Номер 2, страница 158, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 1. Глава 6. Многочлены. Арифметические операции над многочленами. Параграф 35. Процентные частоты. Темы исследовательских работ - номер 2, страница 158.

Условие.

2. Метод выделения полного квадрата.

Решение 1.

Решение 8.

Метод выделения полного квадрата — это алгебраическое преобразование, которое используется для приведения квадратного трехчлена вида $ax^2 + bx + c$ к форме $a(x \pm h)^2 + k$. Этот метод является фундаментальным и широко применяется для решения квадратных уравнений, нахождения вершин парабол, а также в других разделах математики, например, при вычислении интегралов.

Суть метода

Основа метода — это формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:
Квадрат суммы: $(x+d)^2 = x^2 + 2xd + d^2$
Квадрат разности: $(x-d)^2 = x^2 - 2xd + d^2$
Выражения $x^2 + 2xd + d^2$ и $x^2 - 2xd + d^2$ называются полными квадратами.
Идея метода заключается в том, чтобы к выражению вида $x^2 + px$ добавить и вычесть такое число, чтобы первые три слагаемых образовали полный квадрат. Этим числом всегда будет квадрат половины коэффициента при $x$, то есть $(\frac{p}{2})^2$.
$x^2 + px = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{p}{2} = \left(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{p}{2} + \left(\frac{p}{2}\right)^2\right) - \left(\frac{p}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2$

Ответ: Суть метода состоит в дополнении двучлена $x^2+px$ до полного квадрата $(x+p/2)^2$ путем добавления и вычитания слагаемого $(p/2)^2$.

Алгоритм выделения полного квадрата из трехчлена $ax^2 + bx + c$

Рассмотрим общий случай для квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$:

1. Если коэффициент $a \neq 1$, выносим его за скобки у первых двух слагаемых: $a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$.
2. В скобках находится выражение вида $x^2 + px$, где $p = \frac{b}{a}$.
3. Чтобы получить полный квадрат, добавляем и вычитаем внутри скобок квадрат половины коэффициента при $x$, то есть $(\frac{p}{2})^2 = (\frac{b}{2a})^2$.
   $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) + c$
4. "Сворачиваем" первые три слагаемых в скобках в полный квадрат по формуле:
   $a\left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) + c$
5. Раскрываем внешние скобки и упрощаем выражение:
   $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$

Ответ: В результате преобразования трехчлен $ax^2 + bx + c$ приводится к виду $a(x - x_0)^2 + y_0$, где $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = \frac{4ac-b^2}{4a}$.

Примеры применения

1. Решение квадратного уравнения

Решим уравнение $x^2 + 6x - 16 = 0$.
Перенесем свободный член в правую часть: $x^2 + 6x = 16$.
Коэффициент при $x$ равен 6. Его половина равна 3, а квадрат половины равен $3^2=9$. Добавим 9 к обеим частям уравнения:
$x^2 + 6x + 9 = 16 + 9$
Свернем левую часть в полный квадрат:
$(x+3)^2 = 25$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x+3 = 5$ или $x+3 = -5$
$x_1 = 2$, $x_2 = -8$

Ответ: Корни уравнения $x_1 = 2$, $x_2 = -8$.

2. Нахождение вершины параболы

Найдем координаты вершины параболы, заданной функцией $y = 2x^2 - 12x + 19$.
Вынесем коэффициент 2 за скобки:
$y = 2(x^2 - 6x) + 19$
В скобках выделим полный квадрат. Половина коэффициента при $x$ равна -3, ее квадрат равен 9.
$y = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 19$
$y = 2((x-3)^2 - 9) + 19$
Раскроем скобки:
$y = 2(x-3)^2 - 18 + 19$
$y = 2(x-3)^2 + 1$
Функция приведена к виду $y = a(x-x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ - координаты вершины.

Ответ: Координаты вершины параболы: $(3, 1)$.

Вывод формулы корней квадратного уравнения

Метод выделения полного квадрата позволяет вывести общую формулу для нахождения корней любого квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (при $a \neq 0$).
Разделим все уравнение на $a$:
$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
Перенесем свободный член вправо:
$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
Дополним левую часть до полного квадрата, прибавив к обеим частям $(\frac{b}{2a})^2$:
$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2$
Свернем левую часть:
$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}$
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
Извлечем корень (при условии, что $b^2 - 4ac \ge 0$):
$x + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Выразим $x$:
$x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Это и есть знаменитая формула корней квадратного уравнения.

Ответ: Формула корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ является прямым следствием применения метода выделения полного квадрата.