Страница 152, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

2. Сформулируйте, чему равен квадрат разности двух выражений. Запишите это утверждение на математическом языке.

2. Словесная формулировка утверждения (правила): квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Для записи этого утверждения на математическом языке введем обозначения. Пусть $a$ — первое выражение, а $b$ — второе выражение. Тогда их разность равна $a - b$, а квадрат разности записывается как $(a - b)^2$. Утверждение в виде формулы выглядит следующим образом:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Эта формула является одной из формул сокращенного умножения. Ее можно доказать, раскрыв скобки по правилу умножения многочленов:

$(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a \cdot a + a \cdot (-b) - b \cdot a - b \cdot (-b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Ответ: Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения. В виде формулы: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

3. Можно ли данный многочлен представить в виде квадрата суммы или квадрата разности двух выражений? Если можно, то сделайте это, если нет, то объясните почему:

а) $a^2 + 4ab + 4b^2;$

б) $x^4 - 2x^2y + y^2;$

в) $x^2 + 20xy + 25y^2;$

г) $x^4 - 2x^2y + 2y^2.$

Для того чтобы определить, можно ли представить многочлен в виде квадрата суммы или разности, необходимо проверить, соответствует ли он одной из формул сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
• Квадрат разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

а) $a^2 + 4ab + 4b^2$

Проверим, является ли данный многочлен полным квадратом. Первый член $a^2$ является квадратом выражения $A=a$. Третий член $4b^2$ является квадратом выражения $B=2b$. Теперь проверим средний член. Он должен быть равен удвоенному произведению $A$ и $B$, то есть $2AB$. $2AB = 2 \cdot a \cdot (2b) = 4ab$. Средний член многочлена ($4ab$) совпадает с вычисленным значением. Следовательно, данный многочлен можно представить в виде квадрата суммы. $a^2 + 4ab + 4b^2 = (a)^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a+2b)^2$.

Ответ: Да, можно. $(a+2b)^2$.

б) $x^4 - 2x^2y + y^2$

Проверим, является ли данный многочлен полным квадратом. Первый член $x^4$ является квадратом выражения $A=x^2$. Третий член $y^2$ является квадратом выражения $B=y$. Так как средний член отрицательный, будем использовать формулу квадрата разности. Он должен быть равен $-2AB$. $-2AB = -2 \cdot x^2 \cdot y = -2x^2y$. Средний член многочлена ($-2x^2y$) совпадает с вычисленным значением. Следовательно, данный многочлен можно представить в виде квадрата разности. $x^4 - 2x^2y + y^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot y + y^2 = (x^2 - y)^2$.

Ответ: Да, можно. $(x^2 - y)^2$.

в) $x^2 + 20xy + 25y^2$

Проверим, является ли данный многочлен полным квадратом. Первый член $x^2$ является квадратом выражения $A=x$. Третий член $25y^2$ является квадратом выражения $B=5y$. Теперь проверим средний член. По формуле квадрата суммы он должен быть равен $2AB$. $2AB = 2 \cdot x \cdot (5y) = 10xy$. Однако в данном многочлене средний член равен $20xy$. Так как $20xy \neq 10xy$, этот многочлен не является полным квадратом и его нельзя представить в виде квадрата суммы или разности.

Ответ: Нет, нельзя, так как удвоенное произведение предполагаемых первого и второго выражений ($2 \cdot x \cdot 5y = 10xy$) не равно среднему члену многочлена ($20xy$).

г) $x^4 - 2x^2y + 2y^2$

Проверим, является ли данный многочлен полным квадратом. Первый член $x^4$ является квадратом выражения $A=x^2$. Рассмотрим третий член $2y^2$. Это выражение не является квадратом одночлена с рациональными коэффициентами, поскольку коэффициент 2 не является точным квадратом целого или рационального числа. Если мы предположим, что первое выражение $A = x^2$ и попробуем определить второе выражение $B$ из среднего члена $-2x^2y$, то по формуле $-2AB = -2x^2y$ получим, что $B=y$. Но в этом случае третий член должен быть равен $B^2 = y^2$. В исходном многочлене третий член равен $2y^2$, что не совпадает. Таким образом, данный многочлен нельзя представить в виде квадрата разности двух выражений.

Ответ: Нет, нельзя, так как при $A=x^2$ и $B=y$ третий член многочлена должен быть $y^2$, а не $2y^2$.

4. Сформулируйте, чему равна разность квадратов двух выражений. Запишите это утверждение на математическом языке.

