Страница 149, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

33.44 a) $(x - 6)^2 - x(x + 8) = 2;$

б) $9x(x + 6) - (3x + 1)^2 = 1;$

в) $x(x - 1) - (x - 5)^2 = 2;$

г) $16x(2 - x) + (4x - 5)^2 = 1.$

а) $(x - 6)^2 - x(x + 8) = 2$

Для решения данного уравнения необходимо сначала раскрыть скобки. Выражение $(x - 6)^2$ раскроем по формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Выражение $x(x + 8)$ раскроем с помощью распределительного закона умножения.

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2) - (x \cdot x + x \cdot 8) = 2$

$x^2 - 12x + 36 - (x^2 + 8x) = 2$

Теперь раскроем вторые скобки, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус.

$x^2 - 12x + 36 - x^2 - 8x = 2$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения.

$(x^2 - x^2) + (-12x - 8x) + 36 = 2$

$-20x + 36 = 2$

Перенесем число 36 из левой части в правую с противоположным знаком.

$-20x = 2 - 36$

$-20x = -34$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на -20.

$x = \frac{-34}{-20} = \frac{34}{20} = \frac{17}{10} = 1,7$

Ответ: $1,7$.

б) $9x(x + 6) - (3x + 1)^2 = 1$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Для $9x(x + 6)$ используем распределительный закон, а для $(3x + 1)^2$ — формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(9x^2 + 54x) - ((3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2) = 1$

$9x^2 + 54x - (9x^2 + 6x + 1) = 1$

Раскрываем вторые скобки, меняя знаки на противоположные.

$9x^2 + 54x - 9x^2 - 6x - 1 = 1$

Приведем подобные слагаемые.

$(9x^2 - 9x^2) + (54x - 6x) - 1 = 1$

$48x - 1 = 1$

Перенесем -1 в правую часть уравнения.

$48x = 1 + 1$

$48x = 2$

Найдем $x$.

$x = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}$

Ответ: $\frac{1}{24}$.

в) $x(x - 1) - (x - 5)^2 = 2$

Раскроем скобки. Используем распределительный закон для первого слагаемого и формулу квадрата разности для второго.

$(x^2 - x) - (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) = 2$

$x^2 - x - (x^2 - 10x + 25) = 2$

Раскрываем скобки со знаком минус.

$x^2 - x - x^2 + 10x - 25 = 2$

Приводим подобные слагаемые.

$(x^2 - x^2) + (-x + 10x) - 25 = 2$

$9x - 25 = 2$

Переносим -25 в правую часть.

$9x = 2 + 25$

$9x = 27$

Находим $x$.

$x = \frac{27}{9} = 3$

Ответ: $3$.

г) $16x(2 - x) + (4x - 5)^2 = 1$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя распределительный закон и формулу квадрата разности.

$(16x \cdot 2 - 16x \cdot x) + ((4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 5 + 5^2) = 1$

$(32x - 16x^2) + (16x^2 - 40x + 25) = 1$

Так как перед вторыми скобками стоит знак плюс, мы можем их просто убрать.

$32x - 16x^2 + 16x^2 - 40x + 25 = 1$

Приводим подобные слагаемые.

$(-16x^2 + 16x^2) + (32x - 40x) + 25 = 1$

$-8x + 25 = 1$

Переносим 25 в правую часть.

$-8x = 1 - 25$

$-8x = -24$

Находим $x$.

$x = \frac{-24}{-8} = 3$

Ответ: $3$.

33.45 a) $9x^2 - 1 - (3x - 2)^2 = 0;$

б) $x + (5x + 2)^2 = 25(1 + x^2);$

в) $(2x - 3)^2 - 2x(4 + 2x) = 11;$

г) $(4x - 3)(3 + 4x) - 2x(8x - 1) = 0.$

а) Решим уравнение $9x^2 - 1 - (3x - 2)^2 = 0$. Сначала раскроем скобки. Выражение $(3x - 2)^2$ является квадратом разности, который раскрывается по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Применяя эту формулу, получаем: $(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$. Подставим это выражение в исходное уравнение: $9x^2 - 1 - (9x^2 - 12x + 4) = 0$. Теперь раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус, поменяв знаки всех слагаемых внутри на противоположные: $9x^2 - 1 - 9x^2 + 12x - 4 = 0$. Приведем подобные слагаемые: $(9x^2 - 9x^2) + 12x + (-1 - 4) = 0$. Это упрощается до $12x - 5 = 0$. Перенесем $-5$ в правую часть уравнения с противоположным знаком: $12x = 5$. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 12: $x = \frac{5}{12}$.
Ответ: $x = \frac{5}{12}$.

