Страница 133, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Подряд выписали числа от 11 до 20. Между цифрами поставили запятые: 1, 1, 1, 2, ..., 1, 9, 2, 0.

1. Для полученного ряда цифр найдите:

а) объём;

б) размах;

в) моду;

г) медиану;

д) частоту цифры 7;

е) частоту моды.

Для решения задачи сначала выпишем все числа от 11 до 20 и составим из их цифр статистический ряд. Числа: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Ряд цифр, полученный из этих чисел: 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, 1, 7, 1, 8, 1, 9, 2, 0.

1. Для полученного ряда цифр найдите:

а) объём
Объём выборки — это общее количество элементов в ряду. В нашем случае это общее количество выписанных цифр. Поскольку у нас 10 двузначных чисел (от 11 до 20), общее количество цифр равно $10 \times 2 = 20$.
Ответ: 20.

б) размах
Размах — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду. В нашем ряду цифр наибольшее значение — это 9 (из числа 19), а наименьшее — 0 (из числа 20).
Размах = $9 - 0 = 9$.
Ответ: 9.

в) моду
Мода — это значение, которое встречается в ряду чаще всего. Подсчитаем частоту каждой цифры в ряду:

• 0: 1 раз
• 1: 10 раз (в числах 11 (дважды), 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19)
• 2: 2 раза (в числах 12, 20)
• 3: 1 раз
• 4: 1 раз
• 5: 1 раз
• 6: 1 раз
• 7: 1 раз
• 8: 1 раз
• 9: 1 раз

Чаще всего встречается цифра 1. Следовательно, мода данного ряда равна 1.
Ответ: 1.

г) медиану
Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда. Сначала отсортируем наш ряд по возрастанию: 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В ряду 20 элементов (чётное число). В этом случае медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов. Это элементы на 10-й и 11-й позициях. На 10-м месте стоит цифра 1. На 11-м месте стоит цифра 1. Медиана = $(1 + 1) / 2 = 1$.
Ответ: 1.

д) частоту цифры 7
Частота значения — это количество его появлений в ряду. Цифра 7 встречается в ряду только один раз (в составе числа 17).
Ответ: 1.

е) частоту моды
Мода ряда, как мы выяснили в пункте в), равна 1. Частота моды — это количество повторений моды в ряду. Цифра 1 встречается в ряду 10 раз.
Ответ: 10.

2. Может ли частота результата равняться 1,1; 0,1; -0,12
В статистике под "частотой" (или абсолютной частотой) понимают количество раз, которое некоторое событие или значение встречается в выборке. По своему определению, частота может быть только целым неотрицательным числом (0, 1, 2, 3, ...), так как она представляет собой результат подсчета.

• Число 1,1 не является целым.
• Число 0,1 не является целым.
• Число -0,12 не является целым и к тому же отрицательное.

Следовательно, ни одно из этих чисел не может быть значением частоты.
Примечание: Иногда рассматривают относительную частоту (отношение абсолютной частоты к объёму выборки), которая может быть дробным числом от 0 до 1. В этом случае 0,1 могло бы быть значением относительной частоты, но 1,1 и -0,12 — нет. Однако в контексте задания речь идет об абсолютной частоте.
Ответ: Нет, не может, так как частота должна быть целым неотрицательным числом.

2. Может ли частота результата равняться $1.1$; $0.1$; $-0.1$?

Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить определение и свойства частоты события в теории вероятностей и статистике. Под «частотой» в данном контексте, вероятнее всего, подразумевается относительная частота, так как в вопросе даны дробные значения.

Относительная частота ($W$) — это отношение числа испытаний ($k$), в которых некоторое событие наступило, к общему числу проведённых испытаний ($n$).

Формула для вычисления относительной частоты:$W = \frac{k}{n}$

Из этой формулы следуют ключевые свойства относительной частоты:

1. Число наступлений события $k$ — это целое неотрицательное число ($k \ge 0$).
2. Общее число испытаний $n$ — это целое положительное число ($n > 0$).
3. Число наступлений события не может превышать общее число испытаний ($k \le n$).

Из этих свойств следует, что значение относительной частоты всегда является неотрицательным числом, не превышающим 1. Математически это выражается двойным неравенством: $0 \le W \le 1$.

