Страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Таблица распределения данных выглядит так.

Результат △ □ ☺ # ●

Сколько раз встретился 3 7 5 4 6

Найдите:

а) объём полученных данных;

б) моду данных;

в) частоту моды;

г) процентную частоту моды. Заполните таблицу распределения процентных частот.

Результат △ □ ☺ # ●

Процентная частота

а) Объём полученных данных – это общее количество всех наблюдений. Чтобы его найти, нужно сложить все значения из строки "Сколько раз встретился" (частоты).

Объём данных = $3 + 7 + 5 + 4 + 6 = 25$.

Ответ: 25.

б) Мода данных – это значение (результат), которое встречается чаще других. Для её нахождения необходимо найти наибольшую частоту в таблице.

Наибольшая частота равна 7. Эта частота соответствует результату ☐ (квадрат).

Ответ: ☐.

в) Частота моды – это число, показывающее, сколько раз встретилась мода. Модой является результат ☐, его частота, согласно таблице, равна 7.

Ответ: 7.

г) Процентная частота моды – это отношение частоты моды к общему объёму данных, выраженное в процентах. Она вычисляется по формуле: $ ( \frac{\text{частота моды}}{\text{объём данных}} ) \times 100\% $.

Подставим известные значения: частота моды равна 7, а объём данных равен 25.

Процентная частота моды = $ ( \frac{7}{25} ) \times 100\% = 0.28 \times 100\% = 28\% $.

Ответ: 28%.

Заполнение таблицы распределения процентных частот.

Для заполнения таблицы необходимо рассчитать процентную частоту для каждого результата. Общий объём данных равен 25.

Для результата 🏠 (частота 3): $ ( \frac{3}{25} ) \times 100\% = 12\% $.

Для результата ☐ (частота 7): $ ( \frac{7}{25} ) \times 100\% = 28\% $.

Для результата ☺ (частота 5): $ ( \frac{5}{25} ) \times 100\% = 20\% $.

Для результата # (частота 4): $ ( \frac{4}{25} ) \times 100\% = 16\% $.

Для результата ● (частота 6): $ ( \frac{6}{25} ) \times 100\% = 24\% $.

Заполненная таблица:

35.5 а) Запишите поочерёдно значения степеней подчёркнутых одночленов.

б) Составьте таблицу распределения степеней, найденных в пункте а).

в) Составьте таблицу распределения процентных частот.

Так как в условии задачи не предоставлены сами «подчёркнутые одночлены», для демонстрации решения воспользуемся гипотетическим примером. Допустим, нам дан следующий ряд одночленов:

$5x^2y^3, 3x^4, -xy^3, 7x^2y^2, -2x^4, x^2y^3, 9x^4, 4x^3y, x^2y^2, -6x^2y^3$

Всего в этом ряду 10 одночленов.

Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Определим степень для каждого одночлена в нашем ряду:

• $5x^2y^3$ : степень равна $2 + 3 = 5$
• $3x^4$ : степень равна $4$
• $-xy^3$ (то есть $-x^1y^3$) : степень равна $1 + 3 = 4$
• $7x^2y^2$ : степень равна $2 + 2 = 4$
• $-2x^4$ : степень равна $4$
• $x^2y^3$ : степень равна $2 + 3 = 5$
• $9x^4$ : степень равна $4$
• $4x^3y$ (то есть $4x^3y^1$) : степень равна $3 + 1 = 4$
• $x^2y^2$ : степень равна $2 + 2 = 4$
• $-6x^2y^3$ : степень равна $2 + 3 = 5$

Таким образом, последовательность значений степеней выглядит следующим образом.

Ответ: 5, 4, 4, 4, 4, 5, 4, 4, 4, 5.

Для составления таблицы распределения (частотной таблицы) необходимо подсчитать, сколько раз встречается каждое уникальное значение степени в полученной последовательности: 5, 4, 4, 4, 4, 5, 4, 4, 4, 5.

• Степень 4 встречается 7 раз.
• Степень 5 встречается 3 раза.

Теперь представим эти данные в виде таблицы.

Ответ:

Для составления таблицы распределения процентных частот нужно вычислить, какой процент от общего числа наблюдений (одночленов) составляет каждая частота. Общее число одночленов равно 10.

Формула для расчёта процентной частоты: $(\frac{\text{Частота}}{\text{Общее число наблюдений}}) \times 100\%$

• Для степени 4: $(\frac{7}{10}) \times 100\% = 0.7 \times 100\% = 70\%$
• Для степени 5: $(\frac{3}{10}) \times 100\% = 0.3 \times 100\% = 30\%$

Теперь представим эти данные в виде таблицы.

