Страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Почему прочитанный вами параграф носит такое название?

1.

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо проанализировать содержание прочитанного вами параграфа и соотнести его с названием. Название параграфа, как правило, отражает его главную мысль, основную тему или ключевое понятие, которое в нем рассматривается. Поскольку у меня нет доступа к тексту параграфа, я предложу общий алгоритм для самостоятельного ответа.

Шаг 1: Определите основную идею. Внимательно перечитайте параграф и постарайтесь сформулировать его главную мысль одним-двумя предложениями. Спросите себя: «О чем этот текст? Что самое важное хотел сказать автор?».

Шаг 2: Найдите ключевые элементы. Выделите в тексте основные термины, определения, имена, даты, события или факты. Это опорные точки, на которых строится повествование.

Шаг 3: Сопоставьте название с содержанием. Проанализируйте, как название связано с найденной основной идеей и ключевыми элементами. Название может:
а) Называть главный объект или явление. Например, если параграф называется «Закон всемирного тяготения», то в нем будет объясняться суть этого закона, приводиться формула $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ и описываться его проявления.
б) Формулировать проблему или вопрос. Например, название «Почему вымерли динозавры?» предполагает, что в тексте будут рассматриваться различные гипотезы и теории на эту тему.
в) Указывать на результат или последствие. Например, параграф «Последствия реформ Петра I» будет посвящен не самим реформам, а их влиянию на дальнейшее развитие России.

Шаг 4: Сформулируйте ответ. На основе вашего анализа постройте развернутое объяснение. Начните с фразы, подобной этой: «Прочитанный параграф носит такое название, потому что...», а затем приведите доказательства из текста, связывая их с заголовком.

Пример ответа: «Параграф называется "Клеточное строение растений", потому что в нем подробно описывается структура растительной клетки, перечисляются ее основные органоиды, такие как ядро, цитоплазма, вакуоли и хлоропласты, и объясняется их функция. Также в тексте подчеркивается ключевое отличие растительной клетки от животной — наличие плотной клеточной стенки, что и является одной из центральных тем параграфа».

Ответ: Название параграфа объясняется его содержанием. Оно прямо указывает на главную тему, основное понятие, рассматриваемую проблему или ключевое событие, которое подробно разбирается в тексте. Для полного ответа нужно сопоставить заголовок с конкретными фактами, определениями и идеями из прочитанного материала.

2. В чём заключается метод выделения полного квадрата?

Суть метода

Метод выделения полного квадрата — это алгебраическое преобразование, которое используется для приведения квадратного трехчлена вида $ax^2 + bx + c$ к форме $a(x-h)^2 + k$. Это достигается путем добавления и вычитания определенного числа, чтобы часть выражения стала полным квадратом, то есть квадратом суммы или разности. Основой метода служат формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$
• Квадрат разности: $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$

Цель — получить в выражении член $m^2 \pm 2mn + n^2$, который затем можно "свернуть" в $(m \pm n)^2$.

Алгоритм выделения полного квадрата из трехчлена $ax^2 + bx + c$

1. Если коэффициент $a \ne 1$, вынести его за скобки из первых двух слагаемых: $a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$.
2. В скобках к выражению $x^2 + \frac{b}{a}x$ нужно добавить и отнять такое число, чтобы получился полный квадрат. Это число равно квадрату половины коэффициента при $x$. В данном случае это $(\frac{b}{2a})^2$.
   Получаем: $a\left(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) + c$.
3. Первые три слагаемых в скобках образуют полный квадрат: $a\left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right) + c$.
4. Раскрыть внешние скобки и упростить выражение: $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$.

Пример: Решение квадратного уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$

1. Коэффициент при $x^2$ равен 1, поэтому первый шаг алгоритма пропускаем.
2. Рассмотрим часть уравнения $x^2 - 8x$. Здесь первый член — квадрат $x$. Второй член, $-8x$, должен быть удвоенным произведением $x$ на второе слагаемое в скобках. То есть, $-2 \cdot x \cdot n = -8x$. Отсюда $n=4$.
3. Чтобы получить полный квадрат, нам не хватает слагаемого $n^2 = 4^2 = 16$. Добавим и вычтем 16 в левой части уравнения:
$(x^2 - 8x + 16) - 16 + 12 = 0$
4. "Сворачиваем" полный квадрат и упрощаем:
$(x - 4)^2 - 4 = 0$
5. Теперь решаем полученное уравнение:
$(x-4)^2 = 4$
$x-4 = 2$ или $x-4 = -2$
$x_1 = 6$
$x_2 = 2$

Этот метод также широко используется для нахождения координат вершины параболы. В нашем примере парабола $y = x^2 - 8x + 12$ после преобразования имеет вид $y = (x-4)^2 - 4$. Из этой записи видно, что вершина параболы находится в точке с координатами $(4, -4)$.

Ответ: Метод выделения полного квадрата заключается в тождественном преобразовании квадратного трёхчлена путём добавления и вычитания такого слагаемого, которое вместе с членами, содержащими переменную, образует полный квадрат (квадрат суммы или разности). Это позволяет представить многочлен в более удобном для анализа и решения задач виде (например, для решения квадратных уравнений, нахождения вершины параболы или вывода формулы корней).

