Страница 143, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования:

Длина прямоугольника на 20 м больше его ширины. Если длину прямоугольника уменьшить на 10 м, а ширину увеличить на 6 м, то его площадь увеличится на 12 м$^{2}$. Найдите стороны прямоугольника.

Этап 1: Составление математической модели

Пусть ширина исходного прямоугольника равна $x$ м. Согласно условию, длина на 20 м больше ширины, следовательно, длина равна $(x + 20)$ м. Площадь исходного прямоугольника $S_1$ составляет $S_1 = x(x + 20)$ м$^2$.

После изменений длина прямоугольника стала $(x + 20) - 10 = (x + 10)$ м, а ширина стала $(x + 6)$ м. Новая площадь $S_2$ составляет $S_2 = (x + 10)(x + 6)$ м$^2$.

По условию задачи, новая площадь на 12 м$^2$ больше исходной, то есть $S_2 = S_1 + 12$. Подставим выражения для площадей и получим уравнение: $(x + 10)(x + 6) = x(x + 20) + 12$. Это уравнение является математической моделью задачи. Так как $x$ обозначает ширину, то $x > 0$.

Этап 2: Работа с математической моделью

Решим полученное уравнение: $(x + 10)(x + 6) = x(x + 20) + 12$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $x^2 + 6x + 10x + 60 = x^2 + 20x + 12$

Приведем подобные слагаемые: $x^2 + 16x + 60 = x^2 + 20x + 12$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения: $16x + 60 = 20x + 12$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую: $60 - 12 = 20x - 16x$ $48 = 4x$

Найдем $x$: $x = \frac{48}{4}$ $x = 12$

Этап 3: Ответ на вопрос задачи

Полученное значение $x=12$ удовлетворяет условию $x > 0$. Следовательно, ширина исходного прямоугольника равна 12 м.

Найдем длину исходного прямоугольника: $12 + 20 = 32$ м.

Проверим найденное решение. Исходная площадь: $S_1 = 12 \text{ м} \times 32 \text{ м} = 384$ м$^2$. Новые размеры: ширина $12 + 6 = 18$ м, длина $32 - 10 = 22$ м. Новая площадь: $S_2 = 18 \text{ м} \times 22 \text{ м} = 396$ м$^2$. Увеличение площади: $S_2 - S_1 = 396 - 384 = 12$ м$^2$, что соответствует условию задачи.

Таким образом, стороны исходного прямоугольника равны 12 м и 32 м.

Ответ: ширина прямоугольника – 12 м, длина – 32 м.

32.15 Найдите четыре последовательных натуральных числа, если известно, что разность между произведением двух больших чисел и произведением двух меньших чисел равна 58.

Пусть искомые четыре последовательных натуральных числа это $n$, $n+1$, $n+2$ и $n+3$, где $n$ – наименьшее из них и является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).
Произведение двух меньших чисел равно $n(n+1)$.
Произведение двух больших чисел равно $(n+2)(n+3)$.
Согласно условию задачи, разность между произведением двух больших чисел и произведением двух меньших чисел равна 58. Составим уравнение:
$(n+2)(n+3) - n(n+1) = 58$
Раскроем скобки в левой части уравнения, чтобы его упростить:
$(n^2 + 3n + 2n + 6) - (n^2 + n) = 58$
$n^2 + 5n + 6 - n^2 - n = 58$
Приведем подобные слагаемые:
$(n^2 - n^2) + (5n - n) + 6 = 58$
$4n + 6 = 58$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $n$:
$4n = 58 - 6$
$4n = 52$
$n = \frac{52}{4}$
$n = 13$
Мы нашли наименьшее из четырех чисел. Теперь найдем остальные три последовательных числа:
Первое число: $n = 13$
Второе число: $n+1 = 13+1 = 14$
Третье число: $n+2 = 13+2 = 15$
Четвертое число: $n+3 = 13+3 = 16$
Таким образом, искомые числа – это 13, 14, 15 и 16.
Выполним проверку для подтверждения решения:
Произведение двух больших чисел: $15 \times 16 = 240$.
Произведение двух меньших чисел: $13 \times 14 = 182$.
Разность: $240 - 182 = 58$.
Условие задачи выполняется, решение верное.

Ответ: 13, 14, 15, 16.

32.16 Периметр прямоугольника равен 60 см. Если длину прямоугольника увеличить на 10 см, а ширину уменьшить на 6 см, то площадь прямоугольника уменьшится на $32 \text{ см}^2$. Найдите площадь прямоугольника.

