Страница 165, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Сформулируйте алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов.

Алгоритм отыскания общего множителя (который также является их наибольшим общим делителем) для нескольких одночленов заключается в последовательном выполнении следующих действий:

1. Нахождение общего делителя для коэффициентов. Необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для модулей числовых коэффициентов всех данных одночленов.
2. Определение общих переменных. Необходимо выписать все переменные, которые одновременно присутствуют в каждом из одночленов. Если таких переменных нет, то общая переменная часть отсутствует.
3. Определение наименьших степеней. Для каждой общей переменной, определенной на предыдущем шаге, нужно найти наименьший показатель степени, с которым она входит в состав каждого из одночленов.
4. Формирование общего множителя. Общий множитель составляется как произведение НОД коэффициентов, найденного в первом пункте, и общих переменных, возведенных в соответствующие наименьшие степени, найденные в третьем пункте.

Рассмотрим применение алгоритма на примере. Найдем общий множитель для одночленов $24x^3y^4z$, $-36x^2y^5$ и $48x^4y^2$.

1. Находим НОД коэффициентов. Коэффициенты: 24, -36, 48. Их модули: 24, 36, 48. Наибольший общий делитель для этих чисел: $НОД(24, 36, 48) = 12$.
2. Определяем общие переменные. Переменная $x$ и переменная $y$ входят в каждый из трех одночленов. Переменная $z$ есть только в первом одночлене, поэтому она не является общей. Общие переменные: $x, y$.
3. Определяем наименьшие степени. Для переменной $x$ степени равны 3, 2, 4; наименьшая степень – 2. Для переменной $y$ степени равны 4, 5, 2; наименьшая степень – 2.
4. Формируем общий множитель. Он равен произведению НОД коэффициентов и общих переменных в их наименьших степенях: $12 \cdot x^2 \cdot y^2 = 12x^2y^2$.

Таким образом, общий множитель для одночленов $24x^3y^4z$, $-36x^2y^5$ и $48x^4y^2$ равен $12x^2y^2$.

Ответ: Чтобы найти общий множитель нескольких одночленов, нужно: 1) найти наибольший общий делитель модулей их коэффициентов; 2) найти переменные, входящие в каждый одночлен, и для каждой из них взять наименьший показатель степени; 3) перемножить результаты, полученные в пунктах 1 и 2.

2. Приведите пример трёхчлена, у которого можно вынести за скобки общий множитель $3x^2$.

Чтобы составить трёхчлен, у которого можно вынести за скобки общий множитель $3x^2$, необходимо, чтобы каждый из трёх его членов был кратен $3x^2$. Это означает, что каждый член должен содержать множитель 3 (или число, кратное 3) и переменную $x$ в степени не меньше 2.

Для построения примера можно взять три любых одночлена (например, $5y$, $-x$ и $2$) и умножить каждый из них на $3x^2$.

1. Умножим первый одночлен на $3x^2$:
$3x^2 \cdot (5y) = 15x^2y$

2. Умножим второй одночлен на $3x^2$:
$3x^2 \cdot (-x) = -3x^3$

3. Умножим третий одночлен на $3x^2$:
$3x^2 \cdot (2) = 6x^2$

Теперь сложим полученные результаты, чтобы получить искомый трёхчлен:

$15x^2y - 3x^3 + 6x^2$

Проверим, вынеся за скобки общий множитель $3x^2$:

$15x^2y - 3x^3 + 6x^2 = 3x^2(5y - x + 2)$

Как видно, $3x^2$ действительно является общим множителем для этого трёхчлена.

Ответ: $15x^2y - 3x^3 + 6x^2$ (возможны и другие варианты, например, $3x^4+6x^3-9x^2$).

37.28 При каких значениях $p$ график линейной функции $y = p^2 - 2px$ проходит через заданную точку:

а) (1; 0);

б) ($-\frac{1}{2}$; 0);

в) (-1; 0);

г) (2,5; 0)?

Чтобы найти значения параметра p, при которых график линейной функции $y = p^2 - 2px$ проходит через заданную точку, необходимо подставить координаты этой точки (x; y) в уравнение функции и решить полученное уравнение относительно p.