б) Решим уравнение $x + (5x + 2)^2 = 25(1 + x^2)$. Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $(5x + 2)^2 = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 2 + 2^2 = 25x^2 + 20x + 4$. В правой части просто умножим 25 на каждое слагаемое в скобках: $25(1 + x^2) = 25 + 25x^2$. Теперь уравнение выглядит так: $x + 25x^2 + 20x + 4 = 25 + 25x^2$. Приведем подобные слагаемые в левой части: $25x^2 + 21x + 4 = 25 + 25x^2$. Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены - в правую. Вычтем $25x^2$ из обеих частей: $21x + 4 = 25$. Вычтем 4 из обеих частей: $21x = 25 - 4$, что дает $21x = 21$. Разделим обе части на 21, чтобы найти $x$: $x = \frac{21}{21} = 1$.
Ответ: $x = 1$.

в) Решим уравнение $(2x - 3)^2 - 2x(4 + 2x) = 11$. Сначала выполним все преобразования в левой части. Раскроем квадрат разности: $(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$. Раскроем скобки во втором слагаемом, умножив $-2x$ на каждое слагаемое внутри скобок: $-2x(4 + 2x) = -8x - 4x^2$. Подставим полученные выражения в уравнение: $4x^2 - 12x + 9 - 8x - 4x^2 = 11$. Приведем подобные слагаемые: $(4x^2 - 4x^2) + (-12x - 8x) + 9 = 11$. Упрощаем: $-20x + 9 = 11$. Перенесем 9 в правую часть с противоположным знаком: $-20x = 11 - 9$, что равносильно $-20x = 2$. Чтобы найти $x$, разделим обе части на -20: $x = \frac{2}{-20} = -\frac{1}{10}$.
Ответ: $x = -\frac{1}{10}$.

г) Решим уравнение $(4x - 3)(3 + 4x) - 2x(8x - 1) = 0$. Заметим, что первое произведение $(4x - 3)(3 + 4x)$ можно переписать как $(4x - 3)(4x + 3)$. Это формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Применим ее: $(4x)^2 - 3^2 = 16x^2 - 9$. Теперь раскроем скобки во втором слагаемом: $-2x(8x - 1) = -16x^2 + 2x$. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: $16x^2 - 9 - 16x^2 + 2x = 0$. Приведем подобные слагаемые: $(16x^2 - 16x^2) + 2x - 9 = 0$. Уравнение упрощается до $2x - 9 = 0$. Перенесем -9 в правую часть: $2x = 9$. Найдем $x$, разделив обе части на 2: $x = \frac{9}{2}$.
Ответ: $x = \frac{9}{2}$.

33.46 а) $(x - 1)(x + 1) = 2(x - 3)^2 - x^2$;

б) $(2x + 3)^2 - 4(x - 1)(x + 1) = 49$;

в) $3(x + 5)^2 - 4x^2 = (2 - x)(2 + x)$;

г) $(3x + 1)^2 - (3x - 2)(2 + 3x) = 17$.

а)

Решим уравнение $(x - 1)(x + 1) = 2(x - 3)^2 - x^2$.

Для начала раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ и квадрат разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Левая часть: $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.

Правая часть: $2(x - 3)^2 - x^2 = 2(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - x^2 = 2(x^2 - 6x + 9) - x^2 = 2x^2 - 12x + 18 - x^2 = x^2 - 12x + 18$.

Теперь приравняем обе части:

$x^2 - 1 = x^2 - 12x + 18$.

Перенесем члены с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены (числа) в другую. Вычтем $x^2$ из обеих частей:

$-1 = -12x + 18$.

Перенесем $-12x$ в левую часть, а $-1$ в правую, меняя их знаки при переносе:

$12x = 18 + 1$.

