Страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

33.54 а) $(x - 2)^2(x + 2)^2$;

б) $(y - 4)^2(y + 4)$;

В) $(m - 6)^2(m + 6)^2$;

Г) $(n - 7)^2(7 + n)$.

а)

Для решения данного примера мы воспользуемся свойством степеней $a^n b^n = (ab)^n$ и формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Исходное выражение: $(x - 2)^2(x + 2)^2$.

1. Сгруппируем основания под общим показателем степени 2:

$(x - 2)^2(x + 2)^2 = ((x - 2)(x + 2))^2$.

2. Применим формулу разности квадратов к выражению в скобках:

$(x - 2)(x + 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.

3. Подставим результат обратно и получим квадрат разности:

$((x - 2)(x + 2))^2 = (x^2 - 4)^2$.

4. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2 - 4)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 4 + 4^2 = x^4 - 8x^2 + 16$.

Ответ: $x^4 - 8x^2 + 16$.

б)

Данное выражение решается аналогично предыдущему, используя те же формулы.

Исходное выражение: $(y - 4)^2(y + 4)^2$.

1. Применим свойство степеней:

$(y - 4)^2(y + 4)^2 = ((y - 4)(y + 4))^2$.

2. Используем формулу разности квадратов:

$(y - 4)(y + 4) = y^2 - 4^2 = y^2 - 16$.

3. Подставим результат в выражение:

$((y - 4)(y + 4))^2 = (y^2 - 16)^2$.

4. Раскроем скобки по формуле квадрата разности:

$(y^2 - 16)^2 = (y^2)^2 - 2 \cdot y^2 \cdot 16 + 16^2 = y^4 - 32y^2 + 256$.

Ответ: $y^4 - 32y^2 + 256$.

в)

Снова применяем комбинацию свойства степеней и формулы разности квадратов.

Исходное выражение: $(m - 6)^2(m + 6)^2$.

1. Сгруппируем множители:

$(m - 6)^2(m + 6)^2 = ((m - 6)(m + 6))^2$.

2. Применим формулу разности квадратов:

$(m - 6)(m + 6) = m^2 - 6^2 = m^2 - 36$.

3. Получим квадрат разности:

$((m - 6)(m + 6))^2 = (m^2 - 36)^2$.

4. Раскроем скобки по формуле квадрата разности:

$(m^2 - 36)^2 = (m^2)^2 - 2 \cdot m^2 \cdot 36 + 36^2 = m^4 - 72m^2 + 1296$.

Ответ: $m^4 - 72m^2 + 1296$.

г)

В этом примере сначала воспользуемся переместительным свойством сложения $(a+b = b+a)$.

Исходное выражение: $(n - 7)^2(7 + n)^2$.

1. Заметим, что $(7 + n) = (n + 7)$. Тогда выражение примет вид:

$(n - 7)^2(n + 7)^2$.

2. Теперь действуем по знакомому алгоритму. Применим свойство степеней:

$(n - 7)^2(n + 7)^2 = ((n - 7)(n + 7))^2$.

3. Применим формулу разности квадратов:

$(n - 7)(n + 7) = n^2 - 7^2 = n^2 - 49$.

4. Получим квадрат разности:

$((n - 7)(n + 7))^2 = (n^2 - 49)^2$.

5. Раскроем скобки по формуле квадрата разности:

$(n^2 - 49)^2 = (n^2)^2 - 2 \cdot n^2 \cdot 49 + 49^2 = n^4 - 98n^2 + 2401$.

Ответ: $n^4 - 98n^2 + 2401$.

33.55 a) $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$;

б) $(3a - b)(3a + b)(9a^2 + b^2)$;

в) $(p^3 + q)(p^3 - q)(p^6 + q^2)$;

г) $(s^4 + r^4)(s - r)(s + r)(s^2 + r^2)$.

а) Для упрощения выражения $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$ будем последовательно применять формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Сначала перемножим первые две скобки: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Теперь выражение принимает вид: $(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$.