Сформулируйте, чему равна разность квадратов двух выражений.
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму.

Запишите это утверждение на математическом языке.
Это утверждение является одной из формул сокращённого умножения. Если обозначить два произвольных выражения буквами $a$ и $b$, то их квадраты будут $a^2$ и $b^2$. Разность квадратов запишется как $a^2 - b^2$.
Разность этих выражений — это $(a - b)$, а их сумма — это $(a + b)$.
Таким образом, словесную формулировку можно записать в виде следующего тождества (формулы):
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Ответ: Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму. Математическая запись этого утверждения: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

5. Сформулируйте, чему равна сумма кубов двух выражений. Запишите это утверждение на математическом языке.

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

Это утверждение является одной из формул сокращенного умножения, известных как "сумма кубов". Словесная формулировка этого правила следующая: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих двух выражений на неполный квадрат их разности.

Для записи этого утверждения на математическом языке, давайте обозначим эти два выражения как $a$ и $b$. Тогда сумма их кубов будет представлена как $a^3 + b^3$.

Исходя из словесной формулировки, мы можем записать математическое тождество:

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Давайте разберем правую часть этого равенства:

Первый множитель, $(a + b)$, — это сумма двух исходных выражений.

Второй множитель, $(a^2 - ab + b^2)$, — это неполный квадрат разности выражений $a$ и $b$. Он называется "неполным", потому что в нем отсутствует двойка перед произведением $ab$, в отличие от "полного" квадрата разности, который имеет вид $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Таким образом, данная формула является математической записью правила о сумме кубов.

Ответ: Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности. На математическом языке это утверждение записывается в виде формулы: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

6. Сформулируйте, чему равна разность кубов двух выражений.

Запишите это утверждение на математическом языке.

Сформулируйте, чему равна разность кубов двух выражений.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы. Неполный квадрат суммы отличается от полного квадрата суммы $(a^2 + 2ab + b^2)$ тем, что в нем отсутствует удвоенное произведение выражений, и вместо него стоит просто их произведение $(ab)$.

Ответ: Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Запишите это утверждение на математическом языке.

Для записи утверждения на математическом языке введем обозначения. Пусть первое выражение будет $a$, а второе — $b$.

• Разность кубов этих выражений: $a^3 - b^3$.
• Разность этих выражений: $a - b$.
• Неполный квадрат их суммы: $a^2 + ab + b^2$.

Таким образом, словесную формулировку можно записать в виде тождества (формулы сокращенного умножения):

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Для проверки можно раскрыть скобки в правой части равенства:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2 - b \cdot a^2 - b \cdot ab - b \cdot b^2 = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$

После сокращения подобных слагаемых ($a^2b$ и $-a^2b$; $ab^2$ и $-ab^2$) мы получаем левую часть равенства:

$a^3 - b^3$

Это подтверждает верность формулы.

Ответ: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

7. Какой из данных многочленов является полным квадратом, а какой — неполным квадратом: $x^2 + 5xy + 25y^2$, $x^2 - 10xy + 25y^2$?

Чтобы определить, какой из многочленов является полным квадратом, а какой — неполным, необходимо сравнить их со стандартными формулами квадрата суммы и квадрата разности:

• Квадрат суммы (полный квадрат): $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности (полный квадрат): $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Выражения вида $a^2+ab+b^2$ и $a^2-ab+b^2$ называются неполными квадратами.

$x^2 + 5xy + 25y^2$
Проверим этот многочлен на соответствие формуле полного квадрата.
Первый член многочлена — $x^2$. Это квадрат выражения $x$. Пусть $a=x$.
Третий член — $25y^2$. Это квадрат выражения $5y$. Пусть $b=5y$.
Теперь найдем, каким должен быть средний член для полного квадрата. Он должен быть равен удвоенному произведению $a$ и $b$: $2ab = 2 \cdot x \cdot 5y = 10xy$.
В нашем многочлене средний член равен $5xy$.
Так как $5xy \neq 10xy$, этот многочлен не является полным квадратом. Он представляет собой неполный квадрат суммы, так как его средний член $5xy$ равен произведению $a=x$ и $b=5y$.
Ответ: неполный квадрат.

