Страница 136, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

30.11 Решите уравнение:

а) $2x^2 - (2x^2 - 5x) - (4x - 2) = 5;$

б) $(y^3 + y) + (3 - 6y) - (4 - 5y) = -2;$

в) $(x^2 - 7x - 11) - (5x^2 - 13x - 18) = 16 - 4x^2;$

г) $(y^2 - 5y^5 - 19) - (5y^2 - 6y^5 - 9) = 22 - 4y^2.$

а) $2x^2 - (2x^2 - 5x) - (4x - 2) = 5$

Сначала раскроем скобки. Перед каждой скобкой стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

$2x^2 - 2x^2 + 5x - 4x + 2 = 5$

Теперь приведем подобные слагаемые. $2x^2$ и $-2x^2$ взаимно уничтожаются.

$(5x - 4x) + 2 = 5$

$x + 2 = 5$

Перенесем число 2 в правую часть уравнения, изменив его знак.

$x = 5 - 2$

$x = 3$

Ответ: 3

б) $(y^3 + y) + (3 - 6y) - (4 - 5y) = -2$

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки перед ними.

$y^3 + y + 3 - 6y - 4 + 5y = -2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$y^3 + (y - 6y + 5y) + (3 - 4) = -2$

Выполняем действия:

$y^3 + 0 - 1 = -2$

$y^3 - 1 = -2$

Перенесем -1 в правую часть уравнения с противоположным знаком.

$y^3 = -2 + 1$

$y^3 = -1$

Чтобы найти $y$, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения.

$y = \sqrt[3]{-1}$

$y = -1$

Ответ: -1

в) $(x^2 - 7x - 11) - (5x^2 - 13x - 18) = 16 - 4x^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения.

$x^2 - 7x - 11 - 5x^2 + 13x + 18 = 16 - 4x^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части.

$(x^2 - 5x^2) + (-7x + 13x) + (-11 + 18) = 16 - 4x^2$

$-4x^2 + 6x + 7 = 16 - 4x^2$

Перенесем член $-4x^2$ из правой части в левую с противоположным знаком.

$-4x^2 + 4x^2 + 6x + 7 = 16$

$-4x^2$ и $+4x^2$ взаимно уничтожаются.

$6x + 7 = 16$

Перенесем 7 в правую часть с противоположным знаком.

$6x = 16 - 7$

$6x = 9$

Разделим обе части уравнения на 6.

$x = \frac{9}{6}$

Сократим дробь на 3.

$x = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: 1,5

г) $(y^2 - 5y^5 - 19) - (5y^2 - 6y^5 - 9) = 22 - 4y^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения.

$y^2 - 5y^5 - 19 - 5y^2 + 6y^5 + 9 = 22 - 4y^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части.

$(-5y^5 + 6y^5) + (y^2 - 5y^2) + (-19 + 9) = 22 - 4y^2$

$y^5 - 4y^2 - 10 = 22 - 4y^2$

Перенесем член $-4y^2$ из правой части в левую с противоположным знаком.

$y^5 - 4y^2 + 4y^2 - 10 = 22$

$-4y^2$ и $+4y^2$ взаимно уничтожаются.

$y^5 - 10 = 22$

Перенесем -10 в правую часть с противоположным знаком.

$y^5 = 22 + 10$

$y^5 = 32$

Чтобы найти $y$, нужно извлечь корень пятой степени из 32. Мы знаем, что $2^5 = 32$.

$y = 2$

Ответ: 2

30.12 Запишите во втором столбце такой многочлен, чтобы его сумма с многочленом из первого столбца была равна многочлену, записанному в третьем столбце:

Чтобы найти многочлен во втором столбце, нужно из многочлена в третьем столбце вычесть многочлен из первого столбца. Пусть многочлен из первого столбца — это $P_1$, искомый многочлен — $P_2$, а многочлен из третьего столбца — $P_3$. Тогда $P_1 + P_2 = P_3$, откуда $P_2 = P_3 - P_1$.

а)

Дано: $P_1 = 5x + 6$, $P_3 = 9x + 7$.

Находим $P_2$:

$P_2 = (9x + 7) - (5x + 6) = 9x + 7 - 5x - 6 = (9x - 5x) + (7 - 6) = 4x + 1$

Проверка: $(5x + 6) + (4x + 1) = 5x + 6 + 4x + 1 = 9x + 7$. Верно.

Ответ: $4x + 1$

б)

Дано: $P_1 = a^3 + 2a^2b + b^3$, $P_3 = a^3 + 2a^2b + b^3$.

