Страница 139, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

31.16 Пусть $a = 3x^2 + 4x - 8$, $b = 2x^2 - 7x + 12$, $c = 5x^2 + 3x - 27$.

По данному ниже условию составьте выражение и преобразуйте его в многочлен стандартного вида, записанный по степеням убывания переменной $x$:

a) $2a + 3c - 4b$;

б) $7ax - 12xb + 15xc - 13$;

в) $72xa - 4b + 3xc + 4$;

г) $0,1x^2a + 0,5xc - 0,6x^3b - 17$.

Даны многочлены: $a = 3x^2 + 4x - 8$, $b = 2x^2 - 7x + 12$, $c = 5x^2 + 3x - 27$.

Необходимо составить выражения по заданным условиям и преобразовать их в многочлены стандартного вида, записанные по степеням убывания переменной $x$.

а) $2a + 3c - 4b$

Подставим данные многочлены в выражение:

$2(3x^2 + 4x - 8) + 3(5x^2 + 3x - 27) - 4(2x^2 - 7x + 12)$

Раскроем скобки, умножая каждый член многочлена на соответствующий коэффициент:

$= (6x^2 + 8x - 16) + (15x^2 + 9x - 81) - (8x^2 - 28x + 48)$

Снимем скобки, меняя знаки в последнем выражении на противоположные:

$= 6x^2 + 8x - 16 + 15x^2 + 9x - 81 - 8x^2 + 28x - 48$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$= (6x^2 + 15x^2 - 8x^2) + (8x + 9x + 28x) + (-16 - 81 - 48)$

$= 13x^2 + 45x - 145$

Ответ: $13x^2 + 45x - 145$

б) $7ax - 12xb + 15xc - 13$

Преобразуем выражение, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$(7a - 12b + 15c)x - 13$

Сначала вычислим выражение в скобках $7a - 12b + 15c$:

$7(3x^2 + 4x - 8) - 12(2x^2 - 7x + 12) + 15(5x^2 + 3x - 27)$

$= (21x^2 + 28x - 56) - (24x^2 - 84x + 144) + (75x^2 + 45x - 405)$

$= 21x^2 + 28x - 56 - 24x^2 + 84x - 144 + 75x^2 + 45x - 405$

Приведем подобные слагаемые:

$= (21 - 24 + 75)x^2 + (28 + 84 + 45)x + (-56 - 144 - 405)$

$= 72x^2 + 157x - 605$

Теперь умножим полученный многочлен на $x$ и вычтем 13:

$(72x^2 + 157x - 605)x - 13 = 72x^3 + 157x^2 - 605x - 13$

Ответ: $72x^3 + 157x^2 - 605x - 13$

в) $72xa - 4b + 3xc + 4$

Подставим многочлены в выражение:

$72x(3x^2 + 4x - 8) - 4(2x^2 - 7x + 12) + 3x(5x^2 + 3x - 27) + 4$

Раскроем скобки:

$= (216x^3 + 288x^2 - 576x) - (8x^2 - 28x + 48) + (15x^3 + 9x^2 - 81x) + 4$

Снимем скобки:

$= 216x^3 + 288x^2 - 576x - 8x^2 + 28x - 48 + 15x^3 + 9x^2 - 81x + 4$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$= (216x^3 + 15x^3) + (288x^2 - 8x^2 + 9x^2) + (-576x + 28x - 81x) + (-48 + 4)$

$= 231x^3 + 289x^2 - 629x - 44$

Ответ: $231x^3 + 289x^2 - 629x - 44$

г) $0,1x^2a + 0,5xc - 0,6x^3b - 17$

Подставим многочлены в выражение:

$0,1x^2(3x^2 + 4x - 8) + 0,5x(5x^2 + 3x - 27) - 0,6x^3(2x^2 - 7x + 12) - 17$

Выполним умножение и раскроем скобки:

$= (0,3x^4 + 0,4x^3 - 0,8x^2) + (2,5x^3 + 1,5x^2 - 13,5x) - (1,2x^5 - 4,2x^4 + 7,2x^3) - 17$

Снимем скобки:

$= 0,3x^4 + 0,4x^3 - 0,8x^2 + 2,5x^3 + 1,5x^2 - 13,5x - 1,2x^5 + 4,2x^4 - 7,2x^3 - 17$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, располагая их по убыванию степеней $x$:

$= -1,2x^5 + (0,3x^4 + 4,2x^4) + (0,4x^3 + 2,5x^3 - 7,2x^3) + (-0,8x^2 + 1,5x^2) - 13,5x - 17$

$= -1,2x^5 + 4,5x^4 - 4,3x^3 + 0,7x^2 - 13,5x - 17$

Ответ: $-1,2x^5 + 4,5x^4 - 4,3x^3 + 0,7x^2 - 13,5x - 17$

31.17 Пусть $x = 3a^2 + 4$; $y = 12a - 13$; $z = a^2 - a + 1$; $k = 5a^3$; $l = 12a^2$; $m = 4a$. По данному ниже условию составьте выражение и преобразуйте его в многочлен стандартного вида, записанный по степеням убывания переменной $a$:

а) $2x + ky - lz$;

б) $lx - 3my$;

в) $kx + ly - mz$;

г) $mx - lz + 4kx - 14$.

Для решения задачи подставим данные выражения для $x, y, z, k, l, m$ в каждое из условий и преобразуем полученное выражение в многочлен стандартного вида, располагая его члены по убывающим степеням переменной $a$.

Дано:

• $x = 3a^2 + 4$
• $y = 12a - 13$
• $z = a^2 - a + 1$
• $k = 5a^3$
• $l = 12a^2$
• $m = 4a$

а) $2x + ky - lz$

1. Подставляем значения $x, y, z, k, l$ в выражение:

$2(3a^2 + 4) + (5a^3)(12a - 13) - (12a^2)(a^2 - a + 1)$

2. Раскрываем скобки:

$(6a^2 + 8) + (60a^4 - 65a^3) - (12a^4 - 12a^3 + 12a^2)$

3. Приводим подобные слагаемые:

$6a^2 + 8 + 60a^4 - 65a^3 - 12a^4 + 12a^3 - 12a^2 = $

$(60a^4 - 12a^4) + (-65a^3 + 12a^3) + (6a^2 - 12a^2) + 8 = $

$48a^4 - 53a^3 - 6a^2 + 8$

Ответ: $48a^4 - 53a^3 - 6a^2 + 8$.

б) $lx - 3my$

1. Подставляем значения $l, x, m, y$ в выражение:

$(12a^2)(3a^2 + 4) - 3(4a)(12a - 13)$

2. Раскрываем скобки:

$(36a^4 + 48a^2) - 12a(12a - 13) = $

$36a^4 + 48a^2 - (144a^2 - 156a) = $

$36a^4 + 48a^2 - 144a^2 + 156a$

3. Приводим подобные слагаемые:

$36a^4 + (48a^2 - 144a^2) + 156a = $

$36a^4 - 96a^2 + 156a$

Ответ: $36a^4 - 96a^2 + 156a$.

в) $kx + ly - mz$

1. Подставляем значения $k, x, l, y, m, z$ в выражение:

$(5a^3)(3a^2 + 4) + (12a^2)(12a - 13) - (4a)(a^2 - a + 1)$

2. Раскрываем скобки:

$(15a^5 + 20a^3) + (144a^3 - 156a^2) - (4a^3 - 4a^2 + 4a) = $

$15a^5 + 20a^3 + 144a^3 - 156a^2 - 4a^3 + 4a^2 - 4a$

3. Приводим подобные слагаемые:

$15a^5 + (20a^3 + 144a^3 - 4a^3) + (-156a^2 + 4a^2) - 4a = $

$15a^5 + 160a^3 - 152a^2 - 4a$

Ответ: $15a^5 + 160a^3 - 152a^2 - 4a$.

г) $mx - lz + 4kx - 14$

1. Сначала сгруппируем слагаемые с $x$: $mx + 4kx - lz - 14 = (m + 4k)x - lz - 14$.