$x^2 - 10xy + 25y^2$
Проверим второй многочлен, сравнивая его с формулой полного квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Первый член — $x^2$, что является квадратом выражения $x$. Пусть $a=x$.
Третий член — $25y^2$, что является квадратом выражения $5y$. Пусть $b=5y$.
Средний член для полного квадрата разности должен быть равен $-2ab$. Вычислим его: $-2ab = -2 \cdot x \cdot 5y = -10xy$.
Средний член в данном многочлене равен $-10xy$, что полностью совпадает с требуемым значением.
Таким образом, многочлен $x^2 - 10xy + 25y^2$ является полным квадратом разности выражений $x$ и $5y$: $(x-5y)^2$.
Ответ: полный квадрат.

34.3 a) $(a^2 + 3ab) : a;$

б) $(m^3 - m^2n) : m^2;$

В) $(c^2 - 2cd) : c;$

Г) $(p^4 - p^3q) : p^3.$

а) Для того чтобы разделить многочлен $(a^2 + 3ab)$ на одночлен $a$, необходимо вынести общий множитель $a$ за скобки в многочлене, а затем выполнить деление.

Вынесение общего множителя: $a^2 + 3ab = a(a+3b)$.

Теперь разделим полученное выражение на $a$:

$\frac{a(a+3b)}{a} = a+3b$.

Ответ: $a+3b$.

б) Для того чтобы разделить многочлен $(m^3 - m^2n)$ на одночлен $m^2$, необходимо вынести общий множитель $m^2$ за скобки.

Вынесение общего множителя: $m^3 - m^2n = m^2(m-n)$.

Теперь разделим полученное выражение на $m^2$:

$\frac{m^2(m-n)}{m^2} = m-n$.

Ответ: $m-n$.

в) Для того чтобы разделить многочлен $(c^2 - 2cd)$ на одночлен $c$, необходимо вынести общий множитель $c$ за скобки.

Вынесение общего множителя: $c^2 - 2cd = c(c-2d)$.

Теперь разделим полученное выражение на $c$:

$\frac{c(c-2d)}{c} = c-2d$.

Ответ: $c-2d$.

г) Для того чтобы разделить многочлен $(p^4 - p^3q)$ на одночлен $p^3$, необходимо вынести общий множитель $p^3$ за скобки.

Вынесение общего множителя: $p^4 - p^3q = p^3(p-q)$.

Теперь разделим полученное выражение на $p^3$:

$\frac{p^3(p-q)}{p^3} = p-q$.

Ответ: $p-q$.

34.4 a) $(4ab^2 + 3ab) : (ab);$

Б) $(1,2cd^3 - 0,7cd) : (cd);$

В) $(-3,5m^2n - 0,2mn) : (mn);$

Г) $(-\frac{1}{2}xy + \frac{1}{3}x^3y) : (xy).$

а) Чтобы разделить многочлен на одночлен, необходимо каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные частные сложить.

$(4ab^2 + 3ab) : (ab) = \frac{4ab^2}{ab} + \frac{3ab}{ab}$

Разделим каждый член многочлена по отдельности, используя правило деления степеней с одинаковыми основаниями $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$\frac{4ab^2}{ab} = 4a^{1-1}b^{2-1} = 4a^0b^1 = 4 \cdot 1 \cdot b = 4b$

$\frac{3ab}{ab} = 3a^{1-1}b^{1-1} = 3a^0b^0 = 3 \cdot 1 \cdot 1 = 3$

Сложим полученные результаты: $4b + 3$.

Ответ: $4b + 3$

б) Разделим каждый член многочлена $(1,2cd^3 - 0,7cd)$ на одночлен $(cd)$.

$(1,2cd^3 - 0,7cd) : (cd) = \frac{1,2cd^3}{cd} - \frac{0,7cd}{cd}$

Выполним деление для каждого члена:

$\frac{1,2cd^3}{cd} = 1,2c^{1-1}d^{3-1} = 1,2c^0d^2 = 1,2 \cdot 1 \cdot d^2 = 1,2d^2$

$\frac{0,7cd}{cd} = 0,7c^{1-1}d^{1-1} = 0,7c^0d^0 = 0,7 \cdot 1 \cdot 1 = 0,7$

Вычтем полученные результаты: $1,2d^2 - 0,7$.

Ответ: $1,2d^2 - 0,7$

в) Разделим каждый член многочлена $(-3,5m^2n - 0,2mn)$ на одночлен $(mn)$.

$(-3,5m^2n - 0,2mn) : (mn) = \frac{-3,5m^2n}{mn} - \frac{0,2mn}{mn}$

Выполним деление для каждого члена:

$\frac{-3,5m^2n}{mn} = -3,5m^{2-1}n^{1-1} = -3,5m^1n^0 = -3,5m$

$\frac{-0,2mn}{mn} = -0,2m^{1-1}n^{1-1} = -0,2m^0n^0 = -0,2$

Запишем результат: $-3,5m - 0,2$.

