Страница 147, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Используя формулу $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, вычислите:

33.27 а) 69 $\cdot$ 71;

б) 31 $\cdot$ 29;

в) 89 $\cdot$ 91;

г) 99 $\cdot$ 101.

а) Чтобы вычислить произведение $69 \cdot 71$, представим эти числа в виде разности и суммы одного и того же числа. Для этого найдем их среднее арифметическое: $a = (69 + 71) / 2 = 140 / 2 = 70$. Отклонение от среднего для обоих чисел равно $b = 1$. Таким образом, $69 = 70 - 1$ и $71 = 70 + 1$.
Теперь применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:
$69 \cdot 71 = (70 - 1)(70 + 1) = 70^2 - 1^2 = 4900 - 1 = 4899$.
Ответ: 4899.

б) Для вычисления произведения $31 \cdot 29$ найдем среднее арифметическое этих чисел: $a = (31 + 29) / 2 = 60 / 2 = 30$. Отклонение от среднего равно $b = 1$. Следовательно, $31 = 30 + 1$ и $29 = 30 - 1$.
Применяем формулу разности квадратов:
$31 \cdot 29 = (30 + 1)(30 - 1) = 30^2 - 1^2 = 900 - 1 = 899$.
Ответ: 899.

в) Для вычисления произведения $89 \cdot 91$ найдем среднее арифметическое: $a = (89 + 91) / 2 = 180 / 2 = 90$. Отклонение от среднего равно $b = 1$. Таким образом, $89 = 90 - 1$ и $91 = 90 + 1$.
Применяем формулу разности квадратов:
$89 \cdot 91 = (90 - 1)(90 + 1) = 90^2 - 1^2 = 8100 - 1 = 8099$.
Ответ: 8099.

г) Для вычисления произведения $99 \cdot 101$ найдем среднее арифметическое: $a = (99 + 101) / 2 = 200 / 2 = 100$. Отклонение от среднего равно $b = 1$. Значит, $99 = 100 - 1$ и $101 = 100 + 1$.
Применяем формулу разности квадратов:
$99 \cdot 101 = (100 - 1)(100 + 1) = 100^2 - 1^2 = 10000 - 1 = 9999$.
Ответ: 9999.

33.28 a) $58 \cdot 62$;

б) $82 \cdot 78$;

в) $42 \cdot 38$;

г) $18 \cdot 22$.

а) Для вычисления произведения $58 \cdot 62$ удобно использовать формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Представим множители 58 и 62 через их среднее арифметическое, которое равно $(58 + 62) / 2 = 60$.

Тогда $58 = 60 - 2$ и $62 = 60 + 2$.

Подставим эти выражения в исходное произведение и применим формулу:

$58 \cdot 62 = (60 - 2)(60 + 2) = 60^2 - 2^2 = 3600 - 4 = 3596$.

Ответ: 3596

б) Для вычисления произведения $82 \cdot 78$ применим тот же подход. Среднее арифметическое чисел 82 и 78 равно $(82 + 78) / 2 = 80$.

Представим множители в виде: $82 = 80 + 2$ и $78 = 80 - 2$.

Применим формулу разности квадратов:

$82 \cdot 78 = (80 + 2)(80 - 2) = 80^2 - 2^2 = 6400 - 4 = 6396$.

Ответ: 6396

в) Вычислим произведение $42 \cdot 38$, используя формулу разности квадратов. Среднее арифметическое чисел 42 и 38 равно $(42 + 38) / 2 = 40$.

Представим множители в виде: $42 = 40 + 2$ и $38 = 40 - 2$.

Применим формулу:

$42 \cdot 38 = (40 + 2)(40 - 2) = 40^2 - 2^2 = 1600 - 4 = 1596$.

Ответ: 1596

г) Вычислим произведение $18 \cdot 22$. Среднее арифметическое чисел 18 и 22 равно $(18 + 22) / 2 = 20$.

