Страница 174, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

39.53 Постройте график уравнения:

а) $(x + 2y)^2 - (2x - y)^2 = 0;$

б) $(2x - y + 3)^2 - (x - 2y - 3)^2 = 0;$

в) $(3x + 2y)^2 - (2x + 3y)^2 = 0;$

г) $(3x + 2y - 6)^2 - (x + y - 1)^2 = 0.$

Данное уравнение имеет вид $A^2 - B^2 = 0$, где $A = x + 2y$ и $B = 2x - y$. Воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

$( (x + 2y) - (2x - y) )( (x + 2y) + (2x - y) ) = 0$

Раскроем скобки в каждом множителе:

$(x + 2y - 2x + y)(x + 2y + 2x - y) = 0$

$(-x + 3y)(3x + y) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, данное уравнение эквивалентно совокупности двух линейных уравнений:

$-x + 3y = 0$ или $3x + y = 0$

Выразим $y$ в каждом уравнении:

1) $3y = x \implies y = \frac{1}{3}x$

2) $y = -3x$

Графиком исходного уравнения является объединение двух прямых: $y = \frac{1}{3}x$ и $y = -3x$. Для построения каждой прямой достаточно двух точек. Обе прямые проходят через начало координат $(0,0)$. В качестве второй точки для $y = \frac{1}{3}x$ можно взять $(3,1)$. В качестве второй точки для $y = -3x$ можно взять $(1,-3)$.

Ответ: График уравнения состоит из двух прямых $y = \frac{1}{3}x$ и $y = -3x$, пересекающихся в начале координат.

Данное уравнение имеет вид $A^2 - B^2 = 0$, где $A = 2x - y + 3$ и $B = x - 2y - 3$. Применим формулу разности квадратов.

$( (2x - y + 3) - (x - 2y - 3) )( (2x - y + 3) + (x - 2y - 3) ) = 0$

Раскроем скобки в каждом множителе:

$(2x - y + 3 - x + 2y + 3)(2x - y + 3 + x - 2y - 3) = 0$

$(x + y + 6)(3x - 3y) = 0$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x + y + 6 = 0$ или $3x - 3y = 0$

Выразим $y$ в каждом уравнении:

1) $y = -x - 6$

2) $3(x - y) = 0 \implies x - y = 0 \implies y = x$

Графиком исходного уравнения является объединение двух прямых: $y = -x - 6$ и $y = x$. Для построения прямой $y = -x - 6$ можно использовать точки $(0, -6)$ и $(-6, 0)$. Прямая $y=x$ является биссектрисой I и III координатных углов и проходит через точки $(0,0)$ и $(1,1)$.

Ответ: График уравнения состоит из двух прямых $y = -x - 6$ и $y = x$.

Данное уравнение имеет вид $A^2 - B^2 = 0$, где $A = 3x + 2y$ и $B = 2x + 3y$. Применим формулу разности квадратов.

$( (3x + 2y) - (2x + 3y) )( (3x + 2y) + (2x + 3y) ) = 0$

Раскроем скобки в каждом множителе:

$(3x + 2y - 2x - 3y)(3x + 2y + 2x + 3y) = 0$

$(x - y)(5x + 5y) = 0$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x - y = 0$ или $5x + 5y = 0$

Выразим $y$ в каждом уравнении:

1) $y = x$

2) $5(x + y) = 0 \implies x + y = 0 \implies y = -x$

Графиком исходного уравнения является объединение двух прямых: $y = x$ и $y = -x$. Это биссектрисы координатных углов, пересекающиеся в начале координат.

Ответ: График уравнения состоит из двух прямых $y = x$ и $y = -x$.

Данное уравнение имеет вид $A^2 - B^2 = 0$, где $A = 3x + 2y - 6$ и $B = x + y - 1$. Применим формулу разности квадратов.