3. Расскажите, о комбинации каких приёмов шла речь в данном параграфе.

В данном параграфе, судя по всему, речь шла о разложении многочленов на множители с использованием комбинации различных приёмов. Часто для полного разложения многочлена на множители недостаточно применить какой-то один метод, и требуется последовательное использование нескольких из них. Такой подход позволяет упрощать сложные алгебраические выражения и решать уравнения.

Основные приёмы разложения на множители, которые комбинируются:

• Вынесение общего множителя за скобки. Это первый шаг, который следует попытаться сделать всегда. Общим множителем может быть как число, так и переменная (в некоторой степени) или целое выражение.
• Применение формул сокращённого умножения. К ним относятся:
  • Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
  • Квадрат суммы и квадрат разности: $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
  • Сумма кубов и разность кубов: $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
• Способ группировки. Этот метод применяется, когда у многочлена нет общего множителя для всех его членов, но можно сгруппировать члены так, чтобы у каждой группы появился свой общий множитель, который затем можно снова вынести за скобки.

Общая стратегия при разложении многочлена на множители с использованием комбинации приёмов выглядит следующим образом:

1. Проверить, есть ли общий множитель для всех членов многочлена. Если есть, вынести его за скобку.
2. Проанализировать выражение, оставшееся в скобках (или исходный многочлен, если общего множителя не было).
3. Определить количество членов в выражении и попробовать применить подходящий метод:
   • Если это двучлен, проверить, не является ли он разностью квадратов, суммой или разностью кубов.
   • Если это трёхчлен, проверить, не является ли он полным квадратом суммы или разности.
   • Если это многочлен с четырьмя или более членами, попробовать применить способ группировки.
4. После применения одного из методов проверить, можно ли разложить на множители полученные в результате сомножители. Процесс продолжается до тех пор, пока все множители не станут неприводимыми (то есть их нельзя будет разложить дальше).

Рассмотрим применение комбинации приёмов на примерах.

Пример 1: Разложить на множители многочлен $7x^3 - 7y^3$.

1. Вынесение общего множителя. Общий числовой множитель здесь $7$. Выносим его за скобки: $7(x^3 - y^3)$.

2. Применение формулы разности кубов. Выражение в скобках $x^3 - y^3$ раскладывается по формуле разности кубов. В итоге получаем:

$7(x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Здесь была использована комбинация вынесения общего множителя и формулы сокращенного умножения.

Пример 2: Разложить на множители многочлен $x^3 - 3x^2 - 4x + 12$.

1. Способ группировки. Общего множителя для всех членов нет. Сгруппируем попарно: $(x^3 - 3x^2) + (-4x + 12)$.

2. Вынесение общего множителя в каждой группе. В первой группе выносим $x^2$, во второй $-4$: $x^2(x - 3) - 4(x - 3)$.

3. Вынесение общего множителя-многочлена. Теперь общим множителем является скобка $(x - 3)$. Выносим её: $(x - 3)(x^2 - 4)$.

4. Применение формулы разности квадратов. Множитель $(x^2 - 4)$ можно разложить по формуле разности квадратов: $x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$.

Окончательный результат: $(x - 3)(x - 2)(x + 2)$.

В этом примере мы скомбинировали способ группировки и формулу разности квадратов.

Ответ: В данном параграфе речь шла о комбинации различных приёмов для разложения многочленов на множители. Суть подхода заключается в последовательном применении нескольких методов. Обычно алгоритм таков: сначала выносится общий множитель за скобки (если он есть), затем к оставшемуся выражению применяется один из методов — способ группировки или формулы сокращённого умножения (разность квадратов, квадрат суммы/разности, сумма/разность кубов). Этот процесс повторяется для каждого из полученных множителей, пока дальнейшее разложение не станет невозможным.

Разложите многочлен на множители, используя метод выделения полного квадрата двучлена:

40.21

а) $x^2 - 10x + 24$;

б) $y^4 - 14y^2 + 40;

в) $b^4 + 4b^2 - 5$;

г) $a^2 - 6a + 5.

а) $x^2 - 10x + 24$

Чтобы разложить многочлен на множители, воспользуемся методом выделения полного квадрата. Для этого рассмотрим первые два члена $x^2 - 10x$. Они напоминают первые два члена формулы квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем выражении $a^2 = x^2$, следовательно, $a=x$. Член $-2ab$ соответствует $-10x$. Подставим $a=x$: $-2xb = -10x$. Отсюда находим $b$: $b = \frac{10x}{2x} = 5$.

Для получения полного квадрата нам не хватает члена $b^2 = 5^2 = 25$. Чтобы не изменить исходное выражение, мы добавим и вычтем 25:

$x^2 - 10x + 24 = (x^2 - 10x + 25) - 25 + 24$

Сгруппируем члены. Первые три члена образуют полный квадрат $(x-5)^2$. Оставшиеся числа складываем: $-25 + 24 = -1$.

