Номер 1, страница 154, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

1. Приведите пример корректного задания на деление многочлена на одночлен. Выполните это деление.

Корректное задание на деление многочлена на одночлен подразумевает, что результатом такого деления будет новый многочлен. Это возможно только в том случае, если каждый член многочлена-делимого делится нацело на одночлен-делитель. Для этого необходимо, чтобы:
1. Коэффициент каждого члена многочлена делился на коэффициент одночлена (если мы хотим получить целые коэффициенты в результате, хотя это не строгое требование).
2. Для каждой переменной, содержащейся в одночлене, ее степень в каждом члене многочлена была не меньше, чем ее степень в одночлене.

Пример корректного задания:

Разделить многочлен $(12a^4b^2 - 9a^3b^3 + 6a^2b^2)$ на одночлен $(3a^2b^2)$.

Это задание корректно, так как степени переменных $a$ (4 и 3) и $b$ (2 и 3) в каждом члене многочлена не меньше соответствующих степеней в одночлене $3a^2b^2$ (где степени равны 2 и 2).

Выполнение деления:

Чтобы разделить многочлен на одночлен, необходимо каждый член многочлена разделить на этот одночлен, а полученные результаты алгебраически сложить.

$(12a^4b^2 - 9a^3b^3 + 6a^2b^2) : (3a^2b^2) = \frac{12a^4b^2}{3a^2b^2} - \frac{9a^3b^3}{3a^2b^2} + \frac{6a^2b^2}{3a^2b^2}$

Разделим каждый член многочлена на одночлен по отдельности, используя правило деления степеней с одинаковым основанием ($x^m / x^n = x^{m-n}$):

1. $\frac{12a^4b^2}{3a^2b^2} = (\frac{12}{3}) \cdot a^{4-2} \cdot b^{2-2} = 4 \cdot a^2 \cdot b^0 = 4a^2$

2. $\frac{9a^3b^3}{3a^2b^2} = (\frac{9}{3}) \cdot a^{3-2} \cdot b^{3-2} = 3 \cdot a^1 \cdot b^1 = 3ab$

3. $\frac{6a^2b^2}{3a^2b^2} = (\frac{6}{3}) \cdot a^{2-2} \cdot b^{2-2} = 2 \cdot a^0 \cdot b^0 = 2$

Теперь соберем полученные одночлены в новый многочлен: $4a^2 - 3ab + 2$.

Ответ: $4a^2 - 3ab + 2$