а) (1; 0)

Подставляем $x = 1$ и $y = 0$ в уравнение функции:

$0 = p^2 - 2p \cdot 1$

$p^2 - 2p = 0$

Выносим общий множитель p за скобки:

$p(p - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для p:

$p_1 = 0$

$p - 2 = 0 \implies p_2 = 2$

Ответ: $p = 0$ или $p = 2$.

б) $(-\frac{1}{2}; 0)$

Подставляем $x = -\frac{1}{2}$ и $y = 0$ в уравнение функции:

$0 = p^2 - 2p \cdot (-\frac{1}{2})$

$0 = p^2 + p$

Выносим общий множитель p за скобки:

$p(p + 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для p:

$p_1 = 0$

$p + 1 = 0 \implies p_2 = -1$

Ответ: $p = 0$ или $p = -1$.

в) (-1; 0)

Подставляем $x = -1$ и $y = 0$ в уравнение функции:

$0 = p^2 - 2p \cdot (-1)$

$0 = p^2 + 2p$

Выносим общий множитель p за скобки:

$p(p + 2) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для p:

$p_1 = 0$

$p + 2 = 0 \implies p_2 = -2$

Ответ: $p = 0$ или $p = -2$.

г) (2,5; 0)

Подставляем $x = 2,5$ и $y = 0$ в уравнение функции:

$0 = p^2 - 2p \cdot 2,5$

$0 = p^2 - 5p$

Выносим общий множитель p за скобки:

$p(p - 5) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для p:

$p_1 = 0$

$p - 5 = 0 \implies p_2 = 5$

Ответ: $p = 0$ или $p = 5$.

38.1 В данных выражениях вынесите общий множитель за скобки. Выпишите попарно те выражения, которые будут содержать одинаковые двучлены:

а) $2x - x^2$, $-3ax + 2x^2$, $2ax^2 - 3a^2x$, $4xy - 2x^2y$;

б) $ab - 3b^2$, $a^2 - 3ab$, $5 + 10x$, $a + 2ax$;

в) $n^2 - nm$, $6a^2 - 9ab$, $mn - n^2$, $2ab - 3b^2$;

г) $4x - 8$, $x^2 - 2x$, $-5 - 15m$, $21mn + 7n$.

а)

Для каждого выражения вынесем общий множитель за скобки, чтобы определить содержащийся в нем двучлен.

$2x - x^2 = x(2 - x)$

$-3ax + 2x^2 = x(-3a + 2x) = x(2x - 3a)$

$2ax^2 - 3a^2x = ax(2x - 3a)$

$4xy - 2x^2y = 2xy(2 - x)$

Теперь, сравнивая двучлены в скобках, мы можем сгруппировать выражения попарно. Выражения $2x - x^2$ и $4xy - 2x^2y$ содержат одинаковый двучлен $(2 - x)$. Выражения $-3ax + 2x^2$ и $2ax^2 - 3a^2x$ содержат одинаковый двучлен $(2x - 3a)$.

Ответ: $(2x - x^2, 4xy - 2x^2y)$ и $(-3ax + 2x^2, 2ax^2 - 3a^2x)$.

б)

Для каждого выражения вынесем общий множитель за скобки.

$ab - 3b^2 = b(a - 3b)$

$a^2 - 3ab = a(a - 3b)$

$5 + 10x = 5(1 + 2x)$

$a + 2ax = a(1 + 2x)$

Сравнивая двучлены, находим пары. Выражения $ab - 3b^2$ и $a^2 - 3ab$ имеют общий двучлен $(a - 3b)$. Выражения $5 + 10x$ и $a + 2ax$ имеют общий двучлен $(1 + 2x)$.

Ответ: $(ab - 3b^2, a^2 - 3ab)$ и $(5 + 10x, a + 2ax)$.

в)

Вынесем общий множитель за скобки в каждом выражении.

$n^2 - nm = n(n - m)$

$6a^2 - 9ab = 3a(2a - 3b)$

$mn - n^2 = n(m - n)$. Чтобы получить двучлен, идентичный первому выражению, можно вынести за скобки $-n$: $mn - n^2 = -n(-m + n) = -n(n - m)$.

$2ab - 3b^2 = b(2a - 3b)$

Находим пары с одинаковыми двучленами. Выражения $n^2 - nm$ и $mn - n^2$ содержат двучлен $(n - m)$ (второе выражение после вынесения множителя $-n$). Выражения $6a^2 - 9ab$ и $2ab - 3b^2$ содержат двучлен $(2a - 3b)$.

