Номер 6, страница 152, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

6. Сформулируйте, чему равна разность кубов двух выражений.

Запишите это утверждение на математическом языке.

Сформулируйте, чему равна разность кубов двух выражений.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы. Неполный квадрат суммы отличается от полного квадрата суммы $(a^2 + 2ab + b^2)$ тем, что в нем отсутствует удвоенное произведение выражений, и вместо него стоит просто их произведение $(ab)$.

Ответ: Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Запишите это утверждение на математическом языке.

Для записи утверждения на математическом языке введем обозначения. Пусть первое выражение будет $a$, а второе — $b$.

• Разность кубов этих выражений: $a^3 - b^3$.
• Разность этих выражений: $a - b$.
• Неполный квадрат их суммы: $a^2 + ab + b^2$.

Таким образом, словесную формулировку можно записать в виде тождества (формулы сокращенного умножения):

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Для проверки можно раскрыть скобки в правой части равенства:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2 - b \cdot a^2 - b \cdot ab - b \cdot b^2 = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$

После сокращения подобных слагаемых ($a^2b$ и $-a^2b$; $ab^2$ и $-ab^2$) мы получаем левую часть равенства:

$a^3 - b^3$

Это подтверждает верность формулы.

Ответ: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.