Пусть $l$ — начальная длина прямоугольника в сантиметрах, а $w$ — его начальная ширина в сантиметрах.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(l + w)$. По условию задачи, периметр равен 60 см. Составим первое уравнение:
$2(l + w) = 60$
Разделим обе части уравнения на 2:
$l + w = 30$

Начальная площадь прямоугольника равна $S = l \cdot w$.

Согласно условию, если длину увеличить на 10 см, а ширину уменьшить на 6 см, то новые размеры будут $l_1 = l + 10$ и $w_1 = w - 6$. Новая площадь $S_1$ будет равна:
$S_1 = (l + 10)(w - 6)$

При этом новая площадь будет на 32 см² меньше начальной, то есть $S_1 = S - 32$. Подставим выражения для площадей и получим второе уравнение:
$(l + 10)(w - 6) = lw - 32$

Теперь решим полученную систему уравнений. Для начала, преобразуем второе уравнение, раскрыв скобки в левой части:
$lw - 6l + 10w - 60 = lw - 32$
Сократим $lw$ в обеих частях уравнения:
$-6l + 10w - 60 = -32$
Перенесем -60 в правую часть с противоположным знаком:
$-6l + 10w = 60 - 32$
$-6l + 10w = 28$
Для удобства разделим все члены уравнения на 2:
$-3l + 5w = 14$

Мы получили систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} l + w = 30 \\ -3l + 5w = 14 \end{cases}$

Используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим $l$:
$l = 30 - w$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$-3(30 - w) + 5w = 14$
$-90 + 3w + 5w = 14$
$8w = 14 + 90$
$8w = 104$
$w = \frac{104}{8}$
$w = 13$

Таким образом, начальная ширина прямоугольника равна 13 см. Теперь найдем начальную длину:
$l = 30 - w = 30 - 13 = 17$

Начальная длина прямоугольника равна 17 см.

Задача состоит в том, чтобы найти начальную площадь прямоугольника. Вычислим ее:
$S = l \cdot w = 17 \cdot 13 = 221$ см².

Ответ: 221 см².

32.17 Найдите три последовательных натуральных числа, если известно, что квадрат меньшего из них на 65 меньше произведения двух других чисел.

Пусть искомые три последовательных натуральных числа — это $n$, $n+1$ и $n+2$. Здесь $n$ — наименьшее из чисел, и по условию $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

Согласно условию, квадрат меньшего числа ($n^2$) на 65 меньше произведения двух других чисел ($(n+1)(n+2)$). Составим математическое уравнение, отражающее это условие:

$(n+1)(n+2) - n^2 = 65$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки в левой части:

$n^2 + 2n + n + 2 - n^2 = 65$

Упростим выражение, приведя подобные слагаемые:

$3n + 2 = 65$

Перенесем 2 в правую часть уравнения, изменив знак:

$3n = 65 - 2$

$3n = 63$

Найдем $n$, разделив обе части на 3:

$n = \frac{63}{3}$

$n = 21$

Мы нашли наименьшее число, оно равно 21. Так как числа последовательные, два других числа будут:

Второе число: $n + 1 = 21 + 1 = 22$.

Третье число: $n + 2 = 21 + 2 = 23$.

Таким образом, искомые числа — 21, 22 и 23.

Проведем проверку: квадрат меньшего числа равен $21^2 = 441$. Произведение двух других чисел равно $22 \cdot 23 = 506$. Разница между произведением и квадратом составляет $506 - 441 = 65$, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 21, 22, 23.

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

32.18 а) $a(3a^2 - 4)(3a^2 + 4);$

б) $(a - 5)(a + 5)(a^2 + 25);$

в) $a^2(2a + 3)(2a - 3);$

г) $(a^2 + 16)(a - 4)(a + 4).$

а) Исходное выражение: $a(3a^2 - 4)(3a^2 + 4)$.
Сначала преобразуем произведение скобок $(3a^2 - 4)(3a^2 + 4)$, используя формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
В данном случае $x = 3a^2$ и $y = 4$.
$(3a^2 - 4)(3a^2 + 4) = (3a^2)^2 - 4^2 = 9a^4 - 16$.
Теперь умножим полученный результат на $a$:
$a(9a^4 - 16) = a \cdot 9a^4 - a \cdot 16 = 9a^5 - 16a$.
Это многочлен стандартного вида.
Ответ: $9a^5 - 16a$

