Страница 151, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Сформулируйте, чему равен квадрат суммы двух выражений. Запишите это утверждение на математическом языке.

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Чтобы записать это утверждение на математическом языке, обозначим два произвольных выражения переменными $a$ и $b$. Сумма этих выражений будет $a + b$, а квадрат суммы, соответственно, $(a + b)^2$.

Исходя из словесной формулировки, получаем тождество, которое является одной из формул сокращенного умножения:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Это тождество означает, что равенство верно для любых значений переменных $a$ и $b$.

Ответ: Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения. Математическая запись: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

33.62 a) $(* - 10z^2)(* + *) = 0.49x^6 - *;$

б) $(* + *)(7p^6 - *) = * - \frac{16}{121} q^4;$

в) $(1\frac{3}{4} x^7 - *)(* + *) = * - 64y^4z^{10};$

г) $(* - *)^2 = * - 60a^4x^2 + *.$

а) Данное равенство $(*-10z^2)(*+*) = 0,49x^6 - *$ представляет собой формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Из первой скобки $(*-10z^2)$ можно предположить, что $b = 10z^2$. Тогда вторая скобка должна иметь вид $(a+b)$, то есть $(*+10z^2)$.

Правая часть равенства $0,49x^6 - *$ соответствует $a^2 - b^2$.

Мы знаем, что $a^2 = 0,49x^6$. Чтобы найти $a$, извлечем квадратный корень: $a = \sqrt{0,49x^6} = 0,7x^3$.

Теперь найдем $b^2$: $b^2 = (10z^2)^2 = 100z^4$.

Подставим найденные значения вместо звёздочек:

Первая звёздочка в первой скобке: $a = 0,7x^3$.

Первая звёздочка во второй скобке: $a = 0,7x^3$.

Вторая звёздочка во второй скобке: $b = 10z^2$.

Звёздочка в правой части: $b^2 = 100z^4$.

Получаем тождество: $(0,7x^3 - 10z^2)(0,7x^3 + 10z^2) = (0,7x^3)^2 - (10z^2)^2 = 0,49x^6 - 100z^4$.

Ответ: $(0,7x^3 - 10z^2)(0,7x^3 + 10z^2) = 0,49x^6 - 100z^4$.

б) Равенство $(*+*)(7p^6-*) = *-\frac{16}{121}q^4$ также основано на формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Из второй скобки $(7p^6-*)$ и правой части $*-\frac{16}{121}q^4$ можно сделать выводы:

$a = 7p^6$ и $b^2 = \frac{16}{121}q^4$.

Найдем $a^2$: $a^2 = (7p^6)^2 = 49p^{12}$. Это первая звёздочка в правой части равенства.

Найдем $b$, извлекая квадратный корень из $b^2$: $b = \sqrt{\frac{16}{121}q^4} = \frac{4}{11}q^2$.

Теперь заполним пропуски в скобках. Первая скобка $(*+*)$ соответствует $(a+b)$, а вторая $(7p^6-*)$ соответствует $(a-b)$.

Звёздочки в первой скобке: $a = 7p^6$ и $b = \frac{4}{11}q^2$.

Звёздочка во второй скобке: $b = \frac{4}{11}q^2$.

Получаем тождество: $(7p^6 + \frac{4}{11}q^2)(7p^6 - \frac{4}{11}q^2) = (7p^6)^2 - (\frac{4}{11}q^2)^2 = 49p^{12} - \frac{16}{121}q^4$.

Ответ: $(7p^6 + \frac{4}{11}q^2)(7p^6 - \frac{4}{11}q^2) = 49p^{12} - \frac{16}{121}q^4$.

в) Равенство $(1\frac{3}{4}x^7 - *)(*+*) = * - 64y^4z^{10}$ снова является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Из первой скобки $(1\frac{3}{4}x^7 - *)$ следует, что $a = 1\frac{3}{4}x^7$. Переведем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$. Таким образом, $a = \frac{7}{4}x^7$.

Из правой части $* - 64y^4z^{10}$ следует, что $b^2 = 64y^4z^{10}$.

Найдем $b$: $b = \sqrt{64y^4z^{10}} = 8y^2z^5$.

Найдем $a^2$: $a^2 = (\frac{7}{4}x^7)^2 = \frac{49}{16}x^{14}$.

Подставляем найденные значения:

Звёздочка в первой скобке: $b = 8y^2z^5$.

Звёздочки во второй скобке: $a = 1\frac{3}{4}x^7$ и $b = 8y^2z^5$.