Представим множители в виде: $18 = 20 - 2$ и $22 = 20 + 2$.

Применим формулу разности квадратов:

$18 \cdot 22 = (20 - 2)(20 + 2) = 20^2 - 2^2 = 400 - 4 = 396$.

Ответ: 396

33.29 а) $0,49 \cdot 0,51;$

б) $0,78 \cdot 0,82;$

в) $0,67 \cdot 0,73;$

г) $1,21 \cdot 1,19.$

а) Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно разностью квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
Представим множители $0,49$ и $0,51$ в виде разности и суммы двух чисел. Заметим, что оба числа близки к $0,5$.
$0,49 = 0,5 - 0,01$
$0,51 = 0,5 + 0,01$
Теперь применим формулу разности квадратов:
$0,49 \cdot 0,51 = (0,5 - 0,01)(0,5 + 0,01) = 0,5^2 - 0,01^2 = 0,25 - 0,0001 = 0,2499$
Ответ: $0,2499$.

б) Аналогично предыдущему пункту, используем формулу разности квадратов. Множители $0,78$ и $0,82$ близки к числу $0,8$.
Представим их в следующем виде:
$0,78 = 0,8 - 0,02$
$0,82 = 0,8 + 0,02$
Применим формулу:
$0,78 \cdot 0,82 = (0,8 - 0,02)(0,8 + 0,02) = 0,8^2 - 0,02^2 = 0,64 - 0,0004 = 0,6396$
Ответ: $0,6396$.

в) Снова воспользуемся формулой разности квадратов. Числа $0,67$ и $0,73$ симметричны относительно $0,7$.
Представим множители в виде:
$0,67 = 0,7 - 0,03$
$0,73 = 0,7 + 0,03$
Применим формулу:
$0,67 \cdot 0,73 = (0,7 - 0,03)(0,7 + 0,03) = 0,7^2 - 0,03^2 = 0,49 - 0,0009 = 0,4891$
Ответ: $0,4891$.

г) Используем тот же подход. Множители $1,21$ и $1,19$ близки к числу $1,2$.
Представим их в виде:
$1,21 = 1,2 + 0,01$
$1,19 = 1,2 - 0,01$
Применим формулу разности квадратов:
$1,21 \cdot 1,19 = (1,2 + 0,01)(1,2 - 0,01) = 1,2^2 - 0,01^2 = 1,44 - 0,0001 = 1,4399$
Ответ: $1,4399$.

33.30 a) $10\frac{1}{7} \cdot 9\frac{6}{7}$;

б) $10\frac{2}{5} \cdot 9,6$;

В) $99\frac{2}{3} \cdot 100\frac{1}{3}$;

г) $7\frac{4}{5} \cdot 8,2$.

а) $10\frac{1}{7} \cdot 9\frac{6}{7}$

Для решения этого примера удобно использовать формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Представим множители в виде суммы и разности одного и того же числа:
$10\frac{1}{7} = 10 + \frac{1}{7}$
$9\frac{6}{7} = 10 - \frac{1}{7}$

Тогда исходное выражение можно переписать как:
$(10 + \frac{1}{7}) \cdot (10 - \frac{1}{7})$

Применив формулу разности квадратов, где $a=10$ и $b=\frac{1}{7}$, получим:
$10^2 - (\frac{1}{7})^2 = 100 - \frac{1}{49} = 99\frac{49}{49} - \frac{1}{49} = 99\frac{48}{49}$

Ответ: $99\frac{48}{49}$

б) $10\frac{2}{5} \cdot 9,6$

Сначала преобразуем оба множителя к одному виду. В данном случае удобно работать с десятичными дробями.
$10\frac{2}{5} = 10 + \frac{2}{5} = 10 + 0,4 = 10,4$
Пример принимает вид: $10,4 \cdot 9,6$.

