Страница 154, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Приведите пример корректного задания на деление многочлена на одночлен. Выполните это деление.

Корректное задание на деление многочлена на одночлен подразумевает, что результатом такого деления будет новый многочлен. Это возможно только в том случае, если каждый член многочлена-делимого делится нацело на одночлен-делитель. Для этого необходимо, чтобы:
1. Коэффициент каждого члена многочлена делился на коэффициент одночлена (если мы хотим получить целые коэффициенты в результате, хотя это не строгое требование).
2. Для каждой переменной, содержащейся в одночлене, ее степень в каждом члене многочлена была не меньше, чем ее степень в одночлене.

Пример корректного задания:

Разделить многочлен $(12a^4b^2 - 9a^3b^3 + 6a^2b^2)$ на одночлен $(3a^2b^2)$.

Это задание корректно, так как степени переменных $a$ (4 и 3) и $b$ (2 и 3) в каждом члене многочлена не меньше соответствующих степеней в одночлене $3a^2b^2$ (где степени равны 2 и 2).

Выполнение деления:

Чтобы разделить многочлен на одночлен, необходимо каждый член многочлена разделить на этот одночлен, а полученные результаты алгебраически сложить.

$(12a^4b^2 - 9a^3b^3 + 6a^2b^2) : (3a^2b^2) = \frac{12a^4b^2}{3a^2b^2} - \frac{9a^3b^3}{3a^2b^2} + \frac{6a^2b^2}{3a^2b^2}$

Разделим каждый член многочлена на одночлен по отдельности, используя правило деления степеней с одинаковым основанием ($x^m / x^n = x^{m-n}$):

1. $\frac{12a^4b^2}{3a^2b^2} = (\frac{12}{3}) \cdot a^{4-2} \cdot b^{2-2} = 4 \cdot a^2 \cdot b^0 = 4a^2$

2. $\frac{9a^3b^3}{3a^2b^2} = (\frac{9}{3}) \cdot a^{3-2} \cdot b^{3-2} = 3 \cdot a^1 \cdot b^1 = 3ab$

3. $\frac{6a^2b^2}{3a^2b^2} = (\frac{6}{3}) \cdot a^{2-2} \cdot b^{2-2} = 2 \cdot a^0 \cdot b^0 = 2$

Теперь соберем полученные одночлены в новый многочлен: $4a^2 - 3ab + 2$.

Ответ: $4a^2 - 3ab + 2$

2. Приведите пример, когда задание разделить многочлен на одночлен является некорректным. Объясните почему.

Задание разделить многочлен на одночлен является некорректным в том случае, когда одночлен-делитель является нулем. Это фундаментальное правило арифметики и алгебры: деление на ноль не определено.

Приведем конкретный пример:

Разделить многочлен $P(x) = 6x^2 + 3x$ на одночлен $M(x) = 0$.

Объяснение некорректности:

Операция деления является обратной к операции умножения. Это означает, что если мы делим $a$ на $b$ и получаем $c$ (т.е. $a / b = c$), то должно выполняться равенство $c \cdot b = a$.

Применим это определение к нашему примеру. Предположим, что в результате деления многочлена $6x^2 + 3x$ на $0$ мы получили некоторый результат $Q(x)$. Тогда должно выполняться равенство:

$Q(x) \cdot 0 = 6x^2 + 3x$

Однако известно, что умножение любого числа, выражения или многочлена на ноль всегда дает в результате ноль. То есть, левая часть нашего равенства всегда будет равна нулю:

$Q(x) \cdot 0 = 0$

В итоге мы приходим к противоречивому равенству:

$0 = 6x^2 + 3x$

Это равенство неверно (оно выполняется только для двух конкретных значений $x$, а не для всех, как должно быть в тождестве). Следовательно, не существует такого выражения $Q(x)$, которое могло бы быть результатом деления $6x^2 + 3x$ на $0$. Таким образом, само задание на деление является некорректным, так как оно не имеет решения.

Ответ: Пример некорректного задания — разделить многочлен $6x^2 + 3x$ на одночлен $0$. Задание некорректно, потому что деление на ноль является неопределенной математической операцией.

34.16 Выясните, какой из данных многочленов может быть частным от деления многочлена $30a^4b^3 - 12a^2b^4$ на некоторый одночлен. Найдите делитель, если он существует:

а) $3a^3 - 1,2ab$; $30a^4b - 12ab^2$;

б) $5b^3 - 2b^4$; $15a^2b - 4b$;

в) $30a^3b^2 - 12ab$; $6a^3b^2 - 3ab^3$;

г) $15a^4b^3 - 6a^2b^4$; $3a^2 - 1,2b$.