Звёздочка в правой части: $a^2 = \frac{49}{16}x^{14}$.

Получаем тождество: $(1\frac{3}{4}x^7 - 8y^2z^5)(1\frac{3}{4}x^7 + 8y^2z^5) = (\frac{7}{4}x^7)^2 - (8y^2z^5)^2 = \frac{49}{16}x^{14} - 64y^4z^{10}$.

Ответ: $(1\frac{3}{4}x^7 - 8y^2z^5)(1\frac{3}{4}x^7 + 8y^2z^5) = \frac{49}{16}x^{14} - 64y^4z^{10}$.

г) Равенство $(*-*)^2 = * - 60a^4x^2 + *$ является формулой квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Средний член в правой части равенства соответствует удвоенному произведению $-2AB$.

$-2AB = -60a^4x^2$, откуда получаем $AB = 30a^4x^2$.

Нам нужно найти два одночлена $A$ и $B$, произведение которых равно $30a^4x^2$. Эта задача имеет несколько решений. Выберем одно из наиболее вероятных, где итоговый многочлен является однородным (степени всех его членов равны).

Пусть $A = 5a^3$ и $B = 6ax^2$. Проверим произведение:

$AB = (5a^3)(6ax^2) = 30a^4x^2$. Условие выполняется.

Теперь найдем $A^2$ и $B^2$, которые будут стоять на месте первой и последней звёздочек в правой части.

$A^2 = (5a^3)^2 = 25a^6$.

$B^2 = (6ax^2)^2 = 36a^2x^4$.

Подставим значения в исходное равенство:

Звёздочки в скобках: $A = 5a^3$ и $B = 6ax^2$.

Первая звёздочка в правой части: $A^2 = 25a^6$.

Последняя звёздочка в правой части: $B^2 = 36a^2x^4$.

Проверка: $(5a^3 - 6ax^2)^2 = (5a^3)^2 - 2(5a^3)(6ax^2) + (6ax^2)^2 = 25a^6 - 60a^4x^2 + 36a^2x^4$.

Ответ: $(5a^3 - 6ax^2)^2 = 25a^6 - 60a^4x^2 + 36a^2x^4$.

33.63 Найдите значение выражения:

а) $125 - (5 - 3x)(25 + 15x + 9x^2)$ при $x = -\frac{4}{3}$;

б) $25 - (2 - 3a)(4 + 6a + 9a^2)$ при $a = -\frac{1}{3}$;

в) $127 + (5c - 3)(25c^2 + 15c + 9)$ при $c = -1\frac{1}{5}$;

г) $64 - (4 - 3a)(16 + 12a + 9a^2)$ при $a = -\frac{2}{3}$.

а) $125 - (5 - 3x)(25 + 15x + 9x^2)$ при $x = -\frac{4}{3}$

Для упрощения выражения воспользуемся формулой разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$. В данном случае $a = 5$ и $b = 3x$. Тогда выражение в скобках равно $5^3 - (3x)^3 = 125 - 27x^3$. Подставим это в исходное выражение: $125 - (125 - 27x^3) = 125 - 125 + 27x^3 = 27x^3$.

Теперь подставим значение $x = -\frac{4}{3}$: $27x^3 = 27 \cdot (-\frac{4}{3})^3 = 27 \cdot (-\frac{4^3}{3^3}) = 27 \cdot (-\frac{64}{27}) = -64$.

Ответ: -64

б) $25 - (2 - 3a)(4 + 6a + 9a^2)$ при $a = -\frac{1}{3}$

Используем формулу разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$. Здесь $a = 2$ и $b = 3a$. Выражение в скобках равно $2^3 - (3a)^3 = 8 - 27a^3$. Подставим в исходное выражение: $25 - (8 - 27a^3) = 25 - 8 + 27a^3 = 17 + 27a^3$.

Подставим значение $a = -\frac{1}{3}$: $17 + 27a^3 = 17 + 27 \cdot (-\frac{1}{3})^3 = 17 + 27 \cdot (-\frac{1}{27}) = 17 - 1 = 16$.

Ответ: 16

в) $127 + (5c - 3)(25c^2 + 15c + 9)$ при $c = -1\frac{1}{5}$

Применим формулу разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$. Здесь $a = 5c$ и $b = 3$. Выражение в скобках равно $(5c)^3 - 3^3 = 125c^3 - 27$. Подставим в исходное выражение: $127 + (125c^3 - 27) = 127 + 125c^3 - 27 = 100 + 125c^3$.

