Страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

31.3 a) $3x(x + y) - 3x^2;$

Б) $7a(a - b) - 7a^2;$

В) $5c(c^2 - d^2) - 5c^3;$

Г) $10m(m^5 + n^6) - 10m^6.$

а) Для того чтобы упростить данное выражение, сначала необходимо раскрыть скобки, используя распределительный закон умножения. Умножим $3x$ на каждый из членов в скобках $(x + y)$.

$3x(x + y) - 3x^2 = (3x \cdot x + 3x \cdot y) - 3x^2 = 3x^2 + 3xy - 3x^2$

Теперь приведем подобные слагаемые. Члены $3x^2$ и $-3x^2$ являются противоположными, и их сумма равна нулю.

$3x^2 - 3x^2 + 3xy = 0 + 3xy = 3xy$

Ответ: $3xy$

б) Раскроем скобки в выражении $7a(a - b) - 7a^2$, умножив $7a$ на каждый член внутри скобок.

$7a(a - b) - 7a^2 = (7a \cdot a - 7a \cdot b) - 7a^2 = 7a^2 - 7ab - 7a^2$

Далее сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Члены $7a^2$ и $-7a^2$ взаимно уничтожаются.

$7a^2 - 7a^2 - 7ab = 0 - 7ab = -7ab$

Ответ: $-7ab$

в) Упростим выражение $5c(c^2 - d^2) - 5c^3$. Начнем с раскрытия скобок, умножая $5c$ на $c^2$ и на $-d^2$.

$5c(c^2 - d^2) - 5c^3 = (5c \cdot c^2 - 5c \cdot d^2) - 5c^3 = 5c^3 - 5cd^2 - 5c^3$

Приведем подобные слагаемые. Члены $5c^3$ и $-5c^3$ в сумме дают ноль.

$5c^3 - 5c^3 - 5cd^2 = 0 - 5cd^2 = -5cd^2$

Ответ: $-5cd^2$

г) Для упрощения выражения $10m(m^5 + n^6) - 10m^6$ сначала раскроем скобки. Умножим $10m$ на каждый член в скобках.

$10m(m^5 + n^6) - 10m^6 = (10m \cdot m^5 + 10m \cdot n^6) - 10m^6$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($m \cdot m^5 = m^{1+5} = m^6$).

$10m^6 + 10mn^6 - 10m^6$

Теперь приведем подобные слагаемые. Члены $10m^6$ и $-10m^6$ взаимно уничтожаются.

$10m^6 - 10m^6 + 10mn^6 = 0 + 10mn^6 = 10mn^6$

Ответ: $10mn^6$

31.4 a) $3x(x - 5) - 5x(x + 3)$;

б) $2y(x - y) + y(3y - 2x)$;

В) $2a(a - b) + 2b(a + b)$;

Г) $3p(8c + 1) - 8c(3p - 5)$.

а)

Чтобы упростить выражение $3x(x - 5) - 5x(x + 3)$, необходимо раскрыть скобки. Для этого умножим одночлены перед скобками на каждый член многочлена в скобках. Важно учесть знак перед вторым множителем.

$3x \cdot (x - 5) = 3x \cdot x + 3x \cdot (-5) = 3x^2 - 15x$

$-5x \cdot (x + 3) = -5x \cdot x - 5x \cdot 3 = -5x^2 - 15x$

Теперь сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой буквенной частью):

$3x^2 - 15x - 5x^2 - 15x = (3x^2 - 5x^2) + (-15x - 15x) = -2x^2 - 30x$

Ответ: $-2x^2 - 30x$

б)

Упростим выражение $2y(x - y) + y(3y - 2x)$. Аналогично предыдущему пункту, раскроем скобки:

$2y \cdot (x - y) = 2y \cdot x + 2y \cdot (-y) = 2xy - 2y^2$

$y \cdot (3y - 2x) = y \cdot 3y + y \cdot (-2x) = 3y^2 - 2xy$

Сложим полученные многочлены и приведем подобные слагаемые:

$2xy - 2y^2 + 3y^2 - 2xy = (2xy - 2xy) + (-2y^2 + 3y^2) = 0 + y^2 = y^2$

Ответ: $y^2$

в)

Упростим выражение $2a(a - b) + 2b(a + b)$. Раскроем скобки:

$2a \cdot (a - b) = 2a \cdot a + 2a \cdot (-b) = 2a^2 - 2ab$

$2b \cdot (a + b) = 2b \cdot a + 2b \cdot b = 2ab + 2b^2$

Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:

$2a^2 - 2ab + 2ab + 2b^2 = 2a^2 + (-2ab + 2ab) + 2b^2 = 2a^2 + 0 + 2b^2 = 2a^2 + 2b^2$

Ответ: $2a^2 + 2b^2$

г)

Упростим выражение $3p(8c + 1) - 8c(3p - 5)$. Раскроем скобки:

$3p \cdot (8c + 1) = 3p \cdot 8c + 3p \cdot 1 = 24pc + 3p$

$-8c \cdot (3p - 5) = -8c \cdot 3p - 8c \cdot (-5) = -24pc + 40c$

Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:

$24pc + 3p - 24pc + 40c = (24pc - 24pc) + 3p + 40c = 0 + 3p + 40c = 3p + 40c$

Ответ: $3p + 40c$

31.5 Упростите выражение и найдите его значение:

а) $5x(2x - 3) - 2,5x(4x - 2)$ при $x = -0,01$;

б) $12(2 - p) + 29p - 9(p + 1)$ при $p = \frac{1}{4}$;

в) $5a(a^2 - 4a) - 4a(a^2 - 5a)$ при $a = -3$;

г) $3(3d - 1) + 7(2d + 1)$ при $d = 2\frac{4}{23}$.

а) Сначала упростим выражение $5x(2x - 3) - 2,5x(4x - 2)$. Для этого раскроем скобки, умножив множители перед ними на каждый член в скобках:
$5x \cdot 2x - 5x \cdot 3 - 2,5x \cdot 4x - 2,5x \cdot (-2) = 10x^2 - 15x - 10x^2 + 5x$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
$(10x^2 - 10x^2) + (-15x + 5x) = 0 - 10x = -10x$.
Мы получили упрощенное выражение $-10x$. Подставим в него значение $x = -0,01$:
$-10 \cdot (-0,01) = 0,1$.
Ответ: 0,1

б) Упростим выражение $12(2 - p) + 29p - 9(p + 1)$. Раскроем скобки:
$12 \cdot 2 - 12 \cdot p + 29p - 9 \cdot p - 9 \cdot 1 = 24 - 12p + 29p - 9p - 9$.
Приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с переменной $p$ и константы:
$(-12p + 29p - 9p) + (24 - 9) = 8p + 15$.
Мы получили упрощенное выражение $8p + 15$. Подставим в него значение $p = \frac{1}{4}$:
$8 \cdot \frac{1}{4} + 15 = \frac{8}{4} + 15 = 2 + 15 = 17$.
Ответ: 17

в) Упростим выражение $5a(a^2 - 4a) - 4a(a^2 - 5a)$. Раскроем скобки:
$5a \cdot a^2 - 5a \cdot 4a - (4a \cdot a^2 - 4a \cdot 5a) = 5a^3 - 20a^2 - (4a^3 - 20a^2)$.
Раскроем вторые скобки, поменяв знаки на противоположные:
$5a^3 - 20a^2 - 4a^3 + 20a^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(5a^3 - 4a^3) + (-20a^2 + 20a^2) = a^3 + 0 = a^3$.
Мы получили упрощенное выражение $a^3$. Подставим в него значение $a = -3$:
$(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$.
Ответ: -27

г) Упростим выражение $3(3d - 1) + 7(2d + 1)$. Раскроем скобки:
$3 \cdot 3d - 3 \cdot 1 + 7 \cdot 2d + 7 \cdot 1 = 9d - 3 + 14d + 7$.
Приведем подобные слагаемые:
$(9d + 14d) + (-3 + 7) = 23d + 4$.
Мы получили упрощенное выражение $23d + 4$. Подставим в него значение $d = 2\frac{4}{23}$.
Сначала представим смешанное число $2\frac{4}{23}$ в виде неправильной дроби:
$2\frac{4}{23} = \frac{2 \cdot 23 + 4}{23} = \frac{46 + 4}{23} = \frac{50}{23}$.
Теперь подставим это значение в упрощенное выражение:
$23 \cdot \frac{50}{23} + 4 = 50 + 4 = 54$.
Ответ: 54

Решите уравнение:

31.6 а) $3(x - 1) - 2(3 - 7x) = 2(x - 2)$;

б) $10(1 - 2x) = 5(2x - 3) - 3(11x - 5)$;

в) $2(x + 3) - 3(2 - 7x) = 2(x - 2)$;

г) $5(3x - 2) = 3(x + 1) - 2(x + 2)$.

а) $3(x - 1) - 2(3 - 7x) = 2(x - 2)$

Для решения данного линейного уравнения сначала раскроем скобки в обеих его частях. При раскрытии скобок множитель перед скобкой умножается на каждое слагаемое внутри скобки. Важно помнить о смене знаков при умножении на отрицательное число.

