Страница 144, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

32.22 Решите уравнение:

а) $(x + 4)(x - 3) + (x - 5)(x + 4) = 0;$

б) $(x^2 - 3)(x + 2) + (x^2 + 3)(x - 2) = 4;$

в) $(x - 4)(x + 3) + (x - 2)(x + 3) = 0;$

г) $(x^2 - 1)(x - 4) + (x^2 + 1)(x + 4) = 6.$

а) Дано уравнение $(x + 4)(x - 3) + (x - 5)(x + 4) = 0$.
Видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(x+4)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 4) \cdot ((x - 3) + (x - 5)) = 0$
Упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки и приведя подобные слагаемые:
$(x + 4) \cdot (x - 3 + x - 5) = 0$
$(x + 4) \cdot (2x - 8) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
1) $x + 4 = 0 \implies x_1 = -4$
2) $2x - 8 = 0 \implies 2x = 8 \implies x_2 = 4$
Ответ: -4; 4.

б) Дано уравнение $(x^2 - 3)(x + 2) + (x^2 + 3)(x - 2) = 4$.
Раскроем скобки в каждом произведении:
Первое произведение: $(x^2 - 3)(x + 2) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot 2 - 3 \cdot x - 3 \cdot 2 = x^3 + 2x^2 - 3x - 6$.
Второе произведение: $(x^2 + 3)(x - 2) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-2) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-2) = x^3 - 2x^2 + 3x - 6$.
Подставим полученные выражения обратно в уравнение:
$(x^3 + 2x^2 - 3x - 6) + (x^3 - 2x^2 + 3x - 6) = 4$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^3 + x^3) + (2x^2 - 2x^2) + (-3x + 3x) + (-6 - 6) = 4$
$2x^3 - 12 = 4$
Перенесем -12 в правую часть уравнения, изменив знак:
$2x^3 = 4 + 12$
$2x^3 = 16$
Разделим обе части на 2:
$x^3 = 8$
Извлечем кубический корень из обеих частей:
$x = \sqrt[3]{8} = 2$
Ответ: 2.

в) Дано уравнение $(x - 4)(x + 3) + (x - 2)(x + 3) = 0$.
У обоих слагаемых есть общий множитель $(x+3)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 3) \cdot ((x - 4) + (x - 2)) = 0$
Упростим выражение во второй скобке:
$(x + 3) \cdot (x - 4 + x - 2) = 0$
$(x + 3) \cdot (2x - 6) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
1) $x + 3 = 0 \implies x_1 = -3$
2) $2x - 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x_2 = 3$
Ответ: -3; 3.

г) Дано уравнение $(x^2 - 1)(x - 4) + (x^2 + 1)(x + 4) = 6$.
Раскроем скобки в каждом произведении:
Первое произведение: $(x^2 - 1)(x - 4) = x^3 - 4x^2 - x + 4$.
Второе произведение: $(x^2 + 1)(x + 4) = x^3 + 4x^2 + x + 4$.
Подставим полученные выражения в уравнение:
$(x^3 - 4x^2 - x + 4) + (x^3 + 4x^2 + x + 4) = 6$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^3 + x^3) + (-4x^2 + 4x^2) + (-x + x) + (4 + 4) = 6$
$2x^3 + 8 = 6$
Перенесем 8 в правую часть уравнения:
$2x^3 = 6 - 8$
$2x^3 = -2$
Разделим обе части на 2:
$x^3 = -1$
Извлечем кубический корень:
$x = \sqrt[3]{-1} = -1$
Ответ: -1.

32.23 Два прямоугольника имеют периметры $122 \text{ см}$. Длина первого прямоугольника больше длины второго на $5 \text{ см}$, а площадь второго прямоугольника на $120 \text{ см}^2$ больше площади первого. Найдите площадь каждого прямоугольника.

Обозначим длину и ширину первого прямоугольника как $a_1$ и $b_1$, а второго — как $a_2$ и $b_2$.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, а площадь по формуле $S = a \cdot b$.