Переведем $c$ в неправильную дробь: $c = -1\frac{1}{5} = -\frac{6}{5}$. Подставим значение $c$: $100 + 125c^3 = 100 + 125 \cdot (-\frac{6}{5})^3 = 100 + 125 \cdot (-\frac{216}{125}) = 100 - 216 = -116$.

Ответ: -116

г) $64 - (4 - 3a)(16 + 12a + 9a^2)$ при $a = -\frac{2}{3}$

Воспользуемся формулой разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$. Здесь $a = 4$ и $b = 3a$. Выражение в скобках равно $4^3 - (3a)^3 = 64 - 27a^3$. Подставим в исходное выражение: $64 - (64 - 27a^3) = 64 - 64 + 27a^3 = 27a^3$.

Подставим значение $a = -\frac{2}{3}$: $27a^3 = 27 \cdot (-\frac{2}{3})^3 = 27 \cdot (-\frac{8}{27}) = -8$.

Ответ: -8

33.64 Найдите значение числового выражения:

a) $(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) - 2^{16};$

б) $3(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) - 2^{32}$

а) Для решения этого примера воспользуемся формулой разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Будем последовательно применять ее к выражению $(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) - 2^{16}$.
Сначала сгруппируем первые два множителя: $(2-1)(2+1) = 2^2-1^2 = 2^2-1$.
Выражение примет вид: $(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1) - 2^{16}$.
Снова применяем формулу к первым двум множителям: $(2^2-1)(2^2+1) = (2^2)^2-1^2 = 2^4-1$.
Затем к следующей паре: $(2^4-1)(2^4+1) = (2^4)^2-1^2 = 2^8-1$.
И наконец: $(2^8-1)(2^8+1) = (2^8)^2-1^2 = 2^{16}-1$.
Таким образом, произведение $(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)$ равно $2^{16}-1$.
Подставим это значение в исходное выражение:
$(2^{16}-1) - 2^{16} = 2^{16} - 1 - 2^{16} = -1$.
Ответ: -1

б) В этом примере также используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
Исходное выражение: $3(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) - 2^{32}$.
Заметим, что множитель $3$ можно представить в виде $2^2-1$.
Тогда выражение превращается в $(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1) - 2^{32}$.
Теперь последовательно применяем формулу разности квадратов:
$(2^2-1)(2^2+1) = (2^2)^2-1^2 = 2^4-1$.
Далее: $(2^4-1)(2^4+1) = (2^4)^2-1^2 = 2^8-1$.
Затем: $(2^8-1)(2^8+1) = (2^8)^2-1^2 = 2^{16}-1$.
И наконец: $(2^{16}-1)(2^{16}+1) = (2^{16})^2-1^2 = 2^{32}-1$.
В итоге, первая часть исходного выражения $3(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)$ равна $2^{32}-1$.
Подставляем это значение:
$(2^{32}-1) - 2^{32} = 2^{32} - 1 - 2^{32} = -1$.
Ответ: -1

33.65 Докажите равенство:

$(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16}) = 0,2(3^{32} - 2^{32}).$

Для доказательства данного равенства преобразуем его левую часть, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Обозначим левую часть равенства как L:

L = $(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})$

Домножим и разделим левую часть на выражение $(3^2 - 2^2)$, чтобы можно было применить формулу разности квадратов. Значение выражения при этом не изменится.

$(3^2 - 2^2) = 9 - 4 = 5$

L = $\frac{(3^2 - 2^2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})}{5}$

Теперь последовательно "сворачиваем" произведение в числителе:

1. $(3^2 - 2^2)(3^2 + 2^2) = (3^2)^2 - (2^2)^2 = 3^4 - 2^4$.

Выражение для L принимает вид:

L = $\frac{(3^4 - 2^4)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})}{5}$

2. $(3^4 - 2^4)(3^4 + 2^4) = (3^4)^2 - (2^4)^2 = 3^8 - 2^8$.

Теперь L выглядит так:

L = $\frac{(3^8 - 2^8)(3^8 + 2^8)(3^{16} + 2^{16})}{5}$

3. $(3^8 - 2^8)(3^8 + 2^8) = (3^8)^2 - (2^8)^2 = 3^{16} - 2^{16}$.

L = $\frac{(3^{16} - 2^{16})(3^{16} + 2^{16})}{5}$

4. $(3^{16} - 2^{16})(3^{16} + 2^{16}) = (3^{16})^2 - (2^{16})^2 = 3^{32} - 2^{32}$.