$12x = 19$.

Разделим обе части на 12, чтобы найти $x$:

$x = \frac{19}{12}$.

Ответ: $x = \frac{19}{12}$.

б)

Решим уравнение $(2x + 3)^2 - 4(x - 1)(x + 1) = 49$.

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Первое слагаемое: $(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$.

Второе слагаемое: $4(x - 1)(x + 1) = 4(x^2 - 1^2) = 4(x^2 - 1) = 4x^2 - 4$.

Подставим раскрытые выражения в исходное уравнение:

$(4x^2 + 12x + 9) - (4x^2 - 4) = 49$.

Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед ними, который меняет знаки всех членов в скобках:

$4x^2 + 12x + 9 - 4x^2 + 4 = 49$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $4x^2$ и $-4x^2$ взаимно уничтожаются:

$12x + 13 = 49$.

Перенесем 13 в правую часть с противоположным знаком:

$12x = 49 - 13$.

$12x = 36$.

Найдем $x$, разделив обе части на 12:

$x = \frac{36}{12} = 3$.

Ответ: $x = 3$.

в)

Решим уравнение $3(x + 5)^2 - 4x^2 = (2 - x)(2 + x)$.

Раскроем скобки, используя те же формулы сокращенного умножения.

Левая часть: $3(x + 5)^2 - 4x^2 = 3(x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - 4x^2 = 3(x^2 + 10x + 25) - 4x^2 = 3x^2 + 30x + 75 - 4x^2 = -x^2 + 30x + 75$.

Правая часть: $(2 - x)(2 + x) = 2^2 - x^2 = 4 - x^2$.

Приравняем левую и правую части:

$-x^2 + 30x + 75 = 4 - x^2$.

Добавим $x^2$ к обеим частям уравнения, чтобы избавиться от квадратичного члена. Члены $-x^2$ взаимно уничтожаются:

$30x + 75 = 4$.

Перенесем 75 в правую часть с противоположным знаком:

$30x = 4 - 75$.

$30x = -71$.

Разделим обе части на 30:

$x = -\frac{71}{30}$.

Ответ: $x = -\frac{71}{30}$.

г)

Решим уравнение $(3x + 1)^2 - (3x - 2)(2 + 3x) = 17$.

Раскроем скобки. Заметим, что выражение $(3x - 2)(2 + 3x)$ можно переписать как $(3x - 2)(3x + 2)$ для удобства применения формулы разности квадратов.

Первое слагаемое: $(3x + 1)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 + 6x + 1$.

Второе слагаемое: $(3x - 2)(3x + 2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4$.

Подставим в исходное уравнение:

$(9x^2 + 6x + 1) - (9x^2 - 4) = 17$.

Раскроем скобки, меняя знаки во втором выражении на противоположные:

$9x^2 + 6x + 1 - 9x^2 + 4 = 17$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $9x^2$ и $-9x^2$ взаимно уничтожаются:

$6x + 5 = 17$.

Перенесем 5 в правую часть с противоположным знаком:

$6x = 17 - 5$.

$6x = 12$.

Найдем $x$, разделив обе части на 6:

$x = \frac{12}{6} = 2$.

Ответ: $x = 2$.

33.47 a) $(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0;$

Б) $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = 7;$

В) $(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0;$

Г) $(x + 1)(x^2 - x + 1) = -7.$

а) Исходное уравнение: $(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$.
Левая часть уравнения является формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Применив эту формулу для $a = x$ и $b = 1$, получим:
$x^3 - 1^3 = 0$
$x^3 - 1 = 0$
$x^3 = 1$
Извлекая кубический корень из обеих частей, находим решение:
$x = 1$
В качестве альтернативы, можно приравнять каждый множитель к нулю. Уравнение $x - 1 = 0$ дает корень $x=1$. Уравнение $x^2 + x + 1 = 0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$ отрицателен.
Ответ: $1$.

б) Исходное уравнение: $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = 7$.
Левая часть уравнения является формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Применив эту формулу для $a = x$ и $b = 2$, получим:
$x^3 + 2^3 = 7$
$x^3 + 8 = 7$
$x^3 = 7 - 8$
$x^3 = -1$
Извлекая кубический корень из обеих частей, находим решение:
$x = -1$
Ответ: $-1$.