Чтобы определить, какой из предложенных многочленов может быть частным от деления многочлена $30a^4b^3 - 12a^2b^4$ на некоторый одночлен, мы должны проверить, существует ли такой одночлен-делитель $D$. Если многочлен $Q = Q_1 - Q_2$ является частным от деления многочлена $P = P_1 - P_2$ на одночлен $D$, то должно выполняться равенство $P = D \cdot Q$, или $P_1 = D \cdot Q_1$ и $P_2 = D \cdot Q_2$. Отсюда следует, что $D = \frac{P_1}{Q_1}$ и $D = \frac{P_2}{Q_2}$. Таким образом, для каждого предложенного многочлена $Q$ мы должны проверить, выполняется ли условие $\frac{P_1}{Q_1} = \frac{P_2}{Q_2}$, и является ли результат этого деления одночленом.

В нашей задаче делимое $P = 30a^4b^3 - 12a^2b^4$, где $P_1 = 30a^4b^3$ и $P_2 = 12a^2b^4$.

а) $3a^3 - 1,2ab$; $30a^4b - 12ab^2$

1. Проверим многочлен $Q = 3a^3 - 1,2ab$.
Найдем возможный делитель $D$, разделив соответствующие члены делимого и предполагаемого частного:
$D_1 = \frac{30a^4b^3}{3a^3} = 10ab^3$
$D_2 = \frac{12a^2b^4}{1,2ab} = 10ab^3$
Поскольку $D_1 = D_2$ и результат $10ab^3$ является одночленом, этот многочлен может быть частным.

2. Проверим многочлен $Q = 30a^4b - 12ab^2$.
Найдем возможный делитель $D$:
$D_1 = \frac{30a^4b^3}{30a^4b} = b^2$
$D_2 = \frac{12a^2b^4}{12ab^2} = ab^2$
Поскольку $D_1 \neq D_2$, этот многочлен не может быть частным.

Ответ: многочлен $3a^3 - 1,2ab$ может быть частным, делитель равен $10ab^3$.

б) $5b^3 - 2b^4$; $15a^2b - 4b$

1. Проверим многочлен $Q = 5b^3 - 2b^4$.
Найдем возможный делитель $D$:
$D_1 = \frac{30a^4b^3}{5b^3} = 6a^4$
$D_2 = \frac{12a^2b^4}{2b^4} = 6a^2$
Поскольку $D_1 \neq D_2$, этот многочлен не может быть частным.

2. Проверим многочлен $Q = 15a^2b - 4b$.
Найдем возможный делитель $D$:
$D_1 = \frac{30a^4b^3}{15a^2b} = 2a^2b^2$
$D_2 = \frac{12a^2b^4}{4b} = 3a^2b^3$
Поскольку $D_1 \neq D_2$, этот многочлен не может быть частным.

Ответ: ни один из данных многочленов не может быть частным.

в) $30a^3b^2 - 12ab$; $6a^3b^2 - 3ab^3$

1. Проверим многочлен $Q = 30a^3b^2 - 12ab$.
Найдем возможный делитель $D$:
$D_1 = \frac{30a^4b^3}{30a^3b^2} = ab$
$D_2 = \frac{12a^2b^4}{12ab} = ab^3$
Поскольку $D_1 \neq D_2$, этот многочлен не может быть частным.

2. Проверим многочлен $Q = 6a^3b^2 - 3ab^3$.
Найдем возможный делитель $D$:
$D_1 = \frac{30a^4b^3}{6a^3b^2} = 5ab$
$D_2 = \frac{12a^2b^4}{3ab^3} = 4ab$
Поскольку $D_1 \neq D_2$, этот многочлен не может быть частным.

Ответ: ни один из данных многочленов не может быть частным.

г) $15a^4b^3 - 6a^2b^4$; $3a^2 - 1,2b$

1. Проверим многочлен $Q = 15a^4b^3 - 6a^2b^4$.
Найдем возможный делитель $D$:
$D_1 = \frac{30a^4b^3}{15a^4b^3} = 2$
$D_2 = \frac{12a^2b^4}{6a^2b^4} = 2$
Поскольку $D_1 = D_2$ и результат $2$ является одночленом, этот многочлен может быть частным.

2. Проверим многочлен $Q = 3a^2 - 1,2b$.
Найдем возможный делитель $D$:
$D_1 = \frac{30a^4b^3}{3a^2} = 10a^2b^3$
$D_2 = \frac{12a^2b^4}{1,2b} = 10a^2b^3$
Поскольку $D_1 = D_2$ и результат $10a^2b^3$ является одночленом, этот многочлен также может быть частным.

Ответ: многочлен $15a^4b^3 - 6a^2b^4$ может быть частным, делитель равен $2$; многочлен $3a^2 - 1,2b$ может быть частным, делитель равен $10a^2b^3$.