Проанализируем каждое из предложенных значений с учётом этого правила.

3. Может ли частота равняться нулю?

3.

Да, частота может равняться нулю. Рассмотрим, что это означает с физической точки зрения.

Частота ($\nu$ или $f$) — это физическая величина, характеризующая периодический процесс и равная количеству полных циклов (колебаний, повторений), совершаемых за единицу времени. Она определяется формулой:

$\nu = \frac{N}{t}$

где $N$ — число полных колебаний, а $t$ — время, за которое эти колебания произошли.

Если частота $\nu = 0$, то из формулы следует, что за любой промежуток времени $t > 0$ число колебаний $N$ будет равно нулю. Это означает, что колебательный или любой другой периодический процесс отсутствует. Тело или система находится в состоянии покоя или совершает непериодическое движение (например, равномерное прямолинейное движение).

Частота также обратно пропорциональна периоду колебаний $T$ (времени одного полного колебания):

$\nu = \frac{1}{T}$

Если $\nu = 0$, то период $T$ должен стремиться к бесконечности ($T \to \infty$). Бесконечный период означает, что одно полное колебание занимает бесконечно много времени, то есть оно никогда не завершается. Это эквивалентно отсутствию колебаний.

Примеры:

• Маятник, который висит неподвижно, не совершает колебаний, и его частота равна нулю.
• Постоянный электрический ток (DC) не изменяет своего направления и величины со временем, в отличие от переменного тока (AC). Поэтому частоту постоянного тока считают равной 0 Гц.

Таким образом, нулевая частота описывает статическое, неизменное во времени состояние или непериодический процесс.

Ответ: Да, может. Это соответствует отсутствию колебаний или периодического процесса.

4. Приведите пример ряда объёма 20, в котором ровно 5 разных данных одинаковой частоты.

Для решения этой задачи необходимо составить ряд данных, который удовлетворяет трём условиям:

1. Общий объём ряда (общее количество элементов) должен быть равен 20.
2. В ряду должно быть ровно 5 различных (уникальных) значений.
3. Все эти 5 значений должны иметь одинаковую частоту, то есть встречаться одинаковое количество раз.

Сначала определим, сколько раз должно встречаться каждое из 5 уникальных значений. Обозначим объём ряда как $N$, а количество различных данных — как $k$. По условию задачи, $N = 20$ и $k = 5$.

Поскольку частота $f$ для всех 5 значений одинакова, мы можем найти её, разделив общий объём ряда на количество различных значений:
$f = \frac{N}{k} = \frac{20}{5} = 4$.

Это означает, что каждое из пяти уникальных значений должно встречаться в ряду ровно 4 раза.

Теперь выберем 5 любых различных чисел в качестве данных. Для простоты можно взять целые числа от 1 до 5: 1, 2, 3, 4, 5.

Чтобы составить искомый ряд, необходимо, чтобы каждое из этих чисел повторилось в нём 4 раза. Порядок элементов в ряду не имеет значения.

Пример такого ряда:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

Проверим, соответствует ли полученный ряд условиям задачи:
- Объём: в ряду 20 чисел ($5 \text{ чисел} \times 4 \text{ повторения} = 20$). Условие выполнено.
- Количество различных данных: в ряду ровно 5 уникальных значений (1, 2, 3, 4, 5). Условие выполнено.
- Частота данных: каждое из 5 уникальных чисел встречается ровно 4 раза. Условие выполнено.

Ответ: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

5. Верно ли, что частота результата определена только для рядов, состоящих из чисел?

Нет, это утверждение неверно.

Частота результата (или частота события) в статистике — это мера, показывающая, сколько раз данный конкретный результат встречается в ряду наблюдений или в выборке. Этот ряд наблюдений, или набор данных, не обязательно должен состоять из чисел. Данные могут быть не только количественными (числовыми), но и качественными (категориальными), то есть представлять собой слова, символы или другие нечисловые значения.

Понятие частоты является фундаментальным для анализа любых данных. Более того, для качественных (нечисловых) данных частота и связанные с ней показатели (например, мода — наиболее часто встречающееся значение) являются основными статистическими характеристиками.

Пример 1: Опрос о предпочтениях.