Воспользуемся формулой разности квадратов. Для этого представим множители в виде:
$10,4 = 10 + 0,4$
$9,6 = 10 - 0,4$

Произведение равно:
$(10 + 0,4) \cdot (10 - 0,4) = 10^2 - (0,4)^2 = 100 - 0,16 = 99,84$

Ответ: $99,84$

в) $99\frac{2}{3} \cdot 100\frac{1}{3}$

Данный пример также удобно решать с помощью формулы разности квадратов.
Представим множители следующим образом:
$99\frac{2}{3} = 100 - \frac{1}{3}$
$100\frac{1}{3} = 100 + \frac{1}{3}$

Тогда произведение можно записать как:
$(100 - \frac{1}{3}) \cdot (100 + \frac{1}{3})$

Применяя формулу, где $a=100$ и $b=\frac{1}{3}$, получаем:
$100^2 - (\frac{1}{3})^2 = 10000 - \frac{1}{9} = 9999\frac{9}{9} - \frac{1}{9} = 9999\frac{8}{9}$

Ответ: $9999\frac{8}{9}$

г) $7\frac{4}{5} \cdot 8,2$

Для удобства вычислений преобразуем смешанное число в десятичную дробь.
$7\frac{4}{5} = 7 + \frac{4}{5} = 7 + \frac{8}{10} = 7,8$

Теперь пример выглядит так: $7,8 \cdot 8,2$.
Снова воспользуемся формулой разности квадратов. Представим множители в виде:
$7,8 = 8 - 0,2$
$8,2 = 8 + 0,2$

Тогда произведение равно:
$(8 - 0,2) \cdot (8 + 0,2) = 8^2 - (0,2)^2 = 64 - 0,04 = 63,96$

Ответ: $63,96$

Выполните действия, используя соответствующую формулу сокращённого умножения:

33.31

а) $(x - 1)(x^2 + x + 1)$;

б) $(x + 3)(x^2 - 3x + 9)$;

в) $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$;

г) $(x + 4)(x^2 - 4x + 16)$.

а) Для того чтобы выполнить умножение в выражении $(x - 1)(x^2 + x + 1)$, мы используем формулу сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В данном выражении мы можем определить $a = x$ и $b = 1$.

Проверим, соответствует ли второй множитель $(x^2 + x + 1)$ части формулы $(a^2 + ab + b^2)$:

$a^2 = x^2$

$ab = x \cdot 1 = x$

$b^2 = 1^2 = 1$

Поскольку все части совпадают, мы можем применить формулу:

$(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1^3 = x^3 - 1$.

Ответ: $x^3 - 1$

б) Для выражения $(x + 3)(x^2 - 3x + 9)$ мы применяем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В этом случае $a = x$ и $b = 3$.

Проверим соответствие второго множителя $(x^2 - 3x + 9)$ части формулы $(a^2 - ab + b^2)$:

$a^2 = x^2$

$ab = x \cdot 3 = 3x$

$b^2 = 3^2 = 9$

Выражение $(x^2 - 3x + 9)$ соответствует $(a^2 - ab + b^2)$. Применяем формулу:

$(x + 3)(x^2 - 3x + 9) = x^3 + 3^3 = x^3 + 27$.

Ответ: $x^3 + 27$

в) Выражение $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ соответствует формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Здесь $a = x$ и $b = 2$.

Проверяем второй множитель $(x^2 + 2x + 4)$:

$a^2 = x^2$

$ab = x \cdot 2 = 2x$

$b^2 = 2^2 = 4$

Все части совпадают. Применяем формулу:

$(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8$.

Ответ: $x^3 - 8$

г) Выражение $(x + 4)(x^2 - 4x + 16)$ соответствует формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В данном случае $a = x$ и $b = 4$.

Проверяем второй множитель $(x^2 - 4x + 16)$:

$a^2 = x^2$

$ab = x \cdot 4 = 4x$

$b^2 = 4^2 = 16$

Выражение $(x^2 - 4x + 16)$ полностью соответствует части формулы $(a^2 - ab + b^2)$. Применяем формулу:

$(x + 4)(x^2 - 4x + 16) = x^3 + 4^3 = x^3 + 64$.