$( (3x + 2y - 6) - (x + y - 1) )( (3x + 2y - 6) + (x + y - 1) ) = 0$

Раскроем скобки в каждом множителе:

$(3x + 2y - 6 - x - y + 1)(3x + 2y - 6 + x + y - 1) = 0$

$(2x + y - 5)(4x + 3y - 7) = 0$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$2x + y - 5 = 0$ или $4x + 3y - 7 = 0$

Выразим $y$ в каждом уравнении:

1) $y = -2x + 5$

2) $3y = -4x + 7 \implies y = -\frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$

Графиком исходного уравнения является объединение двух прямых: $y = -2x + 5$ и $y = -\frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$. Для построения прямой $y = -2x + 5$ можно взять точки $(0, 5)$ и $(2, 1)$. Для построения прямой $y = -\frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$ можно взять точки $(1, 1)$ и $(4, -3)$.

Ответ: График уравнения состоит из двух прямых $y = -2x + 5$ и $y = -\frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$.

Разложите многочлен на множители:

40.1 а) $5x^2 - 5;$

б) $18b^2 - 2c^2;$

в) $3a^2 - 12;$

г) $10x^2 - 10y^2.$

Для разложения данных многочленов на множители мы будем использовать два основных метода: вынесение общего множителя за скобки и формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Рассмотрим многочлен $5x^2 - 5$.

1. Сначала вынесем общий числовой множитель за скобки. Общим множителем для членов $5x^2$ и $-5$ является $5$.

$5x^2 - 5 = 5(x^2 - 1)$

2. Теперь выражение в скобках, $x^2 - 1$, представляет собой разность квадратов, так как $1$ можно представить как $1^2$.

3. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=x$ и $b=1$.

$x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x - 1)(x + 1)$

4. Подставим полученное разложение обратно в исходное выражение:

$5(x^2 - 1) = 5(x - 1)(x + 1)$

Ответ: $5(x - 1)(x + 1)$

Рассмотрим многочлен $18b^2 - 2c^2$.

1. Вынесем общий числовой множитель за скобки. Наибольший общий делитель для $18$ и $2$ это $2$.

$18b^2 - 2c^2 = 2(9b^2 - c^2)$

2. Выражение в скобках, $9b^2 - c^2$, является разностью квадратов. Мы можем представить $9b^2$ как $(3b)^2$.

3. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=3b$ и $b=c$.

$9b^2 - c^2 = (3b)^2 - c^2 = (3b - c)(3b + c)$

4. Подставим это разложение в наше выражение:

$2(9b^2 - c^2) = 2(3b - c)(3b + c)$

Ответ: $2(3b - c)(3b + c)$

Рассмотрим многочлен $3a^2 - 12$.

1. Вынесем общий числовой множитель за скобки. Общий множитель для $3a^2$ и $-12$ это $3$.

$3a^2 - 12 = 3(a^2 - 4)$

2. Выражение в скобках, $a^2 - 4$, является разностью квадратов, так как $4$ можно представить как $2^2$.

3. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=a$ и $y=2$.

$a^2 - 4 = a^2 - 2^2 = (a - 2)(a + 2)$

4. Подставим полученное разложение обратно:

$3(a^2 - 4) = 3(a - 2)(a + 2)$

Ответ: $3(a - 2)(a + 2)$

Рассмотрим многочлен $10x^2 - 10y^2$.

1. Вынесем общий числовой множитель за скобки, который равен $10$.

$10x^2 - 10y^2 = 10(x^2 - y^2)$

2. Выражение в скобках, $x^2 - y^2$, уже представляет собой готовую формулу разности квадратов.

3. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=x$ и $b=y$.

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

4. Запишем окончательное разложение:

$10(x^2 - y^2) = 10(x - y)(x + y)$

Ответ: $10(x - y)(x + y)$

40.2 а) $x^3 - 81x;$

б) $3y^3 - 300y;$

в) $64a - a^3;$

г) $2b^3 - 288b.$

а) $x^3 - 81x$

Для разложения на множители данного выражения первым шагом вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x^3 - 81x = x(x^2 - 81)$

Теперь рассмотрим выражение в скобках: $x^2 - 81$. Это разность квадратов, так как $x^2$ является квадратом $x$, а $81$ является квадратом $9$. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 9$.