Допустим, провели опрос о любимом жанре кино, и получили следующий ряд ответов: комедия, драма, фантастика, комедия, триллер, комедия, фантастика.

Этот ряд состоит из слов. Мы можем посчитать абсолютную частоту для каждого жанра: «комедия» — 3 раза, «фантастика» — 2 раза, «драма» — 1 раз, «триллер» — 1 раз.

Пример 2: Результаты эксперимента.

При подбрасывании монеты мы получаем ряд, состоящий не из чисел, а из исходов: орел, решка, решка, орел, орел, решка.

Здесь частота исхода «орел» равна 3, а частота исхода «решка» также равна 3.

Для любого типа данных можно рассчитать и относительную частоту. Это отношение абсолютной частоты результата к общему числу наблюдений в ряду. Формула:

Относительная частота $ = \frac{Абсолютная\spaceчастота}{Общее\spaceчисло\spaceнаблюдений} $

Например, для жанра «комедия» из первого примера относительная частота будет $3/7 \approx 0.43$.

Ответ: Нет, неверно. Частота результата — это универсальное статистическое понятие, которое определено для рядов данных, состоящих из элементов любой природы, как числовых (количественных), так и нечисловых (качественных или категориальных).

29.23 Вместо символа * поставьте такой одночлен, чтобы полученный многочлен стандартного вида не содержал переменной $a$:

а) $5a - 13 + 8a - 7a + 25 + *;$

б) $7b - 15 + 10a - 2a + 13 - *;$

в) $12a - 23 + 2a - 3a + b + *;$

г) $8a^2 - 7a^2 - 4 + *.$

Чтобы полученный многочлен стандартного вида не содержал переменную a, необходимо, чтобы сумма всех членов, содержащих эту переменную, была равна нулю. Для этого вместо символа * нужно подставить одночлен, который является противоположным сумме всех членов с переменной a в исходном выражении.

а) $5a - 13 + 8a - 7a + 25 + *$

Сначала приведем подобные слагаемые, содержащие переменную a:

$5a + 8a - 7a = (5 + 8 - 7)a = 6a$

Чтобы избавиться от члена $6a$, нужно прибавить к нему противоположный одночлен, то есть $-6a$. Таким образом, вместо * нужно подставить $-6a$.

Проверка: $5a - 13 + 8a - 7a + 25 + (-6a) = (5a + 8a - 7a - 6a) + (-13 + 25) = (13a - 13a) + 12 = 12$. В результате переменная a отсутствует.

Ответ: $-6a$

б) $7b - 15 + 10a - 2a + 13 - *$

Приведем подобные слагаемые с переменной a:

$10a - 2a = (10 - 2)a = 8a$

Чтобы выражение не содержало a, из полученного члена $8a$ нужно вычесть $8a$. Это означает, что одночлен, который скрывается за символом *, равен $8a$.

Проверка: $7b - 15 + 10a - 2a + 13 - (8a) = 7b + (10a - 2a - 8a) + (-15 + 13) = 7b + (8a - 8a) - 2 = 7b - 2$. В результате переменная a отсутствует.

Ответ: $8a$

в) $12a - 23 + 2a - 3a + b + *$

Приведем подобные слагаемые с переменной a:

$12a + 2a - 3a = (12 + 2 - 3)a = 11a$

Чтобы избавиться от члена $11a$, необходимо прибавить к нему противоположный одночлен, то есть $-11a$. Следовательно, вместо * нужно подставить $-11a$.

Проверка: $12a - 23 + 2a - 3a + b + (-11a) = (12a + 2a - 3a - 11a) + b - 23 = (14a - 14a) + b - 23 = b - 23$. В результате переменная a отсутствует.

Ответ: $-11a$

г) $8a^2 - 7a^2 - 4 + *$

Приведем подобные слагаемые с переменной a:

$8a^2 - 7a^2 = (8 - 7)a^2 = a^2$

Чтобы избавиться от члена $a^2$, нужно прибавить к нему противоположный одночлен, то есть $-a^2$. Значит, вместо * нужно подставить $-a^2$.

Проверка: $8a^2 - 7a^2 - 4 + (-a^2) = (8a^2 - 7a^2 - a^2) - 4 = (a^2 - a^2) - 4 = -4$. В результате переменная a отсутствует.