Снова применяем формулу разности квадратов: $(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4$.

Ответ: $x^4 - y^4$

б) Упростим выражение $(3a - b)(3a + b)(9a^2 + b^2)$, используя тот же метод.

Перемножим первые два множителя по формуле разности квадратов: $(3a - b)(3a + b) = (3a)^2 - b^2 = 9a^2 - b^2$.

Подставим результат в выражение: $(9a^2 - b^2)(9a^2 + b^2)$.

Еще раз применим формулу: $(9a^2 - b^2)(9a^2 + b^2) = (9a^2)^2 - (b^2)^2 = 81a^4 - b^4$.

Ответ: $81a^4 - b^4$

в) Рассмотрим выражение $(p^3 + q)(p^3 - q)(p^6 + q^2)$.

Перемножим первые две скобки, применив формулу разности квадратов: $(p^3 + q)(p^3 - q) = (p^3)^2 - q^2 = p^6 - q^2$.

Теперь выражение выглядит так: $(p^6 - q^2)(p^6 + q^2)$.

Снова применяем ту же формулу: $(p^6 - q^2)(p^6 + q^2) = (p^6)^2 - (q^2)^2 = p^{12} - q^4$.

Ответ: $p^{12} - q^4$

г) Упростим выражение $(s^4 + r^4)(s - r)(s + r)(s^2 + r^2)$. Для удобства изменим порядок множителей.

Выражение можно записать как $(s - r)(s + r)(s^2 + r^2)(s^4 + r^4)$.

Шаг 1: Применим формулу разности квадратов к первым двум множителям. $(s - r)(s + r) = s^2 - r^2$.

Шаг 2: Теперь выражение равно $(s^2 - r^2)(s^2 + r^2)(s^4 + r^4)$. Перемножим первые две скобки: $(s^2 - r^2)(s^2 + r^2) = (s^2)^2 - (r^2)^2 = s^4 - r^4$.

Шаг 3: Выражение принимает вид $(s^4 - r^4)(s^4 + r^4)$. Применим формулу в последний раз: $(s^4 - r^4)(s^4 + r^4) = (s^4)^2 - (r^4)^2 = s^8 - r^8$.

Ответ: $s^8 - r^8$

33.56 а) $(3x^2 + 4)^2 + (3x^2 - 4)^2 - 2(3x^2 + 4)(3x^2 - 4);$

б) $p(p - 2c)(p + 2c) - (p - c)(p^2 + pc + c^2);$

в) $(4a^3 + 5)^2 + (4a^3 - 1)^2 - 2(4a^3 + 5)(4a^3 - 1);$

г) $m(2m - 1)^2 - 2(m + 1)(m^2 - m + 1).$

а) $(3x^2 + 4)^2 + (3x^2 - 4)^2 - 2(3x^2 + 4)(3x^2 - 4)$

Данное выражение представляет собой формулу квадрата разности: $a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2$.

В нашем случае $a = (3x^2 + 4)$ и $b = (3x^2 - 4)$.

Применим формулу:

$(3x^2 + 4)^2 + (3x^2 - 4)^2 - 2(3x^2 + 4)(3x^2 - 4) = ((3x^2 + 4) - (3x^2 - 4))^2$

Раскроем скобки внутри внешних скобок:

$(3x^2 + 4 - 3x^2 + 4)^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(8)^2 = 64$

Ответ: 64

б) $p(p - 2c)(p + 2c) - (p - c)(p^2 + pc + c^2)$

Упростим выражение, используя формулы сокращенного умножения.

Первая часть выражения содержит формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$p(p - 2c)(p + 2c) = p(p^2 - (2c)^2) = p(p^2 - 4c^2) = p^3 - 4pc^2$

Вторая часть выражения представляет собой формулу разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$:

$(p - c)(p^2 + pc + c^2) = p^3 - c^3$

Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(p^3 - 4pc^2) - (p^3 - c^3) = p^3 - 4pc^2 - p^3 + c^3$

Приведем подобные слагаемые:

$c^3 - 4pc^2$

Ответ: $c^3 - 4pc^2$

в) $(4a^3 + 5)^2 + (4a^3 - 1)^2 - 2(4a^3 + 5)(4a^3 - 1)$

Это выражение также соответствует формуле квадрата разности: $A^2 + B^2 - 2AB = (A - B)^2$.

