Страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

3. Всегда ли задание найти сумму или разность многочленов является корректным?

3.

Да, задание найти сумму или разность многочленов является корректным всегда. Чтобы понять почему, давайте разберемся, что такое многочлены и как выполняются операции сложения и вычитания с ними.

Многочлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой сумму одночленов. Одночлен — это произведение числа (коэффициента) и переменных в натуральных степенях. Например, $5x^3$, $-2xy^2$ и $7$ являются одночленами. Многочлен в стандартном виде — это многочлен, в котором все подобные члены приведены, и они записаны в порядке убывания степеней переменной.

Операции сложения и вычитания многочленов определены для любой пары многочленов. Результатом этих операций всегда будет другой многочлен. Это свойство называется замкнутостью множества многочленов относительно операций сложения и вычитания.

Сложение многочленов:

Чтобы сложить два многочлена, нужно сгруппировать их подобные члены (одночлены с одинаковой буквенной частью) и сложить их коэффициенты.

Рассмотрим пример. Пусть даны два многочлена:
$P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7$
$Q(x) = x^2 - 4x + 3$

Их сумма $P(x) + Q(x)$ находится следующим образом:
$P(x) + Q(x) = (3x^3 - 2x^2 + 5x - 7) + (x^2 - 4x + 3)$
Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:
$= 3x^3 + (-2x^2 + x^2) + (5x - 4x) + (-7 + 3)$
Сложим коэффициенты у подобных членов:
$= 3x^3 + (-2+1)x^2 + (5-4)x + (-4)$
$= 3x^3 - x^2 + x - 4$

Полученное выражение $3x^3 - x^2 + x - 4$ также является многочленом. Эта процедура применима к любым двум многочленам, независимо от их степени, количества членов или количества переменных.

Вычитание многочленов:

Чтобы вычесть один многочлен из другого, нужно раскрыть скобки, изменив знак каждого члена вычитаемого многочлена на противоположный, а затем привести подобные члены.

Используем те же многочлены $P(x)$ и $Q(x)$ для примера:
$P(x) - Q(x) = (3x^3 - 2x^2 + 5x - 7) - (x^2 - 4x + 3)$
Раскроем скобки, меняя знаки у второго многочлена:
$= 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7 - x^2 + 4x - 3$
Сгруппируем подобные члены:
$= 3x^3 + (-2x^2 - x^2) + (5x + 4x) + (-7 - 3)$
Выполним вычисления:
$= 3x^3 + (-2-1)x^2 + (5+4)x + (-10)$
$= 3x^3 - 3x^2 + 9x - 10$

Результат $3x^3 - 3x^2 + 9x - 10$ также является многочленом.

Таким образом, поскольку для любой пары многочленов их сумма и разность всегда существуют, однозначно определены и сами являются многочленами, то задание найти сумму или разность многочленов всегда является корректным.

Ответ: Да, задание найти сумму или разность многочленов является корректным всегда, так как множество многочленов замкнуто относительно операций сложения и вычитания. Это означает, что сумма или разность любых двух многочленов всегда является многочленом.

4. Может ли сумма или разность двух многочленов равняться числу? Если да, то приведите пример.

Да, сумма или разность двух многочленов может равняться числу. Это происходит в том случае, когда все члены, содержащие переменные (т.е. члены с ненулевой степенью), взаимно уничтожаются при сложении или вычитании. В результате операции остается только свободный член (константа, или многочлен нулевой степени), который и является числом.

Для того чтобы это произошло, необходимо, чтобы у двух многочленов все члены с одинаковыми переменными в одинаковых степенях были либо противоположны по знаку (для суммы), либо полностью совпадали (для разности).

Пример для суммы

Пусть даны два многочлена $P_1(x) = 3x^2 - 4x + 8$ и $P_2(x) = -3x^2 + 4x - 5$.

