Страница 183, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

41.40 а) $ \frac{47^3 + 33^3}{47^2 - 47 \cdot 33 + 33^2} $;

б) $ \frac{23^3 - 11^3}{23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2} $;

в) $ \frac{27^3 - 13^3}{27^2 + 27 \cdot 13 + 13^2} $;

г) $ \frac{87^3 + 43^3}{87^2 - 87 \cdot 43 + 43^2} $.

а)

Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. В данном выражении числитель представляет собой сумму кубов, а знаменатель — неполный квадрат разности.

Применим формулу к числителю, где $a = 47$ и $b = 33$:

$47^3 + 33^3 = (47 + 33)(47^2 - 47 \cdot 33 + 33^2)$

Теперь подставим это разложение в исходную дробь:

$\frac{47^3 + 33^3}{47^2 - 47 \cdot 33 + 33^2} = \frac{(47 + 33)(47^2 - 47 \cdot 33 + 33^2)}{47^2 - 47 \cdot 33 + 33^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(47^2 - 47 \cdot 33 + 33^2)$:

$\frac{(47 + 33)\cancel{(47^2 - 47 \cdot 33 + 33^2)}}{\cancel{47^2 - 47 \cdot 33 + 33^2}} = 47 + 33$

Вычислим результат:

$47 + 33 = 80$

Ответ: $80$

б)

Для решения этого примера используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. В данном выражении числитель — это разность кубов, а знаменатель — неполный квадрат суммы.

Применим формулу к числителю, где $a = 23$ и $b = 11$:

$23^3 - 11^3 = (23 - 11)(23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2)$

Подставим полученное выражение в исходную дробь:

$\frac{23^3 - 11^3}{23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2} = \frac{(23 - 11)(23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2)}{23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2)$:

$\frac{(23 - 11)\cancel{(23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2)}}{\cancel{23^2 + 23 \cdot 11 + 11^2}} = 23 - 11$

Вычислим результат:

$23 - 11 = 12$

Ответ: $12$

в)

Данный пример решается с помощью формулы разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В числителе дроби имеем $27^3 - 13^3$. Положим $a = 27$ и $b = 13$ и применим формулу:

$27^3 - 13^3 = (27 - 13)(27^2 + 27 \cdot 13 + 13^2)$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{27^3 - 13^3}{27^2 + 27 \cdot 13 + 13^2} = \frac{(27 - 13)(27^2 + 27 \cdot 13 + 13^2)}{27^2 + 27 \cdot 13 + 13^2}$

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{(27 - 13)\cancel{(27^2 + 27 \cdot 13 + 13^2)}}{\cancel{27^2 + 27 \cdot 13 + 13^2}} = 27 - 13$

Выполним вычитание:

$27 - 13 = 14$

Ответ: $14$

г)

Этот пример решается с помощью формулы суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В числителе дроби находится выражение $87^3 + 43^3$. Положим $a = 87$ и $b = 43$ и применим формулу:

$87^3 + 43^3 = (87 + 43)(87^2 - 87 \cdot 43 + 43^2)$

Подставим полученное разложение в исходную дробь:

$\frac{87^3 + 43^3}{87^2 - 87 \cdot 43 + 43^2} = \frac{(87 + 43)(87^2 - 87 \cdot 43 + 43^2)}{87^2 - 87 \cdot 43 + 43^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(87^2 - 87 \cdot 43 + 43^2)$:

$\frac{(87 + 43)\cancel{(87^2 - 87 \cdot 43 + 43^2)}}{\cancel{87^2 - 87 \cdot 43 + 43^2}} = 87 + 43$

Вычислим сумму:

$87 + 43 = 130$

Ответ: $130$

41.41 a) $ \frac{48^2 - 2 \cdot 48 \cdot 18 + 18^2}{48^2 - 18^2} $;

б) $ \frac{85^2 - 17^2}{85^2 - 2 \cdot 85 \cdot 17 + 17^2} $;

в) $ \frac{73^2 - 2 \cdot 73 \cdot 23 + 23^2}{26^2 - 24^2} $;

г) $ \frac{48^2 - 12^2}{89^2 + 2 \cdot 89 \cdot 31 + 31^2} $.

Для упрощения выражения $\frac{48^2 - 2 \cdot 48 \cdot 18 + 18^2}{48^2 - 18^2}$ воспользуемся формулами сокращенного умножения.

В числителе находится полный квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. При $a=48$ и $b=18$, получаем $(48 - 18)^2$.

В знаменателе находится разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. При $a=48$ и $b=18$, получаем $(48 - 18)(48 + 18)$.