В результате преобразования левой части мы получили:

L = $\frac{3^{32} - 2^{32}}{5}$

Теперь преобразуем правую часть равенства. Представим десятичную дробь 0,2 в виде обыкновенной:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Тогда правая часть равна:

$0,2(3^{32} - 2^{32}) = \frac{1}{5}(3^{32} - 2^{32})$

Мы видим, что преобразованная левая часть равна правой части: $\frac{1}{5}(3^{32} - 2^{32}) = \frac{1}{5}(3^{32} - 2^{32})$.

Следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: Равенство доказано.

Выполните деление многочлена на одночлен:

34.1

а) $(12a + 8) : 4;$

б) $(54d + 36) : (-18);$

в) $(44y + 22) : 11;$

г) $(-15 - 5y) : (-5).$

а) Для того чтобы разделить многочлен на одночлен, необходимо каждый член многочлена разделить на данный одночлен. Этот принцип основан на распределительном свойстве деления относительно сложения.
$(12a + 8) : 4 = \frac{12a + 8}{4} = \frac{12a}{4} + \frac{8}{4}$
Теперь выполним деление для каждого слагаемого:
$\frac{12a}{4} = 3a$
$\frac{8}{4} = 2$
Сложив полученные результаты, получим: $3a + 2$.
Ответ: $3a + 2$

б) Разделим каждый член многочлена $(54d + 36)$ на одночлен $(-18)$.
$(54d + 36) : (-18) = \frac{54d + 36}{-18} = \frac{54d}{-18} + \frac{36}{-18}$
Выполним деление для каждого слагаемого, учитывая знаки:
$\frac{54d}{-18} = -3d$
$\frac{36}{-18} = -2$
Сложив полученные результаты, получим: $-3d - 2$.
Ответ: $-3d - 2$

в) Разделим каждый член многочлена $(44y + 22)$ на одночлен $11$.
$(44y + 22) : 11 = \frac{44y + 22}{11} = \frac{44y}{11} + \frac{22}{11}$
Выполним деление для каждого слагаемого:
$\frac{44y}{11} = 4y$
$\frac{22}{11} = 2$
Сложив полученные результаты, получим: $4y + 2$.
Ответ: $4y + 2$

г) Разделим каждый член многочлена $(-15 - 5y)$ на одночлен $(-5)$.
$(-15 - 5y) : (-5) = \frac{-15 - 5y}{-5} = \frac{-15}{-5} + \frac{-5y}{-5}$
Выполним деление для каждого слагаемого. При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное.
$\frac{-15}{-5} = 3$
$\frac{-5y}{-5} = y$
Сложив полученные результаты, получим: $3 + y$.
Ответ: $3 + y$

34.2 а) $(a - ab) : a;$

б) $(x - xy) : (-x);$

в) $(-m - mn) : m;$

г) $(-c + cd) : (-c).$

а)

Чтобы разделить многочлен $(a - ab)$ на одночлен $a$, необходимо каждый член многочлена разделить на этот одночлен, а затем сложить полученные результаты. Этот метод основан на распределительном свойстве деления.

$(a - ab) : a = a:a - ab:a$

Выполним деление каждого члена по отдельности:

Первый член: $a : a = 1$

Второй член: $-ab : a = -b$

Сложив результаты, получаем:

$1 - b$

Ответ: $1 - b$

б)

Разделим каждый член многочлена $(x - xy)$ на одночлен $(-x)$. Важно обратить внимание на знаки при делении.

$(x - xy) : (-x) = x:(-x) - xy:(-x)$

Выполним деление каждого члена:

Первый член: $x : (-x) = -1$

Второй член: $-xy : (-x) = y$ (минус на минус дает плюс)

Сложим полученные результаты:

$-1 + y$, что можно записать как $y - 1$.

Ответ: $y - 1$

в)

Разделим многочлен $(-m - mn)$ на одночлен $m$.

$(-m - mn) : m = (-m):m - mn:m$

Выполним деление каждого члена:

Первый член: $-m : m = -1$

Второй член: $-mn : m = -n$

Объединяем результаты:

$-1 - n$

Ответ: $-1 - n$

г)

Разделим многочлен $(-c + cd)$ на одночлен $(-c)$.

$(-c + cd) : (-c) = (-c):(-c) + cd:(-c)$

Выполним деление для каждого члена, учитывая знаки:

Первый член: $-c : (-c) = 1$ (деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное)

Второй член: $cd : (-c) = -d$ (деление положительного числа на отрицательное дает отрицательное)

Складываем полученные частные:

$1 + (-d) = 1 - d$

Ответ: $1 - d$