Найдем их сумму:

$P_1(x) + P_2(x) = (3x^2 - 4x + 8) + (-3x^2 + 4x - 5)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$P_1(x) + P_2(x) = (3x^2 - 3x^2) + (-4x + 4x) + (8 - 5) = 0 + 0 + 3 = 3$

В результате сложения двух многочленов получилось число $3$.

Пример для разности

Пусть даны два многочлена $Q_1(y) = 5y^3 + 2y^2 - 10$ и $Q_2(y) = 5y^3 + 2y^2 + 2$.

Найдем их разность:

$Q_1(y) - Q_2(y) = (5y^3 + 2y^2 - 10) - (5y^3 + 2y^2 + 2)$

Раскроем скобки, изменив знаки второго многочлена на противоположные, и приведем подобные слагаемые:

$Q_1(y) - Q_2(y) = 5y^3 + 2y^2 - 10 - 5y^3 - 2y^2 - 2 = (5y^3 - 5y^3) + (2y^2 - 2y^2) + (-10 - 2) = 0 + 0 - 12 = -12$

В результате вычитания одного многочлена из другого получилось число $-12$.

Ответ: Да, может. Например, сумма многочленов $(x^2 + 5)$ и $(-x^2 + 3)$ равна $8$; разность многочленов $(x^2 + 5)$ и $(x^2 + 3)$ равна $2$.

Б. Приведите пример многочлена, у которого есть взаимно уничтожающиеся члены.

5.

Взаимно уничтожающиеся члены многочлена — это подобные члены, которые имеют противоположные числовые коэффициенты. Подобными называются члены с одинаковой буквенной частью (переменными в одинаковых степенях). Сумма взаимно уничтожающихся членов всегда равна нулю, поэтому при упрощении выражения (приведении подобных слагаемых) они "исчезают".

Рассмотрим следующий многочлен в качестве примера:

$P(x, y) = 5x^2y - 3x + 4y - 5x^2y + 7$

В этом многочлене есть два члена: $5x^2y$ и $-5x^2y$.

• У них одинаковая буквенная часть: $x^2y$. Это означает, что они являются подобными членами.
• Их числовые коэффициенты равны $5$ и $-5$. Эти числа являются противоположными, так как их сумма равна нулю ($5 + (-5) = 0$).

Следовательно, члены $5x^2y$ и $-5x^2y$ являются взаимно уничтожающимися. При приведении подобных слагаемых в многочлене они сокращаются:

$P(x, y) = (5x^2y - 5x^2y) - 3x + 4y + 7 = 0 - 3x + 4y + 7 = -3x + 4y + 7$

Таким образом, многочлен $5x^2y - 3x + 4y - 5x^2y + 7$ является примером многочлена, у которого есть взаимно уничтожающиеся члены.

Ответ: $5x^2y - 3x + 4y - 5x^2y + 7$.

31.31 В прямоугольном параллелепипеде длина и ширина одинаковые, а высота на 6 см больше длины. Если длину увеличить в 2 раза, высоту уменьшить на 3 см, а ширину оставить без изменения, то объём параллелепипеда увеличится на $64 \text{ см}^3$. Найдите измерения данного параллелепипеда.

Пусть длина и ширина исходного прямоугольного параллелепипеда равны $x$ см. Согласно условию, высота на 6 см больше длины, следовательно, высота равна $(x + 6)$ см.

Объём исходного параллелепипеда $V_1$ равен произведению его измерений:
$V_1 = x \cdot x \cdot (x + 6) = x^2(x + 6)$ см$^3$.

После изменений были получены новые размеры параллелепипеда:

• длина была увеличена в 2 раза: $2x$ см;
• ширина осталась без изменений: $x$ см;
• высота была уменьшена на 3 см: $(x + 6) - 3 = (x + 3)$ см.

Объём нового параллелепипеда $V_2$ равен:
$V_2 = 2x \cdot x \cdot (x + 3) = 2x^2(x + 3)$ см$^3$.