Ответ: $-3,5m - 0,2$

г) Разделим каждый член многочлена $(-\frac{1}{2}xy + \frac{1}{3}x^3y)$ на одночлен $(xy)$.

$(-\frac{1}{2}xy + \frac{1}{3}x^3y) : (xy) = \frac{-\frac{1}{2}xy}{xy} + \frac{\frac{1}{3}x^3y}{xy}$

Выполним деление для каждого члена:

$\frac{-\frac{1}{2}xy}{xy} = -\frac{1}{2}x^{1-1}y^{1-1} = -\frac{1}{2}x^0y^0 = -\frac{1}{2}$

$\frac{\frac{1}{3}x^3y}{xy} = \frac{1}{3}x^{3-1}y^{1-1} = \frac{1}{3}x^2y^0 = \frac{1}{3}x^2$

Сложим полученные результаты: $-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}x^2$. Для удобства записи поменяем слагаемые местами: $\frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{3}x^2 - \frac{1}{2}$

34.5 а) $(4x + 12y - 16) : (-4);$

б) $(3x^2y - 4xy^2) : (5xy);$

в) $(2ab + 6a^2b^2 - 4b^2) : (-2b);$

г) $(-a^5b^3 + 3a^6b^2) : (4a^4b^2).$

а) Чтобы разделить многочлен $(4x + 12y - 16)$ на одночлен $(-4)$, необходимо каждый член многочлена разделить на этот одночлен, а затем сложить полученные результаты.

$(4x + 12y - 16) : (-4) = \frac{4x}{-4} + \frac{12y}{-4} - \frac{16}{-4}$

Выполним деление для каждого члена по отдельности:

1. $4x : (-4) = -x$

2. $12y : (-4) = -3y$

3. $(-16) : (-4) = 4$

Сложив полученные результаты, получаем выражение: $-x - 3y + 4$.

Ответ: $-x - 3y + 4$

б) Для выполнения деления $(3x^2y - 4xy^2)$ на $(5xy)$ разделим каждый член многочлена на одночлен $(5xy)$.

$(3x^2y - 4xy^2) : (5xy) = \frac{3x^2y}{5xy} - \frac{4xy^2}{5xy}$

Упростим каждое слагаемое, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n})$:

1. $\frac{3x^2y}{5xy} = \frac{3}{5} \cdot x^{2-1} \cdot y^{1-1} = \frac{3}{5}x^1y^0 = \frac{3}{5}x$

2. $\frac{4xy^2}{5xy} = \frac{4}{5} \cdot x^{1-1} \cdot y^{2-1} = \frac{4}{5}x^0y^1 = \frac{4}{5}y$

Результатом деления является разность полученных выражений: $\frac{3}{5}x - \frac{4}{5}y$.

Ответ: $\frac{3}{5}x - \frac{4}{5}y$

в) Разделим многочлен $(2ab + 6a^2b^2 - 4b^2)$ на одночлен $(-2b)$. Для этого каждый член многочлена делим на $(-2b)$.

$(2ab + 6a^2b^2 - 4b^2) : (-2b) = \frac{2ab}{-2b} + \frac{6a^2b^2}{-2b} - \frac{4b^2}{-2b}$

Выполним деление для каждого члена:

1. $\frac{2ab}{-2b} = -a \cdot b^{1-1} = -a$

2. $\frac{6a^2b^2}{-2b} = -3a^2b^{2-1} = -3a^2b$

3. $\frac{-4b^2}{-2b} = 2b^{2-1} = 2b$

Суммируя полученные одночлены, получаем: $-a - 3a^2b + 2b$. Для удобства можно записать в стандартном виде, упорядочив по степеням: $-3a^2b - a + 2b$.

Ответ: $-a - 3a^2b + 2b$

г) Чтобы разделить многочлен $(-a^5b^3 + 3a^6b^2)$ на одночлен $(4a^4b^2)$, разделим каждый член многочлена на этот одночлен.

