Номер 2, страница 138, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Вопросы для самопроверки. Параграф 29. Основные понятия. Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами. Часть 1 - номер 2, страница 138.

Условие.

2. Опишите процесс приведения многочлена к стандартному виду. Прокомментируйте это на примере приведения к стандартному виду многочлена $2ababc - 3abcb^2 + 4bcbab + 5a^2bcb$.

Решение 1.

Решение 8.

Опишите процесс приведения многочлена к стандартному виду.

Приведение многочлена к стандартному виду — это его преобразование к форме, в которой все его члены являются одночленами стандартного вида и отсутствуют подобные слагаемые. Процесс состоит из двух основных шагов.
Шаг 1: Приведение каждого члена многочлена к стандартному виду. Каждый член многочлена (одночлен) приводится к своей стандартной форме. Одночлен считается представленным в стандартном виде, когда он записан как произведение числового множителя (коэффициента), стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. При этом каждая переменная встречается в записи лишь один раз, а сами переменные, как правило, располагаются в алфавитном порядке.
Шаг 2: Приведение подобных слагаемых. После стандартизации всех членов многочлена, необходимо найти и объединить подобные члены. Подобными называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть (те же переменные с теми же показателями степени). Для их объединения нужно сложить их коэффициенты, а буквенная часть остается неизменной.
В результате выполнения этих двух шагов многочлен будет приведен к стандартному виду.

Ответ: Процесс приведения многочлена к стандартному виду заключается в приведении каждого его члена к стандартному виду и последующем сложении (приведении) подобных слагаемых.

Прокомментируйте это на примере приведения к стандартному виду многочлена $2ababc - 3abcb^2 + 4bcbab + 5a^2bcb$.

Рассмотрим исходный многочлен: $2ababc - 3abcb^2 + 4bcbab + 5a^2bcb$.

Шаг 1: Приведем каждый член этого многочлена к стандартному виду. Для этого сгруппируем одинаковые переменные и запишем их в виде степени, расположив в алфавитном порядке.
Первый член: $2ababc = 2 \cdot (a \cdot a) \cdot (b \cdot b) \cdot c = 2a^2b^2c$.
Второй член: $-3abcb^2 = -3 \cdot a \cdot (b \cdot b^2) \cdot c = -3ab^3c$.
Третий член: $4bcbab = 4 \cdot a \cdot (b \cdot b \cdot b) \cdot c = 4ab^3c$.
Четвертый член: $5a^2bcb = 5 \cdot a^2 \cdot (b \cdot b) \cdot (c \cdot c) = 5a^2b^2c^2$.

После этого преобразования многочлен принимает вид: $2a^2b^2c - 3ab^3c + 4ab^3c + 5a^2b^2c^2$.

Шаг 2: Найдем и приведем подобные слагаемые. Подобными являются члены $-3ab^3c$ и $4ab^3c$, так как они имеют одинаковую буквенную часть $ab^3c$. Сложим их коэффициенты: $(-3 + 4)ab^3c = 1 \cdot ab^3c = ab^3c$.

Остальные члены, $2a^2b^2c$ и $5a^2b^2c^2$, не имеют подобных, так как их буквенные части ($a^2b^2c$ и $a^2b^2c^2$) различны.

Подставив результат сложения подобных членов обратно в многочлен, получим его стандартный вид: $2a^2b^2c + ab^3c + 5a^2b^2c^2$.

Для финальной записи члены многочлена часто располагают в порядке убывания их степени (сумма показателей степеней всех переменных в члене).
Степень члена $5a^2b^2c^2$ равна $2+2+2=6$.
Степень члена $2a^2b^2c$ равна $2+2+1=5$.
Степень члена $ab^3c$ равна $1+3+1=5$.
Таким образом, упорядоченный многочлен выглядит так: $5a^2b^2c^2 + 2a^2b^2c + ab^3c$.

Ответ: $5a^2b^2c^2 + 2a^2b^2c + ab^3c$.