Ответ:

35.6 а) Запишите поочерёдно коэффициенты подчёркнутых одночленов.

б) Составьте таблицу распределения коэффициентов, найденных в пункте а).

в) Составьте таблицу распределения процентных частот.

г) Постройте круговую диаграмму распределения процентных частот.

Первый многочлен произвольно выбирают из многочленов $2a + 1$ или $a^2 - 2a$. Второй многочлен произвольно выбирают из многочленов $2a - a^2$, $3 - 2a$ или $1 - a^2$.

а) Запишите поочерёдно коэффициенты подчёркнутых одночленов.

Для решения задачи необходимо найти все возможные суммы многочленов, где первый многочлен выбирается из набора $\{2a + 1, a^2 - 2a\}$, а второй — из набора $\{2a - a^2, 3 - 2a, 1 - a^2\}$. Всего возможно $2 \times 3 = 6$ комбинаций.

Вычислим эти суммы:

1. $(2a + 1) + (2a - a^2) = -a^2 + 4a + 1$
2. $(2a + 1) + (3 - 2a) = 4$
3. $(2a + 1) + (1 - a^2) = -a^2 + 2a + 2$
4. $(a^2 - 2a) + (2a - a^2) = 0$
5. $(a^2 - 2a) + (3 - 2a) = a^2 - 4a + 3$
6. $(a^2 - 2a) + (1 - a^2) = -2a + 1$

Под "коэффициентами подчёркнутых одночленов", вероятно, подразумеваются все коэффициенты (числовые множители при степенях переменной $a$ и свободные члены) в получившихся многочленах. Выпишем их по порядку для каждого полученного многочлена:

• Из $-a^2 + 4a + 1$: коэффициенты -1, 4, 1.
• Из $4$: коэффициент 4.
• Из $-a^2 + 2a + 2$: коэффициенты -1, 2, 2.
• Из $0$: коэффициент 0.
• Из $a^2 - 4a + 3$: коэффициенты 1, -4, 3.
• Из $-2a + 1$: коэффициенты -2, 1.

Ответ: Общий ряд коэффициентов: -1, 4, 1, 4, -1, 2, 2, 0, 1, -4, 3, -2, 1.

б) Составьте таблицу распределения коэффициентов, найденных в пункте а).

Для составления таблицы распределения (частотной таблицы) подсчитаем, сколько раз встречается каждый уникальный коэффициент в полученном ряду. Всего в ряду 13 членов.

• Коэффициент -4 встречается 1 раз.
• Коэффициент -2 встречается 1 раз.
• Коэффициент -1 встречается 2 раза.
• Коэффициент 0 встречается 1 раз.
• Коэффициент 1 встречается 3 раза.
• Коэффициент 2 встречается 2 раза.
• Коэффициент 3 встречается 1 раз.
• Коэффициент 4 встречается 2 раза.

Проверка суммы частот: $1+1+2+1+3+2+1+2 = 13$. Все верно.

Ответ: Таблица распределения коэффициентов:

в) Составьте таблицу распределения процентных частот.

Процентная частота вычисляется по формуле: $(\text{Частота} / \text{Общее число наблюдений}) \times 100\%$. Общее число наблюдений (коэффициентов) $N = 13$.

• Для коэффициентов -4, -2, 0, 3 (частота 1): $(1 / 13) \times 100\% \approx 7.69\%$
• Для коэффициентов -1, 2, 4 (частота 2): $(2 / 13) \times 100\% \approx 15.38\%$
• Для коэффициента 1 (частота 3): $(3 / 13) \times 100\% \approx 23.08\%$

Ответ: Таблица распределения процентных частот (с округлением до сотых):

г) Постройте круговую диаграмму распределения процентных частот.

Для построения круговой диаграммы каждому значению коэффициента будет соответствовать сектор, угол которого пропорционален его процентной частоте. Угол сектора рассчитывается по формуле: $(\text{Процентная частота} / 100) \times 360^\circ$.

• Угол для частоты 1 ($7.69\%$): $(1/13) \times 360^\circ \approx 27.7^\circ$
• Угол для частоты 2 ($15.38\%$): $(2/13) \times 360^\circ \approx 55.4^\circ$
• Угол для частоты 3 ($23.08\%$): $(3/13) \times 360^\circ \approx 83.1^\circ$

Ответ: Круговая диаграмма и её легенда:

35.7 Найти вероятность того, что степень суммы выбранных многочленов:

a) меньше $3$;

б) больше $2$;

в) равна $2$;

г) равна $0$.