б) Исходное выражение: $(a - 5)(a + 5)(a^2 + 25)$.
Сначала преобразуем произведение первых двух скобок $(a - 5)(a + 5)$, используя формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Здесь $x = a$ и $y = 5$.
$(a - 5)(a + 5) = a^2 - 5^2 = a^2 - 25$.
Подставим результат в исходное выражение: $(a^2 - 25)(a^2 + 25)$.
Снова применяем формулу разности квадратов, где $x = a^2$ и $y = 25$.
$(a^2 - 25)(a^2 + 25) = (a^2)^2 - 25^2 = a^4 - 625$.
Это многочлен стандартного вида.
Ответ: $a^4 - 625$

в) Исходное выражение: $a^2(2a + 3)(2a - 3)$.
Преобразуем произведение скобок $(2a + 3)(2a - 3)$, используя формулу разности квадратов $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$.
В данном случае $x = 2a$ и $y = 3$.
$(2a + 3)(2a - 3) = (2a)^2 - 3^2 = 4a^2 - 9$.
Теперь умножим полученный результат на $a^2$:
$a^2(4a^2 - 9) = a^2 \cdot 4a^2 - a^2 \cdot 9 = 4a^4 - 9a^2$.
Это многочлен стандартного вида.
Ответ: $4a^4 - 9a^2$

г) Исходное выражение: $(a^2 + 16)(a - 4)(a + 4)$.
Сначала сгруппируем и преобразуем произведение скобок $(a - 4)(a + 4)$, используя формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Здесь $x = a$ и $y = 4$.
$(a - 4)(a + 4) = a^2 - 4^2 = a^2 - 16$.
Подставим результат в исходное выражение: $(a^2 + 16)(a^2 - 16)$.
Снова применяем формулу разности квадратов, где $x = a^2$ и $y = 16$.
$(a^2 + 16)(a^2 - 16) = (a^2)^2 - 16^2 = a^4 - 256$.
Это многочлен стандартного вида.
Ответ: $a^4 - 256$

32.19 а) $(3.5p - 1.2k)(3.5p + 1.2k);$

б) $(1.7s + 0.3t^2)(0.3t^2 - 1.7s);$

в) $(2.4m^2 - 0.8n^2)(0.8n^2 + 2.4m^2);$

г) $(1.3x^3 - 1.8y^2)(1.8y^2 + 1.3x^3).$

а) Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно разностью квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

В данном выражении $a = 3,5p$ и $b = 1,2k$.

Подставим значения в формулу:

$(3,5p - 1,2k)(3,5p + 1,2k) = (3,5p)^2 - (1,2k)^2 = 3,5^2 \cdot p^2 - 1,2^2 \cdot k^2 = 12,25p^2 - 1,44k^2$.

Ответ: $12,25p^2 - 1,44k^2$.

б) Преобразуем выражение, поменяв местами слагаемые в первой и множители во второй скобке, чтобы привести его к стандартному виду формулы разности квадратов. От перемены мест слагаемых сумма не меняется: $(1,7s + 0,3t^2) = (0,3t^2 + 1,7s)$.

Таким образом, получаем: $(0,3t^2 + 1,7s)(0,3t^2 - 1,7s)$.

Применим формулу $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, где $a = 0,3t^2$ и $b = 1,7s$.

$(0,3t^2)^2 - (1,7s)^2 = 0,3^2 \cdot (t^2)^2 - 1,7^2 \cdot s^2 = 0,09t^4 - 2,89s^2$.

Ответ: $0,09t^4 - 2,89s^2$.

в) Поменяем местами слагаемые во второй скобке, чтобы привести выражение к удобному для применения формулы виду: $(0,8n^2 + 2,4m^2) = (2,4m^2 + 0,8n^2)$.

Выражение принимает вид: $(2,4m^2 - 0,8n^2)(2,4m^2 + 0,8n^2)$.

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a = 2,4m^2$ и $b = 0,8n^2$.

$(2,4m^2)^2 - (0,8n^2)^2 = 2,4^2 \cdot (m^2)^2 - 0,8^2 \cdot (n^2)^2 = 5,76m^4 - 0,64n^4$.

Ответ: $5,76m^4 - 0,64n^4$.

г) Аналогично предыдущему примеру, переставим слагаемые во второй скобке: $(1,8y^2 + 1,3x^3) = (1,3x^3 + 1,8y^2)$.

Теперь выражение выглядит так: $(1,3x^3 - 1,8y^2)(1,3x^3 + 1,8y^2)$.

Применяем формулу $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a = 1,3x^3$ и $b = 1,8y^2$.

$(1,3x^3)^2 - (1,8y^2)^2 = 1,3^2 \cdot (x^3)^2 - 1,8^2 \cdot (y^2)^2 = 1,69x^6 - 3,24y^4$.