Здесь $A = (4a^3 + 5)$ и $B = (4a^3 - 1)$.

Применим формулу:

$((4a^3 + 5) - (4a^3 - 1))^2$

Раскроем внутренние скобки:

$(4a^3 + 5 - 4a^3 + 1)^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(6)^2 = 36$

Ответ: 36

г) $m(2m - 1)^2 - 2(m + 1)(m^2 - m + 1)$

Упростим выражение по частям, используя формулы сокращенного умножения.

Для первой части используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$m(2m - 1)^2 = m((2m)^2 - 2 \cdot 2m \cdot 1 + 1^2) = m(4m^2 - 4m + 1) = 4m^3 - 4m^2 + m$

Для второй части используем формулу суммы кубов $(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$:

$2(m + 1)(m^2 - m + 1) = 2(m^3 + 1^3) = 2(m^3 + 1) = 2m^3 + 2$

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(4m^3 - 4m^2 + m) - (2m^3 + 2) = 4m^3 - 4m^2 + m - 2m^3 - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$2m^3 - 4m^2 + m - 2$

Ответ: $2m^3 - 4m^2 + m - 2$

33.57 а) $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)$;

б) $x^{32} - (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)$.

а)

Для решения этого примера мы будем последовательно применять формулу разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

1. Начнем с первых двух множителей: $(a - b)(a + b)$. Применяя формулу, получаем:

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

2. Теперь подставим этот результат обратно в исходное выражение:

$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)$

3. Снова применяем формулу разности квадратов для первых двух множителей $(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$, где $x = a^2$ и $y = b^2$:

$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4 - b^4$

4. Подставляем результат в выражение:

$(a^4 - b^4)(a^4 + b^4)(a^8 + b^8)$

5. Повторяем процедуру для $(a^4 - b^4)(a^4 + b^4)$:

$(a^4 - b^4)(a^4 + b^4) = (a^4)^2 - (b^4)^2 = a^8 - b^8$

6. Выражение принимает вид:

$(a^8 - b^8)(a^8 + b^8)$

7. В последний раз применяем формулу разности квадратов:

$(a^8 - b^8)(a^8 + b^8) = (a^8)^2 - (b^8)^2 = a^{16} - b^{16}$

Ответ: $a^{16} - b^{16}$

б)

Сначала упростим произведение, стоящее в скобках. Мы будем использовать тот же метод, что и в пункте а) — последовательное применение формулы разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

1. Раскроем произведение $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)$ по шагам:

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$

2. Подставим результат:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)$

3. Снова применяем формулу:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$

4. Получаем:

$(x^4 - 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)$

5. Далее:

$(x^4 - 1)(x^4 + 1) = (x^4)^2 - 1^2 = x^8 - 1$

6. Получаем:

$(x^8 - 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)$

7. Далее:

$(x^8 - 1)(x^8 + 1) = (x^8)^2 - 1^2 = x^{16} - 1$

8. Получаем:

$(x^{16} - 1)(x^{16} + 1)$

9. И последний шаг:

$(x^{16} - 1)(x^{16} + 1) = (x^{16})^2 - 1^2 = x^{32} - 1$

10. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$x^{32} - (x^{32} - 1)$

11. Раскроем скобки и выполним вычитание:

$x^{32} - x^{32} + 1 = 1$

Ответ: $1$

Замените символы * одночленами так, чтобы выполнялось равенство:

33.58 а) $(6a^5 + *)^2 = * + * + 25x^2;$

б) $(10m^5 + *)^2 = * + * + 36m^4n^6;$

в) $(* - 4x^7)^2 = 25x^4y^2 - * + *;$

г) $(8a^3 - *)^2 = * - * + 49a^8b^6.$

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности.