$x(x^2 - 81) = x(x - 9)(x + 9)$

Ответ: $x(x - 9)(x + 9)$

б) $3y^3 - 300y$

Сначала найдем и вынесем за скобки общий множитель. Общий числовой множитель для 3 и 300 это 3, а общий переменный множитель для $y^3$ и $y$ это $y$. Таким образом, выносим $3y$ за скобки:

$3y^3 - 300y = 3y(y^2 - 100)$

Выражение в скобках, $y^2 - 100$, представляет собой разность квадратов, где $y^2 = (y)^2$ и $100 = 10^2$. Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$3y(y^2 - 100) = 3y(y - 10)(y + 10)$

Ответ: $3y(y - 10)(y + 10)$

в) $64a - a^3$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$64a - a^3 = a(64 - a^2)$

Выражение в скобках, $64 - a^2$, является разностью квадратов, поскольку $64 = 8^2$ и $a^2 = (a)^2$. Применяем формулу разности квадратов $b^2 - c^2 = (b - c)(b + c)$:

$a(64 - a^2) = a(8^2 - a^2) = a(8 - a)(8 + a)$

Ответ: $a(8 - a)(8 + a)$

г) $2b^3 - 288b$

Найдем общий множитель. Для коэффициентов 2 и 288 общий множитель 2. Для переменных $b^3$ и $b$ общий множитель $b$. Выносим $2b$ за скобки:

$2b^3 - 288b = 2b(b^2 - 144)$

Выражение в скобках, $b^2 - 144$, является разностью квадратов, так как $b^2 = (b)^2$ и $144 = 12^2$. Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$2b(b^2 - 144) = 2b(b - 12)(b + 12)$

Ответ: $2b(b - 12)(b + 12)$

40.3 a) $c^3 - 0.25c;$

Б) $50m^3 - 2n^2m;$

В) $0.04s - sa^2;$

Г) $48p^2q - 75q^3.$

а) Исходное выражение: $c^3 - 0,25c$. Первым шагом вынесем общий множитель $c$ за скобки. $c^3 - 0,25c = c(c^2 - 0,25)$. Выражение в скобках $c^2 - 0,25$ является разностью квадратов. Это можно увидеть, представив $0,25$ как квадрат числа $0,5$, то есть $0,25 = (0,5)^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = c$ и $b = 0,5$. Получаем: $c^2 - 0,25 = (c - 0,5)(c + 0,5)$. Теперь подставим разложенное выражение обратно: $c(c^2 - 0,25) = c(c - 0,5)(c + 0,5)$.
Ответ: $c(c - 0,5)(c + 0,5)$.

б) Исходное выражение: $50m^3 - 2n^2m$. Найдем и вынесем за скобки общий множитель. Для коэффициентов 50 и 2 наибольший общий делитель равен 2. Для переменных $m^3$ и $n^2m$ общим множителем является $m$. Таким образом, общий множитель всего выражения — $2m$. $50m^3 - 2n^2m = 2m(25m^2 - n^2)$. Выражение в скобках $25m^2 - n^2$ представляет собой разность квадратов, так как $25m^2 = (5m)^2$ и $n^2 = (n)^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 5m$ и $b = n$. Получаем: $25m^2 - n^2 = (5m - n)(5m + n)$. Подставляя обратно, получаем итоговый результат: $2m(25m^2 - n^2) = 2m(5m - n)(5m + n)$.
Ответ: $2m(5m - n)(5m + n)$.

в) Исходное выражение: $0,04s - sa^2$. Вынесем общий множитель $s$ за скобки: $0,04s - sa^2 = s(0,04 - a^2)$. Выражение в скобках $0,04 - a^2$ является разностью квадратов, так как $0,04 = (0,2)^2$ и $a^2 = (a)^2$. Применим формулу разности квадратов $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$, где $b = 0,2$ и $a = a$. Получаем: $0,04 - a^2 = (0,2 - a)(0,2 + a)$. Итоговое разложение на множители: $s(0,04 - a^2) = s(0,2 - a)(0,2 + a)$.
Ответ: $s(0,2 - a)(0,2 + a)$.