Ответ: $-a^2$

29.24 Вместо символа * поставьте такой одночлен, чтобы полученный многочлен стандартного вида не содержал членов, подобных $a^2$:

a) $a^2 + 2a^2 - b^2 - 3c + *;$

б) $3ax^2 - 5x^3 + 4a^2 + 8x^2a - 5 + 11a^2 + *;$

в) $2x^2 + 3ax - 9a^2 + 8x^2 - 5ax + 8a^2 + *;$

г) $2y^2 - 5ay + a^2 + 7y^2 + 3ay - 5a^2 + *.$

Чтобы полученный многочлен стандартного вида не содержал членов, подобных $a^2$, необходимо, чтобы после приведения подобных слагаемых коэффициент при $a^2$ стал равен нулю. Для этого нужно найти сумму всех членов, содержащих $a^2$, в исходном выражении, а затем в качестве искомого одночлена (*) взять выражение, противоположное этой сумме.

а) В выражении $a^2 + 2a^2 - b^2 - 3c + *$ найдем члены, подобные $a^2$.

Это $a^2$ и $2a^2$.

Их сумма равна: $a^2 + 2a^2 = (1+2)a^2 = 3a^2$.

Чтобы "уничтожить" этот член, вместо символа * нужно подставить одночлен, противоположный $3a^2$. Таким образом, искомый одночлен равен $-3a^2$.

Проверка: $3a^2 + (-3a^2) = 0$.

Ответ: $-3a^2$

б) В выражении $3ax^2 - 5x^3 + 4a^2 + 8x^2a - 5 + 11a^2 + *$ найдем члены, подобные $a^2$.

Это $4a^2$ и $11a^2$.

Их сумма равна: $4a^2 + 11a^2 = (4+11)a^2 = 15a^2$.

Чтобы сумма членов, подобных $a^2$, была равна нулю, вместо символа * нужно подставить одночлен, противоположный $15a^2$. Таким образом, искомый одночлен равен $-15a^2$.

Проверка: $15a^2 + (-15a^2) = 0$.

Ответ: $-15a^2$

в) В выражении $2x^2 + 3ax - 9a^2 + 8x^2 - 5ax + 8a^2 + *$ найдем члены, подобные $a^2$.

Это $-9a^2$ и $8a^2$.

Их сумма равна: $-9a^2 + 8a^2 = (-9+8)a^2 = -a^2$.

Чтобы сумма членов, подобных $a^2$, была равна нулю, вместо символа * нужно подставить одночлен, противоположный $-a^2$. Таким образом, искомый одночлен равен $-(-a^2) = a^2$.

Проверка: $-a^2 + a^2 = 0$.

Ответ: $a^2$

г) В выражении $2y^2 - 5ay + a^2 + 7y^2 + 3ay - 5a^2 + *$ найдем члены, подобные $a^2$.

Это $a^2$ и $-5a^2$.

Их сумма равна: $a^2 - 5a^2 = (1-5)a^2 = -4a^2$.

Чтобы сумма членов, подобных $a^2$, была равна нулю, вместо символа * нужно подставить одночлен, противоположный $-4a^2$. Таким образом, искомый одночлен равен $-(-4a^2) = 4a^2$.

Проверка: $-4a^2 + 4a^2 = 0$.

Ответ: $4a^2$

29.25 a) Дан многочлен $p(x; y) = 7x + 4y - 11$. Считая, что $y = 3x^2 - 2x + 5$, преобразуйте $p(x; y)$ так, чтобы получился многочлен от одной переменной $x$, и приведите его к стандартному виду.

б) Дан многочлен $p(a; b) = 13a + 6b - 7$. Считая, что $b = 4 - a^2 + 3a$, преобразуйте $p(a; b)$ так, чтобы получился многочлен от одной переменной $a$, и приведите его к стандартному виду.

а) Чтобы преобразовать многочлен $p(x; y) = 7x + 4y - 11$ в многочлен от одной переменной $x$, необходимо подставить в него выражение для $y$, то есть $y = 3x^2 - 2x + 5$.