Ответ: $x^3 + 64$

33.32 а) $(5m + 3n)(25m^2 - 15mn + 9n^2);$

б) $(2a - 3x)(4a^2 + 6ax + 9x^2);$

в) $(3x + 4y)(9x^2 - 12xy + 16y^2);$

г) $(4x - 5y)(16x^2 + 20xy + 25y^2).$

а) Чтобы упростить выражение $(5m + 3n)(25m^2 - 15mn + 9n^2)$, мы применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В данном случае, $a = 5m$ и $b = 3n$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(25m^2 - 15mn + 9n^2)$ выражению $(a^2 - ab + b^2)$:

$a^2 = (5m)^2 = 25m^2$

$ab = (5m)(3n) = 15mn$

$b^2 = (3n)^2 = 9n^2$

Выражение во второй скобке полностью совпадает с формулой. Таким образом, исходное выражение равно сумме кубов $a$ и $b$.

$(5m)^3 + (3n)^3 = 125m^3 + 27n^3$.

Ответ: $125m^3 + 27n^3$.

б) Для упрощения выражения $(2a - 3x)(4a^2 + 6ax + 9x^2)$ применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В данном случае, переменная $a$ в формуле соответствует $2a$ в выражении, а переменная $b$ в формуле - $3x$ в выражении.

Проверим соответствие второй скобки $(4a^2 + 6ax + 9x^2)$ выражению $(a^2 + ab + b^2)$:

$a^2 = (2a)^2 = 4a^2$

$ab = (2a)(3x) = 6ax$

$b^2 = (3x)^2 = 9x^2$

Выражение во второй скобке совпадает с формулой. Следовательно, исходное выражение равно разности кубов.

$(2a)^3 - (3x)^3 = 8a^3 - 27x^3$.

Ответ: $8a^3 - 27x^3$.

в) Упростим выражение $(3x + 4y)(9x^2 - 12xy + 16y^2)$, используя формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Здесь $a = 3x$ и $b = 4y$.

Проверим вторую скобку $(9x^2 - 12xy + 16y^2)$ на соответствие выражению $(a^2 - ab + b^2)$:

$a^2 = (3x)^2 = 9x^2$

$ab = (3x)(4y) = 12xy$

$b^2 = (4y)^2 = 16y^2$

Соответствие полное. Значит, мы можем применить формулу суммы кубов.

$(3x)^3 + (4y)^3 = 27x^3 + 64y^3$.

Ответ: $27x^3 + 64y^3$.

г) Упростим выражение $(4x - 5y)(16x^2 + 20xy + 25y^2)$, используя формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В этом выражении $a = 4x$ и $b = 5y$.

Проверим, соответствует ли вторая скобка $(16x^2 + 20xy + 25y^2)$ выражению $(a^2 + ab + b^2)$:

$a^2 = (4x)^2 = 16x^2$

$ab = (4x)(5y) = 20xy$

$b^2 = (5y)^2 = 25y^2$

Соответствие подтверждено. Применяем формулу разности кубов.

$(4x)^3 - (5y)^3 = 64x^3 - 125y^3$.

Ответ: $64x^3 - 125y^3$.

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

33.33 а) $3(x - y)^2;$

б) $-c(3a + c)^2;$

в) $-6(5m - n)^2;$

г) $b(1 + 2b)^2.$

а)

Чтобы преобразовать выражение $3(x - y)^2$ в многочлен стандартного вида, мы сначала воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Применим эту формулу к выражению $(x - y)^2$:

$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

Теперь умножим каждый член полученного многочлена на 3:

$3(x^2 - 2xy + y^2) = 3 \cdot x^2 - 3 \cdot 2xy + 3 \cdot y^2 = 3x^2 - 6xy + 3y^2$

Полученный многочлен $3x^2 - 6xy + 3y^2$ записан в стандартном виде.