в) Исходное уравнение: $(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0$.
Левая часть уравнения является формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Применив эту формулу для $a = x$ и $b = 2$, получим:
$x^3 - 2^3 = 0$
$x^3 - 8 = 0$
$x^3 = 8$
Извлекая кубический корень из обеих частей, находим решение:
$x = 2$
Также можно приравнять каждый множитель к нулю. Уравнение $x - 2 = 0$ дает корень $x=2$. Уравнение $x^2 + 2x + 4 = 0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12$ отрицателен.
Ответ: $2$.

г) Исходное уравнение: $(x + 1)(x^2 - x + 1) = -7$.
Левая часть уравнения является формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Применив эту формулу для $a = x$ и $b = 1$, получим:
$x^3 + 1^3 = -7$
$x^3 + 1 = -7$
$x^3 = -7 - 1$
$x^3 = -8$
Извлекая кубический корень из обеих частей, находим решение:
$x = -2$
Ответ: $-2$.

33.48 В прямоугольном параллелепипеде длина на 5 см больше ширины и на 5 см меньше высоты. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если площадь его поверхности равна $244\text{ см}^2$.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: $l$ - длина, $w$ - ширина, $h$ - высота.

По условию задачи, длина на 5 см больше ширины, что можно записать как $l = w + 5$. Отсюда выразим ширину через длину: $w = l - 5$.

Также по условию, длина на 5 см меньше высоты, что можно записать как $l = h - 5$. Отсюда выразим высоту через длину: $h = l + 5$.

Таким образом, все три измерения выражены через одну переменную - длину $l$:
Длина: $l$ см
Ширина: $w = l - 5$ см
Высота: $h = l + 5$ см

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда находится по формуле:
$S = 2(lw + lh + wh)$

Известно, что площадь поверхности равна 244 см². Подставим в формулу выражения для ширины и высоты, а также значение площади, и составим уравнение:
$244 = 2(l(l - 5) + l(l + 5) + (l - 5)(l + 5))$

Разделим обе части уравнения на 2:
$122 = l(l - 5) + l(l + 5) + (l - 5)(l + 5)$

Раскроем скобки в правой части уравнения. Для последнего произведения используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$122 = (l^2 - 5l) + (l^2 + 5l) + (l^2 - 25)$

Приведем подобные слагаемые:
$122 = l^2 - 5l + l^2 + 5l + l^2 - 25$
$122 = 3l^2 - 25$

Решим полученное уравнение относительно $l$:
$3l^2 = 122 + 25$
$3l^2 = 147$
$l^2 = \frac{147}{3}$
$l^2 = 49$
$l = \sqrt{49} = 7$
(Берем только положительное значение корня, так как длина не может быть отрицательной).

Мы нашли длину: $l = 7$ см.

Теперь найдем остальные измерения:
Ширина: $w = l - 5 = 7 - 5 = 2$ см.
Высота: $h = l + 5 = 7 + 5 = 12$ см.

Таким образом, измерения параллелепипеда равны 2 см, 7 см и 12 см.

Ответ: измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 см, 7 см и 12 см.

33.49 В прямоугольном параллелепипеде длина на 3 см больше ширины и на 3 см меньше высоты. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если площадь его поверхности равна $198 \text{ см}^2$.

Пусть длина прямоугольного параллелепипеда равна $a$ см, ширина – $b$ см, а высота – $c$ см.

Исходя из условия задачи, установим соотношения между измерениями:
1. Длина на 3 см больше ширины: $a = b + 3$. Выразим ширину через длину: $b = a - 3$.
2. Длина на 3 см меньше высоты: $a = c - 3$. Выразим высоту через длину: $c = a + 3$.

