Номер 1, страница 161, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Авторы: Мордкович А. Г., Александрова Л. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 1
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04640-0
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Вопросы для самопроверки. Параграф 36. Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно. Глава 7. Разложение многочленов на множители. Часть 1 - номер 1, страница 161.
№1 (с. 161)
Условие. №1 (с. 161)
скриншот условия

1. Используя материал данного параграфа, расскажите, для каких типов заданий нужно уметь раскладывать многочлен на множители. Попробуйте привести примеры.
Решение 1. №1 (с. 161)

Решение 8. №1 (с. 161)
Умение раскладывать многочлен на множители является ключевым навыком в алгебре, который используется для решения широкого спектра задач. Разложение на множители необходимо для следующих типов заданий:
Решение алгебраических уравнений
Это одно из самых частых применений. Если представить уравнение в виде $P(x) = 0$, где $P(x)$ — многочлен, то разложение $P(x)$ на множители позволяет свести исходное уравнение к совокупности более простых уравнений. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Пример: Решить уравнение $x^3 + 2x^2 - 3x = 0$.
Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x^2 + 2x - 3) = 0$.
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 2x - 3$. Его корни можно найти по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = -3$ и $x_1 + x_2 = -2$. Корни равны $1$ и $-3$. Таким образом, $x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)$.
Исходное уравнение принимает вид: $x(x-1)(x+3) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $x=0$ или $x-1=0$ или $x+3=0$.
Отсюда получаем корни: $x_1=0, x_2=1, x_3=-3$.
Ответ: $x \in \{-3, 0, 1\}$.
Упрощение алгебраических дробей
Разложение на множители числителя и знаменателя дроби позволяет сократить общие множители и тем самым упростить выражение. Это необходимо при выполнении действий с дробями (сложение, вычитание, умножение, деление).
Пример: Сократить дробь $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}$.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель раскладывается по формуле разности квадратов: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.
Знаменатель является полным квадратом разности: $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.
Подставляем разложения в дробь: $\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-3)}$.
Сокращаем общий множитель $(x-3)$ при условии, что $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.
Получаем: $\frac{x+3}{x-3}$.
Ответ: $\frac{x+3}{x-3}$ при $x \neq 3$.
Решение неравенств
Для решения неравенств вида $P(x) > 0$ или $P(x) < 0$ используется метод интервалов. Первым шагом этого метода является нахождение корней многочлена $P(x)$, для чего его необходимо разложить на множители.
Пример: Решить неравенство $x^2 + x - 12 < 0$.
Сначала найдем корни многочлена, решив уравнение $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.
Тогда неравенство можно записать в виде: $(x+4)(x-3) < 0$.
Корни $-4$ и $3$ разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -4)$, $(-4, 3)$ и $(3, +\infty)$. Определим знак произведения $(x+4)(x-3)$ на каждом интервале.
- При $x < -4$ (например, $x=-5$): $(-5+4)(-5-3) = (-1)(-8) = 8 > 0$.
- При $-4 < x < 3$ (например, $x=0$): $(0+4)(0-3) = (4)(-3) = -12 < 0$.
- При $x > 3$ (например, $x=4$): $(4+4)(4-3) = (8)(1) = 8 > 0$.
Неравенство выполняется на интервале, где произведение отрицательно.
Ответ: $x \in (-4, 3)$.
Нахождение области определения функции
Область определения функции — это множество всех значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Для дробно-рациональных функций нужно исключить значения, обращающие знаменатель в ноль. Для функций, содержащих квадратный корень, нужно найти значения, при которых подкоренное выражение неотрицательно. Обе эти задачи часто сводятся к решению уравнений или неравенств, требующих разложения на множители.
Пример: Найти область определения функции $y = \frac{1}{\sqrt{x^3 - 5x^2 + 6x}}$.
Подкоренное выражение должно быть строго больше нуля (так как оно находится в знаменателе): $x^3 - 5x^2 + 6x > 0$.
Разложим многочлен на множители. Вынесем $x$: $x(x^2 - 5x + 6) > 0$.
Разложим квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 6$. Его корни $x=2$ и $x=3$. Таким образом, $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$.
Неравенство принимает вид: $x(x-2)(x-3) > 0$.
Решаем методом интервалов. Корни: $0, 2, 3$. Они разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$, $(2, 3)$, $(3, +\infty)$.
Проверяем знаки на интервалах:
- При $x < 0$ (например, $x=-1$): $(-)(-)(-) = - < 0$.
- При $0 < x < 2$ (например, $x=1$): $(+)(-)(-) = + > 0$.
- При $2 < x < 3$ (например, $x=2.5$): $(+)(+)(-) = - < 0$.
- При $x > 3$ (например, $x=4$): $(+)(+)(+) = + > 0$.
Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля.
Ответ: $x \in (0, 2) \cup (3, +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 7 класс, для упражнения номер 1 расположенного на странице 161 для 1-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1 (с. 161), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Александрова (Лилия Александровна), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 1-й части ФГОС (старый) учебного пособия издательства Мнемозина.