Подставим преобразованные части в исходную дробь:

$\frac{(48 - 18)^2}{(48 - 18)(48 + 18)}$

Сократим дробь на общий множитель $(48 - 18)$:

$\frac{48 - 18}{48 + 18} = \frac{30}{66}$

Сократим полученную дробь на 6:

$\frac{30 \div 6}{66 \div 6} = \frac{5}{11}$

Ответ: $\frac{5}{11}$

Для упрощения выражения $\frac{85^2 - 17^2}{85^2 - 2 \cdot 85 \cdot 17 + 17^2}$ воспользуемся формулами сокращенного умножения.

В числителе находится разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. При $a=85$ и $b=17$, получаем $(85 - 17)(85 + 17)$.

В знаменателе находится полный квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. При $a=85$ и $b=17$, получаем $(85 - 17)^2$.

Подставим преобразованные части в исходную дробь:

$\frac{(85 - 17)(85 + 17)}{(85 - 17)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(85 - 17)$:

$\frac{85 + 17}{85 - 17} = \frac{102}{68}$

Сократим полученную дробь на 34:

$\frac{102 \div 34}{68 \div 34} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

Для упрощения выражения $\frac{73^2 - 2 \cdot 73 \cdot 23 + 23^2}{26^2 - 24^2}$ воспользуемся формулами сокращенного умножения.

В числителе находится полный квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. При $a=73$ и $b=23$, получаем $(73 - 23)^2$.

В знаменателе находится разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. При $a=26$ и $b=24$, получаем $(26 - 24)(26 + 24)$.

Подставим преобразованные части в исходную дробь и выполним вычисления в скобках:

$\frac{(73 - 23)^2}{(26 - 24)(26 + 24)} = \frac{50^2}{2 \cdot 50}$

Сократим дробь на 50:

$\frac{50}{2} = 25$

Ответ: $25$

Для упрощения выражения $\frac{48^2 - 12^2}{89^2 + 2 \cdot 89 \cdot 31 + 31^2}$ воспользуемся формулами сокращенного умножения.

В числителе находится разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. При $a=48$ и $b=12$, получаем $(48 - 12)(48 + 12)$.

В знаменателе находится полный квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$. При $a=89$ и $b=31$, получаем $(89 + 31)^2$.

Подставим преобразованные части в исходную дробь и выполним вычисления в скобках:

$\frac{(48 - 12)(48 + 12)}{(89 + 31)^2} = \frac{36 \cdot 60}{120^2} = \frac{36 \cdot 60}{120 \cdot 120}$

Сократим дробь:

$\frac{36 \cdot 60}{120 \cdot 120} = \frac{36}{2 \cdot 120} = \frac{36}{240}$

Сократим полученную дробь $\frac{36}{240}$ на 12:

$\frac{36 \div 12}{240 \div 12} = \frac{3}{20}$

Ответ: $\frac{3}{20}$

41.42 Найдите значение алгебраической дроби:

а) $ \frac{pz + qz + p + q}{pt + qt + p + q} $ при $ p = 2,5, q = 0,5, z = 25, t = 12; $

б) $ \frac{c - d + c^2 - d^2}{c - d + c^2 - 2cd + d^2} $ при $ c = 8, d = -2; $

В) $ \frac{m - n + mx - nx}{m - n + my - ny} $ при $ x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{3}, m = 1256, n = 4516; $

Г) $ \frac{a + b + a^2 - b^2}{a - b + a^2 - 2ab + b^2} $ при $ a = 3, b = 5. $

а) Сначала упростим алгебраическую дробь, разложив числитель и знаменатель на множители методом группировки.

$\frac{pz + qz + p + q}{pt + qt + p + q} = \frac{z(p + q) + 1(p + q)}{t(p + q) + 1(p + q)} = \frac{(p + q)(z + 1)}{(p + q)(t + 1)}$

Так как $p + q = 2,5 + 0,5 = 3 \ne 0$, можно сократить дробь на общий множитель $(p+q)$.

Получаем выражение: $\frac{z + 1}{t + 1}$.

Теперь подставим значения $z = 25$ и $t = 12$:

$\frac{25 + 1}{12 + 1} = \frac{26}{13} = 2$.

Ответ: 2

б) Упростим выражение. В числителе сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов $c^2 - d^2 = (c-d)(c+d)$. В знаменателе сгруппируем слагаемые и применим формулу квадрата разности $c^2 - 2cd + d^2 = (c-d)^2$.

