Номер 1, страница 145, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 1. Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами. Параграф 31. Умножение многочлена на одночлен. Вопросы для самопроверки - номер 1, страница 145.

Условие.

1. Сформулируйте правило умножения многочлена на одночлен. Проиллюстрируйте его на придуманном вами примере умножения трёхчлена на одночлен.

Решение 1.

Решение 8.

Сформулируйте правило умножения многочлена на одночлен.

Чтобы умножить многочлен на одночлен, необходимо умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Это правило основывается на распределительном свойстве умножения относительно сложения, которое в общем виде записывается так: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

В общем случае, если у нас есть многочлен $P = A_1 + A_2 + \dots + A_n$ и одночлен $M$, то их произведение находится по формуле:
$M \cdot P = M \cdot (A_1 + A_2 + \dots + A_n) = M \cdot A_1 + M \cdot A_2 + \dots + M \cdot A_n$.

Ответ: Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Проиллюстрируйте его на придуманном вами примере умножения трёхчлена на одночлен.

Рассмотрим пример умножения трёхчлена (многочлена с тремя членами) $4x^2 - 7xy + 2y^2$ на одночлен (многочлен с одним членом) $3x$.

Применим правило: умножим одночлен $3x$ на каждый член трёхчлена $4x^2 - 7xy + 2y^2$ поочерёдно.
$(3x) \cdot (4x^2 - 7xy + 2y^2)$

1. Умножим $3x$ на первый член $4x^2$:
$(3x) \cdot (4x^2) = (3 \cdot 4) \cdot (x \cdot x^2) = 12x^3$

2. Умножим $3x$ на второй член $-7xy$:
$(3x) \cdot (-7xy) = (3 \cdot -7) \cdot (x \cdot x) \cdot y = -21x^2y$

3. Умножим $3x$ на третий член $2y^2$:
$(3x) \cdot (2y^2) = (3 \cdot 2) \cdot x \cdot y^2 = 6xy^2$

4. Сложим полученные произведения:
$12x^3 + (-21x^2y) + 6xy^2 = 12x^3 - 21x^2y + 6xy^2$

Таким образом, весь процесс выглядит так:
$(3x) \cdot (4x^2 - 7xy + 2y^2) = (3x) \cdot (4x^2) + (3x) \cdot (-7xy) + (3x) \cdot (2y^2) = 12x^3 - 21x^2y + 6xy^2$.

Ответ: $(3x) \cdot (4x^2 - 7xy + 2y^2) = 12x^3 - 21x^2y + 6xy^2$.