Таким образом, все три измерения можно выразить через одну переменную $a$:
Длина: $a$
Ширина: $a - 3$
Высота: $a + 3$

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда ($S$) вычисляется по формуле:
$S = 2(ab + bc + ac)$
По условию, $S = 198$ см². Подставим в формулу выражения для $a, b, c$ и известное значение площади, чтобы составить уравнение:
$198 = 2(a(a - 3) + (a - 3)(a + 3) + a(a + 3))$

Теперь решим это уравнение. Сначала разделим обе части на 2:
$99 = a(a - 3) + (a - 3)(a + 3) + a(a + 3)$
Раскроем скобки в правой части. Для произведения $(a - 3)(a + 3)$ применим формулу разности квадратов:
$99 = (a^2 - 3a) + (a^2 - 9) + (a^2 + 3a)$
Приведём подобные слагаемые:
$99 = (a^2 + a^2 + a^2) + (-3a + 3a) - 9$
$99 = 3a^2 - 9$

Теперь найдём $a$:
$3a^2 = 99 + 9$
$3a^2 = 108$
$a^2 = \frac{108}{3}$
$a^2 = 36$
$a = \sqrt{36} = 6$ (берём только положительный корень, так как длина является положительной величиной).

Мы нашли длину параллелепипеда: $a = 6$ см.
Теперь можем найти ширину и высоту:
Ширина: $b = a - 3 = 6 - 3 = 3$ см.
Высота: $c = a + 3 = 6 + 3 = 9$ см.

Итак, измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 6 см и 9 см.

Ответ: 3 см, 6 см, 9 см.

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

33.50

a) $(10x^2 - 3xy^3)^2$;

б) $(8p^3 + 5p^2q)^2$;

в) $(0,6b^3 - 5b^2c^4)^2$;

г) $(3z^7 + 0,5z^3t)^2$.

а) Для преобразования выражения $(10x^2 - 3xy^3)^2$ в многочлен стандартного вида воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = 10x^2$ и $b = 3xy^3$.

Вычислим каждый член формулы:

Квадрат первого члена: $a^2 = (10x^2)^2 = 10^2 \cdot (x^2)^2 = 100x^4$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2ab = 2 \cdot (10x^2) \cdot (3xy^3) = (2 \cdot 10 \cdot 3) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot y^3 = 60x^3y^3$.

Квадрат второго члена: $b^2 = (3xy^3)^2 = 3^2 \cdot x^2 \cdot (y^3)^2 = 9x^2y^6$.

Подставим полученные значения в формулу:

$(10x^2 - 3xy^3)^2 = 100x^4 - 60x^3y^3 + 9x^2y^6$.

Ответ: $100x^4 - 60x^3y^3 + 9x^2y^6$.

б) Для преобразования выражения $(8p^3 + 5p^2q)^2$ в многочлен стандартного вида воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a = 8p^3$ и $b = 5p^2q$.

Вычислим каждый член формулы:

Квадрат первого члена: $a^2 = (8p^3)^2 = 8^2 \cdot (p^3)^2 = 64p^6$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2ab = 2 \cdot (8p^3) \cdot (5p^2q) = (2 \cdot 8 \cdot 5) \cdot (p^3 \cdot p^2) \cdot q = 80p^5q$.

Квадрат второго члена: $b^2 = (5p^2q)^2 = 5^2 \cdot (p^2)^2 \cdot q^2 = 25p^4q^2$.

Подставим полученные значения в формулу:

$(8p^3 + 5p^2q)^2 = 64p^6 + 80p^5q + 25p^4q^2$.

Ответ: $64p^6 + 80p^5q + 25p^4q^2$.

в) Для преобразования выражения $(0,6b^3 - 5b^2c^4)^2$ в многочлен стандартного вида воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a = 0,6b^3$ и $b = 5b^2c^4$.

Вычислим каждый член формулы:

Квадрат первого члена: $a^2 = (0,6b^3)^2 = (0,6)^2 \cdot (b^3)^2 = 0,36b^6$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2ab = 2 \cdot (0,6b^3) \cdot (5b^2c^4) = (2 \cdot 0,6 \cdot 5) \cdot (b^3 \cdot b^2) \cdot c^4 = 6b^5c^4$.

Квадрат второго члена: $b^2 = (5b^2c^4)^2 = 5^2 \cdot (b^2)^2 \cdot (c^4)^2 = 25b^4c^8$.

Подставим полученные значения в формулу:

$(0,6b^3 - 5b^2c^4)^2 = 0,36b^6 - 6b^5c^4 + 25b^4c^8$.

