Номер 1, страница 158, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

1. Формулы сокращённого умножения.

Формулы сокращённого умножения — это широко используемые в алгебре тождества для упрощения выражений, разложения многочленов на множители и ускорения вычислений. Они представляют собой готовые результаты умножения некоторых типов многочленов.

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.

Формула: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Доказательство получается раскрытием скобок: $(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + 2ab + b^2$.

Квадрат разности

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого выражения на второе, плюс квадрат второго выражения.

Формула: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Доказательство: $(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a \cdot a - a \cdot b - b \cdot a + b \cdot b = a^2 - 2ab + b^2$.

Разность квадратов

Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности на их сумму.

Формула: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Доказательство (в обратную сторону): $(a-b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = a^2 - b^2$.

Куб суммы

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго выражения.

Формула: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Доказательство: $(a+b)^3 = (a+b)^2(a+b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a+b) = a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Куб разности

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго выражения.

Формула: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Доказательство: $(a-b)^3 = (a-b)^2(a-b) = (a^2 - 2ab + b^2)(a-b) = a^3 - a^2b - 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Сумма кубов

Сумма кубов двух выражений равна произведению их суммы на неполный квадрат их разности.

Формула: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

Доказательство: $(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + ba^2 - b^2a + b^3 = a^3 + b^3$.

Разность кубов

Разность кубов двух выражений равна произведению их разности на неполный квадрат их суммы.

Формула: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Доказательство: $(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - ba^2 - b^2a - b^3 = a^3 - b^3$.

Ответ:

Основные формулы сокращённого умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
• Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
• Куб разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$