• Формула квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
• Формула квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

Рассмотрим равенство $(6a^5 + *)^2 = * + * + 25x^2$. Это формула квадрата суммы. В данном случае, первый член $A = 6a^5$. Квадрат второго члена $B^2 = 25x^2$.

Найдем второй член $B$, извлекая квадратный корень: $B = \sqrt{25x^2} = 5x$.

Теперь, когда известны оба члена $A$ и $B$, мы можем найти недостающие одночлены в правой части равенства:

Первый член в правой части (квадрат первого члена): $A^2 = (6a^5)^2 = 36a^{10}$.

Второй член в правой части (удвоенное произведение): $2AB = 2 \cdot 6a^5 \cdot 5x = 60a^5x$.

Подставим найденные одночлены в исходное выражение:

Ответ: $(6a^5 + 5x)^2 = 36a^{10} + 60a^5x + 25x^2$.

Рассмотрим равенство $(10m^5 + *)^2 = * + * + 36m^4n^6$. Это также формула квадрата суммы. Здесь $A = 10m^5$ и $B^2 = 36m^4n^6$.

Найдем $B$: $B = \sqrt{36m^4n^6} = 6m^2n^3$.

Вычислим недостающие одночлены в правой части:

$A^2 = (10m^5)^2 = 100m^{10}$.

$2AB = 2 \cdot 10m^5 \cdot 6m^2n^3 = 120m^7n^3$.

Подставим найденные одночлены:

Ответ: $(10m^5 + 6m^2n^3)^2 = 100m^{10} + 120m^7n^3 + 36m^4n^6$.

Рассмотрим равенство $(* - 4x^7)^2 = 25x^4y^2 - * + *$. Это формула квадрата разности. Здесь нам известен второй член $B = 4x^7$ и квадрат первого члена $A^2 = 25x^4y^2$.

Найдем первый член $A$: $A = \sqrt{25x^4y^2} = 5x^2y$.

Теперь вычислим недостающие одночлены в правой части:

Удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot 5x^2y \cdot 4x^7 = 40x^9y$.

Квадрат второго члена: $B^2 = (4x^7)^2 = 16x^{14}$.

Подставим найденные одночлены:

Ответ: $(5x^2y - 4x^7)^2 = 25x^4y^2 - 40x^9y + 16x^{14}$.

Рассмотрим равенство $(8a^3 - *)^2 = * - * + 49a^8b^6$. Это также формула квадрата разности. Здесь $A = 8a^3$ и $B^2 = 49a^8b^6$.

Найдем $B$: $B = \sqrt{49a^8b^6} = 7a^4b^3$.

Вычислим недостающие одночлены в правой части:

Квадрат первого члена: $A^2 = (8a^3)^2 = 64a^6$.

Удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot 8a^3 \cdot 7a^4b^3 = 112a^7b^3$.

Подставим найденные одночлены:

Ответ: $(8a^3 - 7a^4b^3)^2 = 64a^6 - 112a^7b^3 + 49a^8b^6$.

33.59 a) $(* + 4d^4)^2 = * + 24c^2d^5 + *;$

б) $(* - 8a^4)^2 = 81a^6b^2 - * + *;$

в) $(4p^2q^2 + *)^2 = * + * + 0,01q^8;$

г) $(8q^4t^3 - *)^2 = * - * + 0,16t^4.$

а)

В данном выражении используется формула квадрата суммы: $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

Исходное тождество: $(* + 4d^4)^2 = * + 24c^2d^5 + *$.

Обозначим первый член в скобках как $A$, а второй как $B$. Тогда $B = 4d^4$.

Средний член в правой части равенства — это удвоенное произведение первого и второго членов: $2AB = 24c^2d^5$.