По условию, периметры обоих прямоугольников равны 122 см:

$P_1 = 2(a_1 + b_1) = 122$

$P_2 = 2(a_2 + b_2) = 122$

Из этих уравнений следует, что сумма длины и ширины для каждого прямоугольника одинакова:

$a_1 + b_1 = \frac{122}{2} = 61$ см

$a_2 + b_2 = \frac{122}{2} = 61$ см

Отсюда мы можем выразить ширину каждого прямоугольника через его длину:

$b_1 = 61 - a_1$

$b_2 = 61 - a_2$

Также из условия задачи известно, что длина первого прямоугольника на 5 см больше длины второго:

$a_1 = a_2 + 5$

Теперь рассмотрим площади прямоугольников. Площадь первого прямоугольника $S_1 = a_1 \cdot b_1$, а второго $S_2 = a_2 \cdot b_2$. По условию, площадь второго прямоугольника на 120 см² больше площади первого:

$S_2 = S_1 + 120$

Подставим выражения для площадей через длины сторон:

$a_2 \cdot b_2 = a_1 \cdot b_1 + 120$

Теперь заменим ширины $b_1$ и $b_2$ выражениями, которые мы получили ранее:

$a_2(61 - a_2) = a_1(61 - a_1) + 120$

У нас получилась система из двух уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $a_2$:

$\begin{cases} a_1 = a_2 + 5 \\ a_2(61 - a_2) = a_1(61 - a_1) + 120 \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе, чтобы избавиться от переменной $a_1$:

$a_2(61 - a_2) = (a_2 + 5)(61 - (a_2 + 5)) + 120$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$61a_2 - a_2^2 = (a_2 + 5)(61 - a_2 - 5) + 120$

$61a_2 - a_2^2 = (a_2 + 5)(56 - a_2) + 120$

$61a_2 - a_2^2 = 56a_2 - a_2^2 + 280 - 5a_2 + 120$

$61a_2 - a_2^2 = 51a_2 - a_2^2 + 400$

Прибавим $a_2^2$ к обеим частям уравнения, чтобы сократить этот член:

$61a_2 = 51a_2 + 400$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $a_2$:

$61a_2 - 51a_2 = 400$

$10a_2 = 400$

$a_2 = 40$ см

Мы нашли длину второго прямоугольника. Теперь можем найти все остальные размеры:

Длина первого прямоугольника: $a_1 = a_2 + 5 = 40 + 5 = 45$ см.

Ширина второго прямоугольника: $b_2 = 61 - a_2 = 61 - 40 = 21$ см.

Ширина первого прямоугольника: $b_1 = 61 - a_1 = 61 - 45 = 16$ см.

Осталось найти площади каждого прямоугольника:

Площадь первого прямоугольника: $S_1 = a_1 \cdot b_1 = 45 \cdot 16 = 720$ см².

Площадь второго прямоугольника: $S_2 = a_2 \cdot b_2 = 40 \cdot 21 = 840$ см².

Проверим, выполняется ли условие $S_2 = S_1 + 120$:

$840 \text{ см}^2 = 720 \text{ см}^2 + 120 \text{ см}^2$

$840 \text{ см}^2 = 840 \text{ см}^2$

Условие выполняется.

Ответ: площадь первого прямоугольника равна 720 см², а площадь второго прямоугольника — 840 см².

32.24 Периметр прямоугольника равен 240 см. Если длину прямоугольника уменьшить на 14 см, а ширину увеличить на 10 см, то его площадь увеличится на 4 $cm^2$. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим длину исходного прямоугольника как $l$ (см), а ширину как $w$ (см).

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(l + w)$. По условию, периметр равен 240 см. Составим первое уравнение:

$2(l + w) = 240$
$l + w = 120$

Площадь исходного прямоугольника равна $S_1 = l \cdot w$.

После изменений, длина прямоугольника стала $(l - 14)$ см, а ширина — $(w + 10)$ см. Новая площадь $S_2$ стала равна $(l - 14)(w + 10)$ см².

По условию, новая площадь увеличилась на 4 см², то есть $S_2 = S_1 + 4$. Составим второе уравнение:

$(l - 14)(w + 10) = l \cdot w + 4$

Раскроем скобки в левой части и упростим уравнение:

$lw + 10l - 14w - 140 = lw + 4$
$10l - 14w = 4 + 140$
$10l - 14w = 144$

Для удобства разделим обе части уравнения на 2:

$5l - 7w = 72$

Получили систему из двух уравнений:
$\begin{cases} l + w = 120 \\ 5l - 7w = 72 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $l$: $l = 120 - w$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$5(120 - w) - 7w = 72$
$600 - 5w - 7w = 72$
$600 - 12w = 72$
$12w = 600 - 72$
$12w = 528$
$w = \frac{528}{12}$
$w = 44$

Таким образом, ширина прямоугольника равна 44 см.

Теперь найдем длину, используя выражение $l = 120 - w$:

$l = 120 - 44 = 76$

Длина прямоугольника равна 76 см.