$(-a^5b^3 + 3a^6b^2) : (4a^4b^2) = \frac{-a^5b^3}{4a^4b^2} + \frac{3a^6b^2}{4a^4b^2}$

Упростим каждое частное, используя свойства степеней:

1. $\frac{-a^5b^3}{4a^4b^2} = -\frac{1}{4} \cdot a^{5-4} \cdot b^{3-2} = -\frac{1}{4}ab$

2. $\frac{3a^6b^2}{4a^4b^2} = \frac{3}{4} \cdot a^{6-4} \cdot b^{2-2} = \frac{3}{4}a^2b^0 = \frac{3}{4}a^2$

Результатом является сумма этих выражений: $-\frac{1}{4}ab + \frac{3}{4}a^2$. Запишем в стандартном виде, начиная с члена с наибольшей степенью: $\frac{3}{4}a^2 - \frac{1}{4}ab$.

Ответ: $\frac{3}{4}a^2 - \frac{1}{4}ab$

34.6 Найдите значение алгебраического выражения:

a) $(18a^4 - 27a^3) : (9a^2) - 10a^3 : (5a)$ при $a = -8;

б) $(36x^2y - 4xy^2) : (4xy) + y$ при $x = -\frac{1}{9}; y = 0,2745.$

а) Сначала упростим данное алгебраическое выражение. Для этого выполним деление поочередно.

Первое действие — деление многочлена на одночлен:

$(18a^4 - 27a^3) : (9a^2) = \frac{18a^4}{9a^2} - \frac{27a^3}{9a^2} = 2a^{4-2} - 3a^{3-2} = 2a^2 - 3a$

Второе действие — деление одночлена на одночлен:

$10a^3 : (5a) = \frac{10a^3}{5a} = 2a^{3-1} = 2a^2$

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:

$(2a^2 - 3a) - 2a^2 = 2a^2 - 3a - 2a^2 = -3a$

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $a = -8$:

$-3a = -3 \cdot (-8) = 24$

Ответ: 24

б) Сначала упростим данное алгебраическое выражение. Выполним деление многочлена на одночлен:

$(36x^2y - 4xy^2) : (4xy) = \frac{36x^2y}{4xy} - \frac{4xy^2}{4xy} = 9x^{2-1}y^{1-1} - x^{1-1}y^{2-1} = 9x^1y^0 - x^0y^1 = 9x - y$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(9x - y) + y = 9x - y + y = 9x$

Как видим, значение выражения не зависит от переменной $y$.

Найдем значение упрощенного выражения при $x = -\frac{1}{9}$:

$9x = 9 \cdot (-\frac{1}{9}) = -1$

Ответ: -1

34.7 Придумайте три одночлена, на которые делится данный многочлен:

а) $5x^2 - 6x^4 + 48x^6 - 12x^3$;
б) $14x^6 - 28x + 7x^5 + 84x^4 - 56x^8$;
в) $15a^2b^3 + 25a^4b^2 - 30a^6b^3 - 75a^4b^7$;
г) $45m^6n^2 + 30m^3n^5 + 60m^4n^3 - 90m^4n^5$.

Чтобы найти одночлены, на которые делится данный многочлен, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) всех членов этого многочлена. Любой одночлен, который является делителем этого НОД, будет подходящим решением. Процесс нахождения НОД многочлена состоит из двух шагов: нахождение НОД коэффициентов и нахождение НОД переменных частей.

а) $5x^2 - 6x^4 + 48x^6 - 12x^3$

1. Нахождение НОД коэффициентов. Коэффициенты многочлена: 5, -6, 48, -12. Найдём НОД их абсолютных значений: НОД(5, 6, 12, 48). Так как 5 - простое число, а остальные на 5 не делятся, НОД(5, 6, 12, 48) = 1.
2. Нахождение НОД переменных. Переменная $x$ присутствует во всех членах многочлена. Минимальная степень, в которой она встречается, это $x^2$. Следовательно, общая переменная часть, которую можно вынести, это $x^2$.
3. Общий делитель. Наибольший общий делитель всех членов многочлена равен $1 \cdot x^2 = x^2$.
4. Выбор трёх одночленов. Мы можем выбрать любые три делителя одночлена $x^2$. Например, можно взять $x$, $x^2$. Так как НОД коэффициентов равен 1, мы можем также использовать одночлены с коэффициентом -1, например $-x^2$.
Ответ: $x$, $x^2$, $-x^2$.