$(x^2 - 10x + 25) - 1 = (x-5)^2 - 1$

Полученное выражение является разностью квадратов $A^2 - B^2$, где $A = (x-5)$ и $B = 1$. Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:

$(x-5)^2 - 1^2 = ((x-5) - 1)((x-5) + 1)$

Упростим выражения в скобках:

$(x - 5 - 1)(x - 5 + 1) = (x-6)(x-4)$

Ответ: $(x-6)(x-4)$.

б) $y^4 - 14y^2 + 40$

Данный многочлен является биквадратным. Применим метод выделения полного квадрата, рассматривая $y^2$ как переменную. Выражение $y^4 - 14y^2$ является частью квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a^2 = y^4 = (y^2)^2$, значит $a=y^2$. Удвоенное произведение $-2ab$ соответствует $-14y^2$. Подставим $a=y^2$: $-2 \cdot y^2 \cdot b = -14y^2$. Отсюда $b = \frac{14y^2}{2y^2} = 7$.

Для полного квадрата необходим член $b^2 = 7^2 = 49$. Добавим и вычтем 49:

$y^4 - 14y^2 + 40 = (y^4 - 14y^2 + 49) - 49 + 40$

Группируем: первые три члена образуют $(y^2-7)^2$. Оставшиеся числа: $-49 + 40 = -9$.

$(y^4 - 14y^2 + 49) - 9 = (y^2-7)^2 - 9$

Мы получили разность квадратов $A^2 - B^2$, где $A = (y^2-7)$ и $B^2=9$, то есть $B=3$.

$(y^2-7)^2 - 3^2 = ((y^2-7) - 3)((y^2-7) + 3)$

Упростим выражения в скобках:

$(y^2 - 10)(y^2 - 4)$

Множитель $(y^2-4)$ также является разностью квадратов: $y^2 - 2^2 = (y-2)(y+2)$.

$(y^2-10)(y-2)(y+2)$

Ответ: $(y^2-10)(y-2)(y+2)$.

в) $b^4 + 4b^2 - 5$

Используем метод выделения полного квадрата. Выражение $b^4 + 4b^2$ будет частью квадрата суммы $(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$ (используем $c$, чтобы не путать с переменной $b$ из многочлена).

Здесь $a^2 = b^4 = (b^2)^2$, значит $a=b^2$. Член $2ac$ соответствует $4b^2$. Подставим $a=b^2$: $2 \cdot b^2 \cdot c = 4b^2$. Отсюда $c = \frac{4b^2}{2b^2} = 2$.

Для полного квадрата нужен член $c^2 = 2^2 = 4$. Добавим и вычтем 4:

$b^4 + 4b^2 - 5 = (b^4 + 4b^2 + 4) - 4 - 5$

Группируем: первые три члена образуют $(b^2+2)^2$. Оставшиеся числа: $-4 - 5 = -9$.

$(b^4 + 4b^2 + 4) - 9 = (b^2+2)^2 - 9$

Это разность квадратов $A^2 - B^2$, где $A = (b^2+2)$ и $B=3$.

$(b^2+2)^2 - 3^2 = ((b^2+2) - 3)((b^2+2) + 3)$

Упростим:

$(b^2 - 1)(b^2 + 5)$

Множитель $(b^2-1)$ является разностью квадратов: $b^2 - 1^2 = (b-1)(b+1)$.

$(b-1)(b+1)(b^2+5)$

Ответ: $(b-1)(b+1)(b^2+5)$.

г) $a^2 - 6a + 5$

Применим метод выделения полного квадрата. Выражение $a^2 - 6a$ — это часть формулы $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном случае $x^2 = a^2$, значит $x=a$. Член $-2xy$ соответствует $-6a$. Подставим $x=a$: $-2ay = -6a$. Отсюда $y = \frac{6a}{2a} = 3$.

Для полного квадрата не хватает $y^2 = 3^2 = 9$. Добавим и вычтем 9:

$a^2 - 6a + 5 = (a^2 - 6a + 9) - 9 + 5$

Группируем: $(a^2 - 6a + 9)$ это $(a-3)^2$. Оставшиеся числа: $-9 + 5 = -4$.

$(a^2 - 6a + 9) - 4 = (a-3)^2 - 4$

Получили разность квадратов $A^2 - B^2$, где $A=(a-3)$ и $B^2=4$, то есть $B=2$.

$(a-3)^2 - 2^2 = ((a-3) - 2)((a-3) + 2)$

Упрощаем выражения в скобках:

$(a-3-2)(a-3+2) = (a-5)(a-1)$

Ответ: $(a-5)(a-1)$.

