Страница 140, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Может ли сумма двух многочленов быть одночленом? Если да, то приведите пример.

1. Да, сумма двух многочленов может быть одночленом.

По определению, многочлен — это сумма нескольких одночленов. При сложении двух многочленов мы складываем их соответствующие подобные члены. Если выбрать многочлены таким образом, чтобы при их сложении все подобные члены, кроме членов одного вида, взаимно уничтожились (то есть их сумма стала равна нулю), то в результате получится выражение, состоящее только из одного члена, то есть одночлен.

Рассмотрим следующий пример.

Возьмем два многочлена, $P_1$ и $P_2$:

Первый многочлен: $P_1 = 5x^2 + 3y - 4z$

Второй многочлен: $P_2 = 2x^2 - 3y + 4z$

Оба выражения являются многочленами (трехчленами).

Теперь найдем их сумму $P_1 + P_2$:

$(5x^2 + 3y - 4z) + (2x^2 - 3y + 4z)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:

$(5x^2 + 2x^2) + (3y - 3y) + (-4z + 4z)$

Выполним арифметические действия в каждой группе подобных членов:

$7x^2 + 0 + 0 = 7x^2$

В результате сложения двух многочленов $P_1$ и $P_2$ мы получили одночлен $7x^2$. Это доказывает, что сумма двух многочленов может быть одночленом.

Ответ: Да, может. Например, сумма многочленов $(a^3 + 2b)$ и $(5a^3 - 2b)$ равна одночлену $6a^3$.

2. Может ли разность двух многочленов быть одночленом? Если да, то приведите пример.

2.

Да, разность двух многочленов может быть одночленом. Чтобы это произошло, необходимо, чтобы при вычитании одного многочлена из другого все члены, кроме одного, взаимно уничтожились (сократились).

Рассмотрим общий случай. Пусть у нас есть два многочлена $P_1$ и $P_2$. Их разность $P_1 - P_2$ будет многочленом. Если мы подберем $P_1$ и $P_2$ таким образом, чтобы они отличались ровно на один одночлен, то их разность и будет этим одночленом.

Пример:

Возьмем два многочлена $P_1$ и $P_2$:

• $P_1 = 5x^2 + 4x - 3$
• $P_2 = 4x - 3$

Найдем их разность:

$P_1 - P_2 = (5x^2 + 4x - 3) - (4x - 3)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки всех членов внутри нее меняются на противоположные:

$5x^2 + 4x - 3 - 4x + 3$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$5x^2 + (4x - 4x) + (-3 + 3) = 5x^2 + 0 + 0 = 5x^2$

В результате вычитания мы получили выражение $5x^2$, которое является одночленом.

Ответ: Да, может. Например, разность многочленов $(5x^2 + 4x - 3)$ и $(4x - 3)$ равна одночлену $5x^2$.

Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования:

31.22 Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми $17 \text{ км}$, вышел пешеход со скоростью $4 \text{ км/ч}$. Через $15 \text{ мин}$ из В в А навстречу ему выехал велосипедист со скоростью $12 \text{ км/ч}$. Какое расстояние до встречи преодолел велосипедист, а какое — пешеход?

Решим задачу, последовательно пройдя три этапа математического моделирования.

1. Составление математической модели

На этом этапе мы переведем условия задачи на язык математики. Введем переменные и составим уравнение, связывающее их.

Пусть $t$ (в часах) — время, которое ехал велосипедист до встречи с пешеходом.

Пешеход вышел на 15 минут раньше. Переведем минуты в часы: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч} = 0.25 \text{ ч}$.
Следовательно, время, которое пешеход был в пути до встречи, составляет $(t + 0.25)$ часа.

Скорость пешехода $v_п = 4 \text{ км/ч}$.
Скорость велосипедиста $v_в = 12 \text{ км/ч}$.

Расстояние, которое прошел пешеход до встречи: $S_п = v_п \cdot (t + 0.25) = 4(t + 0.25)$ км.
Расстояние, которое проехал велосипедист до встречи: $S_в = v_в \cdot t = 12t$ км.

Пешеход и велосипедист двигались навстречу друг другу из пунктов A и B. К моменту встречи суммарное расстояние, которое они преодолели, равно расстоянию между пунктами A и B, то есть 17 км.