$3 \cdot x - 3 \cdot 1 - 2 \cdot 3 - 2 \cdot (-7x) = 2 \cdot x - 2 \cdot 2$

$3x - 3 - 6 + 14x = 2x - 4$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и числовые слагаемые.

$(3x + 14x) + (-3 - 6) = 2x - 4$

$17x - 9 = 2x - 4$

Далее, перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а все числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$17x - 2x = -4 + 9$

$15x = 5$

Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 15.

$x = \frac{5}{15}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5.

$x = \frac{1}{3}$

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

б) $10(1 - 2x) = 5(2x - 3) - 3(11x - 5)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, умножая множители на слагаемые в скобках.

$10 \cdot 1 - 10 \cdot 2x = 5 \cdot 2x - 5 \cdot 3 - 3 \cdot 11x - 3 \cdot (-5)$

$10 - 20x = 10x - 15 - 33x + 15$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения, группируя слагаемые с $x$ и числовые слагаемые.

$10 - 20x = (10x - 33x) + (-15 + 15)$

$10 - 20x = -23x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть (например, в правую), а числа оставим в левой части.

$10 = -23x + 20x$

$10 = -3x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -3.

$x = \frac{10}{-3}$

$x = -\frac{10}{3}$

Ответ: $x = -\frac{10}{3}$.

в) $2(x + 3) - 3(2 - 7x) = 2(x - 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

$2 \cdot x + 2 \cdot 3 - 3 \cdot 2 - 3 \cdot (-7x) = 2 \cdot x - 2 \cdot 2$

$2x + 6 - 6 + 21x = 2x - 4$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения.

$(2x + 21x) + (6 - 6) = 2x - 4$

$23x = 2x - 4$

Перенесем слагаемое с $x$ из правой части в левую.

$23x - 2x = -4$

$21x = -4$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 21.

$x = -\frac{4}{21}$

Ответ: $x = -\frac{4}{21}$.

г) $5(3x - 2) = 3(x + 1) - 2(x + 2)$

Раскроем все скобки в уравнении.

$5 \cdot 3x - 5 \cdot 2 = 3 \cdot x + 3 \cdot 1 - 2 \cdot x - 2 \cdot 2$

$15x - 10 = 3x + 3 - 2x - 4$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения.

$15x - 10 = (3x - 2x) + (3 - 4)$

$15x - 10 = x - 1$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую часть.

$15x - x = -1 + 10$

$14x = 9$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 14.

$x = \frac{9}{14}$

Ответ: $x = \frac{9}{14}$.

31.7 а) $\frac{2x + 1}{5} = 1;$

б) $\frac{7x - 3}{6} = \frac{5x + 1}{2};$

в) $\frac{11 - 3x}{4} = \frac{1}{2};$

г) $\frac{3x + 7}{5} = \frac{6x + 4}{5}.$

а)

Дано уравнение: $\frac{2x + 1}{5} = 1$.

Чтобы решить это уравнение, умножим обе его части на знаменатель 5, чтобы избавиться от дроби:

$5 \cdot \frac{2x + 1}{5} = 1 \cdot 5$

$2x + 1 = 5$

Теперь перенесем 1 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$2x = 5 - 1$

$2x = 4$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{4}{2}$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.

б)

Дано уравнение: $\frac{7x - 3}{6} = \frac{5x + 1}{2}$.

Это пропорция. Для ее решения можно привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 2 равен 6. Умножим обе части уравнения на 6:

$6 \cdot \frac{7x - 3}{6} = 6 \cdot \frac{5x + 1}{2}$

В левой части 6 сокращается, а в правой части $6 \div 2 = 3$:

$7x - 3 = 3(5x + 1)$

Раскроем скобки в правой части, умножив 3 на каждый член в скобках:

$7x - 3 = 15x + 3$

Теперь сгруппируем слагаемые с $x$ в одной части уравнения, а постоянные члены — в другой. Перенесем $7x$ в правую часть (сменив знак на минус) и 3 из правой части в левую (также сменив знак):

$-3 - 3 = 15x - 7x$

$-6 = 8x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 8:

$x = -\frac{6}{8}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = -\frac{3}{4}$

Ответ: $x = -\frac{3}{4}$.

в)

Дано уравнение: $\frac{11 - 3x}{4} = \frac{1}{2}$.

Это пропорция. Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение): произведение крайних членов равно произведению средних членов.