Подставим известное значение $B$ и найдем $A$:

$2 \cdot A \cdot (4d^4) = 24c^2d^5$

$8Ad^4 = 24c^2d^5$

$A = \frac{24c^2d^5}{8d^4} = 3c^2d^{5-4} = 3c^2d$

Итак, первый член в скобках (первая звёздочка) равен $3c^2d$.

Теперь найдём недостающие члены в правой части равенства.

Первый член в разложении (первая звёздочка в правой части) — это квадрат первого члена: $A^2 = (3c^2d)^2 = 9c^4d^2$.

Последний член в разложении (вторая звёздочка в правой части) — это квадрат второго члена: $B^2 = (4d^4)^2 = 16d^8$.

Таким образом, полностью выражение выглядит так: $(3c^2d + 4d^4)^2 = 9c^4d^2 + 24c^2d^5 + 16d^8$.

Ответ: $(3c^2d + 4d^4)^2 = 9c^4d^2 + 24c^2d^5 + 16d^8$.

б)

Здесь применяется формула квадрата разности: $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Исходное тождество: $(* - 8a^4)^2 = 81a^6b^2 - * + *$.

Обозначим члены в скобках как $A$ и $B$. Тогда $B = 8a^4$.

Первый член в правой части равенства, $A^2$, нам дан: $A^2 = 81a^6b^2$.

Найдём $A$, извлекая квадратный корень:

$A = \sqrt{81a^6b^2} = 9a^3b$.

Итак, первый член в скобках (первая звёздочка) равен $9a^3b$.

Теперь найдём недостающие члены в правой части.

Средний член — это удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot (9a^3b) \cdot (8a^4) = 144a^{3+4}b = 144a^7b$.

Последний член — это квадрат второго члена: $B^2 = (8a^4)^2 = 64a^8$.

Таким образом, полностью выражение выглядит так: $(9a^3b - 8a^4)^2 = 81a^6b^2 - 144a^7b + 64a^8$.

Ответ: $(9a^3b - 8a^4)^2 = 81a^6b^2 - 144a^7b + 64a^8$.

в)

Используем формулу квадрата суммы: $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

Исходное тождество: $(4p^2q^2 + *)^2 = * + * + 0,01q^8$.

Обозначим члены в скобках как $A$ и $B$. Тогда $A = 4p^2q^2$.

Последний член в правой части равенства, $B^2$, нам дан: $B^2 = 0,01q^8$.

Найдём $B$, извлекая квадратный корень:

$B = \sqrt{0,01q^8} = 0,1q^4$.

Итак, второй член в скобках (звёздочка) равен $0,1q^4$.

Теперь найдём недостающие члены в правой части.

Первый член в разложении — это квадрат первого члена: $A^2 = (4p^2q^2)^2 = 16p^4q^4$.

Средний член — это удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot (4p^2q^2) \cdot (0,1q^4) = 0,8p^2q^{2+4} = 0,8p^2q^6$.

Таким образом, полностью выражение выглядит так: $(4p^2q^2 + 0,1q^4)^2 = 16p^4q^4 + 0,8p^2q^6 + 0,01q^8$.

Ответ: $(4p^2q^2 + 0,1q^4)^2 = 16p^4q^4 + 0,8p^2q^6 + 0,01q^8$.

г)

Используем формулу квадрата разности: $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Исходное тождество: $(8q^4t^3 - *)^2 = * - * + 0,16t^4$.

Обозначим члены в скобках как $A$ и $B$. Тогда $A = 8q^4t^3$.

Последний член в правой части равенства, $B^2$, нам дан: $B^2 = 0,16t^4$.

Найдём $B$, извлекая квадратный корень:

$B = \sqrt{0,16t^4} = 0,4t^2$.

Итак, второй член в скобках (звёздочка) равен $0,4t^2$.

Теперь найдём недостающие члены в правой части.

Первый член в разложении — это квадрат первого члена: $A^2 = (8q^4t^3)^2 = 64q^8t^6$.

Средний член — это удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot (8q^4t^3) \cdot (0,4t^2) = 16 \cdot 0,4 \cdot q^4t^{3+2} = 6,4q^4t^5$.