Проверим найденные значения.
Периметр: $2(76 + 44) = 2(120) = 240$ см.
Исходная площадь: $S_1 = 76 \cdot 44 = 3344$ см².
Новые размеры: длина $76 - 14 = 62$ см, ширина $44 + 10 = 54$ см.
Новая площадь: $S_2 = 62 \cdot 54 = 3348$ см².
Разница площадей: $S_2 - S_1 = 3348 - 3344 = 4$ см².
Все условия задачи выполнены.

Ответ: стороны прямоугольника равны 76 см и 44 см.

32.25 Даны три числа, из которых каждое следующее на 3 больше предыдущего. Найдите эти числа, если известно, что произведение меньшего и большего на 54 меньше произведения большего и среднего.

Пусть меньшее из трех чисел равно $x$. Так как каждое следующее число на 3 больше предыдущего, то эти три числа образуют арифметическую прогрессию с разностью 3.
Тогда:
Меньшее число: $x$
Среднее число: $x + 3$
Большее число: $x + 3 + 3 = x + 6$

По условию задачи, произведение меньшего и большего чисел на 54 меньше произведения большего и среднего чисел. Составим математическое уравнение на основе этого условия:
$x \cdot (x + 6) = (x + 3) \cdot (x + 6) - 54$

Теперь решим это уравнение относительно $x$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$x^2 + 6x = (x^2 + 6x + 3x + 18) - 54$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$x^2 + 6x = x^2 + 9x - 36$
Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$6x = 9x - 36$
Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены в другую:
$36 = 9x - 6x$
$36 = 3x$
Найдем $x$:
$x = \frac{36}{3}$
$x = 12$

Мы нашли меньшее число ($x = 12$). Теперь найдем остальные два числа:
Среднее число: $x + 3 = 12 + 3 = 15$
Большее число: $x + 6 = 12 + 6 = 18$
Искомые числа: 12, 15, 18.

Ответ: 12, 15, 18.

32.26 Даны три числа, из которых каждое следующее на 12 больше предыдущего. Найдите эти числа, если известно, что произведение двух меньших на 432 меньше произведения двух больших.

Пусть первое (наименьшее) из трех чисел равно $x$.

Согласно условию, каждое следующее число на 12 больше предыдущего. Следовательно, второе число будет равно $x + 12$, а третье число будет равно $(x + 12) + 12 = x + 24$.

Таким образом, мы ищем три числа: $x$, $x + 12$, $x + 24$.

Два меньших числа — это $x$ и $x + 12$. Их произведение равно $x(x + 12)$.

Два больших числа — это $x + 12$ и $x + 24$. Их произведение равно $(x + 12)(x + 24)$.

По условию задачи, произведение двух меньших чисел на 432 меньше произведения двух больших. Составим уравнение:

$(x + 12)(x + 24) = x(x + 12) + 432$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки:

$x^2 + 24x + 12x + 288 = x^2 + 12x + 432$

Упростим выражение, приведя подобные слагаемые в левой части:

$x^2 + 36x + 288 = x^2 + 12x + 432$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:

$36x + 288 = 12x + 432$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$36x - 12x = 432 - 288$

$24x = 144$

Найдем $x$:

$x = \frac{144}{24}$

$x = 6$

Мы нашли первое (наименьшее) число. Теперь найдем остальные два:

• Первое число: $x = 6$
• Второе число: $x + 12 = 6 + 12 = 18$
• Третье число: $x + 24 = 6 + 24 = 30$

Проверим, выполняется ли условие задачи. Произведение двух меньших чисел: $6 \times 18 = 108$. Произведение двух больших чисел: $18 \times 30 = 540$. Найдем разницу: $540 - 108 = 432$. Условие выполняется.

Ответ: 6, 18, 30.

32.27 Из четырёх чисел второе больше первого на 3, третье больше второго на 5, а четвёртое является суммой первого и второго. Найдите эти числа, если известно, что произведение первого и второго на 74,2 меньше разности между квадратом третьего числа и четвёртым числом.

Обозначим четыре искомых числа как $n_1$, $n_2$, $n_3$ и $n_4$. Для решения задачи выразим все числа через одно неизвестное. Пусть первое число $n_1 = x$.

Исходя из условий задачи, выразим остальные числа через $x$:

• Второе число больше первого на 3: $n_2 = n_1 + 3 = x + 3$.
• Третье число больше второго на 5: $n_3 = n_2 + 5 = (x + 3) + 5 = x + 8$.
• Четвёртое число является суммой первого и второго: $n_4 = n_1 + n_2 = x + (x + 3) = 2x + 3$.