По условию задачи, объём нового параллелепипеда на 64 см$^3$ больше объёма исходного, что можно записать в виде уравнения: $V_2 - V_1 = 64$.

Составим и решим это уравнение:
$2x^2(x + 3) - x^2(x + 6) = 64$
Раскроем скобки:
$2x^3 + 6x^2 - (x^3 + 6x^2) = 64$
$2x^3 + 6x^2 - x^3 - 6x^2 = 64$
Приведём подобные слагаемые:
$x^3 = 64$
$x = \sqrt[3]{64}$
$x = 4$

Таким образом, длина и ширина исходного параллелепипеда равны 4 см.

Найдём высоту исходного параллелепипеда:
$x + 6 = 4 + 6 = 10$ см.

Следовательно, измерения данного параллелепипеда: длина — 4 см, ширина — 4 см, высота — 10 см.

Ответ: 4 см, 4 см, 10 см.

31.32 Из двух пунктов $A$ и $B$, расстояние между которыми равно 2 км, одновременно в одном направлении отправились пешеход и велосипедист. Через 48 мин велосипедист опережал пешехода на 10 км. Найдите, какое расстояние будет между ними через 2 ч, если известно, что расстояние между ними всё время увеличивалось.

Пусть $v_п$ — скорость пешехода, а $v_в$ — скорость велосипедиста. Начальное расстояние между ними составляет $S_0 = 2$ км. Они движутся в одном направлении.

Ключевым условием задачи является то, что расстояние между ними всё время увеличивалось. Это означает, что более быстрый участник движения (велосипедист, $v_в > v_п$) с самого начала находился впереди более медленного (пешехода). Скорость, с которой они удаляются друг от друга, равна разности их скоростей и называется скоростью удаления:

$v_{уд} = v_в - v_п$

Изменение расстояния за время $t$ равно $v_{уд} \cdot t$. Таким образом, расстояние $S(t)$ между ними в момент времени $t$ вычисляется как сумма начального расстояния и изменения расстояния:

$S(t) = S_0 + v_{уд} \cdot t$

По условию, через $t_1 = 48$ минут расстояние между ними стало $S_1 = 10$ км. Переведем время в часы для согласованности единиц измерения:

$t_1 = 48 \text{ мин} = \frac{48}{60} \text{ ч} = 0.8 \text{ ч}$

Теперь мы можем найти скорость удаления, подставив известные значения в формулу:

$10 = 2 + v_{уд} \cdot 0.8$

Решим это уравнение относительно $v_{уд}$:

$v_{уд} \cdot 0.8 = 10 - 2$

$v_{уд} \cdot 0.8 = 8$

$v_{уд} = \frac{8}{0.8} = 10 \text{ км/ч}$

Теперь, зная скорость удаления, найдем, какое расстояние будет между ними через $t_2 = 2$ часа. Снова используем нашу формулу:

$S(t_2) = S_0 + v_{уд} \cdot t_2$

$S(2) = 2 + 10 \cdot 2$

$S(2) = 2 + 20 = 22 \text{ км}$

Ответ: 22 км.

31.33 Из двух пунктов А и В, расстояние между которыми равно 1 км, одновременно в одном направлении отправились пешеход и велосипедист. Через 45 мин расстояние между ними стало равным 7 км. Найдите, какое расстояние между ними будет через 1,5 часа, если известно, что расстояние между ними всё время увеличивалось.

Пусть $v_п$ — скорость пешехода, а $v_в$ — скорость велосипедиста. По условию, они движутся в одном направлении, и расстояние между ними всё время увеличивалось. Изначально расстояние между ними составляло $S_0 = 1$ км.

Увеличение расстояния возможно только в одном случае: если более быстрый участник движения (велосипедист, $v_в > v_п$) стартовал из точки, которая находилась впереди по направлению движения. В этом случае велосипедист с самого начала удаляется от пешехода. Если бы велосипедист стартовал позади, он бы сначала догонял пешехода, и расстояние между ними бы уменьшалось, что противоречит условию задачи.