Таким образом, полностью выражение выглядит так: $(8q^4t^3 - 0,4t^2)^2 = 64q^8t^6 - 6,4q^4t^5 + 0,16t^4$.

Ответ: $(8q^4t^3 - 0,4t^2)^2 = 64q^8t^6 - 6,4q^4t^5 + 0,16t^4$.

33.60 a) $(* + *)^2 = * + 70b^3c + 49c^2;$

б) $(* - *)^2 = 81x^2 - * + 100x^4y^6;$

В) $(* + *)^2 = * + 70x^3y^2 + *;$

Г) $(* - *)^2 = * - 48c^5d^3 + *.$

а) Чтобы восстановить выражение, воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Дано выражение: $(* + *)^2 = * + 70b^3c + 49c^2$.
Правая часть соответствует развернутой формуле $a^2 + 2ab + b^2$.
Опознаем члены. Член $49c^2$ является полным квадратом: $b^2 = 49c^2$, откуда $b = \sqrt{49c^2} = 7c$.
Средний член $70b^3c$ — это удвоенное произведение $2ab$. Подставим найденное значение $b$:
$2 \cdot a \cdot (7c) = 70b^3c$
$14ac = 70b^3c$
Теперь найдем $a$, разделив обе части на $14c$:
$a = \frac{70b^3c}{14c} = 5b^3$.
Первый член в разложении, который был пропущен, это $a^2$:
$a^2 = (5b^3)^2 = 25b^6$.
Таким образом, мы восстановили все пропущенные части.
Ответ: $(5b^3 + 7c)^2 = 25b^6 + 70b^3c + 49c^2$.

б) Здесь применяется формула квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Дано выражение: $(* - *)^2 = 81x^2 - * + 100x^4y^6$.
Правая часть соответствует $a^2 - 2ab + b^2$.
Первый член $a^2 = 81x^2$, следовательно, $a = \sqrt{81x^2} = 9x$.
Третий член $b^2 = 100x^4y^6$, следовательно, $b = \sqrt{100x^4y^6} = 10x^2y^3$.
Теперь найдем пропущенный средний член, который равен $-2ab$:
$-2ab = -2 \cdot (9x) \cdot (10x^2y^3) = -180x^{1+2}y^3 = -180x^3y^3$.
Подставив все найденные значения, получаем итоговое выражение.
Ответ: $(9x - 10x^2y^3)^2 = 81x^2 - 180x^3y^3 + 100x^4y^6$.

в) Снова используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Дано выражение: $(* + *)^2 = * + 70x^3y^2 + *$.
Нам известен средний член, удвоенное произведение: $2ab = 70x^3y^2$.
Отсюда произведение $ab = \frac{70x^3y^2}{2} = 35x^3y^2$.
Нам нужно разложить $35x^3y^2$ на два множителя $a$ и $b$. Существует несколько вариантов, но наиболее стандартным является разделение по переменным и числовым коэффициентам. Разложим 35 на множители 5 и 7. Пусть $a = 5x^3$ и $b = 7y^2$.
Теперь найдем квадраты этих членов, которые являются пропущенными слагаемыми в правой части:
$a^2 = (5x^3)^2 = 25x^6$.
$b^2 = (7y^2)^2 = 49y^4$.
Таким образом, мы восстановили выражение.
Ответ: $(5x^3 + 7y^2)^2 = 25x^6 + 70x^3y^2 + 49y^4$.

г) Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Дано выражение: $(* - *)^2 = * - 48c^5d^3 + *$.
Известен средний член: $-2ab = -48c^5d^3$, значит $2ab = 48c^5d^3$.
Тогда произведение $ab = \frac{48c^5d^3}{2} = 24c^5d^3$.
Произведение $24c^5d^3$ можно разложить на множители $a$ и $b$ несколькими способами. Приведем один из возможных вариантов. Разложим 24 на множители 6 и 4. Пусть $a = 6c^5$ и $b = 4d^3$.
Найдем квадраты этих членов:
$a^2 = (6c^5)^2 = 36c^{10}$.
$b^2 = (4d^3)^2 = 16d^6$.
Получаем один из возможных вариантов решения.
Ответ: $(6c^5 - 4d^3)^2 = 36c^{10} - 48c^5d^3 + 16d^6$.