40.22 а) $4a^2 - 12ab + 5b^2;$

б) $9c^2 - 24cd + 7d^2;$

в) $25a^2 - 20ab - 12b^2;$

г) $9m^2 - 30mk + 16k^2.$

а) Чтобы разложить на множители выражение $4a^2 - 12ab + 5b^2$, применим метод выделения полного квадрата. Первый член $4a^2$ является квадратом выражения $(2a)$. Удвоенное произведение первого члена на второй должно равняться $-12ab$. Найдем второй член: $2 \cdot 2a \cdot (3b) = 12ab$.
Для получения полного квадрата разности $(2a - 3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2$, нам необходимо иметь член $9b^2$.
Представим исходное выражение, добавив и вычтя $9b^2$:
$4a^2 - 12ab + 5b^2 = (4a^2 - 12ab + 9b^2) - 9b^2 + 5b^2$
Теперь сгруппируем члены, чтобы выделить полный квадрат:
$(4a^2 - 12ab + 9b^2) - 4b^2 = (2a - 3b)^2 - (2b)^2$
Мы получили разность квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$((2a - 3b) - 2b)((2a - 3b) + 2b) = (2a - 3b - 2b)(2a - 3b + 2b) = (2a - 5b)(2a - b)$
Ответ: $(2a - 5b)(2a - b)$

б) Чтобы разложить на множители выражение $9c^2 - 24cd + 7d^2$, выделим полный квадрат. Первый член $9c^2$ — это $(3c)^2$. Удвоенное произведение первого члена на второй равно $-24cd$, то есть $2 \cdot 3c \cdot (4d) = 24cd$.
Для полного квадрата $(3c - 4d)^2 = 9c^2 - 24cd + 16d^2$, нам нужен член $16d^2$.
Добавим и вычтем $16d^2$ в исходном выражении:
$9c^2 - 24cd + 7d^2 = (9c^2 - 24cd + 16d^2) - 16d^2 + 7d^2$
Сгруппируем члены:
$(9c^2 - 24cd + 16d^2) - 9d^2 = (3c - 4d)^2 - (3d)^2$
Применим формулу разности квадратов:
$((3c - 4d) - 3d)((3c - 4d) + 3d) = (3c - 4d - 3d)(3c - 4d + 3d) = (3c - 7d)(3c - d)$
Ответ: $(3c - 7d)(3c - d)$

в) Чтобы разложить на множители выражение $25a^2 - 20ab - 12b^2$, выделим полный квадрат. Первый член $25a^2$ — это $(5a)^2$. Удвоенное произведение первого члена на второй равно $-20ab$, то есть $2 \cdot 5a \cdot (2b) = 20ab$.
Для полного квадрата $(5a - 2b)^2 = 25a^2 - 20ab + 4b^2$, нам нужен член $4b^2$.
Добавим и вычтем $4b^2$:
$25a^2 - 20ab - 12b^2 = (25a^2 - 20ab + 4b^2) - 4b^2 - 12b^2$
Сгруппируем члены:
$(25a^2 - 20ab + 4b^2) - 16b^2 = (5a - 2b)^2 - (4b)^2$
Применим формулу разности квадратов:
$((5a - 2b) - 4b)((5a - 2b) + 4b) = (5a - 2b - 4b)(5a - 2b + 4b) = (5a - 6b)(5a + 2b)$
Ответ: $(5a - 6b)(5a + 2b)$

г) Чтобы разложить на множители выражение $9m^2 - 30mk + 16k^2$, выделим полный квадрат. Первый член $9m^2$ — это $(3m)^2$. Удвоенное произведение первого члена на второй равно $-30mk$, то есть $2 \cdot 3m \cdot (5k) = 30mk$.
Для полного квадрата $(3m - 5k)^2 = 9m^2 - 30mk + 25k^2$, нам нужен член $25k^2$.
Добавим и вычтем $25k^2$:
$9m^2 - 30mk + 16k^2 = (9m^2 - 30mk + 25k^2) - 25k^2 + 16k^2$
Сгруппируем члены:
$(9m^2 - 30mk + 25k^2) - 9k^2 = (3m - 5k)^2 - (3k)^2$
Применим формулу разности квадратов:
$((3m - 5k) - 3k)((3m - 5k) + 3k) = (3m - 5k - 3k)(3m - 5k + 3k) = (3m - 8k)(3m - 2k)$
Ответ: $(3m - 8k)(3m - 2k)$

Разложите многочлен на множители, представив один из членов многочлена в виде суммы подобных слагаемых:

40.23 а) $a^2 + 7a + 10;$

в) $b^2 - 3b - 4;$

б) $x^4 + 7x^2 + 12;$

г) $y^4 - 5y^2 + 4.$

а)

Чтобы разложить на множители многочлен $a^2 + 7a + 10$, необходимо представить средний член $7a$ в виде суммы подобных слагаемых. Для этого ищем два числа, сумма которых равна коэффициенту при $a$ (число 7), а произведение равно свободному члену (число 10). Этими числами являются 2 и 5, поскольку $2 + 5 = 7$ и $2 \cdot 5 = 10$.

Заменим $7a$ на сумму $2a + 5a$ в исходном многочлене и выполним разложение методом группировки:

$a^2 + 7a + 10 = a^2 + 2a + 5a + 10$

Сгруппируем слагаемые: $(a^2 + 2a) + (5a + 10)$.

Вынесем общий множитель из каждой группы: $a(a + 2) + 5(a + 2)$.

Теперь вынесем общий множитель $(a + 2)$ за скобки, чтобы получить итоговое разложение:

$(a + 2)(a + 5)$

Ответ: $(a + 2)(a + 5)$

б)

Для разложения многочлена $x^4 + 7x^2 + 12$ представим член $7x^2$ в виде суммы. Ищем два числа, сумма которых равна 7, а произведение — 12. Это числа 3 и 4, так как $3+4=7$ и $3 \cdot 4=12$.