34.17 Выясните, какой из данных многочленов может быть частным от деления многочлена $42x^5y^4 + 56x^4y^2$ на некоторый одночлен. Найдите делитель, если он существует:

а) $21x^4y^3 + 18x^3y^6$; $5.25xy^3 + 7y^6$; $6x^4y^3 + 8x^3y$

б) $6x^3y^3 + 8x^2y^6$; $42xy + 56y^2$; $21x^2y^3 + 28xy$

в) $42x^2y + 56x$; $21x^3y^3 + 28x^3y$; $4.2x^4y^2 + 5.6x^3$

г) $5.25xy^3 + 14xy^6$; $10.5x^2y^3 + 14xy$; $6x^3y + 8x^2$.

Для того чтобы многочлен мог быть частным от деления многочлена $42x^5y^4 + 56x^4y^2$ на некоторый одночлен, необходимо, чтобы отношение первого члена исходного многочлена к первому члену предполагаемого частного было равно отношению второго члена исходного многочлена ко второму члену частного. Это общее отношение и будет искомым одночленом-делителем.

a) Проверим многочлен $6x^4y^3 + 8x^3y$.
Найдем предполагаемый делитель, разделив первые члены:
$\frac{42x^5y^4}{6x^4y^3} = 7xy$.
Теперь проверим, получится ли тот же результат при делении вторых членов:
$\frac{56x^4y^2}{8x^3y} = 7xy$.
Так как результаты равны и являются одночленом, данный многочлен может быть частным.
Ответ: частное $6x^4y^3 + 8x^3y$, делитель $7xy$.

б) Проверим многочлен $21x^2y^3 + 28xy$.
Найдем делитель по первым членам:
$\frac{42x^5y^4}{21x^2y^3} = 2x^3y$.
Проверим по вторым членам:
$\frac{56x^4y^2}{28xy} = 2x^3y$.
Поскольку результаты равны и являются одночленом, этот многочлен может быть частным.
Ответ: частное $21x^2y^3 + 28xy$, делитель $2x^3y$.

в) Проверим многочлен $4,2x^4y^2 + 5,6x^3$.
Найдем делитель по первым членам:
$\frac{42x^5y^4}{4,2x^4y^2} = 10xy^2$.
Проверим по вторым членам:
$\frac{56x^4y^2}{5,6x^3} = 10xy^2$.
Поскольку результаты равны и являются одночленом, этот многочлен может быть частным.
Ответ: частное $4,2x^4y^2 + 5,6x^3$, делитель $10xy^2$.

г) Проверим многочлен $10,5x^2y^3 + 14xy$.
Найдем делитель по первым членам:
$\frac{42x^5y^4}{10,5x^2y^3} = 4x^3y$.
Проверим по вторым членам:
$\frac{56x^4y^2}{14xy} = 4x^3y$.
Поскольку результаты равны и являются одночленом, этот многочлен может быть частным.
Ответ: частное $10,5x^2y^3 + 14xy$, делитель $4x^3y$.

Результаты некоторого измерения распределены следующим образом:

35.1

а) Найдите объём и размах измерения.

б) Найдите моду измерения. Сколько раз она встретилась в измерении?

в) Найдите частоту моды и представьте её в виде обыкновенной дроби.

г) Представьте частоту моды в виде десятичной дроби; в процентах.

а) Найдите объём и размах измерения.

Объём измерения — это общее количество всех данных в ряду. Чтобы его найти, необходимо сложить все значения из строки "Сколько раз встретился".

Объём $N = 2 + 6 + 4 + 3 + 2 = 17$.

Размах измерения — это разность между наибольшим и наименьшим значениями результатов.

Наибольший результат: $7$.

Наименьший результат: $-3$.

Размах $R = \text{max} - \text{min} = 7 - (-3) = 7 + 3 = 10$.

Ответ: объём измерения равен 17, размах измерения равен 10.

б) Найдите моду измерения. Сколько раз она встретилась в измерении?

Мода измерения — это значение результата, которое встречается наиболее часто. Для её определения нужно найти максимальное значение в строке "Сколько раз встретился".

Частоты результатов: 2, 6, 4, 3, 2. Наибольшая из этих частот — 6.

Эта частота соответствует результату $-1$. Следовательно, мода данного измерения равна $-1$.

Мода встретилась в измерении 6 раз.

Ответ: мода измерения равна -1; она встретилась 6 раз.

в) Найдите частоту моды и представьте её в виде обыкновенной дроби.

Относительная частота моды вычисляется как отношение частоты моды к общему объёму измерений.

Частота моды (из пункта б): 6.

Объём измерений (из пункта а): 17.

Относительная частота моды = $\frac{\text{Частота моды}}{\text{Объём измерений}} = \frac{6}{17}$.

Эта дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{6}{17}$.

г) Представьте частоту моды в виде десятичной дроби; в процентах.

Для представления частоты моды в виде десятичной дроби разделим числитель на знаменатель дроби, полученной в пункте в).