33.61 а) $(* - 15a)(* + *) = 4c^2 - *;$

б) $(* + *)(* - 11c) = 81a^2 - *;$

в) $(* - \frac{3}{4}x^3)(* + *) = 0,25y^4 - *;$

г) $(* - *)(* + 0,4n^2) = 100m^6 - *.$

а)

Данное выражение представляет собой произведение разности и суммы двух одночленов. Для его решения воспользуемся формулой разности квадратов: $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.

Исходное тождество: $(* - 15a)(* + *) = 4c^2 - *$.

Из правой части равенства мы видим, что $A^2 = 4c^2$. Следовательно, одночлен $A = \sqrt{4c^2} = 2c$.

Из первой скобки, которая имеет вид $(A - B)$, мы видим, что $B = 15a$.

Теперь мы можем подставить найденные значения $A$ и $B$ в исходное выражение. Вторая скобка будет $(A + B) = (2c + 15a)$.

Правая часть равенства будет равна $A^2 - B^2 = (2c)^2 - (15a)^2 = 4c^2 - 225a^2$.

Ответ: $(2c - 15a)(2c + 15a) = 4c^2 - 225a^2$.

б)

Это выражение также основано на формуле разности квадратов: $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$.

Исходное тождество: $(* + *)(* - 11c) = 81a^2 - *$.

Из правой части равенства мы определяем, что $A^2 = 81a^2$. Следовательно, $A = \sqrt{81a^2} = 9a$.

Из второй скобки, которая имеет вид $(A - B)$, мы находим, что $B = 11c$.

Подставляем $A$ и $B$ в выражение. Первая скобка будет $(A + B) = (9a + 11c)$.

Правая часть равенства будет равна $A^2 - B^2 = (9a)^2 - (11c)^2 = 81a^2 - 121c^2$.

Ответ: $(9a + 11c)(9a - 11c) = 81a^2 - 121c^2$.

в)

Снова применяем формулу разности квадратов: $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.

Исходное тождество: $(* - \frac{3}{4}x^3)(* + *) = 0,25y^4 - *$.

Из правой части равенства $A^2 = 0,25y^4$. Следовательно, $A = \sqrt{0,25y^4} = 0,5y^2$.

Из первой скобки $(A - B)$ находим, что $B = \frac{3}{4}x^3$.

Теперь заполняем пропуски. Первая скобка: $(0,5y^2 - \frac{3}{4}x^3)$. Вторая скобка: $(A + B) = (0,5y^2 + \frac{3}{4}x^3)$.

Правая часть равенства: $A^2 - B^2 = (0,5y^2)^2 - (\frac{3}{4}x^3)^2 = 0,25y^4 - \frac{9}{16}x^6$.

Ответ: $(0,5y^2 - \frac{3}{4}x^3)(0,5y^2 + \frac{3}{4}x^3) = 0,25y^4 - \frac{9}{16}x^6$.

г)

Используем ту же формулу разности квадратов: $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.

Исходное тождество: $(* - *)(* + 0,4n^2) = 100m^6 - *$.

Из правой части равенства $A^2 = 100m^6$. Следовательно, $A = \sqrt{100m^6} = 10m^3$.

Из второй скобки $(A + B)$ находим, что $B = 0,4n^2$.

Заполняем пропуски. Первая скобка: $(A - B) = (10m^3 - 0,4n^2)$.

Правая часть равенства: $A^2 - B^2 = (10m^3)^2 - (0,4n^2)^2 = 100m^6 - 0,16n^4$.

Ответ: $(10m^3 - 0,4n^2)(10m^3 + 0,4n^2) = 100m^6 - 0,16n^4$.