Выполним подстановку:

$p(x) = 7x + 4(3x^2 - 2x + 5) - 11$

Далее, раскроем скобки, умножив коэффициент 4 на каждый член многочлена в скобках:

$p(x) = 7x + 4 \cdot 3x^2 + 4 \cdot (-2x) + 4 \cdot 5 - 11$

$p(x) = 7x + 12x^2 - 8x + 20 - 11$

Теперь приведем подобные слагаемые, то есть сгруппируем и сложим члены с одинаковой степенью переменной $x$ и свободные члены:

$p(x) = 12x^2 + (7x - 8x) + (20 - 11)$

Выполним вычисления в скобках:

$p(x) = 12x^2 - x + 9$

Полученный многочлен $12x^2 - x + 9$ является многочленом от одной переменной $x$ и приведен к стандартному виду, так как его члены расположены в порядке убывания степеней переменной.

Ответ: $12x^2 - x + 9$.

б) Дан многочлен $p(a; b) = 13a + 6b - 7$. Чтобы получить многочлен от одной переменной $a$, подставим в него выражение $b = 4 - a^2 + 3a$.

Выполним подстановку:

$p(a) = 13a + 6(4 - a^2 + 3a) - 7$

Раскроем скобки, умножив 6 на каждый член в скобках:

$p(a) = 13a + 6 \cdot 4 + 6 \cdot (-a^2) + 6 \cdot 3a - 7$

$p(a) = 13a + 24 - 6a^2 + 18a - 7$

Приведем подобные слагаемые. Для приведения к стандартному виду расположим члены в порядке убывания степени переменной $a$:

$p(a) = -6a^2 + (13a + 18a) + (24 - 7)$

Выполним вычисления в скобках:

$p(a) = -6a^2 + 31a + 17$

Полученный многочлен $-6a^2 + 31a + 17$ является многочленом от одной переменной $a$, приведенным к стандартному виду.

Ответ: $-6a^2 + 31a + 17$.

29.26 Пусть $x = 3a + 12$, $y = 13 - a$, $z = 5 + 4a$. Составьте выражение и приведите его к многочлену стандартного вида:

a) $x + y + z$;

б) $x - y + z$;

в) $y - x + z$;

г) $z - x - y$.

Для решения задачи подставим данные выражения для $x$, $y$ и $z$ в каждое из предложенных выражений и приведем полученные многочлены к стандартному виду.

Дано: $x = 3a + 12$, $y = 13 - a$, $z = 5 + 4a$.

Подставляем выражения для $x, y, z$:
$(3a + 12) + (13 - a) + (5 + 4a)$
Раскрываем скобки и группируем подобные слагаемые:
$3a + 12 + 13 - a + 5 + 4a = (3a - a + 4a) + (12 + 13 + 5)$
Выполняем сложение и вычитание:
$6a + 30$

Ответ: $6a + 30$

Подставляем выражения для $x, y, z$:
$(3a + 12) - (13 - a) + (5 + 4a)$
Раскрываем скобки. Обратите внимание, что знаки в скобке $(13 - a)$ меняются на противоположные из-за минуса перед ней:
$3a + 12 - 13 + a + 5 + 4a$
Группируем и приводим подобные слагаемые:
$(3a + a + 4a) + (12 - 13 + 5) = 8a + 4$

Ответ: $8a + 4$

Подставляем выражения для $x, y, z$:
$(13 - a) - (3a + 12) + (5 + 4a)$
Раскрываем скобки, меняя знаки в скобке $(3a + 12)$ на противоположные:
$13 - a - 3a - 12 + 5 + 4a$
Группируем и приводим подобные слагаемые:
$(-a - 3a + 4a) + (13 - 12 + 5) = 0a + 6 = 6$

Ответ: $6$

Подставляем выражения для $x, y, z$:
$(5 + 4a) - (3a + 12) - (13 - a)$
Раскрываем скобки, меняя знаки в обеих скобках $(3a + 12)$ и $(13 - a)$ на противоположные:
$5 + 4a - 3a - 12 - 13 + a$
Группируем и приводим подобные слагаемые:
$(4a - 3a + a) + (5 - 12 - 13) = 2a - 20$

Ответ: $2a - 20$

29.27 Пусть $a = 3x^2 + 4x + 8$, $b = 1,2 - 2x^2 - 7x$, $c = 12,5x^2 - 3,5x + 21,8$. Составьте выражение и приведите его к многочлену стандартного вида:

а) $a + b + c$;

б) $a - b + c$;

в) $b - a - c$;

г) $c - b - a$.