Ответ: $(n^2 - nm, mn - n^2)$ и $(6a^2 - 9ab, 2ab - 3b^2)$.

г)

Вынесем общий множитель за скобки в каждом выражении.

$4x - 8 = 4(x - 2)$

$x^2 - 2x = x(x - 2)$

$-5 - 15m = -5(1 + 3m)$

$21mn + 7n = 7n(3m + 1)$

Сравнивая двучлены, находим пары. Учитываем, что от перестановки слагаемых сумма не меняется, поэтому $(1 + 3m) = (3m + 1)$. Первая пара, $4x - 8$ и $x^2 - 2x$, содержит двучлен $(x - 2)$. Вторая пара, $-5 - 15m$ и $21mn + 7n$, содержит двучлен $(1 + 3m)$.

Ответ: $(4x - 8, x^2 - 2x)$ и $(-5 - 15m, 21mn + 7n)$.

38.2 Из данных выражений выпишите попарно те, которые после вынесения общего множителя будут содержать в скобках одинаковые двучлены:

а) $2by - bz$, $4ax - az$, $2ay - az$, $4bx - bz$;

б) $6ax - 3x$, $-2a + 1$, $3by - 3y$, $c - cb$;

в) $a^3 - 2a^2$, $4ab - 2a^2b$, $5ac^2 - 10ac$, $3a - 6$;

г) $3mn^2 - 6m^2n$, $abn - 2abm$, $a^2x^3 - 9a^2x$, $9x^2 - x^4$.

а)

Для нахождения пар выражений с одинаковыми двучленами в скобках после вынесения общего множителя, разложим каждое выражение на множители:

1. $2by - bz$. Общий множитель $b$. Получаем: $b(2y - z)$.

2. $4ax - az$. Общий множитель $a$. Получаем: $a(4x - z)$.

3. $2ay - az$. Общий множитель $a$. Получаем: $a(2y - z)$.

4. $4bx - bz$. Общий множитель $b$. Получаем: $b(4x - z)$.

Теперь сравним двучлены в скобках. Выражения $2by - bz$ и $2ay - az$ имеют одинаковый двучлен $(2y - z)$. Выражения $4ax - az$ и $4bx - bz$ имеют одинаковый двучлен $(4x - z)$.

Ответ: $(2by - bz, 2ay - az)$ и $(4ax - az, 4bx - bz)$.

б)

Разложим на множители каждое из данных выражений:

1. $6ax - 3x$. Общий множитель $3x$. Получаем: $3x(2a - 1)$.

2. $-2a + 1$. Вынесем $-1$ за скобки. Получаем: $-(2a - 1)$.

3. $3by - 3y$. Общий множитель $3y$. Получаем: $3y(b - 1)$.

4. $c - cb$. Общий множитель $c$. Получаем: $c(1 - b)$. Этот двучлен можно представить как $-c(b - 1)$, чтобы он соответствовал двучлену из предыдущего выражения.

Находим пары: выражения $6ax - 3x$ и $-2a + 1$ содержат одинаковый двучлен $(2a - 1)$. Выражения $3by - 3y$ и $c - cb$ содержат противоположные двучлены $(b - 1)$ и $(1 - b)$, поэтому они тоже образуют пару.

Ответ: $(6ax - 3x, -2a + 1)$ и $(3by - 3y, c - cb)$.

в)

Вынесем общий множитель за скобки в каждом выражении:

1. $a^3 - 2a^2$. Общий множитель $a^2$. Получаем: $a^2(a - 2)$.

2. $4ab - 2a^2b$. Общий множитель $2ab$. Получаем: $2ab(2 - a)$. Двучлен $(2 - a)$ является противоположным для $(a - 2)$, то есть $-(a - 2)$.

3. $5ac^2 - 10ac$. Общий множитель $5ac$. Получаем: $5ac(c - 2)$.

4. $3a - 6$. Общий множитель $3$. Получаем: $3(a - 2)$.

Три выражения ($a^3 - 2a^2$, $4ab - 2a^2b$, $3a - 6$) содержат двучлен $(a - 2)$ или его противоположный вариант. Из них можно составить три пары. Выражение $5ac^2 - 10ac$ не имеет пары.

Пары:

1. $(a^3 - 2a^2, 3a - 6)$, так как оба содержат двучлен $(a - 2)$.