Теперь используем последнее условие: "произведение первого и второго на 74,2 меньше разности между квадратом третьего числа и четвёртым числом". Это можно записать в виде уравнения:

$n_3^2 - n_4 - (n_1 \cdot n_2) = 74.2$

Или, что то же самое:

$n_1 \cdot n_2 + 74.2 = n_3^2 - n_4$

Подставим в это уравнение выражения для чисел через $x$:

$x(x + 3) + 74.2 = (x + 8)^2 - (2x + 3)$

Теперь раскроем скобки и решим полученное уравнение.

Левая часть:

$x^2 + 3x + 74.2$

Правая часть:

$(x^2 + 16x + 64) - 2x - 3 = x^2 + 14x + 61$

Приравниваем обе части:

$x^2 + 3x + 74.2 = x^2 + 14x + 61$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$74.2 - 61 = 14x - 3x$

$13.2 = 11x$

$x = \frac{13.2}{11}$

$x = 1.2$

Мы нашли первое число: $n_1 = 1.2$.

Теперь найдем остальные числа:

• $n_2 = x + 3 = 1.2 + 3 = 4.2$
• $n_3 = x + 8 = 1.2 + 8 = 9.2$
• $n_4 = 2x + 3 = 2 \cdot 1.2 + 3 = 2.4 + 3 = 5.4$

Таким образом, мы получили четыре числа: 1,2; 4,2; 9,2; 5,4.

Проверим выполнение условия. Произведение первого и второго чисел: $1.2 \cdot 4.2 = 5.04$. Разность между квадратом третьего числа и четвёртым числом: $(9.2)^2 - 5.4 = 84.64 - 5.4 = 79.24$. Разница между этими величинами: $79.24 - 5.04 = 74.2$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 1,2; 4,2; 9,2; 5,4.

Преобразуйте квадрат двучлена в многочлен стандартного вида:

33.1 а) $(a + x)^2$;

б) $(b - y)^2$;

в) $(c + d)^2$;

г) $(m - n)^2$.

а) Для преобразования квадрата двучлена $(a + x)^2$ в многочлен стандартного вида используется формула квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$. В данном выражении $A=a$ и $B=x$. Применяя эту формулу, получаем: $(a + x)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot x + x^2 = a^2 + 2ax + x^2$. Ответ: $a^2 + 2ax + x^2$

б) Для преобразования квадрата двучлена $(b - y)^2$ в многочлен стандартного вида используется формула квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$. В данном выражении $A=b$ и $B=y$. Применяя эту формулу, получаем: $(b - y)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot y + y^2 = b^2 - 2by + y^2$. Ответ: $b^2 - 2by + y^2$

в) Для преобразования квадрата двучлена $(c + d)^2$ в многочлен стандартного вида используется формула квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$. В данном выражении $A=c$ и $B=d$. Применяя эту формулу, получаем: $(c + d)^2 = c^2 + 2 \cdot c \cdot d + d^2 = c^2 + 2cd + d^2$. Ответ: $c^2 + 2cd + d^2$

г) Для преобразования квадрата двучлена $(m - n)^2$ в многочлен стандартного вида используется формула квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$. В данном выражении $A=m$ и $B=n$. Применяя эту формулу, получаем: $(m - n)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot n + n^2 = m^2 - 2mn + n^2$. Ответ: $m^2 - 2mn + n^2$

33.2 а) $(x + 1)^2$;

б) $(y - 2)^2$;

в) $(a - 5)^2$;

г) $(c + 8)^2$.

а) Чтобы раскрыть скобки в выражении $(x + 1)^2$, необходимо использовать формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае, $a=x$ и $b=1$.

Применяем формулу, подставляя наши значения:

$(x + 1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$.

Ответ: $x^2 + 2x + 1$.

б) Для выражения $(y - 2)^2$ воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=y$ и $b=2$.

Подставляем значения в формулу:

$(y - 2)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 = y^2 - 4y + 4$.

Ответ: $y^2 - 4y + 4$.

в) Выражение $(a - 5)^2$ также является квадратом разности. Используем формулу $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$, где $m=a$ и $n=5$.

Выполняем преобразование по формуле:

$(a - 5)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = a^2 - 10a + 25$.

Ответ: $a^2 - 10a + 25$.

г) В выражении $(c + 8)^2$ мы снова имеем дело с квадратом суммы. Применяем формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=c$ и $b=8$.

Подставляем значения $c$ и $8$ в формулу:

$(c + 8)^2 = c^2 + 2 \cdot c \cdot 8 + 8^2 = c^2 + 16c + 64$.

Ответ: $c^2 + 16c + 64$.