Ответ: $0,36b^6 - 6b^5c^4 + 25b^4c^8$.

г) Для преобразования выражения $(3z^7 + 0,5z^3t)^2$ в многочлен стандартного вида воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a = 3z^7$ и $b = 0,5z^3t$.

Вычислим каждый член формулы:

Квадрат первого члена: $a^2 = (3z^7)^2 = 3^2 \cdot (z^7)^2 = 9z^{14}$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2ab = 2 \cdot (3z^7) \cdot (0,5z^3t) = (2 \cdot 3 \cdot 0,5) \cdot (z^7 \cdot z^3) \cdot t = 3z^{10}t$.

Квадрат второго члена: $b^2 = (0,5z^3t)^2 = (0,5)^2 \cdot (z^3)^2 \cdot t^2 = 0,25z^6t^2$.

Подставим полученные значения в формулу:

$(3z^7 + 0,5z^3t)^2 = 9z^{14} + 3z^{10}t + 0,25z^6t^2$.

Ответ: $9z^{14} + 3z^{10}t + 0,25z^6t^2$.

33.51 a) $(20x^3z + 0,03z^2)^2;$

Б) $(\frac{3}{8}n^3 + 4mn^2)^2;$

В) $(0,15k^4n^3 - 10n^4)^2;$

Г) $(6a^2 - \frac{1}{3}ab)^2.$

а) Чтобы возвести выражение в квадрат, применим формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a = 20x^3z$ и $b = 0,03z^2$.

$(20x^3z + 0,03z^2)^2 = (20x^3z)^2 + 2 \cdot (20x^3z) \cdot (0,03z^2) + (0,03z^2)^2$

Вычислим каждый член по отдельности:

$(20x^3z)^2 = 20^2 \cdot (x^3)^2 \cdot z^2 = 400x^6z^2$

$2 \cdot (20x^3z) \cdot (0,03z^2) = (2 \cdot 20 \cdot 0,03) \cdot x^3 \cdot z \cdot z^2 = 1,2x^3z^3$

$(0,03z^2)^2 = 0,03^2 \cdot (z^2)^2 = 0,0009z^4$

Складывая полученные результаты, получаем:

$400x^6z^2 + 1,2x^3z^3 + 0,0009z^4$

Ответ: $400x^6z^2 + 1,2x^3z^3 + 0,0009z^4$.

б) Для выражения $(\frac{3}{8}n^3 + 4mn^2)^2$ также воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a = \frac{3}{8}n^3$ и $b = 4mn^2$.

$(\frac{3}{8}n^3 + 4mn^2)^2 = (\frac{3}{8}n^3)^2 + 2 \cdot (\frac{3}{8}n^3) \cdot (4mn^2) + (4mn^2)^2$

Рассчитаем каждый член:

$(\frac{3}{8}n^3)^2 = (\frac{3}{8})^2 \cdot (n^3)^2 = \frac{9}{64}n^6$

$2 \cdot (\frac{3}{8}n^3) \cdot (4mn^2) = (2 \cdot \frac{3}{8} \cdot 4) \cdot m \cdot n^3 \cdot n^2 = 3mn^5$

$(4mn^2)^2 = 4^2 \cdot m^2 \cdot (n^2)^2 = 16m^2n^4$

Объединяем результаты:

$\frac{9}{64}n^6 + 3mn^5 + 16m^2n^4$

Ответ: $\frac{9}{64}n^6 + 3mn^5 + 16m^2n^4$.

в) Для раскрытия скобок $(0,15k^4n^3 - 10n^4)^2$ применим формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном выражении $a = 0,15k^4n^3$ и $b = 10n^4$.

$(0,15k^4n^3 - 10n^4)^2 = (0,15k^4n^3)^2 - 2 \cdot (0,15k^4n^3) \cdot (10n^4) + (10n^4)^2$

Вычислим каждый член:

$(0,15k^4n^3)^2 = 0,15^2 \cdot (k^4)^2 \cdot (n^3)^2 = 0,0225k^8n^6$

$2 \cdot (0,15k^4n^3) \cdot (10n^4) = (2 \cdot 0,15 \cdot 10) \cdot k^4 \cdot n^3 \cdot n^4 = 3k^4n^7$

$(10n^4)^2 = 10^2 \cdot (n^4)^2 = 100n^8$

Собираем все вместе:

$0,0225k^8n^6 - 3k^4n^7 + 100n^8$

Ответ: $0,0225k^8n^6 - 3k^4n^7 + 100n^8$.