2. $(a^3 - 2a^2, 4ab - 2a^2b)$, так как содержат двучлены $(a - 2)$ и $(2 - a)$.

3. $(3a - 6, 4ab - 2a^2b)$, так как содержат двучлены $(a - 2)$ и $(2 - a)$.

Ответ: $(a^3 - 2a^2, 3a - 6)$; $(a^3 - 2a^2, 4ab - 2a^2b)$; $(3a - 6, 4ab - 2a^2b)$.

г)

Разложим на множители данные выражения:

1. $3mn^2 - 6m^2n$. Общий множитель $3mn$. Получаем: $3mn(n - 2m)$.

2. $abn - 2abm$. Общий множитель $ab$. Получаем: $ab(n - 2m)$.

3. $a^2x^3 - 9a^2x$. Общий множитель $a^2x$. Получаем: $a^2x(x^2 - 9)$.

4. $9x^2 - x^4$. Общий множитель $x^2$. Получаем: $x^2(9 - x^2)$. Двучлен $(9 - x^2)$ противоположен $(x^2 - 9)$.

Сгруппируем в пары: выражения $3mn^2 - 6m^2n$ и $abn - 2abm$ имеют одинаковый двучлен $(n - 2m)$. Выражения $a^2x^3 - 9a^2x$ и $9x^2 - x^4$ имеют противоположные двучлены $(x^2 - 9)$ и $(9 - x^2)$ и образуют вторую пару.

Ответ: $(3mn^2 - 6m^2n, abn - 2abm)$ и $(a^2x^3 - 9a^2x, 9x^2 - x^4)$.

Разложите многочлен на множители:

38.3 a) $3a + 3 + na + n;$

б) $6mx - 2m + 9x - 3;$

в) $ax + 3x + 4a + 12;$

г) $2mx - 3m + 4x - 6.$

а) Для разложения многочлена $3a + 3 + na + n$ на множители используется метод группировки. Сгруппируем попарно слагаемые, имеющие общие множители:

$(3a + 3) + (na + n)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $3$, а во второй группе — общий множитель $n$:

$3(a + 1) + n(a + 1)$

Теперь у получившихся слагаемых есть общий множитель — это скобка $(a + 1)$. Вынесем ее за скобки:

$(a + 1)(3 + n)$

Ответ: $(a + 1)(3 + n)$

б) Разложим на множители многочлен $6mx - 2m + 9x - 3$. Сгруппируем первый член со вторым, а третий с четвертым:

$(6mx - 2m) + (9x - 3)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой из групп. В первой группе это $2m$, во второй — $3$:

$2m(3x - 1) + 3(3x - 1)$

Мы получили два слагаемых, у которых есть общий множитель $(3x - 1)$. Вынесем его за скобки:

$(3x - 1)(2m + 3)$

Ответ: $(3x - 1)(2m + 3)$

в) Чтобы разложить на множители многочлен $ax + 3x + 4a + 12$, сгруппируем слагаемые:

$(ax + 3x) + (4a + 12)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $4$:

$x(a + 3) + 4(a + 3)$

Получившиеся слагаемые имеют общий множитель $(a + 3)$, который мы выносим за скобки:

$(a + 3)(x + 4)$

Ответ: $(a + 3)(x + 4)$

г) Разложим на множители многочлен $2mx - 3m + 4x - 6$. Сгруппируем члены попарно:

$(2mx - 3m) + (4x - 6)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. Из первой группы вынесем $m$, из второй — $2$:

$m(2x - 3) + 2(2x - 3)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(2x - 3)$. Вынесем его:

$(2x - 3)(m + 2)$

Ответ: $(2x - 3)(m + 2)$

38.4 a) $7kn - 6k - 14n + 12;$

б) $7x + 7a - 5ax - 5a^2;$

в) $9m^2 - 9mn - 5m + 5n;$

г) $bc + 3ac - 2ab - 6a^2.$

а) $7kn - 6k - 14n + 12$

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем члены попарно: первый со вторым, а третий с четвертым. Для удобства запишем это в скобках:

$(7kn - 6k) + (-14n + 12)$

Теперь из каждой группы вынесем за скобки общий множитель. В первой группе это $k$, а во второй группе вынесем $-2$, чтобы получить в скобках такое же выражение, как и в первой группе:

$k(7n - 6) - 2(7n - 6)$

Мы видим, что теперь у нас есть общий множитель $(7n - 6)$, который мы также можем вынести за скобки:

$(7n - 6)(k - 2)$

Таким образом, мы разложили исходный многочлен на два множителя.