Даны многочлены:

$a = 3x^2 + 4x + 8$

$b = 1,2 - 2x^2 - 7x$

$c = 12,5x^2 - 3,5x + 21,8$

Приведем многочлен $b$ к стандартному виду для удобства вычислений:

$b = -2x^2 - 7x + 1,2$

а) a + b + c;

Составим выражение, подставив вместо $a$, $b$ и $c$ их определения:
$a + b + c = (3x^2 + 4x + 8) + (-2x^2 - 7x + 1,2) + (12,5x^2 - 3,5x + 21,8)$
Раскроем скобки:
$= 3x^2 + 4x + 8 - 2x^2 - 7x + 1,2 + 12,5x^2 - 3,5x + 21,8$
Сгруппируем подобные члены:
$= (3x^2 - 2x^2 + 12,5x^2) + (4x - 7x - 3,5x) + (8 + 1,2 + 21,8)$
Приведем подобные слагаемые:
$= (3 - 2 + 12,5)x^2 + (4 - 7 - 3,5)x + (9,2 + 21,8)$
$= 13,5x^2 - 6,5x + 31$

Ответ: $13,5x^2 - 6,5x + 31$

б) a - b + c;

Составим выражение, подставив вместо $a$, $b$ и $c$ их определения:
$a - b + c = (3x^2 + 4x + 8) - (-2x^2 - 7x + 1,2) + (12,5x^2 - 3,5x + 21,8)$
Раскроем скобки. Обратим внимание, что знаки в скобках для многочлена $b$ меняются на противоположные:
$= 3x^2 + 4x + 8 + 2x^2 + 7x - 1,2 + 12,5x^2 - 3,5x + 21,8$
Сгруппируем подобные члены:
$= (3x^2 + 2x^2 + 12,5x^2) + (4x + 7x - 3,5x) + (8 - 1,2 + 21,8)$
Приведем подобные слагаемые:
$= (3 + 2 + 12,5)x^2 + (11 - 3,5)x + (6,8 + 21,8)$
$= 17,5x^2 + 7,5x + 28,6$

Ответ: $17,5x^2 + 7,5x + 28,6$

в) b - a - c;

Составим выражение, подставив вместо $a$, $b$ и $c$ их определения:
$b - a - c = (-2x^2 - 7x + 1,2) - (3x^2 + 4x + 8) - (12,5x^2 - 3,5x + 21,8)$
Раскроем скобки. Знаки в скобках для многочленов $a$ и $c$ меняются на противоположные:
$= -2x^2 - 7x + 1,2 - 3x^2 - 4x - 8 - 12,5x^2 + 3,5x - 21,8$
Сгруппируем подобные члены:
$= (-2x^2 - 3x^2 - 12,5x^2) + (-7x - 4x + 3,5x) + (1,2 - 8 - 21,8)$
Приведем подобные слагаемые:
$= (-2 - 3 - 12,5)x^2 + (-11 + 3,5)x + (-6,8 - 21,8)$
$= -17,5x^2 - 7,5x - 28,6$

Ответ: $-17,5x^2 - 7,5x - 28,6$

г) c - b - a.

Составим выражение, подставив вместо $a$, $b$ и $c$ их определения:
$c - b - a = (12,5x^2 - 3,5x + 21,8) - (-2x^2 - 7x + 1,2) - (3x^2 + 4x + 8)$
Раскроем скобки. Знаки в скобках для многочленов $b$ и $a$ меняются на противоположные:
$= 12,5x^2 - 3,5x + 21,8 + 2x^2 + 7x - 1,2 - 3x^2 - 4x - 8$
Сгруппируем подобные члены:
$= (12,5x^2 + 2x^2 - 3x^2) + (-3,5x + 7x - 4x) + (21,8 - 1,2 - 8)$
Приведем подобные слагаемые:
$= (12,5 + 2 - 3)x^2 + (-3,5 + 7 - 4)x + (20,6 - 8)$
$= 11,5x^2 - 0,5x + 12,6$

Ответ: $11,5x^2 - 0,5x + 12,6$

29.28 Пусть $k = 5a^3 + 4a^2b + 8ab^2 - 24b^3$, $l = 7a^3 - 13a^2b - 4ab^2 + 17b^3$, $m = -12a^3 + 9a^2b - 4ab^2 + 15b^3$. Составьте выражение и приведите его к многочлену стандартного вида:

а) $k + l + m;$

б) $l + k - m;$

в) $m - l - k;$

г) $l - k + m.$

а) $k + l + m$

Чтобы найти сумму многочленов $k, l$ и $m$, подставим их выражения и приведем подобные слагаемые.