Представим $7x^2$ как $3x^2+4x^2$ и выполним группировку:

$x^4 + 7x^2 + 12 = x^4 + 3x^2 + 4x^2 + 12 = (x^4 + 3x^2) + (4x^2 + 12)$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$x^2(x^2 + 3) + 4(x^2 + 3)$

Вынесем общий множитель $(x^2+3)$:

$(x^2 + 3)(x^2 + 4)$

Ответ: $(x^2 + 3)(x^2 + 4)$

в)

В многочлене $b^2 - 3b - 4$ представим средний член $-3b$ в виде суммы. Нам нужны два числа, сумма которых равна -3, а произведение — $1 \cdot (-4) = -4$. Эти числа 1 и -4, так как $1 + (-4) = -3$ и $1 \cdot (-4)=-4$.

Запишем $-3b$ как $b - 4b$ (или $-4b + b$) и сгруппируем слагаемые:

$b^2 - 3b - 4 = b^2 - 4b + b - 4 = (b^2 - 4b) + (b - 4)$

Вынесем общие множители:

$b(b - 4) + 1(b - 4)$

Вынесем общий множитель $(b-4)$:

$(b - 4)(b + 1)$

Ответ: $(b - 4)(b + 1)$

г)

Чтобы разложить многочлен $y^4 - 5y^2 + 4$, представим $-5y^2$ в виде суммы. Нужно найти два числа, сумма которых равна -5, а произведение — 4. Это числа -1 и -4, так как $(-1) + (-4) = -5$ и $(-1) \cdot (-4) = 4$.

Представим $-5y^2$ как $-y^2 - 4y^2$ и сгруппируем слагаемые:

$y^4 - 5y^2 + 4 = y^4 - y^2 - 4y^2 + 4 = (y^4 - y^2) - (4y^2 - 4)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$y^2(y^2 - 1) - 4(y^2 - 1)$

Вынесем за скобки общий множитель $(y^2-1)$:

$(y^2 - 1)(y^2 - 4)$

Оба множителя в полученном выражении являются разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ для дальнейшего разложения:

$y^2 - 1 = (y-1)(y+1)$

$y^2 - 4 = y^2 - 2^2 = (y-2)(y+2)$

Итоговое разложение имеет вид:

$(y-1)(y+1)(y-2)(y+2)$

Ответ: $(y-1)(y+1)(y-2)(y+2)$

40.24 а) $x^2 + 5xy + 6y^2;$

б) $4m^2 - 5mn + n^2;$

В) $p^2 - pq - 2q^2;$

Г) $a^2 + 7ab + 6b^2.$

а) Для того чтобы разложить на множители выражение $x^2 + 5xy + 6y^2$, мы можем рассматривать его как квадратный трехчлен относительно переменной $x$. Нам необходимо найти два одночлена, произведение которых равно $6y^2$, а их сумма равна $5y$. Этими одночленами являются $2y$ и $3y$, поскольку $2y \cdot 3y = 6y^2$ и $2y + 3y = 5y$.
Теперь представим средний член $5xy$ в виде суммы $2xy + 3xy$:
$x^2 + 5xy + 6y^2 = x^2 + 2xy + 3xy + 6y^2$
Далее применим метод группировки слагаемых:
$(x^2 + 2xy) + (3xy + 6y^2)$
Вынесем общий множитель из каждой группы:
$x(x + 2y) + 3y(x + 2y)$
Теперь вынесем общий множитель $(x + 2y)$ за скобки:
$(x + 2y)(x + 3y)$
Ответ: $(x + 2y)(x + 3y)$

б) Чтобы разложить на множители выражение $4m^2 - 5mn + n^2$, необходимо представить средний член $-5mn$ в виде суммы двух слагаемых. Для этого найдем два числа, произведение которых равно произведению коэффициентов при $m^2$ и $n^2$ (то есть $4 \cdot 1 = 4$), а сумма равна коэффициенту при $mn$ (то есть $-5$). Такими числами являются $-4$ и $-1$.
Представим $-5mn$ как $-4mn - mn$:
$4m^2 - 5mn + n^2 = 4m^2 - 4mn - mn + n^2$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(4m^2 - 4mn) - (mn - n^2) = 4m(m - n) - n(m - n)$
Вынесем общий множитель $(m - n)$:
$(4m - n)(m - n)$
Ответ: $(4m - n)(m - n)$

в) Для разложения на множители выражения $p^2 - pq - 2q^2$, рассмотрим его как квадратный трехчлен относительно переменной $p$. Нам нужно найти два одночлена, произведение которых равно $-2q^2$, а сумма равна $-q$. Этими одночленами являются $-2q$ и $q$, так как $(-2q) \cdot q = -2q^2$ и $-2q + q = -q$.
Представим средний член $-pq$ в виде суммы $-2pq + pq$:
$p^2 - pq - 2q^2 = p^2 - 2pq + pq - 2q^2$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(p^2 - 2pq) + (pq - 2q^2) = p(p - 2q) + q(p - 2q)$
Вынесем общий множитель $(p - 2q)$:
$(p - 2q)(p + q)$
Ответ: $(p - 2q)(p + q)$

