Номер 3, страница 152, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 1. Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами. Параграф 33. Формулы сокращённого умножения. Вопросы для самопроверки - номер 3, страница 152.

Условие.

3. Можно ли данный многочлен представить в виде квадрата суммы или квадрата разности двух выражений? Если можно, то сделайте это, если нет, то объясните почему:

а) $a^2 + 4ab + 4b^2;$

б) $x^4 - 2x^2y + y^2;$

в) $x^2 + 20xy + 25y^2;$

г) $x^4 - 2x^2y + 2y^2.$

Решение 1.

Решение 8.

Для того чтобы определить, можно ли представить многочлен в виде квадрата суммы или разности, необходимо проверить, соответствует ли он одной из формул сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
• Квадрат разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

а) $a^2 + 4ab + 4b^2$

Проверим, является ли данный многочлен полным квадратом. Первый член $a^2$ является квадратом выражения $A=a$. Третий член $4b^2$ является квадратом выражения $B=2b$. Теперь проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению $A$ и $B$, то есть $2AB$. $2AB = 2 \cdot a \cdot (2b) = 4ab$. Средний член многочлена ($4ab$) совпадает с вычисленным значением. Следовательно, данный многочлен можно представить в виде квадрата суммы. $a^2 + 4ab + 4b^2 = (a)^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a+2b)^2$.

Ответ: Да, можно. $(a+2b)^2$.

б) $x^4 - 2x^2y + y^2$

Проверим, является ли данный многочлен полным квадратом. Первый член $x^4$ является квадратом выражения $A=x^2$. Третий член $y^2$ является квадратом выражения $B=y$. Так как средний член отрицательный, будем использовать формулу квадрата разности. Он должен быть равен $-2AB$. $-2AB = -2 \cdot x^2 \cdot y = -2x^2y$. Средний член многочлена ($-2x^2y$) совпадает с вычисленным значением. Следовательно, данный многочлен можно представить в виде квадрата разности. $x^4 - 2x^2y + y^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot y + y^2 = (x^2 - y)^2$.

Ответ: Да, можно. $(x^2 - y)^2$.

в) $x^2 + 20xy + 25y^2$

Проверим, является ли данный многочлен полным квадратом. Первый член $x^2$ является квадратом выражения $A=x$. Третий член $25y^2$ является квадратом выражения $B=5y$. Теперь проверим средний член. По формуле квадрата суммы он должен быть равен $2AB$. $2AB = 2 \cdot x \cdot (5y) = 10xy$. Однако в данном многочлене средний член равен $20xy$. Так как $20xy \neq 10xy$, этот многочлен не является полным квадратом и его нельзя представить в виде квадрата суммы или разности.

Ответ: Нет, нельзя, так как удвоенное произведение предполагаемых первого и второго выражений ($2 \cdot x \cdot 5y = 10xy$) не равно среднему члену многочлена ($20xy$).

г) $x^4 - 2x^2y + 2y^2$

Проверим, является ли данный многочлен полным квадратом. Первый член $x^4$ является квадратом выражения $A=x^2$. Рассмотрим третий член $2y^2$. Это выражение не является квадратом одночлена с рациональными коэффициентами, поскольку коэффициент 2 не является точным квадратом целого или рационального числа. Если мы предположим, что первое выражение $A = x^2$ и попробуем определить второе выражение $B$ из среднего члена $-2x^2y$, то по формуле $-2AB = -2x^2y$ получим, что $B=y$. Но в этом случае третий член должен быть равен $B^2 = y^2$. В исходном многочлене третий член равен $2y^2$, что не совпадает. Таким образом, данный многочлен нельзя представить в виде квадрата разности двух выражений.

Ответ: Нет, нельзя, так как при $A=x^2$ и $B=y$ третий член многочлена должен быть $y^2$, а не $2y^2$.