$k + l + m = (5a^3 + 4a^2b + 8ab^2 - 24b^3) + (7a^3 - 13a^2b - 4ab^2 + 17b^3) + (-12a^3 + 9a^2b - 4ab^2 + 15b^3)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:

$(5a^3 + 7a^3 - 12a^3) + (4a^2b - 13a^2b + 9a^2b) + (8ab^2 - 4ab^2 - 4ab^2) + (-24b^3 + 17b^3 + 15b^3)$

Выполним сложение и вычитание коэффициентов при подобных членах:

$(5+7-12)a^3 + (4-13+9)a^2b + (8-4-4)ab^2 + (-24+17+15)b^3 = 0 \cdot a^3 + 0 \cdot a^2b + 0 \cdot ab^2 + 8b^3 = 8b^3$

Ответ: $8b^3$

б) $l + k - m$

Чтобы найти результат выражения, подставим многочлены $l, k, m$ и приведем подобные слагаемые. При вычитании многочлена $m$ знаки его членов меняются на противоположные.

$l + k - m = (7a^3 - 13a^2b - 4ab^2 + 17b^3) + (5a^3 + 4a^2b + 8ab^2 - 24b^3) - (-12a^3 + 9a^2b - 4ab^2 + 15b^3)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:

$(7a^3 + 5a^3 + 12a^3) + (-13a^2b + 4a^2b - 9a^2b) + (-4ab^2 + 8ab^2 + 4ab^2) + (17b^3 - 24b^3 - 15b^3)$

Выполним сложение и вычитание коэффициентов:

$(7+5+12)a^3 + (-13+4-9)a^2b + (-4+8+4)ab^2 + (17-24-15)b^3 = 24a^3 - 18a^2b + 8ab^2 - 22b^3$

Ответ: $24a^3 - 18a^2b + 8ab^2 - 22b^3$

в) $m - l - k$

Подставим многочлены в выражение. При вычитании многочленов $l$ и $k$ знаки их членов меняются на противоположные.

$m - l - k = (-12a^3 + 9a^2b - 4ab^2 + 15b^3) - (7a^3 - 13a^2b - 4ab^2 + 17b^3) - (5a^3 + 4a^2b + 8ab^2 - 24b^3)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:

$(-12a^3 - 7a^3 - 5a^3) + (9a^2b + 13a^2b - 4a^2b) + (-4ab^2 + 4ab^2 - 8ab^2) + (15b^3 - 17b^3 + 24b^3)$

Выполним сложение и вычитание коэффициентов:

$(-12-7-5)a^3 + (9+13-4)a^2b + (-4+4-8)ab^2 + (15-17+24)b^3 = -24a^3 + 18a^2b - 8ab^2 + 22b^3$

Ответ: $-24a^3 + 18a^2b - 8ab^2 + 22b^3$

г) $l - k + m$

Подставим многочлены в выражение. При вычитании многочлена $k$ знаки его членов меняются на противоположные.

$l - k + m = (7a^3 - 13a^2b - 4ab^2 + 17b^3) - (5a^3 + 4a^2b + 8ab^2 - 24b^3) + (-12a^3 + 9a^2b - 4ab^2 + 15b^3)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:

$(7a^3 - 5a^3 - 12a^3) + (-13a^2b - 4a^2b + 9a^2b) + (-4ab^2 - 8ab^2 - 4ab^2) + (17b^3 + 24b^3 + 15b^3)$

Выполним сложение и вычитание коэффициентов:

$(7-5-12)a^3 + (-13-4+9)a^2b + (-4-8-4)ab^2 + (17+24+15)b^3 = -10a^3 - 8a^2b - 16ab^2 + 56b^3$

Ответ: $-10a^3 - 8a^2b - 16ab^2 + 56b^3$