Поскольку в условии не указан набор многочленов, из которых производится выбор, будем исходить из стандартного контекста подобных задач, например, из задачника А.Г. Мордковича (§35), где предлагается выбрать случайным образом два многочлена из следующего набора:

$P_1(x) = 2x^3 - x + 4$

$P_2(x) = -2x^3 + x^2 + 3$

$P_3(x) = x^2 - x$

$P_4(x) = x^3 + x - 1$

Общее число способов выбрать 2 многочлена из 4 равно числу сочетаний $C_4^2$.

Общее число исходов $N = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

Теперь найдем все возможные суммы и их степени:

1. $S_1 = P_1(x) + P_2(x) = (2x^3 - x + 4) + (-2x^3 + x^2 + 3) = x^2 - x + 7$. Степень равна 2.
2. $S_2 = P_1(x) + P_3(x) = (2x^3 - x + 4) + (x^2 - x) = 2x^3 + x^2 - 2x + 4$. Степень равна 3.
3. $S_3 = P_1(x) + P_4(x) = (2x^3 - x + 4) + (x^3 + x - 1) = 3x^3 + 3$. Степень равна 3.
4. $S_4 = P_2(x) + P_3(x) = (-2x^3 + x^2 + 3) + (x^2 - x) = -2x^3 + 2x^2 - x + 3$. Степень равна 3.
5. $S_5 = P_2(x) + P_4(x) = (-2x^3 + x^2 + 3) + (x^3 + x - 1) = -x^3 + x^2 + x + 2$. Степень равна 3.
6. $S_6 = P_3(x) + P_4(x) = (x^2 - x) + (x^3 + x - 1) = x^3 + x^2 - 1$. Степень равна 3.

Таким образом, из 6 возможных сумм одна имеет степень 2, а остальные пять — степень 3.

а) меньше 3;

Событие A состоит в том, что степень суммы меньше 3. Этому условию удовлетворяет только один случай: когда степень суммы равна 2 (сумма $P_1(x) + P_2(x)$). Число благоприятных исходов $m=1$.

Вероятность события A: $P(A) = \frac{m}{N} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

б) больше 2;

Событие B состоит в том, что степень суммы больше 2. Этому условию удовлетворяют все случаи, когда степень суммы равна 3. Таких случаев 5 (суммы $S_2, S_3, S_4, S_5, S_6$). Число благоприятных исходов $m=5$.

Вероятность события B: $P(B) = \frac{m}{N} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$

в) равна 2;

Событие C состоит в том, что степень суммы равна 2. Как мы выяснили, этому условию удовлетворяет только один исход (сумма $P_1(x) + P_2(x)$). Число благоприятных исходов $m=1$.

Вероятность события C: $P(C) = \frac{m}{N} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

г) равна нулю.

Событие D состоит в том, что степень суммы равна нулю. Это значит, что сумма многочленов является ненулевой константой. Среди всех 6 возможных сумм нет ни одной, степень которой равна нулю. Число благоприятных исходов $m=0$.

Вероятность события D: $P(D) = \frac{m}{N} = \frac{0}{6} = 0$.

Ответ: $0$

35.8 Найдите вероятность того, что степень произведения выбранных многочленов:

a) меньше 5; в) равна 3;

б) меньше 1; г) равна 4.

Для решения задачи необходимо определить, из какого набора многочленов производится выбор. Так как это не указано в условии, сделаем наиболее вероятное предположение: выбор двух многочленов производится случайным образом, независимо и с возвращением из набора, содержащего по одному многочлену для каждой степени от 0 до 4. То есть, мы выбираем из набора многочленов, степени которых образуют множество $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.

Пусть $d_1$ — степень первого выбранного многочлена, а $d_2$ — степень второго. Каждая из этих степеней может принимать любое целое значение от 0 до 4 с равной вероятностью. Общее число равновозможных исходов (упорядоченных пар степеней $(d_1, d_2)$) составляет $N = 5 \times 5 = 25$.

Степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме их степеней. Обозначим степень произведения как $S$. Таким образом, $S = d_1 + d_2$. Нам нужно найти вероятности для различных значений $S$.