г) Исходное выражение: $48p^2q - 75q^3$. Найдем общий множитель. Наибольший общий делитель для чисел 48 и 75 равен 3. Общий переменный множитель для $p^2q$ и $q^3$ равен $q$. Таким образом, выносим за скобки $3q$: $48p^2q - 75q^3 = 3q(16p^2 - 25q^2)$. Выражение в скобках $16p^2 - 25q^2$ является разностью квадратов, поскольку $16p^2 = (4p)^2$ и $25q^2 = (5q)^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 4p$ и $b = 5q$. Получаем: $16p^2 - 25q^2 = (4p - 5q)(4p + 5q)$. Подставляя обратно, получаем окончательное разложение: $3q(16p^2 - 25q^2) = 3q(4p - 5q)(4p + 5q)$.
Ответ: $3q(4p - 5q)(4p + 5q)$.

40.4 a) $\frac{16}{49} p^2q - q^3;$

Б) $2\frac{7}{9}a^3b - \frac{ab^3}{4};$

В) $c^3 - \frac{25}{36} cd^2;$

Г) $\frac{mn^5}{9} - 3\frac{1}{16}m^3n.$

а)

Исходное выражение: $\frac{16}{49}p^2q - q^3$.

Сначала вынесем общий множитель $q$ за скобки:

$q \left( \frac{16}{49}p^2 - q^2 \right)$

Выражение в скобках представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В данном случае $a^2 = \frac{16}{49}p^2 = \left(\frac{4}{7}p\right)^2$ и $b^2 = q^2$. Следовательно, $a = \frac{4}{7}p$ и $b = q$.

Подставим эти значения в формулу:

$\frac{16}{49}p^2 - q^2 = \left(\frac{4}{7}p - q\right) \left(\frac{4}{7}p + q\right)$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$q \left(\frac{4}{7}p - q\right) \left(\frac{4}{7}p + q\right)$

Ответ: $q \left(\frac{4}{7}p - q\right) \left(\frac{4}{7}p + q\right)$

б)

Исходное выражение: $2\frac{7}{9}a^3b - \frac{ab^3}{4}$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{25}{9}$.

Выражение примет вид: $\frac{25}{9}a^3b - \frac{1}{4}ab^3$.

Вынесем общий множитель $ab$ за скобки:

$ab \left( \frac{25}{9}a^2 - \frac{1}{4}b^2 \right)$

Выражение в скобках является разностью квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Здесь $x^2 = \frac{25}{9}a^2 = \left(\frac{5}{3}a\right)^2$ и $y^2 = \frac{1}{4}b^2 = \left(\frac{1}{2}b\right)^2$. Значит, $x = \frac{5}{3}a$ и $y = \frac{1}{2}b$.

Применим формулу разности квадратов:

$\frac{25}{9}a^2 - \frac{1}{4}b^2 = \left(\frac{5}{3}a - \frac{1}{2}b\right) \left(\frac{5}{3}a + \frac{1}{2}b\right)$

Итоговое разложение на множители:

$ab \left(\frac{5}{3}a - \frac{1}{2}b\right) \left(\frac{5}{3}a + \frac{1}{2}b\right)$

Ответ: $ab \left(\frac{5}{3}a - \frac{1}{2}b\right) \left(\frac{5}{3}a + \frac{1}{2}b\right)$

в)

Исходное выражение: $c^3 - \frac{25}{36}cd^2$.

Вынесем за скобки общий множитель $c$:

$c \left( c^2 - \frac{25}{36}d^2 \right)$

Выражение в скобках — это разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a^2 = c^2$ и $b^2 = \frac{25}{36}d^2 = \left(\frac{5}{6}d\right)^2$. Отсюда $a = c$ и $b = \frac{5}{6}d$.

Разложим выражение в скобках на множители:

$c^2 - \frac{25}{36}d^2 = \left(c - \frac{5}{6}d\right) \left(c + \frac{5}{6}d\right)$

Таким образом, получаем:

$c \left(c - \frac{5}{6}d\right) \left(c + \frac{5}{6}d\right)$

Ответ: $c \left(c - \frac{5}{6}d\right) \left(c + \frac{5}{6}d\right)$

г)

Исходное выражение: $\frac{mn^5}{9} - 3\frac{1}{16}m^3n$.

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{1}{16} = \frac{3 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{49}{16}$.

Получаем выражение: $\frac{1}{9}mn^5 - \frac{49}{16}m^3n$.