Ответ: $1,69x^6 - 3,24y^4$.

32.20 Найдите произведение многочленов $P_1 \cdot P_2$, если:

а) $P_1(a) = a^2 + a - 1$; $P_2(a) = a^2 - a + 1;$

б) $P_1(m) = m^2 + 2m - 1$; $P_2(m) = m^2 - 2m + 1;$

в) $P_1(x) = 2x^2 + 3x + 2$; $P_2(x) = -2x^2 + 3x - 2;$

г) $P_1(b) = b^3 + 5b + 3$; $P_2(b) = -b^3 - 5b + 3.$

а) Найдём произведение многочленов $P_1(a) = a^2 + a - 1$ и $P_2(a) = a^2 - a + 1$. Их произведение равно $P_1(a) \cdot P_2(a) = (a^2 + a - 1)(a^2 - a + 1)$. Сгруппируем слагаемые, чтобы применить формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$. Представим произведение в виде $(a^2 + (a - 1))(a^2 - (a - 1))$. Пусть $x=a^2$ и $y=a-1$. Тогда: $(a^2)^2 - (a - 1)^2 = a^4 - (a^2 - 2a + 1) = a^4 - a^2 + 2a - 1$.
Ответ: $a^4 - a^2 + 2a - 1$.

б) Найдём произведение многочленов $P_1(m) = m^2 + 2m - 1$ и $P_2(m) = m^2 - 2m + 1$. Их произведение равно $P_1(m) \cdot P_2(m) = (m^2 + 2m - 1)(m^2 - 2m + 1)$. Сгруппируем слагаемые для применения формулы разности квадратов. Представим произведение в виде $(m^2 + (2m - 1))(m^2 - (2m - 1))$. Пусть $x=m^2$ и $y=2m-1$. Тогда: $(m^2)^2 - (2m - 1)^2 = m^4 - (4m^2 - 4m + 1) = m^4 - 4m^2 + 4m - 1$.
Ответ: $m^4 - 4m^2 + 4m - 1$.

в) Найдём произведение многочленов $P_1(x) = 2x^2 + 3x + 2$ и $P_2(x) = -2x^2 + 3x - 2$. Их произведение равно $P_1(x) \cdot P_2(x) = (2x^2 + 3x + 2)(-2x^2 + 3x - 2)$. Перегруппируем слагаемые в каждом многочлене: $P_1(x) = 3x + (2x^2 + 2)$ и $P_2(x) = 3x - (2x^2 + 2)$. Теперь произведение имеет вид $(3x + (2x^2 + 2))(3x - (2x^2 + 2))$, что соответствует формуле разности квадратов. Пусть $a=3x$ и $b=2x^2+2$. Тогда: $(3x)^2 - (2x^2 + 2)^2 = 9x^2 - ((2x^2)^2 + 2 \cdot 2x^2 \cdot 2 + 2^2) = 9x^2 - (4x^4 + 8x^2 + 4) = 9x^2 - 4x^4 - 8x^2 - 4 = -4x^4 + x^2 - 4$.
Ответ: $-4x^4 + x^2 - 4$.

г) Найдём произведение многочленов $P_1(b) = b^3 + 5b + 3$ и $P_2(b) = -b^3 - 5b + 3$. Их произведение равно $P_1(b) \cdot P_2(b) = (b^3 + 5b + 3)(-b^3 - 5b + 3)$. Перегруппируем слагаемые: $P_1(b) = 3 + (b^3 + 5b)$ и $P_2(b) = 3 - (b^3 + 5b)$. Произведение можно записать как $(3 + (b^3 + 5b))(3 - (b^3 + 5b))$, что является разностью квадратов. Пусть $x=3$ и $y=b^3+5b$. Тогда: $3^2 - (b^3 + 5b)^2 = 9 - ((b^3)^2 + 2 \cdot b^3 \cdot 5b + (5b)^2) = 9 - (b^6 + 10b^4 + 25b^2) = 9 - b^6 - 10b^4 - 25b^2$. Запишем в стандартном виде: $-b^6 - 10b^4 - 25b^2 + 9$.
Ответ: $-b^6 - 10b^4 - 25b^2 + 9$.

32.21 Преобразуйте произведение выражений в многочлен стандартного вида:

a) $(m - 1)(m^3 + m^2 + m + 1);$

б) $(2 - s)(16 + 8s + 4s^2 + 2s^3 + s^4);$

в) $(x + y)(x^3 - x^2y + xy^2 - y^3);$

г) $(a + 3)(81 - 27a + 9a^2 - 3a^3 + a^4).$

а) Чтобы преобразовать произведение $(m - 1)(m^3 + m^2 + m + 1)$ в многочлен стандартного вида, можно заметить, что это выражение соответствует формуле разности степеней $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + b^{n-1})$. В данном случае $a = m$, $b = 1$ и $n = 4$.