г) Для выражения $(6a^2 - \frac{1}{3}ab)^2$ снова используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = 6a^2$ и $b = \frac{1}{3}ab$.

$(6a^2 - \frac{1}{3}ab)^2 = (6a^2)^2 - 2 \cdot (6a^2) \cdot (\frac{1}{3}ab) + (\frac{1}{3}ab)^2$

Вычислим:

$(6a^2)^2 = 6^2 \cdot (a^2)^2 = 36a^4$

$2 \cdot (6a^2) \cdot (\frac{1}{3}ab) = (2 \cdot 6 \cdot \frac{1}{3}) \cdot a^2 \cdot a \cdot b = 4a^3b$

$(\frac{1}{3}ab)^2 = (\frac{1}{3})^2 \cdot a^2 \cdot b^2 = \frac{1}{9}a^2b^2$

Итоговый результат:

$36a^4 - 4a^3b + \frac{1}{9}a^2b^2$

Ответ: $36a^4 - 4a^3b + \frac{1}{9}a^2b^2$.

33.52 a) $(x^n - 2^3)(x^n + 2^3);$

б) $(a^{2n} + b^n)(a^{2n} - b^n);$

В) $(c^n - d^{3n})(c^n + d^{3n});$

Г) $(a^{n+1} - b^{n-1})(a^{n+1} + b^{n-1}).$

а) Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В нашем случае, $a = x^n$ и $b = 2^3$.

Применим формулу:$(x^n - 2^3)(x^n + 2^3) = (x^n)^2 - (2^3)^2$

Используя свойство степени $(a^m)^k = a^{mk}$, получаем:$(x^n)^2 = x^{n \cdot 2} = x^{2n}$и$(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64$.

Таким образом, итоговое выражение равно $x^{2n} - 64$.

Ответ: $x^{2n} - 64$

б) Этот пример также решается с помощью формулы разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$. Здесь $a = a^{2n}$ и $b = b^n$.

Тогда:$(a^{2n} + b^n)(a^{2n} - b^n) = (a^{2n})^2 - (b^n)^2$

Применим свойство степени $(a^m)^k = a^{mk}$:$(a^{2n})^2 = a^{2n \cdot 2} = a^{4n}$и$(b^n)^2 = b^{n \cdot 2} = b^{2n}$.

В результате получаем $a^{4n} - b^{2n}$.

Ответ: $a^{4n} - b^{2n}$

в) Применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В данном выражении $a = c^n$ и $b = d^{3n}$.

Получаем:$(c^n - d^{3n})(c^n + d^{3n}) = (c^n)^2 - (d^{3n})^2$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^k = a^{mk}$:$(c^n)^2 = c^{n \cdot 2} = c^{2n}$и$(d^{3n})^2 = d^{3n \cdot 2} = d^{6n}$.

Таким образом, итоговое выражение: $c^{2n} - d^{6n}$.

Ответ: $c^{2n} - d^{6n}$

г) Снова используем формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Здесь $a = a^{n+1}$ и $b = b^{n-1}$.

Преобразуем выражение:$(a^{n+1} - b^{n-1})(a^{n+1} + b^{n-1}) = (a^{n+1})^2 - (b^{n-1})^2$

Используя свойство степени $(a^m)^k = a^{mk}$, находим:$(a^{n+1})^2 = a^{(n+1) \cdot 2} = a^{2n+2}$и$(b^{n-1})^2 = b^{(n-1) \cdot 2} = b^{2n-2}$.

Подставив обратно, получаем $a^{2n+2} - b^{2n-2}$.