Скорость, с которой расстояние между ними увеличивается, называется скоростью удаления и равна разности их скоростей: $v_{уд} = v_в - v_п$.

Общее расстояние между ними в момент времени $t$ можно рассчитать по формуле: $S(t) = S_0 + v_{уд} \cdot t$

Из условия известно, что через $t_1 = 45$ минут расстояние между ними стало $S_1 = 7$ км. Для расчетов переведем время в часы: $t_1 = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = 0.75$ ч.

Теперь мы можем найти скорость удаления, подставив известные значения в формулу: $7 \text{ км} = 1 \text{ км} + v_{уд} \cdot 0.75 \text{ ч}$

Решим уравнение относительно $v_{уд}$: $v_{уд} \cdot 0.75 = 7 - 1$ $v_{уд} \cdot 0.75 = 6$ $v_{уд} = \frac{6}{0.75} = \frac{6}{3/4} = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8$ км/ч.

Теперь необходимо найти расстояние между пешеходом и велосипедистом через $t_2 = 1.5$ часа. Используем ту же формулу с найденной скоростью удаления: $S(t_2) = S_0 + v_{уд} \cdot t_2$

Подставляем значения: $S(1.5) = 1 \text{ км} + 8 \text{ км/ч} \cdot 1.5 \text{ ч}$ $S(1.5) = 1 + 12$ $S(1.5) = 13$ км.

Ответ: 13 км.

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

32.1 a) $(x + 1)(x + 2)$;

б) $(a - 3)(a + 8)$;

в) $(b + 10)(b - 4)$;

г) $(y - 5)(y - 9).

Чтобы преобразовать выражение в многочлен стандартного вида, необходимо перемножить двучлены, раскрывая скобки по правилу: каждый член первого двучлена умножается на каждый член второго. После этого нужно привести подобные слагаемые (сложить или вычесть члены с одинаковой переменной в одинаковой степени). Общая формула для умножения двух двучленов выглядит так: $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.

а)

Дано выражение $(x + 1)(x + 2)$.

1. Умножим каждый член первого двучлена на каждый член второго: $(x + 1)(x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 2 = x^2 + 2x + x + 2$

2. Приведем подобные слагаемые ($2x$ и $x$): $x^2 + (2x + x) + 2 = x^2 + 3x + 2$

Ответ: $x^2 + 3x + 2$

б)

Дано выражение $(a - 3)(a + 8)$.

1. Умножим каждый член первого двучлена на каждый член второго: $(a - 3)(a + 8) = a \cdot a + a \cdot 8 + (-3) \cdot a + (-3) \cdot 8 = a^2 + 8a - 3a - 24$

2. Приведем подобные слагаемые ($8a$ и $-3a$): $a^2 + (8a - 3a) - 24 = a^2 + 5a - 24$

Ответ: $a^2 + 5a - 24$

в)

Дано выражение $(b + 10)(b - 4)$.

1. Умножим каждый член первого двучлена на каждый член второго: $(b + 10)(b - 4) = b \cdot b + b \cdot (-4) + 10 \cdot b + 10 \cdot (-4) = b^2 - 4b + 10b - 40$

2. Приведем подобные слагаемые ($-4b$ и $10b$): $b^2 + (-4b + 10b) - 40 = b^2 + 6b - 40$

Ответ: $b^2 + 6b - 40$

г)

Дано выражение $(y - 5)(y - 9)$.

1. Умножим каждый член первого двучлена на каждый член второго: $(y - 5)(y - 9) = y \cdot y + y \cdot (-9) + (-5) \cdot y + (-5) \cdot (-9) = y^2 - 9y - 5y + 45$

2. Приведем подобные слагаемые ($-9y$ и $-5y$): $y^2 + (-9y - 5y) + 45 = y^2 - 14y + 45$

Ответ: $y^2 - 14y + 45$

32.2 а) $(x - 5)(9 - x)$;

Б) $(-8 - a)(b + 2)$;

В) $(y - 10)(-y + 6)$;

Г) $(-7 - b)(a - 4)$.