Находим $P_2$:

$P_2 = (a^3 + 2a^2b + b^3) - (a^3 + 2a^2b + b^3) = 0$

Проверка: $(a^3 + 2a^2b + b^3) + 0 = a^3 + 2a^2b + b^3$. Верно.

Ответ: $0$

в)

Дано: $P_1 = m^2 + 2mn + n^2$, $P_3 = m^2 - 2mn + n^2$.

Находим $P_2$:

$P_2 = (m^2 - 2mn + n^2) - (m^2 + 2mn + n^2) = m^2 - 2mn + n^2 - m^2 - 2mn - n^2$

$P_2 = (m^2 - m^2) + (-2mn - 2mn) + (n^2 - n^2) = -4mn$

Проверка: $(m^2 + 2mn + n^2) + (-4mn) = m^2 + 2mn - 4mn + n^2 = m^2 - 2mn + n^2$. Верно.

Ответ: $-4mn$

г)

Дано: $P_1 = 2c^2d + 3cd^2 - 8$, $P_3 = 0$.

Находим $P_2$:

$P_2 = 0 - (2c^2d + 3cd^2 - 8) = -2c^2d - 3cd^2 + 8$

Проверка: $(2c^2d + 3cd^2 - 8) + (-2c^2d - 3cd^2 + 8) = 2c^2d + 3cd^2 - 8 - 2c^2d - 3cd^2 + 8 = 0$. Верно.

Ответ: $-2c^2d - 3cd^2 + 8$

30.13 Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

а) $6a^2 - (2 - (1,56a - (a^2 + 0,36a))) + (5,5a^2 + 1,2a - 1))$

б) $(a^2 + 2x^2) - (5a^2 - 1,2ax + (2,8x^2 - (1,5a^2 - 0,5ax + 1,8x^2)))$

в) $12,5x^2 + y^2 - (8x^2 - 5y^2 - (-10x^2 + (5,5x^2 - 6y^2)))$

г) $(y^3 + 3z^2) - (y^3 - 6az + (2y^3 - (3z^2 + 4az - 1,2y^3)))$

а)

Преобразуем выражение $6a^2 - (2 - (1,56a - (a^2 + 0,36a))) + (5,5a^2 + 1,2a - 1)$ по шагам, раскрывая скобки изнутри.

1. Раскрываем самые внутренние скобки: $-(a^2 + 0,36a) = -a^2 - 0,36a$.

2. Подставляем результат в следующие скобки: $1,56a - (a^2 + 0,36a) = 1,56a - a^2 - 0,36a = -a^2 + 1,2a$.

3. Раскрываем следующие скобки: $2 - (-a^2 + 1,2a) = 2 + a^2 - 1,2a$.

4. Подставляем в исходное выражение: $6a^2 - (2 + a^2 - 1,2a) + (5,5a^2 + 1,2a - 1)$.

5. Раскрываем оставшиеся скобки: $6a^2 - 2 - a^2 + 1,2a + 5,5a^2 + 1,2a - 1$.

6. Группируем и приводим подобные слагаемые: $(6a^2 - a^2 + 5,5a^2) + (1,2a + 1,2a) + (-2 - 1) = 10,5a^2 + 2,4a - 3$.

Ответ: $10,5a^2 + 2,4a - 3$

б)

Преобразуем выражение $(a^2 + 2x^2) - (5a^2 - 1,2ax + (2,8x^2 - (1,5a^2 - 0,5ax + 1,8x^2)))$.

1. Раскрываем внутренние скобки: $-(1,5a^2 - 0,5ax + 1,8x^2) = -1,5a^2 + 0,5ax - 1,8x^2$.

2. Подставляем и упрощаем: $2,8x^2 - 1,5a^2 + 0,5ax - 1,8x^2 = x^2 - 1,5a^2 + 0,5ax$.

3. Подставляем в следующие скобки: $5a^2 - 1,2ax + (x^2 - 1,5a^2 + 0,5ax) = 5a^2 - 1,2ax + x^2 - 1,5a^2 + 0,5ax = 3,5a^2 - 0,7ax + x^2$.

4. Подставляем в исходное выражение: $(a^2 + 2x^2) - (3,5a^2 - 0,7ax + x^2)$.

5. Раскрываем скобки: $a^2 + 2x^2 - 3,5a^2 + 0,7ax - x^2$.

6. Приводим подобные слагаемые: $(a^2 - 3,5a^2) + (2x^2 - x^2) + 0,7ax = -2,5a^2 + x^2 + 0,7ax$.

Для стандартного вида запишем в порядке убывания степеней $a$: $-2,5a^2 + 0,7ax + x^2$.