Получаем уравнение: $S_п + S_в = 17$.
Подставив выражения для $S_п$ и $S_в$, получаем математическую модель задачи: $4(t + 0.25) + 12t = 17$.

2. Работа с математической моделью

На этом этапе решим полученное уравнение и найдем неизвестные величины.

$4(t + 0.25) + 12t = 17$
Раскроем скобки:

$4t + 4 \cdot 0.25 + 12t = 17$
$4t + 1 + 12t = 17$

Приведем подобные слагаемые:

$16t + 1 = 17$
$16t = 17 - 1$
$16t = 16$
$t = \frac{16}{16}$
$t = 1$

Итак, время движения велосипедиста до встречи составило 1 час.

Теперь найдем расстояния, которые преодолели пешеход и велосипедист.

Расстояние, которое проехал велосипедист: $S_в = 12t = 12 \cdot 1 = 12$ км.
Расстояние, которое прошел пешеход: $S_п = 4(t + 0.25) = 4(1 + 0.25) = 4 \cdot 1.25 = 5$ км.

Проверим: $S_п + S_в = 5 + 12 = 17$ км, что соответствует условию задачи.

3. Интерпретация полученного результата

На этом этапе мы отвечаем на вопрос задачи, используя результаты, полученные на втором этапе.

Вопрос задачи: "Какое расстояние до встречи преодолел велосипедист, а какое — пешеход?".

Из наших вычислений следует, что до встречи велосипедист преодолел расстояние $S_в = 12$ км, а пешеход — расстояние $S_п = 5$ км.

Ответ: до встречи велосипедист преодолел 12 км, а пешеход — 5 км.

31.23 Расстояние AB, равное 110 км, турист прошёл за три дня. За второй день пути он прошёл на 5 км меньше, чем за первый, а за третий день $ \frac{3}{7} $ расстояния, пройденного за два первых дня. Сколько километров проходил турист за каждый день пути?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км — это расстояние, которое турист прошёл в первый день.

Из условия известно, что во второй день он прошёл на 5 км меньше, чем в первый. Значит, расстояние за второй день составляет $(x - 5)$ км.

Расстояние, пройденное за первые два дня, равно сумме расстояний за первый и второй день: $x + (x - 5) = (2x - 5)$ км.

В третий день турист прошёл $\frac{3}{7}$ от расстояния, пройденного за первые два дня. Это составляет $\frac{3}{7}(2x - 5)$ км.

Общее расстояние за три дня равно 110 км. Мы можем составить уравнение, сложив расстояния за каждый из трёх дней:

$x + (x - 5) + \frac{3}{7}(2x - 5) = 110$

Упростим левую часть уравнения. Сначала сгруппируем слагаемые, относящиеся к первым двум дням:

$(2x - 5) + \frac{3}{7}(2x - 5) = 110$

Вынесем общий множитель $(2x - 5)$ за скобки:

$(2x - 5) \cdot (1 + \frac{3}{7}) = 110$

Выполним сложение в скобках:

$(2x - 5) \cdot (\frac{7}{7} + \frac{3}{7}) = 110$

$(2x - 5) \cdot \frac{10}{7} = 110$

Теперь найдём значение выражения $(2x - 5)$, которое равно расстоянию за первые два дня:

$2x - 5 = 110 : \frac{10}{7}$

$2x - 5 = 110 \cdot \frac{7}{10}$

$2x - 5 = 77$

Теперь решим это простое линейное уравнение, чтобы найти $x$:

$2x = 77 + 5$

$2x = 82$

$x = \frac{82}{2} = 41$

Мы нашли, что в первый день турист прошёл 41 км.

Теперь вычислим, какое расстояние он проходил в остальные дни:

Расстояние за второй день: $x - 5 = 41 - 5 = 36$ км.

Расстояние за третий день: $\frac{3}{7}(2x - 5)$. Мы уже вычислили, что $2x-5 = 77$, поэтому: $\frac{3}{7} \cdot 77 = 3 \cdot 11 = 33$ км.

Проверим полученные результаты, сложив расстояния за все три дня: $41 + 36 + 33 = 77 + 33 = 110$ км. Сумма совпадает с общим расстоянием из условия задачи.