$\frac{6}{17} = 6 \div 17 = 0,352941...$

Округлим полученное значение до тысячных: $0,353$.

Для представления частоты в процентах необходимо умножить десятичную дробь на 100%.

$0,352941... \times 100\% = 35,2941...\%$

Округлим полученное значение до десятых: $35,3\%$.

Ответ: в виде десятичной дроби (с округлением до тысячных) – $0,353$; в процентах (с округлением до десятых) – $35,3\%$.

35.2 а) Найдите частоту результата 7. Представьте её в виде обыкновенной дроби; в виде десятичной дроби; в процентах.

б) Найдите процентную частоту остальных результатов.

в) Заполните таблицу распределения процентных частот:

г) Перечислите те результаты, каждый из которых составляет менее 20 % общего числа результатов.

По итогам чемпионата Европы по футболу 2008 года на одном из футбольных сайтов определялся лучший игрок сборной России. Проголосовало 7000 человек. Результаты голосования занесены в таблицу:

Примечание: Задача в представленном виде, скорее всего, содержит неточности и неполные данные. В частности, вопросы (а) и (в) ссылаются на числовые "результаты", которые не соответствуют данным опроса о футболистах. Кроме того, в таблице с результатами опроса отсутствуют данные для двух игроков. Для предоставления развернутого решения были сделаны следующие обоснованные предположения:

1. Все части задачи (а, б, в, г) и данные об опросе относятся к одной задаче 35.2.
2. В вопросе (а) "результата 7" является указанием на седьмого игрока в общем списке — Семака.
3. Недостающие процентные доли для Жиркова и Павлюченко равны между собой.
4. Таблица в пункте (в) с результатами -3, -1, 2, 4, 7 является ошибочной и вместо неё требуется составить полную таблицу распределения частот для всех футболистов.

Сначала найдем недостающие процентные частоты. Общая сумма всех частот должна быть 100%. Вычислим сумму известных частот:

$3,8\% + 31,8\% + 4,9\% + 8,4\% + 6,6\% + 1,3\% = 56,8\%$

Следовательно, на долю Жиркова и Павлюченко приходится:

$100\% - 56,8\% = 43,2\%$

Согласно нашему предположению, эти проценты делятся между ними поровну:

Частота для Жиркова = Частота для Павлюченко = $43,2\% \div 2 = 21,6\%$

а) Найдите частоту результата 7. Представьте её в виде обыкновенной дроби; в виде десятичной дроби; в процентах.

Предполагая, что "результат 7" — это седьмой игрок в списке, Семак, для которого процентная частота составляет 6,6%. Частота (или относительная частота) — это доля голосов от общего числа. Для ее нахождения необходимо процентное значение разделить на 100.

Относительная частота: $6,6\% \div 100 = 0,066$.

• В виде десятичной дроби: $0,066$.
• В виде обыкновенной дроби: $0,066 = \frac{66}{1000} = \frac{33}{500}$.
• В процентах: $0,066 \times 100\% = 6,6\%$.

Ответ: Частота результата "Семак" составляет $\frac{33}{500}$, что равно $0,066$ или $6,6\%$.

б) Найдите процентную частоту остальных результатов.

Под "остальными результатами" будем понимать всех игроков, кроме Семака. Их процентные частоты, включая вычисленные нами:

• Анюков: 3,8%
• Аршавин: 31,8%
• Жирков: 21,6%
• Зырянов: 4,9%
• Колодин: 8,4%
• Павлюченко: 21,6%
• Семшов: 1,3%

Ответ: Процентные частоты остальных игроков: Анюков — 3,8%; Аршавин — 31,8%; Жирков — 21,6%; Зырянов — 4,9%; Колодин — 8,4%; Павлюченко — 21,6%; Семшов — 1,3%.

в) Заполните таблицу распределения процентных частот:

Так как исходная таблица в задании некорректна, составим правильную таблицу распределения процентных частот для всех игроков по результатам опроса.

Ответ: Сводная таблица распределения процентных частот представлена выше.

г) Перечислите те результаты, каждый из которых составляет менее 20 % общего числа результатов.

Требуется найти игроков, процент голосов за которых меньше 20%. Проанализируем полный список процентных частот:

• Анюков: $3,8\% \lt 20\%$
• Аршавин: $31,8\% \gt 20\%$
• Жирков: $21,6\% \gt 20\%$
• Зырянов: $4,9\% \lt 20\%$
• Колодин: $8,4\% \lt 20\%$
• Павлюченко: $21,6\% \gt 20\%$
• Семак: $6,6\% \lt 20\%$
• Семшов: $1,3\% \lt 20\%$

Игроки, набравшие менее 20% голосов: Анюков, Зырянов, Колодин, Семак, Семшов.

Ответ: Анюков, Зырянов, Колодин, Семак, Семшов.