Ответ: $-2,5a^2 + 0,7ax + x^2$

в)

Преобразуем выражение $12,5x^2 + y^2 - (8x^2 - 5y^2 - (-10x^2 + (5,5x^2 - 6y^2)))$.

1. Упрощаем выражение в самых внутренних скобках: $-10x^2 + (5,5x^2 - 6y^2) = -10x^2 + 5,5x^2 - 6y^2 = -4,5x^2 - 6y^2$.

2. Раскрываем следующие скобки: $8x^2 - 5y^2 - (-4,5x^2 - 6y^2) = 8x^2 - 5y^2 + 4,5x^2 + 6y^2 = 12,5x^2 + y^2$.

3. Подставляем в исходное выражение: $12,5x^2 + y^2 - (12,5x^2 + y^2)$.

4. Раскрываем скобки: $12,5x^2 + y^2 - 12,5x^2 - y^2$.

5. Приводим подобные слагаемые: $(12,5x^2 - 12,5x^2) + (y^2 - y^2) = 0 + 0 = 0$.

Ответ: $0$

г)

Преобразуем выражение $(y^3 + 3z^2) - (y^3 - 6az + (2y^3 - (3z^2 + 4az - 1,2y^3)))$.

1. Раскрываем внутренние скобки: $-(3z^2 + 4az - 1,2y^3) = -3z^2 - 4az + 1,2y^3$.

2. Подставляем и упрощаем: $2y^3 - 3z^2 - 4az + 1,2y^3 = 3,2y^3 - 3z^2 - 4az$.

3. Подставляем в следующие скобки: $y^3 - 6az + (3,2y^3 - 3z^2 - 4az) = y^3 - 6az + 3,2y^3 - 3z^2 - 4az = 4,2y^3 - 10az - 3z^2$.

4. Подставляем в исходное выражение: $(y^3 + 3z^2) - (4,2y^3 - 10az - 3z^2)$.

5. Раскрываем скобки: $y^3 + 3z^2 - 4,2y^3 + 10az + 3z^2$.

6. Приводим подобные слагаемые: $(y^3 - 4,2y^3) + (3z^2 + 3z^2) + 10az = -3,2y^3 + 6z^2 + 10az$.

Для стандартного вида запишем в порядке убывания степеней переменных: $-3,2y^3 + 10az + 6z^2$.

Ответ: $-3,2y^3 + 10az + 6z^2$

Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:

31.1 а) $2x(x^2 + 5x + 3);$

б) $-2xy(x^2 + 2xy - y^2);$

в) $3y(y^3 - 3y - 4);$

г) $-5mn(m^3 + 3m^2n - n^3).$

а) Чтобы преобразовать выражение в многочлен стандартного вида, необходимо умножить одночлен, стоящий перед скобками, на каждый член многочлена в скобках (раскрыть скобки), а затем привести подобные слагаемые, если они есть. В данном случае мы используем распределительное свойство умножения.

$2x(x^2 + 5x + 3) = 2x \cdot x^2 + 2x \cdot 5x + 2x \cdot 3$

Теперь выполним умножение одночленов:

$2x \cdot x^2 = 2x^{1+2} = 2x^3$

$2x \cdot 5x = (2 \cdot 5) \cdot (x \cdot x) = 10x^2$

$2x \cdot 3 = (2 \cdot 3) \cdot x = 6x$

Соберем полученные члены вместе:

$2x^3 + 10x^2 + 6x$

Полученный многочлен уже находится в стандартном виде, так как все его члены записаны в стандартном виде и расположены в порядке убывания степеней переменной $x$.

Ответ: $2x^3 + 10x^2 + 6x$.

б) Умножим одночлен $-2xy$ на каждый член многочлена в скобках $x^2 + 2xy - y^2$.

$-2xy(x^2 + 2xy - y^2) = (-2xy) \cdot x^2 + (-2xy) \cdot (2xy) + (-2xy) \cdot (-y^2)$

Выполним умножение для каждого слагаемого:

$(-2xy) \cdot x^2 = -2x^{1+2}y = -2x^3y$

$(-2xy) \cdot (2xy) = (-2 \cdot 2) \cdot (x \cdot x) \cdot (y \cdot y) = -4x^2y^2$

$(-2xy) \cdot (-y^2) = (-2) \cdot (-1) \cdot x \cdot (y \cdot y^2) = 2xy^{1+2} = 2xy^3$

Запишем итоговый многочлен:

$-2x^3y - 4x^2y^2 + 2xy^3$

Это многочлен стандартного вида, его члены упорядочены по убыванию степени переменной $x$.

Ответ: $-2x^3y - 4x^2y^2 + 2xy^3$.