Ответ: $3x^2 - 6xy + 3y^2$

б)

Для преобразования выражения $-c(3a + c)^2$ в многочлен стандартного вида, мы сначала воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Применим эту формулу к выражению $(3a + c)^2$:

$(3a + c)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot c + c^2 = 9a^2 + 6ac + c^2$

Теперь умножим каждый член полученного многочлена на $-c$:

$-c(9a^2 + 6ac + c^2) = (-c) \cdot 9a^2 + (-c) \cdot 6ac + (-c) \cdot c^2 = -9a^2c - 6ac^2 - c^3$

Для записи в стандартном виде расположим члены многочлена по убыванию степеней переменной $c$:

$-c^3 - 6ac^2 - 9a^2c$

Ответ: $-c^3 - 6ac^2 - 9a^2c$

в)

Для преобразования выражения $-6(5m - n)^2$ в многочлен стандартного вида, мы снова воспользуемся формулой квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Применим эту формулу к выражению $(5m - n)^2$:

$(5m - n)^2 = (5m)^2 - 2 \cdot 5m \cdot n + n^2 = 25m^2 - 10mn + n^2$

Теперь умножим каждый член полученного многочлена на $-6$:

$-6(25m^2 - 10mn + n^2) = (-6) \cdot 25m^2 - (-6) \cdot 10mn + (-6) \cdot n^2 = -150m^2 + 60mn - 6n^2$

Полученный многочлен $-150m^2 + 60mn - 6n^2$ записан в стандартном виде.

Ответ: $-150m^2 + 60mn - 6n^2$

г)

Для преобразования выражения $b(1 + 2b)^2$ в многочлен стандартного вида, мы снова воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Применим эту формулу к выражению $(1 + 2b)^2$:

$(1 + 2b)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2b + (2b)^2 = 1 + 4b + 4b^2$

Теперь умножим каждый член полученного многочлена на $b$:

$b(1 + 4b + 4b^2) = b \cdot 1 + b \cdot 4b + b \cdot 4b^2 = b + 4b^2 + 4b^3$

Для записи в стандартном виде расположим члены многочлена по убыванию степеней переменной $b$:

$4b^3 + 4b^2 + b$

Ответ: $4b^3 + 4b^2 + b$

33.34 а) $a^2 + (3a - b)^2;$

б) $9p^2 - (q - 3p)^2;$

в) $(5c + 7d)^2 - 70cd;$

г) $(8m - n)^2 - 64m^2.$

а) Для упрощения выражения $a^2 + (3a - b)^2$ сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае $x = 3a$ и $y = b$.

$(3a - b)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot b + b^2 = 9a^2 - 6ab + b^2$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$a^2 + (9a^2 - 6ab + b^2) = a^2 + 9a^2 - 6ab + b^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$ (a^2 + 9a^2) - 6ab + b^2 = 10a^2 - 6ab + b^2$.

Ответ: $10a^2 - 6ab + b^2$.

б) Для упрощения выражения $9p^2 - (q - 3p)^2$ раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае $x = q$ и $y = 3p$.

$(q - 3p)^2 = q^2 - 2 \cdot q \cdot 3p + (3p)^2 = q^2 - 6pq + 9p^2$.

Подставим полученное выражение в исходное. Так как перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобки изменятся на противоположные:

$9p^2 - (q^2 - 6pq + 9p^2) = 9p^2 - q^2 + 6pq - 9p^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(9p^2 - 9p^2) - q^2 + 6pq = -q^2 + 6pq$.

Для удобства записи можно поменять слагаемые местами: $6pq - q^2$.

Ответ: $6pq - q^2$.

в) Для упрощения выражения $(5c + 7d)^2 - 70cd$ раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном случае $x = 5c$ и $y = 7d$.