г) Чтобы разложить на множители выражение $a^2 + 7ab + 6b^2$, рассмотрим его как квадратный трехчлен относительно переменной $a$. Найдем два одночлена, произведение которых равно $6b^2$, а сумма равна $7b$. Такими одночленами являются $6b$ и $b$, поскольку $6b \cdot b = 6b^2$ и $6b + b = 7b$.
Представим средний член $7ab$ в виде суммы $6ab + ab$:
$a^2 + 7ab + 6b^2 = a^2 + 6ab + ab + 6b^2$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(a^2 + 6ab) + (ab + 6b^2) = a(a + 6b) + b(a + 6b)$
Вынесем общий множитель $(a + 6b)$:
$(a + 6b)(a + b)$
Ответ: $(a + 6b)(a + b)$

Решите уравнение:

40.25

а) $x^3 - x = 0;$

б) $16y - y^3 = 0;$

в) $c^3 + c^2 = 0;$

г) $d^3 + d = 0.$

а) Решим уравнение $x^3 - x = 0$.

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 1) = 0$

Выражение в скобках, $x^2 - 1$, является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, чтобы разложить его на множители:

$x(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы можем приравнять каждый множитель к нулю, чтобы найти все корни уравнения:

$x = 0$ или $x - 1 = 0$ или $x + 1 = 0$

Решая эти простые уравнения, получаем три корня:

$x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$

Ответ: $-1; 0; 1$.

б) Решим уравнение $16y - y^3 = 0$.

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(16 - y^2) = 0$

Выражение в скобках, $16 - y^2$, является разностью квадратов, так как $16 = 4^2$. Разложим его на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$y(4 - y)(4 + y) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

$y = 0$ или $4 - y = 0$ или $4 + y = 0$

Решая каждое из уравнений, находим корни:

$y_1 = 0$, $y_2 = 4$, $y_3 = -4$

Ответ: $-4; 0; 4$.

в) Решим уравнение $c^3 + c^2 = 0$.

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $c^2$:

$c^2(c + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

$c^2 = 0$ или $c + 1 = 0$

Решая эти уравнения, находим два корня:

Из $c^2 = 0$ следует, что $c_1 = 0$.

Из $c + 1 = 0$ следует, что $c_2 = -1$.

Ответ: $-1; 0$.

г) Решим уравнение $d^3 + d = 0$.

Вынесем общий множитель $d$ за скобки:

$d(d^2 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом:

$d = 0$ или $d^2 + 1 = 0$

Рассмотрим второе уравнение: $d^2 + 1 = 0$, которое можно переписать как $d^2 = -1$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной ($d^2 \ge 0$). Следовательно, уравнение $d^2 = -1$ не имеет решений в множестве действительных чисел.

Таким образом, исходное уравнение имеет только один действительный корень.

$d = 0$

Ответ: $0$.

40.26 a) $x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0;$

Б) $y^3 + 2y^2 - 4y - 8 = 0;$

В) $9z + 9 - z^3 - z^2 = 0;$

Г) $p^3 - p^2 - 4p + 4 = 0.$

а) Для решения уравнения $x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0$ применим метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два: $(x^3 + x^2) - (4x + 4) = 0$. Вынесем общие множители из каждой группы: $x^2(x + 1) - 4(x + 1) = 0$. Теперь вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки: $(x+1)(x^2 - 4) = 0$. Второй множитель, $x^2 - 4$, является разностью квадратов, которую можно разложить как $(x - 2)(x + 2)$. Уравнение принимает вид: $(x + 1)(x - 2)(x + 2) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем три корня: $x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$; $x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$; $x + 2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$.
Ответ: $-2; -1; 2$.

б) Решим уравнение $y^3 + 2y^2 - 4y - 8 = 0$ методом группировки. Сгруппируем слагаемые: $(y^3 + 2y^2) - (4y + 8) = 0$. Вынесем общие множители из каждой скобки: $y^2(y + 2) - 4(y + 2) = 0$. Вынесем общий множитель $(y+2)$ за скобки: $(y + 2)(y^2 - 4) = 0$. Разложим $y^2 - 4$ на множители как разность квадратов: $(y+2)(y-2)(y+2) = 0$, что можно записать как $(y + 2)^2(y - 2) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда находим корни: $y + 2 = 0 \Rightarrow y_1 = -2$; $y - 2 = 0 \Rightarrow y_2 = 2$.
Ответ: $-2; 2$.

в) Рассмотрим уравнение $9z + 9 - z^3 - z^2 = 0$. Для удобства перегруппируем члены: $(9z + 9) - (z^3 + z^2) = 0$. Вынесем общие множители: $9(z + 1) - z^2(z + 1) = 0$. Вынесем общий множитель $(z+1)$: $(z + 1)(9 - z^2) = 0$. Выражение $9 - z^2$ является разностью квадратов и раскладывается на $(3 - z)(3 + z)$. Уравнение примет вид: $(z + 1)(3 - z)(3 + z) = 0$. Приравнивая каждый множитель к нулю, находим корни: $z + 1 = 0 \Rightarrow z_1 = -1$; $3 - z = 0 \Rightarrow z_2 = 3$; $3 + z = 0 \Rightarrow z_3 = -3$.
Ответ: $-3; -1; 3$.