а)

Для того чтобы раскрыть скобки, необходимо каждый член первого многочлена $(x-5)$ умножить на каждый член второго многочлена $(9-x)$ и сложить полученные произведения. Этот метод называется правилом FOIL (First, Outer, Inner, Last) или методом фонтанчика.

$(x - 5)(9 - x) = x \cdot 9 + x \cdot (-x) + (-5) \cdot 9 + (-5) \cdot (-x)$

Выполним умножение для каждого члена:

$9x - x^2 - 45 + 5x$

Теперь сгруппируем и сложим подобные слагаемые (члены с переменной $x$ и константы):

$-x^2 + (9x + 5x) - 45$

$-x^2 + 14x - 45$

Ответ: $-x^2 + 14x - 45$

б)

Применим то же правило умножения многочленов для выражения $(-8 - a)(b + 2)$.

$(-8 - a)(b + 2) = (-8) \cdot b + (-8) \cdot 2 + (-a) \cdot b + (-a) \cdot 2$

Произведем умножение:

$-8b - 16 - ab - 2a$

В полученном выражении нет подобных слагаемых, поэтому упрощение не требуется. Для стандартной записи расположим члены в алфавитном порядке переменных.

$-ab - 2a - 8b - 16$

Ответ: $-ab - 2a - 8b - 16$

в)

Раскроем скобки для выражения $(y - 10)(-y + 6)$, умножая каждый член первого двучлена на каждый член второго.

$(y - 10)(-y + 6) = y \cdot (-y) + y \cdot 6 + (-10) \cdot (-y) + (-10) \cdot 6$

Выполним операции умножения:

$-y^2 + 6y + 10y - 60$

Сложим подобные слагаемые (члены с переменной $y$):

$-y^2 + (6y + 10y) - 60$

$-y^2 + 16y - 60$

Ответ: $-y^2 + 16y - 60$

г)

Применим правило умножения многочленов для выражения $(-7 - b)(a - 4)$.

$(-7 - b)(a - 4) = (-7) \cdot a + (-7) \cdot (-4) + (-b) \cdot a + (-b) \cdot (-4)$

Выполним умножение:

$-7a + 28 - ab + 4b$

Подобных слагаемых в этом выражении нет. Для приведения к стандартному виду, упорядочим члены по алфавиту.

$-ab - 7a + 4b + 28$

Ответ: $-ab - 7a + 4b + 28$

32.3 а) $(2a + 4)(5a + 6);$

б) $(7b - 3)(8b + 4);$

В) $(8c + 12)(3c - 1);$

Г) $(15d + 27)(-5d - 9).$

а) Для того чтобы перемножить два многочлена (в данном случае, двучлены), необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.

Раскроем скобки для выражения $(2a + 4)(5a + 6)$:

$(2a + 4)(5a + 6) = 2a \cdot 5a + 2a \cdot 6 + 4 \cdot 5a + 4 \cdot 6$

Выполним умножение для каждого слагаемого:

$10a^2 + 12a + 20a + 24$

Теперь приведем подобные слагаемые ($12a$ и $20a$):

$10a^2 + (12 + 20)a + 24 = 10a^2 + 32a + 24$

Ответ: $10a^2 + 32a + 24$

б) Аналогично решим для выражения $(7b - 3)(8b + 4)$:

$(7b - 3)(8b + 4) = 7b \cdot 8b + 7b \cdot 4 - 3 \cdot 8b - 3 \cdot 4$

Выполним умножение:

$56b^2 + 28b - 24b - 12$

Приведем подобные слагаемые ($28b$ и $-24b$):

$56b^2 + (28 - 24)b - 12 = 56b^2 + 4b - 12$

Ответ: $56b^2 + 4b - 12$

в) Раскроем скобки для выражения $(8c + 12)(3c - 1)$:

$(8c + 12)(3c - 1) = 8c \cdot 3c + 8c \cdot (-1) + 12 \cdot 3c + 12 \cdot (-1)$

Выполним умножение:

$24c^2 - 8c + 36c - 12$

Приведем подобные слагаемые ($-8c$ и $36c$):

$24c^2 + (-8 + 36)c - 12 = 24c^2 + 28c - 12$

Ответ: $24c^2 + 28c - 12$

г) Раскроем скобки для выражения $(15d + 27)(-5d - 9)$:

$(15d + 27)(-5d - 9) = 15d \cdot (-5d) + 15d \cdot (-9) + 27 \cdot (-5d) + 27 \cdot (-9)$

Выполним умножение:

$-75d^2 - 135d - 135d - 243$

Приведем подобные слагаемые ($-135d$ и $-135d$):

$-75d^2 + (-135 - 135)d - 243 = -75d^2 - 270d - 243$

Ответ: $-75d^2 - 270d - 243$

32.4 a) $(m^2 + n)(m + n);$

б) $(2x^2 - 1)(x + 3);$

В) $(3y^2 + 5)(y - 6);$

Г) $(7c^2 - 1)(c - 3).$

а) Для того чтобы перемножить два многочлена $(m^2 + n)$ и $(m + n)$, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить. Этот процесс называется раскрытием скобок.

$(m^2 + n)(m + n) = m^2 \cdot m + m^2 \cdot n + n \cdot m + n \cdot n$

Выполним умножение каждого члена:

$m^2 \cdot m = m^{2+1} = m^3$

$m^2 \cdot n = m^2n$

$n \cdot m = mn$

$n \cdot n = n^2$

Теперь сложим полученные одночлены:

$m^3 + m^2n + mn + n^2$

Подобных членов в данном выражении нет, поэтому это окончательный результат.

Ответ: $m^3 + m^2n + mn + n^2$

б) Перемножим многочлены $(2x^2 - 1)$ и $(x + 3)$, используя то же правило: каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго.

$(2x^2 - 1)(x + 3) = 2x^2 \cdot x + 2x^2 \cdot 3 + (-1) \cdot x + (-1) \cdot 3$

Выполним умножение:

$2x^2 \cdot x = 2x^{2+1} = 2x^3$

$2x^2 \cdot 3 = 6x^2$

$(-1) \cdot x = -x$

$(-1) \cdot 3 = -3$

Сложим полученные одночлены:

$2x^3 + 6x^2 - x - 3$

Подобных членов нет, поэтому выражение упростить нельзя.

Ответ: $2x^3 + 6x^2 - x - 3$

в) Перемножим многочлены $(3y^2 + 5)$ и $(y - 6)$.

$(3y^2 + 5)(y - 6) = 3y^2 \cdot y + 3y^2 \cdot (-6) + 5 \cdot y + 5 \cdot (-6)$

Выполним умножение:

$3y^2 \cdot y = 3y^{2+1} = 3y^3$

$3y^2 \cdot (-6) = -18y^2$

$5 \cdot y = 5y$

$5 \cdot (-6) = -30$

Сложим полученные одночлены:

$3y^3 - 18y^2 + 5y - 30$

Подобных членов нет.

Ответ: $3y^3 - 18y^2 + 5y - 30$

г) Перемножим многочлены $(7c^2 - 1)$ и $(c - 3)$.

$(7c^2 - 1)(c - 3) = 7c^2 \cdot c + 7c^2 \cdot (-3) + (-1) \cdot c + (-1) \cdot (-3)$

Выполним умножение:

$7c^2 \cdot c = 7c^{2+1} = 7c^3$

$7c^2 \cdot (-3) = -21c^2$

$(-1) \cdot c = -c$

$(-1) \cdot (-3) = 3$

Сложим полученные одночлены:

$7c^3 - 21c^2 - c + 3$

Подобных членов нет.

Ответ: $7c^3 - 21c^2 - c + 3$