2. Найдем $m+4k$: $4a + 4(5a^3) = 4a + 20a^3$.

3. Подставляем полученные и данные значения в выражение:

$(20a^3 + 4a)(3a^2 + 4) - (12a^2)(a^2 - a + 1) - 14$

4. Раскрываем скобки:

$(20a^3 \cdot 3a^2 + 20a^3 \cdot 4 + 4a \cdot 3a^2 + 4a \cdot 4) - (12a^4 - 12a^3 + 12a^2) - 14 = $

$(60a^5 + 80a^3 + 12a^3 + 16a) - 12a^4 + 12a^3 - 12a^2 - 14 = $

$60a^5 + 92a^3 + 16a - 12a^4 + 12a^3 - 12a^2 - 14$

5. Приводим подобные слагаемые и располагаем в порядке убывания степеней:

$60a^5 - 12a^4 + (92a^3 + 12a^3) - 12a^2 + 16a - 14 = $

$60a^5 - 12a^4 + 104a^3 - 12a^2 + 16a - 14$

Ответ: $60a^5 - 12a^4 + 104a^3 - 12a^2 + 16a - 14$.

31.18 Докажите, что выражение $x(3x + 2) - x^2(x + 3) + (x^3 - 2x + 9)$ при любом значении переменной x принимает одно и то же значение.

31.18 Чтобы доказать, что выражение $x(3x + 2) - x^2(x + 3) + (x^3 - 2x + 9)$ при любом значении переменной $x$ принимает одно и то же значение, необходимо его упростить. Если в результате упрощения получится константа (число), то утверждение будет доказано.

1. Сначала раскроем скобки в выражении. Для этого умножим множители перед скобками на каждый член многочлена в скобках:

$x(3x + 2) = x \cdot 3x + x \cdot 2 = 3x^2 + 2x$

$-x^2(x + 3) = -x^2 \cdot x - x^2 \cdot 3 = -x^3 - 3x^2$

Последнюю скобку $(x^3 - 2x + 9)$ можно просто опустить, так как перед ней стоит знак «+».

2. Теперь запишем всё выражение после раскрытия скобок:

$3x^2 + 2x - x^3 - 3x^2 + x^3 - 2x + 9$

3. Приведём подобные слагаемые. Для этого сгруппируем члены с одинаковыми степенями переменной $x$:

$(-x^3 + x^3) + (3x^2 - 3x^2) + (2x - 2x) + 9$

4. Выполним действия в каждой группе:

$-x^3 + x^3 = 0$

$3x^2 - 3x^2 = 0$

$2x - 2x = 0$

5. Сложим полученные результаты:

$0 + 0 + 0 + 9 = 9$

В результате упрощения мы получили число 9. Так как это значение не зависит от переменной $x$, мы доказали, что исходное выражение при любом значении $x$ принимает одно и то же значение.

Ответ: Значение выражения равно 9 при любом $x$.

31.19 Докажите, что выражение $6x(x - 3) - 9(x^2 - 2x + 4)$ при любом значении переменной $x$ принимает отрицательное значение.

Чтобы доказать, что выражение $6x(x - 3) - 9(x^2 - 2x + 4)$ при любом значении переменной $x$ принимает отрицательное значение, необходимо его упростить.

1. Сначала раскроем скобки в выражении. Для этого умножим одночлены на многочлены:

$6x(x - 3) = 6x \cdot x + 6x \cdot (-3) = 6x^2 - 18x$

$-9(x^2 - 2x + 4) = -9 \cdot x^2 - 9 \cdot (-2x) - 9 \cdot 4 = -9x^2 + 18x - 36$

2. Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение и приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени):

$(6x^2 - 18x) + (-9x^2 + 18x - 36) = 6x^2 - 18x - 9x^2 + 18x - 36$

Сгруппируем подобные члены:

$(6x^2 - 9x^2) + (-18x + 18x) - 36 = -3x^2 + 0 - 36 = -3x^2 - 36$

3. В результате упрощения мы получили выражение $-3x^2 - 36$. Теперь проанализируем его, чтобы доказать, что оно всегда отрицательно.

• Квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.
• При умножении неотрицательного значения $x^2$ на отрицательное число $-3$, результат будет всегда неположительным: $-3x^2 \le 0$.
• Если из неположительного числа ($-3x^2$) вычесть положительное число ($36$), то результат всегда будет отрицательным.

Наибольшее значение, которое может принять выражение $-3x^2$, равно $0$. Это происходит, когда $x = 0$.При $x = 0$, значение всего выражения будет: $-3(0)^2 - 36 = 0 - 36 = -36$.

Так как $-36 < 0$, и это является максимальным значением нашего выражения, то при любом значении $x$ выражение $-3x^2 - 36$ будет отрицательным. Что и требовалось доказать.

Ответ: После упрощения исходное выражение принимает вид $-3x^2 - 36$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $-3x^2 \le 0$. Следовательно, $-3x^2 - 36 \le -36$. Поскольку $-36$ — отрицательное число, то и значение всего выражения всегда будет отрицательным.

Решите уравнение:

31.20 а)

$\frac{2x - 3}{3} + \frac{7x - 13}{6} + \frac{5 - 2x}{2} = x - 1;$

б) $\frac{x - 2}{5} + \frac{2x - 5}{4} + \frac{4x - 1}{20} = 4 - x;$

в) $\frac{5x - 4}{3} + \frac{3x - 2}{6} + \frac{2x - 1}{2} = 3x - 2;$

г) $\frac{3 - 5x}{5} + \frac{3x - 5}{3} + \frac{6x + 7}{15} = 2x + 1.$

а)

Данное уравнение: $\frac{2x-3}{3} + \frac{7x-13}{6} + \frac{5-2x}{2} = x - 1$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который для чисел 3, 6 и 2 равен 6.
$6 \cdot \frac{2x-3}{3} + 6 \cdot \frac{7x-13}{6} + 6 \cdot \frac{5-2x}{2} = 6 \cdot (x - 1)$
$2(2x-3) + (7x-13) + 3(5-2x) = 6(x-1)$
Раскроем скобки:
$4x - 6 + 7x - 13 + 15 - 6x = 6x - 6$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(4x+7x-6x) + (-6-13+15) = 6x-6$
$5x - 4 = 6x - 6$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены в другую:
$6 - 4 = 6x - 5x$
$2 = x$

Ответ: $x = 2$

б)

Данное уравнение: $\frac{x-2}{5} + \frac{2x-5}{4} + \frac{4x-1}{20} = 4 - x$
Наименьший общий знаменатель для чисел 5, 4 и 20 равен 20. Умножим обе части уравнения на 20:
$20 \cdot \frac{x-2}{5} + 20 \cdot \frac{2x-5}{4} + 20 \cdot \frac{4x-1}{20} = 20 \cdot (4 - x)$
$4(x-2) + 5(2x-5) + 1(4x-1) = 20(4-x)$
Раскроем скобки:
$4x - 8 + 10x - 25 + 4x - 1 = 80 - 20x$
Приведем подобные слагаемые:
$18x - 34 = 80 - 20x$
Соберем слагаемые с $x$ слева, а константы справа:
$18x + 20x = 80 + 34$
$38x = 114$
Найдем $x$:
$x = \frac{114}{38}$
$x = 3$

Ответ: $x = 3$

в)

Данное уравнение: $\frac{5x-4}{3} + \frac{3x-2}{6} + \frac{2x-1}{2} = 3x - 2$
Наименьший общий знаменатель для чисел 3, 6 и 2 равен 6. Умножим обе части уравнения на 6:
$6 \cdot \frac{5x-4}{3} + 6 \cdot \frac{3x-2}{6} + 6 \cdot \frac{2x-1}{2} = 6 \cdot (3x - 2)$
$2(5x-4) + 1(3x-2) + 3(2x-1) = 6(3x - 2)$
Раскроем скобки:
$10x - 8 + 3x - 2 + 6x - 3 = 18x - 12$
Приведем подобные слагаемые:
$19x - 13 = 18x - 12$
Перенесем переменные налево, числа направо:
$19x - 18x = -12 + 13$
$x = 1$

