Номер 4, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

4. Может ли сумма или разность двух многочленов равняться числу? Если да, то приведите пример.

Да, сумма или разность двух многочленов может равняться числу. Это происходит в том случае, когда все члены, содержащие переменные (т.е. члены с ненулевой степенью), взаимно уничтожаются при сложении или вычитании. В результате операции остается только свободный член (константа, или многочлен нулевой степени), который и является числом.

Для того чтобы это произошло, необходимо, чтобы у двух многочленов все члены с одинаковыми переменными в одинаковых степенях были либо противоположны по знаку (для суммы), либо полностью совпадали (для разности).

Пример для суммы

Пусть даны два многочлена $P_1(x) = 3x^2 - 4x + 8$ и $P_2(x) = -3x^2 + 4x - 5$.

Найдем их сумму:

$P_1(x) + P_2(x) = (3x^2 - 4x + 8) + (-3x^2 + 4x - 5)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$P_1(x) + P_2(x) = (3x^2 - 3x^2) + (-4x + 4x) + (8 - 5) = 0 + 0 + 3 = 3$

В результате сложения двух многочленов получилось число $3$.

Пример для разности

Пусть даны два многочлена $Q_1(y) = 5y^3 + 2y^2 - 10$ и $Q_2(y) = 5y^3 + 2y^2 + 2$.

Найдем их разность:

$Q_1(y) - Q_2(y) = (5y^3 + 2y^2 - 10) - (5y^3 + 2y^2 + 2)$

Раскроем скобки, изменив знаки второго многочлена на противоположные, и приведем подобные слагаемые:

$Q_1(y) - Q_2(y) = 5y^3 + 2y^2 - 10 - 5y^3 - 2y^2 - 2 = (5y^3 - 5y^3) + (2y^2 - 2y^2) + (-10 - 2) = 0 + 0 - 12 = -12$

В результате вычитания одного многочлена из другого получилось число $-12$.

Ответ: Да, может. Например, сумма многочленов $(x^2 + 5)$ и $(-x^2 + 3)$ равна $8$; разность многочленов $(x^2 + 5)$ и $(x^2 + 3)$ равна $2$.