Номер 2, страница 146, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Всегда ли задание найти произведение двух многочленов является корректным?

Да, задание найти произведение двух многочленов является корректным всегда. Это следует из самого определения многочлена и операции умножения в алгебре.

Многочлен (или полином) от одной переменной $x$ — это выражение вида $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, где коэффициенты $a_i$ являются числами (например, действительными или комплексными), а $n$ — целое неотрицательное число. Ключевым свойством является то, что все степени переменной $x$ — это целые неотрицательные числа ($0, 1, 2, \dots$).

Рассмотрим два произвольных многочлена:

$P(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i$

$Q(x) = \sum_{j=0}^{m} b_j x^j$

Их произведение $R(x) = P(x) \cdot Q(x)$ находится путем применения дистрибутивного закона (правила "каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого многочлена"):

$R(x) = \left( \sum_{i=0}^{n} a_i x^i \right) \cdot \left( \sum_{j=0}^{m} b_j x^j \right) = \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} (a_i x^i)(b_j x^j)$

Упрощая произведение отдельных членов, получаем:

$(a_i x^i)(b_j x^j) = (a_i b_j) x^{i+j}$

Поскольку $i$ и $j$ являются целыми неотрицательными числами по определению многочлена, их сумма $k = i+j$ также будет целым неотрицательным числом. Коэффициенты $a_i b_j$ будут числами того же типа, что и исходные коэффициенты.

Таким образом, произведение $R(x)$ представляет собой сумму слагаемых вида $c_k x^k$, где $k$ — целое неотрицательное число. После приведения подобных слагаемых (то есть сложения коэффициентов при одинаковых степенях $x$) итоговое выражение снова будет иметь форму многочлена.

Это свойство называется замкнутостью множества многочленов относительно операции умножения. Это означает, что результатом умножения любых двух многочленов всегда является многочлен. Следовательно, операция определена для любой пары многочленов и всегда приводит к результату того же типа.

Например, найдем произведение многочленов $P(x) = 3x^2 - x$ и $Q(x) = 2x + 4$:

$P(x) \cdot Q(x) = (3x^2 - x)(2x + 4) = 3x^2 \cdot (2x) + 3x^2 \cdot 4 - x \cdot (2x) - x \cdot 4 = 6x^3 + 12x^2 - 2x^2 - 4x = 6x^3 + 10x^2 - 4x$

Результат $6x^3 + 10x^2 - 4x$ также является многочленом.

Таким образом, поскольку операция умножения для многочленов всегда определена и ее результат также является многочленом, задание на нахождение произведения двух многочленов является полностью корректным с математической точки зрения.

Ответ: Да, задание найти произведение двух многочленов является корректным всегда, так как множество многочленов замкнуто относительно операции умножения, то есть произведение любых двух многочленов всегда является многочленом.