Ответ: в первый день турист прошёл 41 км, во второй день — 36 км, в третий день — 33 км.

31.24 Из двух аэропортов, расстояние между которыми 2400 км, вылетели одновременно навстречу друг другу два самолёта. Через 30 мин им оставалось пролететь до встречи 1400 км. Найдите скорости самолётов, если известно, что скорость одного из них в 1,5 раза больше скорости другого.

Пусть скорость одного самолёта равна $x$ км/ч. Поскольку скорость другого самолёта в 1,5 раза больше, она будет равна $1,5x$ км/ч.

Самолёты летят навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей:
$v_{сбл} = x + 1,5x = 2,5x$ км/ч.

Изначальное расстояние между аэропортами составляет 2400 км. Через 30 минут полёта расстояние между самолётами сократилось до 1400 км. Это означает, что за это время они вместе преодолели расстояние:
$S_{пройдено} = 2400 - 1400 = 1000$ км.

Время полёта равно 30 минутам. Для расчётов необходимо перевести это время в часы:
$t = 30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = 0,5$ ч.

Пройденное расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$. Используя скорость сближения, мы можем составить уравнение:
$S_{пройдено} = v_{сбл} \cdot t$
$1000 = (2,5x) \cdot 0,5$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $x$:
$1000 = 1,25x$
$x = \frac{1000}{1,25}$
$x = \frac{100000}{125}$
$x = 800$

Итак, скорость первого (более медленного) самолёта составляет 800 км/ч.

Теперь найдём скорость второго самолёта:
$1,5x = 1,5 \cdot 800 = 1200$ км/ч.

Ответ: 800 км/ч и 1200 км/ч.

31.25 Из двух пунктов $A$ и $B$, расстояние между которыми равно 10 км, одновременно в противоположных направлениях выехали велосипедист и легковой автомобиль. Через 24 мин расстояние между ними стало равным 40 км. Найдите скорость велосипедиста, если известно, что она в 4 раза меньше скорости автомобиля.

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение.
Пусть скорость велосипедиста равна $x$ км/ч. Согласно условию, скорость автомобиля в 4 раза больше, следовательно, она составляет $4x$ км/ч.

Велосипедист и автомобиль движутся в противоположных направлениях, поэтому они удаляются друг от друга. Скорость их удаления равна сумме их скоростей:
$v_{удаления} = v_{велосипедиста} + v_{автомобиля} = x + 4x = 5x$ км/ч.

Время движения составляет $t = 24$ минуты. Для согласования единиц измерения переведем время в часы:
$t = 24 \text{ мин} = \frac{24}{60} \text{ ч} = 0.4 \text{ ч}$.

Изначально расстояние между пунктами А и В было $S_{начальное} = 10$ км. Через 24 минуты расстояние между ними стало $S_{конечное} = 40$ км. Увеличение расстояния произошло за счет того, что и велосипедист, и автомобиль проехали некоторое расстояние. Это увеличение равно:
$\Delta S = S_{конечное} - S_{начальное} = 40 - 10 = 30$ км.

Это расстояние $\Delta S$ было преодолено с общей скоростью удаления $v_{удаления}$ за время $t$. Составим уравнение, используя формулу расстояния $S = v \cdot t$:
$30 = (5x) \cdot 0.4$

Решим это уравнение относительно $x$:
$30 = 2x$
$x = \frac{30}{2}$
$x = 15$

Следовательно, скорость велосипедиста составляет 15 км/ч.

Ответ: скорость велосипедиста равна 15 км/ч.

31.26 Один фермер убирал в день на 2,5 га картофеля больше, чем другой, и, проработав 8 дней, убрал на 2 га больше, чем второй фермер за 10 дней. Сколько гектаров картофеля убирал каждый фермер за день?

31.26

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Обозначим производительность первого фермера как $v_1$ (га/день), а второго — как $v_2$ (га/день).