г) Решим уравнение $p^3 - p^2 - 4p + 4 = 0$. Сгруппируем слагаемые: $(p^3 - p^2) - (4p - 4) = 0$. Вынесем общие множители из каждой группы: $p^2(p - 1) - 4(p - 1) = 0$. Вынесем общий множитель $(p-1)$ за скобки: $(p - 1)(p^2 - 4) = 0$. Разложим $p^2 - 4$ как разность квадратов на $(p - 2)(p + 2)$. Получаем уравнение: $(p - 1)(p - 2)(p + 2) = 0$. Корни уравнения находятся приравниванием каждого множителя к нулю: $p - 1 = 0 \Rightarrow p_1 = 1$; $p - 2 = 0 \Rightarrow p_2 = 2$; $p + 2 = 0 \Rightarrow p_3 = -2$.
Ответ: $-2; 1; 2$.

40.27 Постройте график уравнения:

a) $x^2 - 6xy + 8y^2 = 0;$

б) $2x^2 + 5xy + 2y^2 = 0;$

в) $x^2 + xy - 2y^2 = 0;$

г) $3x^2 - 10xy + 3y^2 = 0.$

Данные уравнения являются однородными уравнениями второй степени. Графиком каждого такого уравнения (если оно имеет решения, отличные от $(0,0)$) является пара прямых, проходящих через начало координат. Чтобы найти эти прямые, можно решить уравнение как квадратное относительно одной из переменных или, что удобнее, разделить его на $y^2$ (или $x^2$), получив квадратное уравнение относительно дроби $\frac{x}{y}$ (или $\frac{y}{x}$).

а) $x^2 - 6xy + 8y^2 = 0$

Рассмотрим два случая.

1. Если $y = 0$, уравнение принимает вид $x^2 = 0$, откуда $x = 0$. Таким образом, точка $(0, 0)$ является решением.

2. Если $y \neq 0$, разделим обе части уравнения на $y^2$:

$\frac{x^2}{y^2} - \frac{6xy}{y^2} + \frac{8y^2}{y^2} = 0$

$(\frac{x}{y})^2 - 6(\frac{x}{y}) + 8 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Возвращаемся к замене:

$\frac{x}{y} = 2$ или $\frac{x}{y} = 4$.

Из этих соотношений получаем уравнения двух прямых:

$x = 2y$, то есть $y = \frac{1}{2}x$

$x = 4y$, то есть $y = \frac{1}{4}x$

Графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых. Обе прямые проходят через точку $(0,0)$, которая является решением из первого случая.

Ответ: Графиком уравнения является пара прямых $y = \frac{1}{2}x$ и $y = \frac{1}{4}x$.

б) $2x^2 + 5xy + 2y^2 = 0$

1. Если $y = 0$, то $2x^2 = 0$, откуда $x=0$. Точка $(0, 0)$ — решение.

2. Если $y \neq 0$, разделим уравнение на $y^2$:

$2(\frac{x}{y})^2 + 5(\frac{x}{y}) + 2 = 0$

Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда:

$2t^2 + 5t + 2 = 0$

Найдём корни через дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

$t = \frac{-5 \pm 3}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 3}{4}$

$t_1 = \frac{-5 - 3}{4} = -2$

$t_2 = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{1}{2}$

Возвращаемся к замене:

$\frac{x}{y} = -2 \implies y = -\frac{1}{2}x$

$\frac{x}{y} = -\frac{1}{2} \implies y = -2x$

Графиком является пара этих прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара прямых $y = -2x$ и $y = -\frac{1}{2}x$.

в) $x^2 + xy - 2y^2 = 0$

1. Если $y = 0$, то $x^2 = 0$, откуда $x=0$. Точка $(0, 0)$ — решение.

2. Если $y \neq 0$, разделим уравнение на $y^2$:

$(\frac{x}{y})^2 + (\frac{x}{y}) - 2 = 0$

Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда:

$t^2 + t - 2 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Возвращаемся к замене:

$\frac{x}{y} = 1 \implies y = x$

$\frac{x}{y} = -2 \implies y = -\frac{1}{2}x$

Графиком является пара этих прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара прямых $y = x$ и $y = -\frac{1}{2}x$.

г) $3x^2 - 10xy + 3y^2 = 0$

1. Если $y = 0$, то $3x^2 = 0$, откуда $x=0$. Точка $(0, 0)$ — решение.

2. Если $y \neq 0$, разделим уравнение на $y^2$:

$3(\frac{x}{y})^2 - 10(\frac{x}{y}) + 3 = 0$

Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда:

$3t^2 - 10t + 3 = 0$

Найдём корни через дискриминант:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

$t = \frac{10 \pm 8}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$

$t_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$t_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Возвращаемся к замене:

$\frac{x}{y} = 3 \implies y = \frac{1}{3}x$

$\frac{x}{y} = \frac{1}{3} \implies y = 3x$

Графиком является пара этих прямых.

Ответ: Графиком уравнения является пара прямых $y = 3x$ и $y = \frac{1}{3}x$.