в) Умножим одночлен $3y$ на каждый член многочлена $y^3 - 3y - 4$.

$3y(y^3 - 3y - 4) = 3y \cdot y^3 + 3y \cdot (-3y) + 3y \cdot (-4)$

Упростим каждое слагаемое:

$3y \cdot y^3 = 3y^{1+3} = 3y^4$

$3y \cdot (-3y) = -9y^2$

$3y \cdot (-4) = -12y$

Соберем все вместе:

$3y^4 - 9y^2 - 12y$

Многочлен записан в стандартном виде, члены расположены по убыванию степени переменной $y$.

Ответ: $3y^4 - 9y^2 - 12y$.

г) Умножим одночлен $-5mn$ на каждый член многочлена $m^3 + 3m^2n - n^3$.

$-5mn(m^3 + 3m^2n - n^3) = (-5mn) \cdot m^3 + (-5mn) \cdot (3m^2n) + (-5mn) \cdot (-n^3)$

Выполним умножение для каждого слагаемого:

$(-5mn) \cdot m^3 = -5m^{1+3}n = -5m^4n$

$(-5mn) \cdot (3m^2n) = (-5 \cdot 3) \cdot (m \cdot m^2) \cdot (n \cdot n) = -15m^{1+2}n^{1+1} = -15m^3n^2$

$(-5mn) \cdot (-n^3) = (-5) \cdot (-1) \cdot m \cdot (n \cdot n^3) = 5mn^{1+3} = 5mn^4$

Запишем итоговый многочлен:

$-5m^4n - 15m^3n^2 + 5mn^4$

Это многочлен стандартного вида, его члены упорядочены по убыванию степени переменной $m$.

Ответ: $-5m^4n - 15m^3n^2 + 5mn^4$.

31.2 а) $x^2y^2(x + y);$

Б) $-p^5q^8(p^3 + 3pq - q^4);$

В) $-c^3d^4(c^2 - d^3);$

Г) $r^7s^{12}(r^{10} + 2rs - s^5).$

а) Чтобы раскрыть скобки, нужно умножить одночлен $x^2y^2$ на каждый член многочлена $(x + y)$, используя распределительное свойство умножения $a(b+c) = ab + ac$. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются.

Выполним умножение:

$x^2y^2 \cdot x = x^{2+1}y^2 = x^3y^2$

$x^2y^2 \cdot y = x^2y^{2+1} = x^2y^3$

Сложим полученные произведения:

$x^2y^2(x + y) = x^3y^2 + x^2y^3$

Ответ: $x^3y^2 + x^2y^3$

б) Умножим одночлен $-p^5q^8$ на каждый член многочлена $(p^3 + 3pq - q^4)$.

Выполним умножение последовательно:

$(-p^5q^8) \cdot p^3 = -p^{5+3}q^8 = -p^8q^8$

$(-p^5q^8) \cdot (3pq) = -3p^{5+1}q^{8+1} = -3p^6q^9$

$(-p^5q^8) \cdot (-q^4) = p^5q^{8+4} = p^5q^{12}$

Сложим полученные результаты:

$-p^5q^8(p^3 + 3pq - q^4) = -p^8q^8 - 3p^6q^9 + p^5q^{12}$

Ответ: $-p^8q^8 - 3p^6q^9 + p^5q^{12}$

в) Умножим одночлен $-c^3d^4$ на каждый член многочлена $(c^2 - d^3)$.

Выполним умножение:

$(-c^3d^4) \cdot c^2 = -c^{3+2}d^4 = -c^5d^4$

$(-c^3d^4) \cdot (-d^3) = c^3d^{4+3} = c^3d^7$

Запишем итоговое выражение:

$-c^3d^4(c^2 - d^3) = -c^5d^4 + c^3d^7$

Ответ: $-c^5d^4 + c^3d^7$

г) Умножим одночлен $r^7s^{12}$ на каждый член многочлена $(r^{10} + 2rs - s^5)$.

Выполним умножение последовательно:

$r^7s^{12} \cdot r^{10} = r^{7+10}s^{12} = r^{17}s^{12}$

$r^7s^{12} \cdot (2rs) = 2r^{7+1}s^{12+1} = 2r^8s^{13}$

$r^7s^{12} \cdot (-s^5) = -r^7s^{12+5} = -r^7s^{17}$

Сложим полученные одночлены:

$r^7s^{12}(r^{10} + 2rs - s^5) = r^{17}s^{12} + 2r^8s^{13} - r^7s^{17}$

Ответ: $r^{17}s^{12} + 2r^8s^{13} - r^7s^{17}$