Вынесем общий множитель $mn$ за скобки:

$mn \left( \frac{1}{9}n^4 - \frac{49}{16}m^2 \right)$

Выражение в скобках является разностью квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Здесь $a^2 = \frac{1}{9}n^4 = \left(\frac{1}{3}n^2\right)^2$ и $b^2 = \frac{49}{16}m^2 = \left(\frac{7}{4}m\right)^2$. Следовательно, $a = \frac{1}{3}n^2$ и $b = \frac{7}{4}m$.

Применяем формулу:

$\frac{1}{9}n^4 - \frac{49}{16}m^2 = \left(\frac{1}{3}n^2 - \frac{7}{4}m\right) \left(\frac{1}{3}n^2 + \frac{7}{4}m\right)$

Полное разложение на множители имеет вид:

$mn \left(\frac{1}{3}n^2 - \frac{7}{4}m\right) \left(\frac{1}{3}n^2 + \frac{7}{4}m\right)$

Ответ: $mn \left(\frac{1}{3}n^2 - \frac{7}{4}m\right) \left(\frac{1}{3}n^2 + \frac{7}{4}m\right)$

40.5 а) $5a^2 + 10ab + 5b^2$;

б) $2x^2 + 4x + 2$;

в) $3m^2 + 3n^2 - 6mn$;

г) $8n^2 - 16n + 8$.

а)

Чтобы разложить на множители выражение $5a^2 + 10ab + 5b^2$, сначала вынесем общий числовой множитель за скобки. Общим множителем для коэффициентов 5, 10 и 5 является 5.

$5a^2 + 10ab + 5b^2 = 5(a^2 + 2ab + b^2)$

Теперь обратим внимание на выражение в скобках: $a^2 + 2ab + b^2$. Это формула квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем случае $x=a$ и $y=b$.

Следовательно, мы можем свернуть выражение в скобках в полный квадрат:

$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$

Подставив это обратно, получаем окончательный результат:

$5(a+b)^2$

Ответ: $5(a+b)^2$

б)

Рассмотрим выражение $2x^2 + 4x + 2$. Вынесем общий множитель 2 за скобки.

$2x^2 + 4x + 2 = 2(x^2 + 2x + 1)$

Выражение в скобках, $x^2 + 2x + 1$, представляет собой полный квадрат. Это соответствует формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=1$.

Проверим: $(x+1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$.

Таким образом, выражение можно записать в виде:

$2(x+1)^2$

Ответ: $2(x+1)^2$

в)

Рассмотрим выражение $3m^2 + 3n^2 - 6mn$. Для удобства переставим слагаемые, чтобы привести его к стандартному виду формулы сокращенного умножения: $3m^2 - 6mn + 3n^2$.

Вынесем общий множитель 3 за скобки.

$3m^2 - 6mn + 3n^2 = 3(m^2 - 2mn + n^2)$

Выражение в скобках, $m^2 - 2mn + n^2$, является формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x=m$ и $y=n$.

Следовательно, выражение в скобках можно свернуть:

$m^2 - 2mn + n^2 = (m-n)^2$

Итоговый результат:

$3(m-n)^2$

Ответ: $3(m-n)^2$

г)

Рассмотрим выражение $8n^2 - 16n + 8$. Вынесем общий множитель 8 за скобки.

$8n^2 - 16n + 8 = 8(n^2 - 2n + 1)$

Выражение в скобках, $n^2 - 2n + 1$, является полным квадратом. Это соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=n$ и $b=1$.

Проверим: $(n-1)^2 = n^2 - 2 \cdot n \cdot 1 + 1^2 = n^2 - 2n + 1$.

Таким образом, выражение можно записать в виде:

$8(n-1)^2$

Ответ: $8(n-1)^2$

40.6 a) $-3x^2 + 12x - 12$;

б) $-2a^3 + 20a^2b - 50ab^2$;

В) $-5p^2 - 10pq - 5q^2$;

Г) $-36z^3 - 24z^2 - 4z$.