40.28 Пусть $x_1 + x_2 = 7, x_1x_2 = 2$. Вычислите:

а) $x_1x_2^2 + x_1^2x_2$;

б) $x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2$;

в) $x_1^2 + x_2^2$;

г) $x_1^3 + x_2^3$.

Для решения этой задачи мы будем использовать данные нам значения суммы $x_1 + x_2 = 7$ и произведения $x_1 x_2 = 2$. Основная идея заключается в том, чтобы преобразовать каждое из предложенных выражений так, чтобы оно зависело только от $x_1 + x_2$ и $x_1 x_2$, а затем подставить известные значения.

а) $x_1 x_2^2 + x_1^2 x_2$
В этом выражении можно вынести за скобки общий множитель $x_1 x_2$:
$x_1 x_2^2 + x_1^2 x_2 = x_1 x_2 (x_2 + x_1)$
Теперь подставим известные нам значения: $x_1 x_2 = 2$ и $x_1 + x_2 = 7$.
$2 \cdot 7 = 14$
Ответ: 14.

б) $x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2$
Это выражение можно преобразовать, добавив и отняв $x_1 x_2$, чтобы использовать формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 = (x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2) - x_1 x_2 = (x_1 + x_2)^2 - x_1 x_2$
Подставим известные значения $x_1 + x_2 = 7$ и $x_1 x_2 = 2$:
$7^2 - 2 = 49 - 2 = 47$
Ответ: 47.

в) $x_1^2 + x_2^2$
Для нахождения суммы квадратов воспользуемся формулой квадрата суммы $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$. Выразим из неё искомую сумму:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$
Подставим известные значения $x_1 + x_2 = 7$ и $x_1 x_2 = 2$:
$7^2 - 2 \cdot 2 = 49 - 4 = 45$
Ответ: 45.

г) $x_1^3 + x_2^3$
Для вычисления суммы кубов удобно использовать тождество $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$. Применим его к нашему выражению:
$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1 + x_2)$
Подставим известные значения $x_1 + x_2 = 7$ и $x_1 x_2 = 2$ в эту формулу:
$7^3 - 3 \cdot 2 \cdot 7 = 343 - 42 = 301$
Ответ: 301.

40.29 Пусть $x_1 + x_2 = 5$, $x_1 x_2 = -3$. Вычислите:

а) $x_1^4 + x_2^4$;

б) $(x_1 - x_2)^2$;

в) $x_1^3 x_2^2 + x_1^2 x_2^3$;

г) $x_1^2 x_2^4 + x_1^4 x_2^2$.

а) Чтобы вычислить $x_1^4 + x_2^4$, сначала найдем значение выражения $x_1^2 + x_2^2$.
Используем формулу квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Отсюда можно выразить сумму квадратов:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.
Подставив данные из условия ($x_1 + x_2 = 5$, $x_1x_2 = -3$), получаем:
$x_1^2 + x_2^2 = 5^2 - 2(-3) = 25 + 6 = 31$.
Теперь мы можем вычислить $x_1^4 + x_2^4$, которое можно представить как $(x_1^2)^2 + (x_2^2)^2$. Применим ту же логику:
$x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2x_1^2x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2$.
Подставляем найденное значение $x_1^2 + x_2^2 = 31$ и данное $x_1x_2 = -3$:
$x_1^4 + x_2^4 = 31^2 - 2(-3)^2 = 961 - 2 \cdot 9 = 961 - 18 = 943$.
Ответ: 943

б) Для вычисления $(x_1 - x_2)^2$ раскроем скобки по формуле квадрата разности: $x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2$.
Чтобы выразить это через известные нам величины, преобразуем выражение:
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2) - 4x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.
Подставляем известные значения $x_1 + x_2 = 5$ и $x_1x_2 = -3$:
$(x_1 - x_2)^2 = 5^2 - 4(-3) = 25 + 12 = 37$.
Ответ: 37

в) Рассмотрим выражение $x_1^3 x_2^2 + x_1^2 x_2^3$. Вынесем общий множитель $x_1^2 x_2^2$ за скобки:
$x_1^3 x_2^2 + x_1^2 x_2^3 = x_1^2 x_2^2 (x_1 + x_2) = (x_1x_2)^2 (x_1 + x_2)$.
Подставляем известные значения $x_1 + x_2 = 5$ и $x_1x_2 = -3$:
$(-3)^2 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$.
Ответ: 45

г) Рассмотрим выражение $x_1^2 x_2^4 + x_1^4 x_2^2$. Вынесем общий множитель $x_1^2 x_2^2$ за скобки:
$x_1^2 x_2^4 + x_1^4 x_2^2 = x_1^2 x_2^2 (x_2^2 + x_1^2) = (x_1x_2)^2 (x_1^2 + x_2^2)$.
Значение $x_1^2 + x_2^2$ было найдено в пункте а): $x_1^2 + x_2^2 = 31$.
Подставляем известные и ранее вычисленные значения:
$(x_1x_2)^2 (x_1^2 + x_2^2) = (-3)^2 \cdot 31 = 9 \cdot 31 = 279$.
Ответ: 279