Номер 1, страница 138, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Вопросы для самопроверки. Параграф 29. Основные понятия. Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами. Часть 1 - номер 1, страница 138.

Условие.

1. Что такое многочлен?

Решение 1.

Решение 8.

1.

Многочлен — это алгебраическое выражение, которое представляет собой сумму одного или нескольких одночленов.

Чтобы понять это определение, нужно сначала разобраться, что такое одночлен. Одночлен — это произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными (или нулевым) показателями.
Примеры одночленов: $5x^2$, $-7ab$, $y^3$, $12$ (число без переменных также является одночленом).

Теперь вернемся к многочлену. Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами.
Пример многочлена: $4x^2y - 2xy + 5$.
Его членами являются одночлены $4x^2y$, $-2xy$ и $5$.

Стандартный вид многочлена — это такая его запись, при которой:

1. Все его члены являются одночленами стандартного вида (т.е. числовой коэффициент стоит на первом месте, а за ним следуют переменные в алфавитном порядке).
2. Среди его членов нет подобных. Подобные члены — это одночлены с одинаковой буквенной частью (например, $3a^2b$ и $-5a^2b$).
3. Члены многочлена (если он зависит от одной переменной) обычно располагают в порядке убывания их степеней.

Пример приведения к стандартному виду:
Возьмем многочлен $3xy^2 + 5x^2y - 2xy^2 - x^2y$.
Найдем подобные члены: $(3xy^2 - 2xy^2)$ и $(5x^2y - x^2y)$.
Выполним действия: $xy^2 + 4x^2y$.
Запишем в порядке убывания степеней (например, по переменной $x$): $4x^2y + xy^2$. Это и есть стандартный вид исходного многочлена.

Степень многочлена стандартного вида — это наибольшая из степеней его членов. Степень члена (одночлена) — это сумма показателей степеней всех его переменных.
Пример: У многочлена $7x^3y^2 - 4x^4 + y - 9$ степени его членов равны:

• $7x^3y^2 \rightarrow 3+2=5$
• $-4x^4 \rightarrow 4$
• $y \rightarrow 1$
• $-9 \rightarrow 0$

Наибольшая степень равна $5$, следовательно, это многочлен пятой степени.

В общем виде многочлен от одной переменной $x$ записывается как:
$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$
где $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ — это числовые коэффициенты, а $n$ — целое неотрицательное число, являющееся степенью многочлена.

Ответ: Многочлен — это сумма одночленов. Одночленом, в свою очередь, является произведение чисел и переменных, возведенных в целые неотрицательные степени.