$2 \cdot (11 - 3x) = 4 \cdot 1$

Раскроем скобки в левой части:

$22 - 6x = 4$

Перенесем 22 в правую часть уравнения, сменив знак:

$-6x = 4 - 22$

$-6x = -18$

Разделим обе части на -6, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-18}{-6}$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$.

г)

Дано уравнение: $\frac{3x + 7}{5} = \frac{6x + 4}{5}$.

Поскольку знаменатели дробей в обеих частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять их числители:

$3x + 7 = 6x + 4$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую. Вычтем $3x$ из обеих частей и вычтем 4 из обеих частей:

$7 - 4 = 6x - 3x$

Выполним вычисления:

$3 = 3x$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{3}{3}$

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

31.8 a) $3x - \frac{2x - 1}{5} = \frac{3x - 19}{5}$;

б) $\frac{8x - 3}{7} - \frac{3x + 1}{10} = 2$;

в) $2x - \frac{2x + 3}{3} = \frac{x - 6}{3}$;

г) $\frac{x + 14}{5} - \frac{6x + 1}{7} = 2$.

а) $3x - \frac{2x - 1}{5} = \frac{3x - 19}{5}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на общий знаменатель, равный 5:

$5 \cdot 3x - 5 \cdot \frac{2x - 1}{5} = 5 \cdot \frac{3x - 19}{5}$

$15x - (2x - 1) = 3x - 19$

Раскроем скобки. Обратите внимание на знак минус перед скобкой:

$15x - 2x + 1 = 3x - 19$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$13x + 1 = 3x - 19$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$13x - 3x = -19 - 1$

$10x = -20$

Найдем $x$:

$x = \frac{-20}{10}$

$x = -2$

Ответ: -2.

б) $\frac{8x - 3}{7} - \frac{3x + 1}{10} = 2$

Найдем наименьший общий знаменатель дробей. НОК(7, 10) = 70. Умножим обе части уравнения на 70:

$70 \cdot \frac{8x - 3}{7} - 70 \cdot \frac{3x + 1}{10} = 70 \cdot 2$

$10(8x - 3) - 7(3x + 1) = 140$

Раскроем скобки:

$80x - 30 - 21x - 7 = 140$

Приведем подобные слагаемые:

$(80x - 21x) + (-30 - 7) = 140$

$59x - 37 = 140$

Перенесем число в правую часть:

$59x = 140 + 37$

$59x = 177$

Найдем $x$:

$x = \frac{177}{59}$

$x = 3$

Ответ: 3.

в) $2x - \frac{2x + 3}{3} = \frac{x - 6}{3}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, равный 3:

$3 \cdot 2x - 3 \cdot \frac{2x + 3}{3} = 3 \cdot \frac{x - 6}{3}$

$6x - (2x + 3) = x - 6$

Раскроем скобки:

$6x - 2x - 3 = x - 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$4x - 3 = x - 6$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:

$4x - x = -6 + 3$

$3x = -3$

Найдем $x$:

$x = \frac{-3}{3}$

$x = -1$

Ответ: -1.

г) $\frac{x + 14}{5} - \frac{6x + 1}{7} = 2$

Найдем наименьший общий знаменатель дробей. НОК(5, 7) = 35. Умножим обе части уравнения на 35:

$35 \cdot \frac{x + 14}{5} - 35 \cdot \frac{6x + 1}{7} = 35 \cdot 2$

$7(x + 14) - 5(6x + 1) = 70$

Раскроем скобки:

$7x + 98 - 30x - 5 = 70$

Приведем подобные слагаемые:

$(7x - 30x) + (98 - 5) = 70$

$-23x + 93 = 70$

Перенесем число в правую часть:

$-23x = 70 - 93$

$-23x = -23$

Найдем $x$:

$x = \frac{-23}{-23}$

$x = 1$

Ответ: 1.

31.9 а) $6x(x + 2) - 0.5(12x^2 - 7x) - 31 = 0;$

б) $2x^3 - x(x^2 - 6) - 3(2x - 1) - 30 = 0;$

в) $12x(x - 8) - 4x(3x - 5) = 10 - 26x;$

г) $8(x^2 - 5) - 5x(x + 2) + 10(x + 4) = 0.$

а) $6x(x + 2) - 0,5(12x^2 - 7x) - 31 = 0$

Для решения уравнения сначала раскроем скобки:

$6x \cdot x + 6x \cdot 2 - 0,5 \cdot 12x^2 - 0,5 \cdot (-7x) - 31 = 0$

$6x^2 + 12x - 6x^2 + 3,5x - 31 = 0$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с $x^2$, с $x$ и свободные члены:

$(6x^2 - 6x^2) + (12x + 3,5x) - 31 = 0$

$0 \cdot x^2 + 15,5x - 31 = 0$

$15,5x - 31 = 0$

Перенесем число $-31$ в правую часть уравнения, изменив его знак:

$15,5x = 31$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $15,5$:

$x = \frac{31}{15,5}$

$x = 2$

Ответ: $2$.

