Номер 7, страница 152, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

7. Какой из данных многочленов является полным квадратом, а какой — неполным квадратом: $x^2 + 5xy + 25y^2$, $x^2 - 10xy + 25y^2$?

Чтобы определить, какой из многочленов является полным квадратом, а какой — неполным, необходимо сравнить их со стандартными формулами квадрата суммы и квадрата разности:

• Квадрат суммы (полный квадрат): $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности (полный квадрат): $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Выражения вида $a^2+ab+b^2$ и $a^2-ab+b^2$ называются неполными квадратами.

$x^2 + 5xy + 25y^2$
Проверим этот многочлен на соответствие формуле полного квадрата.
Первый член многочлена — $x^2$. Это квадрат выражения $x$. Пусть $a=x$.
Третий член — $25y^2$. Это квадрат выражения $5y$. Пусть $b=5y$.
Теперь найдем, каким должен быть средний член для полного квадрата. Он должен быть равен удвоенному произведению $a$ и $b$: $2ab = 2 \cdot x \cdot 5y = 10xy$.
В нашем многочлене средний член равен $5xy$.
Так как $5xy \neq 10xy$, этот многочлен не является полным квадратом. Он представляет собой неполный квадрат суммы, так как его средний член $5xy$ равен произведению $a=x$ и $b=5y$.
Ответ: неполный квадрат.

$x^2 - 10xy + 25y^2$
Проверим второй многочлен, сравнивая его с формулой полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Первый член — $x^2$, что является квадратом выражения $x$. Пусть $a=x$.
Третий член — $25y^2$, что является квадратом выражения $5y$. Пусть $b=5y$.
Средний член для полного квадрата разности должен быть равен $-2ab$. Вычислим его: $-2ab = -2 \cdot x \cdot 5y = -10xy$.
Средний член в данном многочлене равен $-10xy$, что полностью совпадает с требуемым значением.
Таким образом, многочлен $x^2 - 10xy + 25y^2$ является полным квадратом разности выражений $x$ и $5y$: $(x-5y)^2$.
Ответ: полный квадрат.