Номер 2, страница 145, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Всегда ли задание представить заданный многочлен в виде произведения многочлена и одночлена является корректным?

Вопрос о корректности данного задания можно трактовать по-разному, и ответ будет зависеть от этой трактовки.

С одной стороны, с чисто формальной точки зрения, задание "представить заданный многочлен в виде произведения многочлена и одночлена" является всегда корректным. Это объясняется тем, что любой многочлен $P$ можно представить в виде произведения $1 \cdot P$. В данной записи число $1$ является одночленом (это константа, или одночлен нулевой степени), а $P$ — это исходный многочлен. Поскольку такое представление можно найти для любого многочлена без исключения, то задание формально всегда выполнимо, а значит, корректно. Например, для многочлена $5x + 3y$ такое представление имеет вид $1 \cdot (5x + 3y)$.

С другой стороны, в школьном курсе алгебры и на практике под таким заданием обычно понимают нахождение нетривиального разложения. То есть, требуется вынести за скобки общий множитель, который не является просто единицей. Цель такого действия — упростить выражение, выявив его структуру, или подготовить его для дальнейших преобразований (например, для сокращения дроби). Если трактовать задание именно так, то оно является корректным не всегда.

Нетривиальное представление многочлена в виде произведения многочлена и одночлена возможно только в том случае, если все одночлены, из которых состоит исходный многочлен, имеют общий делитель, отличный от 1. Этот общий делитель (наибольший общий делитель, НОД) и будет тем одночленом, который выносится за скобки.

Рассмотрим пример, когда такое нетривиальное разложение существует. Для многочлена $12x^3y - 18x^2y^2$ мы можем найти НОД его членов. НОД коэффициентов 12 и 18 равен 6. Общие переменные в наименьших степенях — это $x^2$ и $y$. Таким образом, общий множитель для вынесения за скобки — это одночлен $6x^2y$. Разложение выглядит так: $12x^3y - 18x^2y^2 = 6x^2y(2x - 3y)$.

А теперь рассмотрим пример, когда нетривиальное разложение невозможно. Возьмем многочлен $7a^2 + 5b + 3$. Коэффициенты 7, 5 и 3 являются взаимно простыми числами (их НОД равен 1). Общих переменных у всех трех членов нет. Следовательно, единственный общий делитель для всех членов этого многочлена — это 1. Единственное возможное представление в требуемом виде — это тривиальное разложение $1 \cdot (7a^2 + 5b + 3)$. В этом случае говорят, что у многочлена нет общего множителя (кроме 1), который можно было бы вынести за скобки.

Таким образом, если под "корректностью" задания понимать возможность найти нетривиальное, практически полезное решение, то задание корректно не всегда. Оно корректно только для тех многочленов, у которых НОД всех его членов является одночленом, отличным от константы 1.

Ответ: Нет, задание корректно не всегда. Оно является корректным (в смысле наличия нетривиального решения) только в том случае, если все члены, составляющие многочлен, имеют общий делитель, отличный от 1. Если такого общего делителя нет, то единственным возможным представлением является тривиальное $P = 1 \cdot P$, которое обычно не является целью такого задания.