{1}{14}$

Ответ: $1\frac{1}{14}(4a - b)$

37.8 а) $3b^2 - 3b;$

б) $a^4 + 2a^2;$

в) $4c^2 - 12c^5;$

г) $8d^4 - 32d^2.$

а) Чтобы разложить на множители выражение $3b^2 - 3b$, необходимо вынести за скобки общий множитель. Общим множителем для числовых коэффициентов 3 и -3 является 3. Общим множителем для переменных $b^2$ и $b$ является $b$ в наименьшей степени, то есть $b$. Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $3b$.
Выполним деление каждого члена многочлена на общий множитель:
$3b^2 \div (3b) = b$
$-3b \div (3b) = -1$
Запишем исходное выражение в виде произведения общего множителя и многочлена в скобках:
$3b^2 - 3b = 3b(b - 1)$.
Ответ: $3b(b-1)$

б) В выражении $a^4 + 2a^2$ общий числовой множитель равен 1. Общий множитель для переменных $a^4$ и $a^2$ — это переменная в наименьшей степени, то есть $a^2$. Вынесем $a^2$ за скобки.
Разделим каждый член на $a^2$:
$a^4 \div a^2 = a^{4-2} = a^2$
$2a^2 \div a^2 = 2$
Следовательно, разложение на множители будет выглядеть так:
$a^4 + 2a^2 = a^2(a^2 + 2)$.
Ответ: $a^2(a^2+2)$

в) Рассмотрим выражение $4c^2 - 12c^5$. Найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 4 и 12. НОД(4, 12) = 4. Общий множитель для переменных $c^2$ и $c^5$ — это $c^2$. Значит, общий множитель для всего выражения — $4c^2$.
Вынесем $4c^2$ за скобки, разделив на него каждый член многочлена:
$4c^2 \div (4c^2) = 1$
$-12c^5 \div (4c^2) = -3c^{5-2} = -3c^3$
В результате получаем:
$4c^2 - 12c^5 = 4c^2(1 - 3c^3)$.
Ответ: $4c^2(1-3c^3)$

г) В выражении $8d^4 - 32d^2$ найдем общий множитель. НОД для коэффициентов 8 и 32 равен 8. Общий множитель для переменных $d^4$ и $d^2$ — это $d^2$. Таким образом, за скобки выносим $8d^2$.
Выполним деление:
$8d^4 \div (8d^2) = d^{4-2} = d^2$
$-32d^2 \div (8d^2) = -4$
Получаем $8d^2(d^2 - 4)$.
Обратим внимание, что выражение в скобках, $d^2 - 4$, является разностью квадратов, так как $d^2=(d)^2$ и $4=2^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$d^2 - 4 = (d-2)(d+2)$.
Окончательное разложение на множители:
$8d^4 - 32d^2 = 8d^2(d-2)(d+2)$.
Ответ: $8d^2(d-2)(d+2)$

37.9 а) $x^3 - 3x^2 - x;$

б) $2m^6 - 4m^3 + 6m;$

в) $y^5 - 2y^4 + y^2;$

г) $9p^4 - 18p^2 - 27p.$

а) Чтобы разложить на множители выражение $x^3 - 3x^2 - x$, первым шагом является вынесение общего множителя за скобки. Общим множителем для всех членов многочлена является $x$, так как это наименьшая степень переменной $x$ в выражении.

Выносим $x$ за скобки: $x(x^2 - 3x - 1)$.

Далее рассмотрим квадратный трехчлен в скобках: $x^2 - 3x - 1$. Чтобы проверить, можно ли его разложить на множители с целыми коэффициентами, найдем его дискриминант по формуле $\Delta = b^2 - 4ac$. Для этого трехчлена коэффициенты равны $a=1$, $b=-3$, $c=-1$.

$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$.

Поскольку дискриминант $\Delta = 13$ не является квадратом целого числа, корни этого трехчлена иррациональны. Это означает, что его нельзя разложить на множители с целыми коэффициентами. Таким образом, полученное выражение является окончательным.

Ответ: $x(x^2 - 3x - 1)$

б) Рассмотрим выражение $2m^6 - 4m^3 + 6m$. Сначала найдем наибольший общий множитель для всех членов. Наибольший общий делитель коэффициентов 2, -4, 6 равен 2. Наименьшая степень переменной $m$ в выражении — первая. Следовательно, общий множитель, который можно вынести за скобки, — это $2m$.

Выполним вынесение за скобки: $2m(m^5 - 2m^2 + 3)$.

Теперь проанализируем многочлен в скобках: $P(m) = m^5 - 2m^2 + 3$. Попробуем найти его целые корни, которые должны быть делителями свободного члена (числа 3). Делители: $\pm 1, \pm 3$.

Проверим значение $m = -1$: $P(-1) = (-1)^5 - 2(-1)^2 + 3 = -1 - 2(1) + 3 = -1 - 2 + 3 = 0$.

Так как $P(-1) = 0$, то $(m+1)$ является одним из множителей. Чтобы найти второй множитель, разделим многочлен $m^5 - 2m^2 + 3$ на $(m+1)$. В результате деления получаем многочлен $m^4 - m^3 + m^2 - 3m + 3$.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде $2m(m+1)(m^4 - m^3 + m^2 - 3m + 3)$. Многочлен четвертой степени в скобках не имеет рациональных корней и не раскладывается на множители с целыми коэффициентами.

Ответ: $2m(m+1)(m^4 - m^3 + m^2 - 3m + 3)$

в) Разложим на множители выражение $y^5 - 2y^4 + y^2$. Наименьшая степень переменной $y$ — вторая, поэтому общим множителем является $y^2$.

Вынесем $y^2$ за скобки: $y^2(y^3 - 2y^2 + 1)$.

Рассмотрим многочлен в скобках $P(y) = y^3 - 2y^2 + 1$. Проверим наличие целых корней среди делителей свободного члена (числа 1): $\pm 1$.

Подставим $y = 1$: $P(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$.

Поскольку $P(1) = 0$, то $(y-1)$ является множителем. Разделив $y^3 - 2y^2 + 1$ на $(y-1)$, получим частное $y^2 - y - 1$.

Теперь у нас есть разложение $y^2(y-1)(y^2 - y - 1)$. Проверим, можно ли разложить на множители квадратный трехчлен $y^2 - y - 1$. Его дискриминант $\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$. Так как дискриминант не является точным квадратом, дальнейшее разложение на множители с целыми коэффициентами невозможно.

Ответ: $y^2(y-1)(y^2 - y - 1)$

г) В выражении $9p^4 - 18p^2 - 27p$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель коэффициентов 9, 18 и 27 равен 9. Наименьшая степень переменной $p$ равна 1. Следовательно, общий множитель — $9p$.

Выносим $9p$ за скобки: $9p(p^3 - 2p - 3)$.

Далее проанализируем многочлен в скобках $P(p) = p^3 - 2p - 3$. Попробуем найти его целые корни среди делителей свободного члена (-3): $\pm 1, \pm 3$.

Проверим каждый из них:
$P(1) = 1^3 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \neq 0$
$P(-1) = (-1)^3 - 2(-1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2 \neq 0$
$P(3) = 3^3 - 2(3) - 3 = 27 - 6 - 3 = 18 \neq 0$
$P(-3) = (-3)^3 - 2(-3) - 3 = -27 + 6 - 3 = -24 \neq 0$

Поскольку ни один из возможных целых корней не обращает многочлен в ноль, дальнейшее разложение на множители с целыми коэффициентами невозможно.

Ответ: $9p(p^3 - 2p - 3)$