а) меньше 5

Требуется найти вероятность того, что степень произведения меньше 5, то есть $S < 5$. Это означает, что $S$ может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4. Подсчитаем количество благоприятных исходов (пар $(d_1, d_2)$) для каждого из этих значений суммы:
- Сумма равна 0: пара (0, 0) — 1 исход.
- Сумма равна 1: пары (0, 1), (1, 0) — 2 исхода.
- Сумма равна 2: пары (0, 2), (1, 1), (2, 0) — 3 исхода.
- Сумма равна 3: пары (0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0) — 4 исхода.
- Сумма равна 4: пары (0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0) — 5 исходов.
Общее число благоприятных исходов $M_a$ равно сумме количеств исходов для каждого значения: $M_a = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$.
Вероятность события А (степень меньше 5) вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(A) = \frac{M_a}{N} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

б) меньше 1

Требуется найти вероятность того, что степень произведения меньше 1, то есть $S < 1$. Так как степени многочленов являются неотрицательными целыми числами, единственное значение, удовлетворяющее этому условию, — это $S=0$.
Сумма степеней равна 0 ($d_1 + d_2 = 0$) только в одном случае: когда обе степени равны 0. Этому соответствует одна пара (0, 0).
Число благоприятных исходов $M_b = 1$.
Вероятность события B (степень меньше 1): $P(B) = \frac{M_b}{N} = \frac{1}{25}$.

Ответ: $\frac{1}{25}$

в) равна 3

Требуется найти вероятность того, что степень произведения равна 3, то есть $S = 3$.
Найдём все пары $(d_1, d_2)$, где $d_1, d_2 \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$, сумма которых равна 3:
(0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0).
Всего таких пар 4. Число благоприятных исходов $M_c = 4$.
Вероятность события C (степень равна 3): $P(C) = \frac{M_c}{N} = \frac{4}{25}$.

Ответ: $\frac{4}{25}$

г) равна 4

Требуется найти вероятность того, что степень произведения равна 4, то есть $S = 4$.
Найдём все пары $(d_1, d_2)$, где $d_1, d_2 \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$, сумма которых равна 4:
(0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 0).
Всего таких пар 5. Число благоприятных исходов $M_d = 5$.
Вероятность события D (степень равна 4): $P(D) = \frac{M_d}{N} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №6

Вариант 1

1 Приведите многочлен к стандартному виду, укажите его степень и свободный член:

$4x \cdot \frac{1}{2}x^3 - 3,5x^2 \cdot 6 + \frac{1}{5}x^2 \cdot 3x^3 - x^2(-2x) + 2 \cdot (-1,5)$

Для решения этой задачи необходимо последовательно выполнить все указанные действия: привести многочлен к стандартному виду, а затем определить его степень и свободный член.

Исходное выражение:

$4x \cdot \frac{1}{2}x^3 - 3,5x^2 \cdot 6 + \frac{1}{5}x^2 \cdot 3x^3 - x^2(-2x) + 2 \cdot (-1,5)$

Приведение многочлена к стандартному виду

Сначала упростим каждый член (одночлен) исходного выражения, выполнив операцию умножения:

• $4x \cdot \frac{1}{2}x^3 = (4 \cdot \frac{1}{2}) \cdot (x^1 \cdot x^3) = 2x^{1+3} = 2x^4$
• $-3,5x^2 \cdot 6 = (-3,5 \cdot 6)x^2 = -21x^2$
• $\frac{1}{5}x^2 \cdot 3x^3 = (\frac{1}{5} \cdot 3) \cdot (x^2 \cdot x^3) = \frac{3}{5}x^{2+3} = 0,6x^5$
• $-x^2(-2x) = (-1 \cdot (-2)) \cdot (x^2 \cdot x^1) = 2x^{2+1} = 2x^3$
• $2 \cdot (-1,5) = -3$

Теперь запишем многочлен, сложив полученные одночлены:

$2x^4 - 21x^2 + 0,6x^5 + 2x^3 - 3$

Стандартный вид многочлена требует, чтобы все его члены были расположены в порядке убывания степеней переменной. Расположим члены полученного многочлена в соответствующем порядке:

$0,6x^5 + 2x^4 + 2x^3 - 21x^2 - 3$

Ответ: стандартный вид многочлена: $0,6x^5 + 2x^4 + 2x^3 - 21x^2 - 3$.

Указание степени многочлена

Степенью многочлена стандартного вида является наибольшая из степеней его членов. В многочлене $0,6x^5 + 2x^4 + 2x^3 - 21x^2 - 3$ степени его членов равны 5, 4, 3, 2 и 0 (у свободного члена). Наибольшая из этих степеней — 5.

Ответ: 5.

Указание свободного члена

Свободный член многочлена — это его член, не содержащий переменной (то есть, член нулевой степени). В многочлене $0,6x^5 + 2x^4 + 2x^3 - 21x^2 - 3$ таким членом является число -3.

Ответ: -3.