Номер 3, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Вопросы для самопроверки. Параграф 30. Сложение и вычитание многочленов. Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами. Часть 1 - номер 3, страница 141.

Условие.

3. Всегда ли задание найти сумму или разность многочленов является корректным?

Решение 1.

Решение 8.

3.

Да, задание найти сумму или разность многочленов является корректным всегда. Чтобы понять почему, давайте разберемся, что такое многочлены и как выполняются операции сложения и вычитания с ними.

Многочлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой сумму одночленов. Одночлен — это произведение числа (коэффициента) и переменных в натуральных степенях. Например, $5x^3$, $-2xy^2$ и $7$ являются одночленами. Многочлен в стандартном виде — это многочлен, в котором все подобные члены приведены, и они записаны в порядке убывания степеней переменной.

Операции сложения и вычитания многочленов определены для любой пары многочленов. Результатом этих операций всегда будет другой многочлен. Это свойство называется замкнутостью множества многочленов относительно операций сложения и вычитания.

Сложение многочленов:

Чтобы сложить два многочлена, нужно сгруппировать их подобные члены (одночлены с одинаковой буквенной частью) и сложить их коэффициенты.

Рассмотрим пример. Пусть даны два многочлена:
$P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7$
$Q(x) = x^2 - 4x + 3$

Их сумма $P(x) + Q(x)$ находится следующим образом:
$P(x) + Q(x) = (3x^3 - 2x^2 + 5x - 7) + (x^2 - 4x + 3)$
Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:
$= 3x^3 + (-2x^2 + x^2) + (5x - 4x) + (-7 + 3)$
Сложим коэффициенты у подобных членов:
$= 3x^3 + (-2+1)x^2 + (5-4)x + (-4)$
$= 3x^3 - x^2 + x - 4$

Полученное выражение $3x^3 - x^2 + x - 4$ также является многочленом. Эта процедура применима к любым двум многочленам, независимо от их степени, количества членов или количества переменных.

Вычитание многочленов:

Чтобы вычесть один многочлен из другого, нужно раскрыть скобки, изменив знак каждого члена вычитаемого многочлена на противоположный, а затем привести подобные члены.

Используем те же многочлены $P(x)$ и $Q(x)$ для примера:
$P(x) - Q(x) = (3x^3 - 2x^2 + 5x - 7) - (x^2 - 4x + 3)$
Раскроем скобки, меняя знаки у второго многочлена:
$= 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7 - x^2 + 4x - 3$
Сгруппируем подобные члены:
$= 3x^3 + (-2x^2 - x^2) + (5x + 4x) + (-7 - 3)$
Выполним вычисления:
$= 3x^3 + (-2-1)x^2 + (5+4)x + (-10)$
$= 3x^3 - 3x^2 + 9x - 10$

Результат $3x^3 - 3x^2 + 9x - 10$ также является многочленом.

Таким образом, поскольку для любой пары многочленов их сумма и разность всегда существуют, однозначно определены и сами являются многочленами, то задание найти сумму или разность многочленов всегда является корректным.

Ответ: Да, задание найти сумму или разность многочленов является корректным всегда, так как множество многочленов замкнуто относительно операций сложения и вычитания. Это означает, что сумма или разность любых двух многочленов всегда является многочленом.