а) $-3x^2 + 12x - 12$

Для разложения на множители данного многочлена сначала вынесем общий множитель за скобки. Общим числовым множителем для коэффициентов -3, 12 и -12 является -3.
$-3x^2 + 12x - 12 = -3(x^2 - 4x + 4)$.
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $x^2 - 4x + 4$. Это выражение является полным квадратом разности, который раскладывается по формуле сокращенного умножения: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a = x$ и $b = 2$. Проверим, соответствует ли средний член $-4x$ удвоенному произведению $2ab$: $2 \cdot x \cdot 2 = 4x$.
Таким образом, выражение в скобках можно записать как $(x - 2)^2$.
Подставив это в наше первоначальное выражение, получаем окончательный результат.

Ответ: $-3(x - 2)^2$

б) $-2a^3 + 20a^2b - 50ab^2$

Сначала найдем и вынесем за скобки общий множитель всех членов многочлена. Общий числовой множитель для -2, 20, -50 равен -2. Общий буквенный множитель - это $a$. Итак, выносим за скобки $-2a$.
$-2a^3 + 20a^2b - 50ab^2 = -2a(a^2 - 10ab + 25b^2)$.
Выражение в скобках, $a^2 - 10ab + 25b^2$, является полным квадратом разности. Используем формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x = a$ и $y = 5b$. Проверяем средний член: $2xy = 2 \cdot a \cdot 5b = 10ab$.
Следовательно, $a^2 - 10ab + 25b^2 = (a - 5b)^2$.
Окончательное разложение многочлена имеет вид.

Ответ: $-2a(a - 5b)^2$

в) $-5p^2 - 10pq - 5q^2$

Вынесем общий множитель -5 за скобки.
$-5p^2 - 10pq - 5q^2 = -5(p^2 + 2pq + q^2)$.
Выражение в скобках, $p^2 + 2pq + q^2$, представляет собой полный квадрат суммы, который раскладывается по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном случае $a = p$ и $b = q$. Средний член $2pq$ соответствует $2ab$.
Таким образом, $p^2 + 2pq + q^2 = (p + q)^2$.
Запишем итоговый результат.

Ответ: $-5(p + q)^2$

г) $-36z^3 - 24z^2 - 4z$

Вынесем за скобки общий множитель. Для коэффициентов -36, -24, -4 общим множителем является -4. Для переменных $z^3, z^2, z$ общим множителем является $z$. Итак, выносим $-4z$.
$-36z^3 - 24z^2 - 4z = -4z(9z^2 + 6z + 1)$.
Рассмотрим выражение в скобках: $9z^2 + 6z + 1$. Это полный квадрат суммы, соответствующий формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = 3z$ и $b = 1$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 3z \cdot 1 = 6z$.
Следовательно, $9z^2 + 6z + 1 = (3z + 1)^2$.
Получаем окончательное разложение.

Ответ: $-4z(3z + 1)^2$

40.7 a) $a^4 - 16$;

б) $b^8 - c^8$;

В) $y^8 - 1$;

Г) $x^4 - z^4$.

а) $a^4 - 16$

Для разложения на множители данного выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим исходное выражение в виде разности квадратов. Заметим, что $a^4 = (a^2)^2$ и $16 = 4^2$.

$a^4 - 16 = (a^2)^2 - 4^2$

Применяем формулу, где $A = a^2$ и $B = 4$:

$(a^2)^2 - 4^2 = (a^2 - 4)(a^2 + 4)$

Теперь обратим внимание на первый множитель $(a^2 - 4)$. Его также можно разложить по формуле разности квадратов, так как $a^2 = (a)^2$ и $4 = 2^2$.

$a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$

Второй множитель $(a^2 + 4)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Собираем все вместе:

$a^4 - 16 = (a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$

Ответ: $(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$

б) $b^8 - c^8$

Используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ последовательно несколько раз.

Представим $b^8 - c^8$ как разность квадратов, где $b^8 = (b^4)^2$ и $c^8 = (c^4)^2$.

$b^8 - c^8 = (b^4)^2 - (c^4)^2 = (b^4 - c^4)(b^4 + c^4)$

Множитель $(b^4 - c^4)$ снова является разностью квадратов: $b^4 = (b^2)^2$ и $c^4 = (c^2)^2$.