Ответ: $x = 1$

г)

Данное уравнение: $\frac{3-5x}{5} + \frac{3x-5}{3} + \frac{6x+7}{15} = 2x + 1$
Наименьший общий знаменатель для чисел 5, 3 и 15 равен 15. Умножим обе части уравнения на 15:
$15 \cdot \frac{3-5x}{5} + 15 \cdot \frac{3x-5}{3} + 15 \cdot \frac{6x+7}{15} = 15 \cdot (2x + 1)$
$3(3-5x) + 5(3x-5) + 1(6x+7) = 15(2x+1)$
Раскроем скобки:
$9 - 15x + 15x - 25 + 6x + 7 = 30x + 15$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(-15x+15x+6x) + (9-25+7) = 30x+15$
$6x - 9 = 30x + 15$
Перенесем переменные направо, а числа налево для удобства:
$-9 - 15 = 30x - 6x$
$-24 = 24x$
Найдем $x$:
$x = \frac{-24}{24}$
$x = -1$

Ответ: $x = -1$

31.21 а) $2x + x(3 - (x + 1)) = x(2 - x) + 12;$

б) $x^2(5x + 3) - 6x(x^2 - 4) = 3x(8 + x);$

в) $x(12 - x) - 5 = 4x - x(10 - (3 - x));$

г) $x(4x - 11) - 7x(x - 1) = -2x(x + 2) + 1.$

а) $2x + x(3 - (x + 1)) = x(2 - x) + 12$

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Левая часть:

$2x + x(3 - x - 1) = 2x + x(2 - x) = 2x + 2x - x^2 = 4x - x^2$

Правая часть:

$x(2 - x) + 12 = 2x - x^2 + 12$

Теперь приравняем обе части:

$4x - x^2 = 2x - x^2 + 12$

Прибавим $x^2$ к обеим частям уравнения, чтобы избавиться от этого члена:

$4x = 2x + 12$

Перенесем члены с $x$ в левую часть:

$4x - 2x = 12$

$2x = 12$

Разделим обе части на 2:

$x = 6$

Ответ: $x = 6$

б) $x^2(5x + 3) - 6x(x^2 - 4) = 3x(8 + x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Левая часть:

$(5x^3 + 3x^2) - (6x^3 - 24x) = 5x^3 + 3x^2 - 6x^3 + 24x = -x^3 + 3x^2 + 24x$

Правая часть:

$3x(8 + x) = 24x + 3x^2$

Приравняем обе части:

$-x^3 + 3x^2 + 24x = 24x + 3x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$-x^3 + 3x^2 + 24x - 24x - 3x^2 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-x^3 = 0$

Отсюда следует:

$x = 0$

Ответ: $x = 0$

в) $x(12 - x) - 5 = 4x - x(10 - (3 - x))$

Раскроем скобки, начиная с самых внутренних.

Левая часть:

$12x - x^2 - 5$

Правая часть:

$4x - x(10 - 3 + x) = 4x - x(7 + x) = 4x - (7x + x^2) = 4x - 7x - x^2 = -3x - x^2$

Приравняем обе части:

$12x - x^2 - 5 = -3x - x^2$

Прибавим $x^2$ к обеим частям уравнения:

$12x - 5 = -3x$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую:

$12x + 3x = 5$

$15x = 5$

Разделим обе части на 15:

$x = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$

Ответ: $x = \frac{1}{3}$

г) $x(4x - 11) - 7x(x - 1) = -2x(x + 2) + 1$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

Левая часть:

$(4x^2 - 11x) - (7x^2 - 7x) = 4x^2 - 11x - 7x^2 + 7x = -3x^2 - 4x$

Правая часть:

$-2x^2 - 4x + 1$

Приравняем обе части:

$-3x^2 - 4x = -2x^2 - 4x + 1$

Прибавим $4x$ к обеим частям:

$-3x^2 = -2x^2 + 1$

Перенесем все члены с $x^2$ в одну сторону:

$-3x^2 + 2x^2 = 1$

$-x^2 = 1$

$x^2 = -1$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: корней нет