Номер 1, страница 161, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 1. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Параграф 36. Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно. Вопросы для самопроверки - номер 1, страница 161.

Условие.

1. Используя материал данного параграфа, расскажите, для каких типов заданий нужно уметь раскладывать многочлен на множители. Попробуйте привести примеры.

Решение 1.

Решение 8.

Умение раскладывать многочлен на множители является ключевым навыком в алгебре, который используется для решения широкого спектра задач. Разложение на множители необходимо для следующих типов заданий:

Решение алгебраических уравнений

Это одно из самых частых применений. Если представить уравнение в виде $P(x) = 0$, где $P(x)$ — многочлен, то разложение $P(x)$ на множители позволяет свести исходное уравнение к совокупности более простых уравнений. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример: Решить уравнение $x^3 + 2x^2 - 3x = 0$.

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x^2 + 2x - 3) = 0$.

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 2x - 3$. Его корни можно найти по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = -3$ и $x_1 + x_2 = -2$. Корни равны $1$ и $-3$. Таким образом, $x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)$.

Исходное уравнение принимает вид: $x(x-1)(x+3) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $x=0$ или $x-1=0$ или $x+3=0$.

Отсюда получаем корни: $x_1=0, x_2=1, x_3=-3$.

Ответ: $x \in \{-3, 0, 1\}$.

Упрощение алгебраических дробей

Разложение на множители числителя и знаменателя дроби позволяет сократить общие множители и тем самым упростить выражение. Это необходимо при выполнении действий с дробями (сложение, вычитание, умножение, деление).

Пример: Сократить дробь $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}$.

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель раскладывается по формуле разности квадратов: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.

Знаменатель является полным квадратом разности: $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.

Подставляем разложения в дробь: $\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-3)}$.

Сокращаем общий множитель $(x-3)$ при условии, что $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.

Получаем: $\frac{x+3}{x-3}$.

Ответ: $\frac{x+3}{x-3}$ при $x \neq 3$.

Решение неравенств

Для решения неравенств вида $P(x) > 0$ или $P(x) < 0$ используется метод интервалов. Первым шагом этого метода является нахождение корней многочлена $P(x)$, для чего его необходимо разложить на множители.

Пример: Решить неравенство $x^2 + x - 12 < 0$.

Сначала найдем корни многочлена, решив уравнение $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.

Тогда неравенство можно записать в виде: $(x+4)(x-3) < 0$.

Корни $-4$ и $3$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -4)$, $(-4, 3)$ и $(3, +\infty)$. Определим знак произведения $(x+4)(x-3)$ на каждом интервале.

• При $x < -4$ (например, $x=-5$): $(-5+4)(-5-3) = (-1)(-8) = 8 > 0$.
• При $-4 < x < 3$ (например, $x=0$): $(0+4)(0-3) = (4)(-3) = -12 < 0$.
• При $x > 3$ (например, $x=4$): $(4+4)(4-3) = (8)(1) = 8 > 0$.

Неравенство выполняется на интервале, где произведение отрицательно.

Ответ: $x \in (-4, 3)$.

Нахождение области определения функции

Область определения функции — это множество всех значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Для дробно-рациональных функций нужно исключить значения, обращающие знаменатель в ноль. Для функций, содержащих квадратный корень, нужно найти значения, при которых подкоренное выражение неотрицательно. Обе эти задачи часто сводятся к решению уравнений или неравенств, требующих разложения на множители.

Пример: Найти область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{x^3 - 5x^2 + 6x}}$.

Подкоренное выражение должно быть строго больше нуля (так как оно находится в знаменателе): $x^3 - 5x^2 + 6x > 0$.

Разложим многочлен на множители. Вынесем $x$: $x(x^2 - 5x + 6) > 0$.

Разложим квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 6$. Его корни $x=2$ и $x=3$. Таким образом, $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$.

Неравенство принимает вид: $x(x-2)(x-3) > 0$.

Решаем методом интервалов. Корни: $0, 2, 3$. Они разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$, $(2, 3)$, $(3, +\infty)$.

Проверяем знаки на интервалах:

• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $(-)(-)(-) = - < 0$.
• При $0 < x < 2$ (например, $x=1$): $(+)(-)(-) = + > 0$.
• При $2 < x < 3$ (например, $x=2.5$): $(+)(+)(-) = - < 0$.
• При $x > 3$ (например, $x=4$): $(+)(+)(+) = + > 0$.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $x \in (0, 2) \cup (3, +\infty)$.