б) $14x^6 - 28x + 7x^5 + 84x^4 - 56x^8$

1. Нахождение НОД коэффициентов. Коэффициенты: 14, -28, 7, 84, -56. Найдём НОД их абсолютных значений: НОД(7, 14, 28, 56, 84). Все числа делятся на 7, поэтому НОД(7, 14, 28, 56, 84) = 7.
2. Нахождение НОД переменных. Переменная $x$ есть в каждом члене. Минимальная степень $x$ — это 1 (в члене $-28x$). Значит, общая переменная часть — $x$.
3. Общий делитель. Наибольший общий делитель многочлена — $7x$.
4. Выбор трёх одночленов. Любой делитель $7x$ является решением. Например, числовой делитель 7, переменная $x$ и сам НОД $7x$.
Ответ: $7$, $x$, $7x$.

в) $15a^2b^3 + 25a^4b^2 - 30a^6b^3 - 75a^4b^7$

1. Нахождение НОД коэффициентов. Коэффициенты: 15, 25, -30, -75. Найдём НОД их абсолютных значений: НОД(15, 25, 30, 75). Все числа делятся на 5. НОД(15, 25, 30, 75) = 5.
2. Нахождение НОД переменных. - Для переменной $a$ минимальная степень равна 2 (в члене $15a^2b^3$). Общий множитель — $a^2$. - Для переменной $b$ минимальная степень равна 2 (в члене $25a^4b^2$). Общий множитель — $b^2$. Общая переменная часть — $a^2b^2$.
3. Общий делитель. Наибольший общий делитель многочлена — $5a^2b^2$.
4. Выбор трёх одночленов. Выберем три различных делителя одночлена $5a^2b^2$. Например, $5a$, $ab$ и $b^2$.
Ответ: $5a$, $ab$, $b^2$.

г) $45m^6n^2 + 30m^3n^5 + 60m^4n^3 - 90m^4n^5$

1. Нахождение НОД коэффициентов. Коэффициенты: 45, 30, 60, -90. Найдём НОД их абсолютных значений: НОД(30, 45, 60, 90). Все числа делятся на 15. НОД(30, 45, 60, 90) = 15.
2. Нахождение НОД переменных. - Для переменной $m$ минимальная степень равна 3 (в члене $30m^3n^5$). Общий множитель — $m^3$. - Для переменной $n$ минимальная степень равна 2 (в члене $45m^6n^2$). Общий множитель — $n^2$. Общая переменная часть — $m^3n^2$.
3. Общий делитель. Наибольший общий делитель многочлена — $15m^3n^2$.
4. Выбор трёх одночленов. Выберем три делителя одночлена $15m^3n^2$. Например, $3m$, $5n^2$ и $15mn$.
Ответ: $3m$, $5n^2$, $15mn$.

34.8 Установите, корректно ли задание: разделить многочлен $2x^3y^2 + 3x^2y - 5x^4y^4$ на одночлен А, если:

а) $A = xyz;$

б) $A = x^2y^2;$

в) $A = xy;$

г) $A = -x^2y.$

Для того чтобы задание «разделить многочлен на одночлен» было корректным, необходимо, чтобы каждый член многочлена делился на этот одночлен без остатка. Это означает, что для каждой переменной в одночлене-делителе ее степень должна быть не больше степени этой же переменной в каждом из членов многочлена-делимого. Также в одночлене-делителе не должно быть переменных, которых нет в членах многочлена.

Дан многочлен $2x^3y^2 + 3x^2y - 5x^4y^4$. Проверим корректность задания для каждого случая.

а) $A = xyz$

Рассмотрим делимость каждого члена многочлена на одночлен $A = xyz$. Уже первый член многочлена, $2x^3y^2$, не содержит переменной $z$, которая присутствует в делителе $A$. Следовательно, $2x^3y^2$ не делится на $xyz$ нацело (в результате деления получится выражение с переменной в знаменателе, а не одночлен). Поскольку хотя бы один член многочлена не делится на $A$, всё задание некорректно.

Ответ: некорректно.

б) $A = x^2y^2$

Рассмотрим делимость каждого члена многочлена на одночлен $A = x^2y^2$.
Первый член $2x^3y^2$ делится на $x^2y^2$, так как степени переменных $x$ и $y$ в делителе ($2$ и $2$) не превышают степеней в делимом ($3$ и $2$).
Второй член $3x^2y$ не делится на $x^2y^2$. Степень переменной $y$ в этом члене равна $1$, что меньше степени переменной $y$ в делителе, которая равна $2$.
Поскольку второй член многочлена не делится на $A$, задание некорректно.

Ответ: некорректно.