Таким образом, $(m - 1)(m^3 + m^2 \cdot 1 + m \cdot 1^2 + 1^3) = m^4 - 1^4 = m^4 - 1$.

В качестве альтернативы можно раскрыть скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(m - 1)(m^3 + m^2 + m + 1) = m(m^3 + m^2 + m + 1) - 1(m^3 + m^2 + m + 1) = m^4 + m^3 + m^2 + m - m^3 - m^2 - m - 1$

Далее приводим подобные слагаемые:

$m^4 + (m^3 - m^3) + (m^2 - m^2) + (m - m) - 1 = m^4 - 1$

Ответ: $m^4 - 1$

б) Выражение $(2 - s)(16 + 8s + 4s^2 + 2s^3 + s^4)$ также является разностью степеней. Заметим, что коэффициенты во втором множителе являются степенями двойки: $16=2^4$, $8=2^3$, $4=2^2$, $2=2^1$.

Это соответствует формуле разности пятых степеней $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$ при $a = 2$ и $b = s$.

Следовательно, $(2 - s)(2^4 + 2^3s + 2^2s^2 + 2s^3 + s^4) = 2^5 - s^5 = 32 - s^5$.

Проверим, раскрыв скобки:

$(2 - s)(16 + 8s + 4s^2 + 2s^3 + s^4) = 2(16 + 8s + 4s^2 + 2s^3 + s^4) - s(16 + 8s + 4s^2 + 2s^3 + s^4)$

$= (32 + 16s + 8s^2 + 4s^3 + 2s^4) - (16s + 8s^2 + 4s^3 + 2s^4 + s^5)$

$= 32 + 16s + 8s^2 + 4s^3 + 2s^4 - 16s - 8s^2 - 4s^3 - 2s^4 - s^5$

После приведения подобных слагаемых получаем:

$32 - s^5$

Ответ: $32 - s^5$

в) Рассмотрим произведение $(x + y)(x^3 - x^2y + xy^2 - y^3)$. Раскроем скобки:

$x(x^3 - x^2y + xy^2 - y^3) + y(x^3 - x^2y + xy^2 - y^3)$

$= (x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3) + (x^3y - x^2y^2 + xy^3 - y^4)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$x^4 + (-x^3y + x^3y) + (x^2y^2 - x^2y^2) + (-xy^3 + xy^3) - y^4 = x^4 - y^4$

Другой способ решения — заметить, что второй множитель можно разложить на множители: $x^3 - x^2y + xy^2 - y^3 = x^2(x-y) + y^2(x-y) = (x-y)(x^2+y^2)$.

Тогда исходное выражение равно $(x + y)(x - y)(x^2 + y^2)$.

Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ дважды, получаем:

$(x + y)(x - y)(x^2 + y^2) = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4$.

Ответ: $x^4 - y^4$

г) Выражение $(a + 3)(81 - 27a + 9a^2 - 3a^3 + a^4)$ является суммой степеней. Запишем второй множитель в порядке убывания степеней $a$: $(a^4 - 3a^3 + 9a^2 - 27a + 81)$.

Заметим, что коэффициенты являются степенями числа 3: $3 = 3^1$, $9 = 3^2$, $27 = 3^3$, $81 = 3^4$.

Выражение соответствует формуле суммы пятых степеней $x^5 + y^5 = (x + y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4)$ при $x = a$ и $y = 3$.

$(a + 3)(a^4 - a^3\cdot3 + a^2\cdot3^2 - a\cdot3^3 + 3^4) = a^5 + 3^5 = a^5 + 243$.

Проверим прямым умножением:

$(a + 3)(81 - 27a + 9a^2 - 3a^3 + a^4) = a(81 - 27a + 9a^2 - 3a^3 + a^4) + 3(81 - 27a + 9a^2 - 3a^3 + a^4)$

$= (81a - 27a^2 + 9a^3 - 3a^4 + a^5) + (243 - 81a + 27a^2 - 9a^3 + 3a^4)$

Приводим подобные члены:

$a^5 + (-3a^4 + 3a^4) + (9a^3 - 9a^3) + (-27a^2 + 27a^2) + (81a - 81a) + 243 = a^5 + 243$

Ответ: $a^5 + 243$