$(5c + 7d)^2 = (5c)^2 + 2 \cdot 5c \cdot 7d + (7d)^2 = 25c^2 + 70cd + 49d^2$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$(25c^2 + 70cd + 49d^2) - 70cd = 25c^2 + 70cd - 70cd + 49d^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$25c^2 + (70cd - 70cd) + 49d^2 = 25c^2 + 49d^2$.

Ответ: $25c^2 + 49d^2$.

г) Для упрощения выражения $(8m - n)^2 - 64m^2$ раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь $x = 8m$ и $y = n$.

$(8m - n)^2 = (8m)^2 - 2 \cdot 8m \cdot n + n^2 = 64m^2 - 16mn + n^2$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$(64m^2 - 16mn + n^2) - 64m^2 = 64m^2 - 16mn + n^2 - 64m^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(64m^2 - 64m^2) - 16mn + n^2 = -16mn + n^2$.

Поменяем слагаемые местами для стандартного вида записи: $n^2 - 16mn$.

Ответ: $n^2 - 16mn$.

33.35 а) $(a - 4)^2 + a(a + 8)$

Б) $(x - 7)x + (x + 3)^2$

В) $(y - 5)^2 - (y - 2)$

Г) $b(b + 4) - (b + 2)^2$

а) Решим выражение $(a - 4)^2 + a(a + 8)$.
Для начала раскроем скобки. Первое слагаемое $(a - 4)^2$ — это квадрат разности, который раскрывается по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(a - 4)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = a^2 - 8a + 16$.
Второе слагаемое $a(a + 8)$ раскроем с помощью распределительного закона умножения:
$a(a + 8) = a \cdot a + a \cdot 8 = a^2 + 8a$.
Теперь подставим полученные выражения в исходное и сложим их:
$(a^2 - 8a + 16) + (a^2 + 8a)$.
Сгруппируем и приведем подобные члены:
$(a^2 + a^2) + (-8a + 8a) + 16 = 2a^2 + 0 + 16 = 2a^2 + 16$.
Ответ: $2a^2 + 16$.

б) Решим выражение $(x - 7)x + (x + 3)^2$.
Раскроем скобки в каждом слагаемом. Для первого слагаемого $(x - 7)x$ применим распределительный закон:
$(x - 7)x = x \cdot x - 7 \cdot x = x^2 - 7x$.
Для второго слагаемого $(x + 3)^2$ используем формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.
Теперь сложим результаты:
$(x^2 - 7x) + (x^2 + 6x + 9)$.
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 + x^2) + (-7x + 6x) + 9 = 2x^2 - x + 9$.
Ответ: $2x^2 - x + 9$.

в) Решим выражение $(y - 5)^2 - (y - 2)$.
Сначала раскроем квадрат разности $(y - 5)^2$ по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(y - 5)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^2 = y^2 - 10y + 25$.
Теперь подставим это в исходное выражение и раскроем вторые скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки внутри скобки меняются на противоположные:
$(y^2 - 10y + 25) - (y - 2) = y^2 - 10y + 25 - y + 2$.
Сгруппируем и приведем подобные члены:
$y^2 + (-10y - y) + (25 + 2) = y^2 - 11y + 27$.
Ответ: $y^2 - 11y + 27$.

г) Решим выражение $b(b + 4) - (b + 2)^2$.
Раскроем скобки в уменьшаемом и вычитаемом. Сначала $b(b + 4)$:
$b(b + 4) = b^2 + 4b$.
Затем раскроем квадрат суммы $(b + 2)^2$ по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(b + 2)^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 2 + 2^2 = b^2 + 4b + 4$.
Теперь вычтем второе выражение из первого. Не забываем, что при вычитании многочлена знаки всех его членов меняются на противоположные:
$(b^2 + 4b) - (b^2 + 4b + 4) = b^2 + 4b - b^2 - 4b - 4$.
Приведем подобные слагаемые:
$(b^2 - b^2) + (4b - 4b) - 4 = 0 + 0 - 4 = -4$.
Ответ: $-4$.