в) $A = xy$

Рассмотрим делимость каждого члена многочлена на одночлен $A = xy$.
1. Для члена $2x^3y^2$: степени $x$ и $y$ ($3$ и $2$) больше или равны степеням в $A$ ($1$ и $1$). Деление возможно.
2. Для члена $3x^2y$: степени $x$ и $y$ ($2$ и $1$) больше или равны степеням в $A$ ($1$ и $1$). Деление возможно.
3. Для члена $-5x^4y^4$: степени $x$ и $y$ ($4$ и $4$) больше или равны степеням в $A$ ($1$ и $1$). Деление возможно.
Так как все члены многочлена делятся на одночлен $A$, задание является корректным. Результатом деления будет многочлен: $(2x^3y^2 + 3x^2y - 5x^4y^4) : (xy) = 2x^2y + 3x - 5x^3y^3$.

Ответ: корректно.

г) $A = -x^2y$

Рассмотрим делимость каждого члена многочлена на одночлен $A = -x^2y$. Наличие числового коэффициента $-1$ не влияет на принципиальную возможность деления.
1. Для члена $2x^3y^2$: степени $x$ и $y$ ($3$ и $2$) больше или равны степеням в $A$ ($2$ и $1$). Деление возможно.
2. Для члена $3x^2y$: степени $x$ и $y$ ($2$ и $1$) равны степеням в $A$ ($2$ и $1$). Деление возможно.
3. Для члена $-5x^4y^4$: степени $x$ и $y$ ($4$ и $4$) больше или равны степеням в $A$ ($2$ и $1$). Деление возможно.
Так как все члены многочлена делятся на одночлен $A$, задание является корректным. Результатом деления будет многочлен: $(2x^3y^2 + 3x^2y - 5x^4y^4) : (-x^2y) = -2xy - 3 + 5x^2y^3$.

Ответ: корректно.

34.9 Выполните почленное деление числителя дроби на знаменатель:

а) $\frac{12a^8b^6 + 60a^6b^8}{4a^5b^5}$;

б) $\frac{132n^3p^2 - 44n^2p^3 + 110n^2p^4}{22np}$;

в) $\frac{15a^7x^9 - 45a^9x^7}{5a^6x^6}$;

г) $\frac{108k^4n^2 - 144k^3n^3 - 180k^2n^4}{36kn}$.

а) Чтобы выполнить почленное деление, необходимо каждый член числителя разделить на знаменатель.
$ \frac{12a^8b^6 + 60a^6b^8}{4a^5b^5} = \frac{12a^8b^6}{4a^5b^5} + \frac{60a^6b^8}{4a^5b^5} $
Теперь упростим каждое слагаемое, выполняя деление числовых коэффициентов и применяя правило деления степеней с одинаковым основанием ($x^m / x^n = x^{m-n}$):
Для первого слагаемого: $ (\frac{12}{4}) \cdot a^{8-5} \cdot b^{6-5} = 3a^3b^1 = 3a^3b $.
Для второго слагаемого: $ (\frac{60}{4}) \cdot a^{6-5} \cdot b^{8-5} = 15a^1b^3 = 15ab^3 $.
Сложив полученные выражения, получаем результат: $ 3a^3b + 15ab^3 $.
Ответ: $3a^3b + 15ab^3$.

б) Разделим каждый член многочлена в числителе на одночлен в знаменателе.
$ \frac{132n^3p^2 - 44n^2p^3 + 110n^2p^4}{22np} = \frac{132n^3p^2}{22np} - \frac{44n^2p^3}{22np} + \frac{110n^2p^4}{22np} $
Упростим каждый член выражения:
Первый член: $ (\frac{132}{22}) \cdot n^{3-1} \cdot p^{2-1} = 6n^2p^1 = 6n^2p $.
Второй член: $ (\frac{44}{22}) \cdot n^{2-1} \cdot p^{3-1} = 2n^1p^2 = 2np^2 $.
Третий член: $ (\frac{110}{22}) \cdot n^{2-1} \cdot p^{4-1} = 5n^1p^3 = 5np^3 $.
Объединяем полученные одночлены с учетом их знаков: $ 6n^2p - 2np^2 + 5np^3 $.
Ответ: $6n^2p - 2np^2 + 5np^3$.