б) $2x^3 - x(x^2 - 6) - 3(2x - 1) - 30 = 0$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$2x^3 - x \cdot x^2 - x \cdot (-6) - 3 \cdot 2x - 3 \cdot (-1) - 30 = 0$

$2x^3 - x^3 + 6x - 6x + 3 - 30 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^3 - x^3) + (6x - 6x) + (3 - 30) = 0$

$x^3 + 0 \cdot x - 27 = 0$

$x^3 - 27 = 0$

Перенесем $-27$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$x^3 = 27$

Чтобы найти $x$, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[3]{27}$

$x = 3$

Ответ: $3$.

в) $12x(x - 8) - 4x(3x - 5) = 10 - 26x$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:

$12x \cdot x + 12x \cdot (-8) - 4x \cdot 3x - 4x \cdot (-5) = 10 - 26x$

$12x^2 - 96x - 12x^2 + 20x = 10 - 26x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(12x^2 - 12x^2) + (-96x + 20x) = 10 - 26x$

$-76x = 10 - 26x$

Перенесем член $-26x$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$-76x + 26x = 10$

$-50x = 10$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на $-50$:

$x = \frac{10}{-50}$

$x = -\frac{1}{5}$

$x = -0,2$

Ответ: $-0,2$.

г) $8(x^2 - 5) - 5x(x + 2) + 10(x + 4) = 0$

Раскроем все скобки в уравнении:

$8 \cdot x^2 + 8 \cdot (-5) - 5x \cdot x - 5x \cdot 2 + 10 \cdot x + 10 \cdot 4 = 0$

$8x^2 - 40 - 5x^2 - 10x + 10x + 40 = 0$

Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$(8x^2 - 5x^2) + (-10x + 10x) + (-40 + 40) = 0$

$3x^2 + 0 \cdot x + 0 = 0$

$3x^2 = 0$

Разделим обе части уравнения на $3$:

$x^2 = 0$

Отсюда следует, что:

$x = 0$

Ответ: $0$.

Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования:

31.10 Из пункта А в пункт В со скоростью 12 км/ч выехал велосипедист, а через полчаса вслед за ним выехал другой велосипедист, проезжавший в час 14 км и прибывший в пункт В одновременно с первым велосипедистом. Найдите расстояние между А и В.

1. Составление математической модели

Пусть $S$ (км) – искомое расстояние между пунктами А и В. Скорость первого велосипедиста $v_1 = 12$ км/ч. Скорость второго велосипедиста $v_2 = 14$ км/ч. Время, затраченное первым велосипедистом на весь путь, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{12}$ ч. Время, затраченное вторым велосипедистом, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{14}$ ч. По условию задачи, второй велосипедист выехал на полчаса ($0.5$ ч) позже первого и прибыл в пункт В одновременно с ним. Это означает, что время движения первого велосипедиста на $0.5$ часа больше, чем время движения второго. Таким образом, мы можем составить уравнение, связывающее время движения обоих велосипедистов: $t_1 - t_2 = 0.5$ Подставив выражения для $t_1$ и $t_2$, получаем математическую модель задачи: $\frac{S}{12} - \frac{S}{14} = 0.5$

2. Работа с математической моделью

Решим полученное уравнение относительно переменной $S$: $\frac{S}{12} - \frac{S}{14} = 0.5$ Чтобы избавиться от дробей, приведем левую часть уравнения к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 12 и 14 равно 84. $\frac{7S}{84} - \frac{6S}{84} = 0.5$ $\frac{7S - 6S}{84} = 0.5$ $\frac{S}{84} = 0.5$ Теперь найдем $S$, умножив обе части уравнения на 84: $S = 0.5 \cdot 84$ $S = 42$

3. Ответ на вопрос задачи

В результате решения уравнения мы получили $S = 42$. Так как $S$ – это расстояние между пунктами А и В в километрах, то мы нашли ответ на вопрос задачи. Проверим полученный результат. Время первого велосипедиста: $t_1 = \frac{42}{12} = 3.5$ часа. Время второго велосипедиста: $t_2 = \frac{42}{14} = 3$ часа. Разница во времени составляет $3.5 - 3 = 0.5$ часа, что соответствует условию задачи (второй выехал на полчаса позже). Следовательно, расстояние между А и В составляет 42 км.

Ответ: 42 км.