$b^4 - c^4 = (b^2)^2 - (c^2)^2 = (b^2 - c^2)(b^2 + c^2)$

Множитель $(b^2 - c^2)$ также является разностью квадратов:

$b^2 - c^2 = (b - c)(b + c)$

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$b^8 - c^8 = (b - c)(b + c)(b^2 + c^2)(b^4 + c^4)$

Ответ: $(b - c)(b + c)(b^2 + c^2)(b^4 + c^4)$

в) $y^8 - 1$

Данное выражение раскладывается на множители аналогично предыдущему примеру, используя формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим $y^8 - 1$ как разность квадратов: $y^8 = (y^4)^2$ и $1 = 1^2$.

$y^8 - 1 = (y^4)^2 - 1^2 = (y^4 - 1)(y^4 + 1)$

Разложим множитель $(y^4 - 1)$, который является разностью квадратов: $y^4 = (y^2)^2$.

$y^4 - 1 = (y^2)^2 - 1^2 = (y^2 - 1)(y^2 + 1)$

В свою очередь, множитель $(y^2 - 1)$ также является разностью квадратов:

$y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)$

Собираем все разложения вместе:

$y^8 - 1 = (y - 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1)$

Ответ: $(y - 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1)$

г) $x^4 - z^4$

Воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим выражение в виде разности квадратов: $x^4 = (x^2)^2$ и $z^4 = (z^2)^2$.

$x^4 - z^4 = (x^2)^2 - (z^2)^2 = (x^2 - z^2)(x^2 + z^2)$

Первый множитель $(x^2 - z^2)$ также является разностью квадратов, поэтому его можно разложить дальше:

$x^2 - z^2 = (x - z)(x + z)$

Второй множитель $(x^2 + z^2)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Итоговое разложение:

$x^4 - z^4 = (x - z)(x + z)(x^2 + z^2)$

Ответ: $(x - z)(x + z)(x^2 + z^2)$

40.8 а) $4m^3 - 4n^3$;

б) $13a^3 + 13b^3$;

В) $15c^3 + 15d^3$;

Г) $21s^3 - 21t^3$.

а) $4m^3 - 4n^3$

Для разложения данного выражения на множители сначала вынесем общий числовой множитель за скобки. Общим множителем для обоих членов является 4.
$4m^3 - 4n^3 = 4(m^3 - n^3)$
Выражение в скобках, $m^3 - n^3$, представляет собой разность кубов. Для его разложения воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Применив эту формулу, где $x=m$ и $y=n$, получим:
$m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$
Теперь подставим полученное разложение обратно в исходное выражение:
$4(m^3 - n^3) = 4(m - n)(m^2 + mn + n^2)$
Ответ: $4(m - n)(m^2 + mn + n^2)$

б) $13a^3 + 13b^3$

Сначала вынесем общий множитель 13 за скобки:
$13a^3 + 13b^3 = 13(a^3 + b^3)$
Выражение в скобках, $a^3 + b^3$, является суммой кубов. Применим формулу сокращенного умножения для суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Применяя формулу, где $x=a$ и $y=b$, получаем:
$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Теперь подставим это разложение в наше выражение:
$13(a^3 + b^3) = 13(a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Ответ: $13(a + b)(a^2 - ab + b^2)$

в) $15c^3 + 15d^3$

Вынесем общий множитель 15 за скобки:
$15c^3 + 15d^3 = 15(c^3 + d^3)$
Выражение в скобках, $c^3 + d^3$, является суммой кубов. Используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Разложим $c^3 + d^3$, где $x=c$ и $y=d$:
$c^3 + d^3 = (c + d)(c^2 - cd + d^2)$
Подставим результат в исходное выражение:
$15(c^3 + d^3) = 15(c + d)(c^2 - cd + d^2)$
Ответ: $15(c + d)(c^2 - cd + d^2)$

г) $21s^3 - 21t^3$

Вынесем общий множитель 21 за скобки:
$21s^3 - 21t^3 = 21(s^3 - t^3)$
Выражение в скобках, $s^3 - t^3$, является разностью кубов. Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Применим формулу к $s^3 - t^3$, где $x=s$ и $y=t$:
$s^3 - t^3 = (s - t)(s^2 + st + t^2)$
Подставим разложение обратно в наше выражение:
$21(s^3 - t^3) = 21(s - t)(s^2 + st + t^2)$
Ответ: $21(s - t)(s^2 + st + t^2)$