Из условия известно, что один фермер убирал в день на 2,5 га картофеля больше, чем другой. Запишем это в виде уравнения:

$v_1 = v_2 + 2.5$

Также известно, что первый фермер, проработав 8 дней, убрал на 2 га больше, чем второй фермер за 10 дней. Объем работы первого фермера за 8 дней равен $8 \cdot v_1$. Объем работы второго фермера за 10 дней равен $10 \cdot v_2$. Составим второе уравнение:

$8 \cdot v_1 = 10 \cdot v_2 + 2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} v_1 = v_2 + 2.5 \\ 8v_1 = 10v_2 + 2 \end{cases}$

Подставим выражение для $v_1$ из первого уравнения во второе:

$8(v_2 + 2.5) = 10v_2 + 2$

Раскроем скобки:

$8v_2 + 8 \cdot 2.5 = 10v_2 + 2$

$8v_2 + 20 = 10v_2 + 2$

Перенесем слагаемые с $v_2$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$20 - 2 = 10v_2 - 8v_2$

$18 = 2v_2$

Теперь найдем $v_2$:

$v_2 = 18 / 2$

$v_2 = 9$

Итак, второй фермер убирал 9 гектаров картофеля в день.

Теперь найдем производительность первого фермера, используя первое уравнение системы:

$v_1 = v_2 + 2.5 = 9 + 2.5 = 11.5$

Следовательно, первый фермер убирал 11,5 гектаров картофеля в день.

Ответ: первый фермер убирал 11,5 га в день, а второй фермер — 9 га в день.

31.27 Мастер изготовляет на 8 деталей в час больше, чем ученик. Ученик работал 6 ч, мастер — 8 ч, и вместе они изготовили 232 детали. Сколько деталей в час изготовлял ученик?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество деталей, которое изготовляет ученик за один час (производительность ученика).

Согласно условию, мастер изготовляет на 8 деталей в час больше. Следовательно, производительность мастера составляет $(x + 8)$ деталей в час.

Ученик работал 6 часов и за это время изготовил $6 \cdot x$ деталей.

Мастер работал 8 часов и за это время изготовил $8 \cdot (x + 8)$ деталей.

Вместе они изготовили 232 детали. Это позволяет нам составить следующее уравнение, приравняв сумму изготовленных ими деталей к общему количеству:

$6x + 8(x + 8) = 232$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$. Сначала раскроем скобки:

$6x + 8x + 64 = 232$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$14x + 64 = 232$

Перенесем число 64 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$14x = 232 - 64$

$14x = 168$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 14:

$x = \frac{168}{14}$

$x = 12$

Таким образом, мы нашли, что производительность ученика составляет 12 деталей в час.

Проверим полученный результат:

Производительность ученика: 12 деталей/час.

Производительность мастера: $12 + 8 = 20$ деталей/час.

Количество деталей, изготовленных учеником за 6 часов: $12 \text{ дет/ч} \cdot 6 \text{ ч} = 72$ детали.

Количество деталей, изготовленных мастером за 8 часов: $20 \text{ дет/ч} \cdot 8 \text{ ч} = 160$ деталей.

Общее количество деталей: $72 + 160 = 232$ детали.

Результат проверки совпадает с условием задачи, значит, решение верное.

Ответ: 12 деталей в час.

31.28 В трёх посёлках 6000 жителей. Во втором посёлке вдвое больше жителей, чем в первом, а в третьем — на 400 жителей меньше, чем во втором. Сколько жителей в каждом посёлке?

Для решения этой задачи введём переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ — это количество жителей в первом посёлке.

Из условия известно, что во втором посёлке живёт вдвое больше людей, чем в первом. Значит, количество жителей во втором посёлке можно выразить как $2x$.

Также в условии сказано, что в третьем посёлке на 400 жителей меньше, чем во втором. Следовательно, количество жителей в третьем посёлке равно $2x - 400$.

Общее число жителей во всех трёх посёлках составляет 6000. Мы можем составить уравнение, сложив количество жителей каждого посёлка:

(жители первого посёлка) + (жители второго посёлка) + (жители третьего посёлка) = 6000

$x + 2x + (2x - 400) = 6000$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим левую часть, сложив все члены с $x$:

$5x - 400 = 6000$

Чтобы найти $5x$, прибавим 400 к обеим частям уравнения:

$5x = 6000 + 400$

$5x = 6400$

Теперь найдём значение $x$, разделив 6400 на 5:

$x = \frac{6400}{5}$

$x = 1280$

Таким образом, мы нашли количество жителей в первом посёлке — 1280 человек.