Ответ: $(7n - 6)(k - 2)$

б) $7x + 7a - 5ax - 5a^2$

Применим метод группировки. Сгруппируем первые два члена и последние два члена:

$(7x + 7a) + (-5ax - 5a^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $7$, а из второй — $-5a$:

$7(x + a) - 5a(x + a)$

Теперь у нас есть общий множитель $(x + a)$, вынесем его за скобки:

$(x + a)(7 - 5a)$

Ответ: $(x + a)(7 - 5a)$

в) $9m^2 - 9mn - 5m + 5n$

Сгруппируем члены многочлена: первый со вторым и третий с четвертым.

$(9m^2 - 9mn) + (-5m + 5n)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $9m$. Во второй группе вынесем $-5$, чтобы выражение в скобках совпало с выражением в первой группе:

$9m(m - n) - 5(m - n)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(m - n)$:

$(m - n)(9m - 5)$

Ответ: $(m - n)(9m - 5)$

г) $bc + 3ac - 2ab - 6a^2$

Сгруппируем члены многочлена. Например, первый с третьим и второй с четвертым:

$(bc - 2ab) + (3ac - 6a^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $b$, во второй — $3a$:

$b(c - 2a) + 3a(c - 2a)$

Теперь мы видим общий множитель $(c - 2a)$, который можно вынести за скобки:

$(c - 2a)(b + 3a)$

Можно было сгруппировать и по-другому (первый со вторым, третий с четвертым), результат был бы тот же.

Ответ: $(c - 2a)(b + 3a)$

38.5 a) $5y^2 + y + y^3 + 5$;

Б) $y^3 - 4 + 2y - 2y^2$;

В) $z^3 + 21 + 3z + 7z^2$;

Г) $z - 3z^2 + z^3 - 3$.

а) Чтобы разложить многочлен $5y^2 + y + y^3 + 5$ на множители, воспользуемся методом группировки. Сначала переставим слагаемые для удобства, сгруппировав их по убыванию степеней переменной $y$:

$y^3 + 5y^2 + y + 5$

Теперь сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:

$(y^3 + 5y^2) + (y + 5)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $y^2$, а во второй — 1:

$y^2(y + 5) + 1(y + 5)$

Теперь мы видим общий множитель $(y + 5)$, который также можно вынести за скобки:

$(y + 5)(y^2 + 1)$

Ответ: $(y + 5)(y^2 + 1)$

б) Для разложения многочлена $y^3 - 4 + 2y - 2y^2$ на множители применим метод группировки. Переставим слагаемые в порядке убывания степеней $y$:

$y^3 - 2y^2 + 2y - 4$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$(y^3 - 2y^2) + (2y - 4)$

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы выносим $y^2$, а из второй — 2:

$y^2(y - 2) + 2(y - 2)$

Теперь вынесем общий множитель $(y - 2)$ за скобки:

$(y - 2)(y^2 + 2)$

Ответ: $(y - 2)(y^2 + 2)$

в) Разложим многочлен $z^3 + 21 + 3z + 7z^2$ на множители методом группировки. Для начала упорядочим члены многочлена по убыванию степеней переменной $z$:

$z^3 + 7z^2 + 3z + 21$

Сгруппируем первые два члена и последние два члена:

$(z^3 + 7z^2) + (3z + 21)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой из групп. В первой группе это $z^2$, во второй — 3:

$z^2(z + 7) + 3(z + 7)$

Общий множитель для обеих групп — это $(z + 7)$. Вынесем его за скобки:

$(z + 7)(z^2 + 3)$

Ответ: $(z + 7)(z^2 + 3)$

г) Чтобы разложить на множители многочлен $z - 3z^2 + z^3 - 3$, применим метод группировки. Сначала расположим слагаемые в порядке убывания степеней $z$:

$z^3 - 3z^2 + z - 3$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$(z^3 - 3z^2) + (z - 3)$

Вынесем за скобки общий множитель в каждой группе. В первой группе это $z^2$, а во второй — 1:

$z^2(z - 3) + 1(z - 3)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(z - 3)$:

$(z - 3)(z^2 + 1)$

Ответ: $(z - 3)(z^2 + 1)$