Ответ: $a^{2n+2} - b^{2n-2}$

33.53 a) $ (3x^2 - 2)(9x^4 + 6x^2 + 4) $;

б) $ (5x^2 + 3)(25x^4 - 15x^2 + 9) $;

в) $ (8b^2 + 3)(64b^4 - 24b^2 + 9) $;

г) $ (7a^2 - 1)(49a^4 + 7a^2 + 1) $.

а) Данное выражение $(3x^2 - 2)(9x^4 + 6x^2 + 4)$ можно упростить, используя формулу сокращенного умножения для разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
В нашем случае, пусть $A = 3x^2$ и $B = 2$.
Проверим, соответствует ли вторая скобка $(9x^4 + 6x^2 + 4)$ выражению $(A^2 + AB + B^2)$:
Квадрат первого члена: $A^2 = (3x^2)^2 = 9x^4$.
Произведение первого и второго членов: $AB = (3x^2) \cdot 2 = 6x^2$.
Квадрат второго члена: $B^2 = 2^2 = 4$.
Вторая скобка $(9x^4 + 6x^2 + 4)$ полностью соответствует выражению $A^2 + AB + B^2$.
Следовательно, мы можем применить формулу разности кубов:
$(3x^2 - 2)(9x^4 + 6x^2 + 4) = (3x^2)^3 - 2^3 = 27x^6 - 8$.
Ответ: $27x^6 - 8$.

б) Данное выражение $(5x^2 + 3)(25x^4 - 15x^2 + 9)$ можно упростить, используя формулу сокращенного умножения для суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
В нашем случае, пусть $A = 5x^2$ и $B = 3$.
Проверим, соответствует ли вторая скобка $(25x^4 - 15x^2 + 9)$ выражению $(A^2 - AB + B^2)$:
Квадрат первого члена: $A^2 = (5x^2)^2 = 25x^4$.
Произведение первого и второго членов со знаком минус: $-AB = -(5x^2) \cdot 3 = -15x^2$.
Квадрат второго члена: $B^2 = 3^2 = 9$.
Вторая скобка $(25x^4 - 15x^2 + 9)$ полностью соответствует выражению $A^2 - AB + B^2$.
Следовательно, мы можем применить формулу суммы кубов:
$(5x^2 + 3)(25x^4 - 15x^2 + 9) = (5x^2)^3 + 3^3 = 125x^6 + 27$.
Ответ: $125x^6 + 27$.

в) Данное выражение $(8b^2 + 3)(64b^4 - 24b^2 + 9)$ можно упростить, используя формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
В нашем случае, пусть $A = 8b^2$ и $B = 3$.
Проверим, соответствует ли вторая скобка $(64b^4 - 24b^2 + 9)$ выражению $(A^2 - AB + B^2)$:
Квадрат первого члена: $A^2 = (8b^2)^2 = 64b^4$.
Произведение первого и второго членов со знаком минус: $-AB = -(8b^2) \cdot 3 = -24b^2$.
Квадрат второго члена: $B^2 = 3^2 = 9$.
Вторая скобка $(64b^4 - 24b^2 + 9)$ полностью соответствует выражению $A^2 - AB + B^2$.
Следовательно, мы можем применить формулу суммы кубов:
$(8b^2 + 3)(64b^4 - 24b^2 + 9) = (8b^2)^3 + 3^3 = 512b^6 + 27$.
Ответ: $512b^6 + 27$.

г) Данное выражение $(7a^2 - 1)(49a^4 + 7a^2 + 1)$ можно упростить, используя формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
В нашем случае, пусть $A = 7a^2$ и $B = 1$.
Проверим, соответствует ли вторая скобка $(49a^4 + 7a^2 + 1)$ выражению $(A^2 + AB + B^2)$:
Квадрат первого члена: $A^2 = (7a^2)^2 = 49a^4$.
Произведение первого и второго членов: $AB = (7a^2) \cdot 1 = 7a^2$.
Квадрат второго члена: $B^2 = 1^2 = 1$.
Вторая скобка $(49a^4 + 7a^2 + 1)$ полностью соответствует выражению $A^2 + AB + B^2$.
Следовательно, мы можем применить формулу разности кубов:
$(7a^2 - 1)(49a^4 + 7a^2 + 1) = (7a^2)^3 - 1^3 = 343a^6 - 1$.
Ответ: $343a^6 - 1$.