Теперь вычислим количество жителей в остальных посёлках:

• Во втором посёлке: $2x = 2 \cdot 1280 = 2560$ жителей.
• В третьем посёлке: $2x - 400 = 2560 - 400 = 2160$ жителей.

Проверим наше решение, сложив количество жителей всех трёх посёлков:

$1280 + 2560 + 2160 = 3840 + 2160 = 6000$

Сумма совпадает с исходным данным, значит, задача решена верно.

Ответ: в первом посёлке 1280 жителей, во втором посёлке 2560 жителей, а в третьем посёлке 2160 жителей.

31.29 Во втором цехе завода рабочих в 1,5 раза меньше, чем в первом, и на 200 человек больше, чем в третьем. Всего в первом и третьем цехах работают 800 человек. Сколько рабочих во втором цехе?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие количество рабочих в каждом цехе:
Пусть $x$ — количество рабочих в первом цехе.
Пусть $y$ — количество рабочих во втором цехе.
Пусть $z$ — количество рабочих в третьем цехе.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.
Из условия «Во втором цехе завода рабочих в 1,5 раза меньше, чем в первом» следует:
$x = 1.5y$
Из условия «...и на 200 человек больше, чем в третьем» следует, что во втором цехе на 200 рабочих больше, чем в третьем:
$y = z + 200$, откуда $z = y - 200$.
Из условия «Всего в первом и третьем цехах работают 800 человек» следует:
$x + z = 800$

Теперь у нас есть система уравнений, и нам нужно найти значение $y$. Подставим выражения для $x$ и $z$ в третье уравнение:
$(1.5y) + (y - 200) = 800$

Решим полученное уравнение относительно $y$:
$1.5y + y - 200 = 800$
$2.5y - 200 = 800$
$2.5y = 800 + 200$
$2.5y = 1000$
$y = \frac{1000}{2.5}$
$y = 400$

Таким образом, во втором цехе работает 400 рабочих.

Для уверенности выполним проверку:
Количество рабочих в первом цехе: $x = 1.5 \cdot 400 = 600$ человек.
Количество рабочих в третьем цехе: $z = 400 - 200 = 200$ человек.
Сумма рабочих в первом и третьем цехах: $x + z = 600 + 200 = 800$ человек.
Все условия задачи выполняются.

Ответ: 400.

31.30 Длина прямоугольника на 8 см больше ширины. Если ширину увеличить в 2 раза, а длину уменьшить на 4 см, то площадь прямоугольника увеличится на 25 см². Найдите стороны прямоугольника.

Пусть ширина исходного прямоугольника равна $x$ см. Согласно условию, длина прямоугольника на 8 см больше ширины, следовательно, длина равна $(x + 8)$ см.

Площадь исходного прямоугольника, обозначим ее $S_1$, равна произведению длины на ширину:

$S_1 = x \cdot (x + 8) = x^2 + 8x$ см².

По условию задачи, ширину увеличили в 2 раза, а длину уменьшили на 4 см. Найдем новые размеры прямоугольника:

Новая ширина: $2x$ см.

Новая длина: $(x + 8) - 4 = x + 4$ см.

Площадь нового прямоугольника, обозначим ее $S_2$, будет равна:

$S_2 = 2x \cdot (x + 4) = 2x^2 + 8x$ см².

Известно, что новая площадь на 25 см² больше исходной, то есть $S_2 = S_1 + 25$. Составим и решим уравнение:

$2x^2 + 8x = (x^2 + 8x) + 25$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$2x^2 + 8x - x^2 - 8x - 25 = 0$

Приведем подобные члены:

$x^2 - 25 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, которое можно решить разложением на множители:

$(x - 5)(x + 5) = 0$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Так как ширина прямоугольника не может быть отрицательной величиной, то нам подходит только корень $x = 5$.

Таким образом, ширина исходного прямоугольника равна 5 см.

Найдем длину исходного прямоугольника:

$x + 8 = 5 + 8 = 13$ см.

Ответ: ширина прямоугольника 5 см, длина 13 см.