в) Выполним почленное деление числителя на знаменатель, разделив каждый член числителя на знаменатель.
$ \frac{15a^7x^9 - 45a^9x^7}{5a^6x^6} = \frac{15a^7x^9}{5a^6x^6} - \frac{45a^9x^7}{5a^6x^6} $
Упростим каждое полученное частное:
Первый член: $ (\frac{15}{5}) \cdot a^{7-6} \cdot x^{9-6} = 3a^1x^3 = 3ax^3 $.
Второй член: $ (\frac{45}{5}) \cdot a^{9-6} \cdot x^{7-6} = 9a^3x^1 = 9a^3x $.
Запишем конечный результат: $ 3ax^3 - 9a^3x $.
Ответ: $3ax^3 - 9a^3x$.

г) Разделим каждый член числителя на знаменатель дроби.
$ \frac{108k^4n^2 - 144k^3n^3 - 180k^2n^4}{36kn} = \frac{108k^4n^2}{36kn} - \frac{144k^3n^3}{36kn} - \frac{180k^2n^4}{36kn} $
Упростим каждый член выражения, выполняя деление:
Первый член: $ (\frac{108}{36}) \cdot k^{4-1} \cdot n^{2-1} = 3k^3n^1 = 3k^3n $.
Второй член: $ (\frac{144}{36}) \cdot k^{3-1} \cdot n^{3-1} = 4k^2n^2 $.
Третий член: $ (\frac{180}{36}) \cdot k^{2-1} \cdot n^{4-1} = 5k^1n^3 = 5kn^3 $.
Запишем итоговый многочлен с учетом знаков: $ 3k^3n - 4k^2n^2 - 5kn^3 $.
Ответ: $3k^3n - 4k^2n^2 - 5kn^3$.

34.10 Установите, корректно ли предложенное задание, и если да, то

выполните его:

а) $(7a^2 + 10a^3b) : a^4;$

б) $(4x^2 - 3x) : (-x^2);$

в) $(27a^3 - 81b^3) : (9a^3b^3);$

г) $(42x^3y - 63xy^3 + 14xy) : (7xy).$

а) Задание некорректно. Деление многочлена на одночлен считается корректным (выполнимым в рамках множества многочленов), если каждый член многочлена делится на этот одночлен без остатка, то есть в результате получается новый многочлен. Для этого степень каждой переменной в каждом члене делимого должна быть не меньше степени этой же переменной в делителе. В данном случае, в члене $7a^2$ степень переменной $a$ равна 2, а в делителе $a^4$ степень равна 4. Так как $2 < 4$, деление $7a^2$ на $a^4$ приведет к результату с отрицательной степенью ($7a^{-2}$), который не является одночленом. Аналогично для члена $10a^3b$: степень $a$ равна 3, что меньше 4.
Ответ: Задание некорректно.

б) Задание некорректно. Как и в предыдущем пункте, не все члены делимого можно разделить на делитель с получением одночлена. Член $4x^2$ делится на $-x^2$, получается $-4$. Однако для члена $-3x$ степень переменной $x$ равна 1, что меньше степени $x$ в делителе $-x^2$ (равной 2). Деление $(-3x)$ на $(-x^2)$ дает в результате $3x^{-1}$, что не является одночленом.
Ответ: Задание некорректно.

в) Задание некорректно. Проверим делимость каждого члена многочлена $27a^3 - 81b^3$ на одночлен $9a^3b^3$. Для первого члена $27a^3$: степень переменной $b$ равна 0, а в делителе она равна 3. Так как $0 < 3$, деление невозможно выполнить в рамках многочленов. Для второго члена $-81b^3$: степень переменной $a$ равна 0, а в делителе она равна 3. Так как $0 < 3$, деление также невозможно.
Ответ: Задание некорректно.

г) Задание корректно. В данном случае степень каждой переменной ($x$ и $y$) в каждом члене многочлена-делимого ($42x^3y$, $-63xy^3$, $14xy$) больше или равна степени соответствующей переменной в одночлене-делителе ($7xy$). Следовательно, деление можно выполнить. Для выполнения деления разделим каждый член многочлена на одночлен:
$(42x^3y - 63xy^3 + 14xy) : (7xy) = \frac{42x^3y}{7xy} - \frac{63xy^3}{7xy} + \frac{14xy}{7xy} =$
$= (42:7)x^{3-1}y^{1-1} - (63:7)x^{1-1}y^{3-1} + (14:7)x^{1-1}y^{1-1} =$
$= 6x^2y^0 - 9x^0y^2 + 2x^0y^0 = 6x^2 \cdot 1 - 9 \cdot 1 \cdot y^2 + 2 \cdot 1 \cdot 1 = 6x^2 - 9y^2 + 2$.
Ответ: $6x^2 - 9y^2 + 2$.