$\frac{c - d + c^2 - d^2}{c - d + c^2 - 2cd + d^2} = \frac{(c - d) + (c^2 - d^2)}{(c - d) + (c^2 - 2cd + d^2)} = \frac{(c - d) + (c - d)(c + d)}{(c - d) + (c - d)^2}$

Вынесем общий множитель $(c-d)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(c - d)(1 + c + d)}{(c - d)(1 + c - d)}$

Так как $c - d = 8 - (-2) = 10 \ne 0$, можно сократить дробь на $(c-d)$.

Получаем: $\frac{1 + c + d}{1 + c - d}$.

Подставим значения $c = 8$ и $d = -2$:

$\frac{1 + 8 + (-2)}{1 + 8 - (-2)} = \frac{1 + 8 - 2}{1 + 8 + 2} = \frac{7}{11}$.

Ответ: $\frac{7}{11}$

в) Упростим выражение, вынеся общие множители за скобки в числителе и знаменателе.

$\frac{m - n + mx - nx}{m - n + my - ny} = \frac{(m - n) + x(m - n)}{(m - n) + y(m - n)} = \frac{(m - n)(1 + x)}{(m - n)(1 + y)}$

Так как $m - n = 1256 - 4516 = -3260 \ne 0$, мы можем сократить дробь на $(m-n)$.

Получаем: $\frac{1 + x}{1 + y}$.

Подставим значения $x = \frac{1}{2}$ и $y = \frac{1}{3}$:

$\frac{1 + \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{8}$.

Ответ: $\frac{9}{8}$

г) Упростим выражение, используя формулы сокращенного умножения и метод группировки.

$\frac{a + b + a^2 - b^2}{a - b + a^2 - 2ab + b^2} = \frac{(a + b) + (a^2 - b^2)}{(a - b) + (a^2 - 2ab + b^2)} = \frac{(a + b) + (a - b)(a + b)}{(a - b) + (a - b)^2}$

Вынесем общие множители за скобки:

$\frac{(a + b)(1 + a - b)}{(a - b)(1 + a - b)}$

Так как $1 + a - b = 1 + 3 - 5 = -1 \ne 0$, мы можем сократить дробь на $(1+a-b)$.

Получаем: $\frac{a + b}{a - b}$.

Подставим значения $a = 3$ и $b = 5$:

$\frac{3 + 5}{3 - 5} = \frac{8}{-2} = -4$.

Ответ: -4

Выясните, являются ли данные равенства тождествами:

42.1 а) $a + b = b + a$;

б) $(a + b) + c = a + (b + c)$;

в) $ab = ba$;

г) $(ab)c = a(bc)$.

a) Равенство $a + b = b + a$ является тождеством. Это основное свойство сложения, называемое переместительным (или коммутативным) законом. Оно гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не изменяется. Это равенство справедливо для любых числовых значений переменных $a$ и $b$. Поскольку равенство верно при всех допустимых значениях входящих в него переменных, оно является тождеством.
Ответ: да, является тождеством.

б) Равенство $(a + b) + c = a + (b + c)$ является тождеством. Это сочетательный (или ассоциативный) закон сложения. Он означает, что результат сложения нескольких чисел не зависит от порядка, в котором производятся промежуточные сложения. Можно сначала сложить $a$ и $b$, а затем к результату прибавить $c$, или сначала сложить $b$ и $c$, а затем к $a$ прибавить полученную сумму. Результат будет одинаковым для любых числовых значений $a$, $b$ и $c$. Следовательно, это тождество.
Ответ: да, является тождеством.

в) Равенство $ab = ba$ является тождеством. Это переместительный (коммутативный) закон умножения. Он гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется. Это свойство справедливо для любых числовых значений переменных $a$ и $b$. Так как равенство истинно для всех возможных значений переменных, оно является тождеством.
Ответ: да, является тождеством.

г) Равенство $(ab)c = a(bc)$ является тождеством. Это сочетательный (или ассоциативный) закон умножения. Он утверждает, что результат умножения нескольких чисел не зависит от того, как они сгруппированы. Можно сначала перемножить $a$ и $b$ и результат умножить на $c$, или же сначала перемножить $b$ и $c$, а потом $a$ умножить на результат. Итог будет тем же самым для любых числовых значений $a$, $b$ и $c$. Таким образом, данное равенство является тождеством.
Ответ: да, является тождеством.

42.2 a) $a(b + c) = ab + ac;$

б) $a + 0 = a;$

В) $a \cdot 1 = a;$

Г) $a + (-a) = 0.$

а) Равенство $a(b + c) = ab + ac$ выражает распределительный (или дистрибутивный) закон умножения относительно сложения. Этот закон является одним из фундаментальных свойств чисел. Он утверждает, что умножение числа на сумму двух слагаемых равносильно сумме произведений этого числа на каждое из слагаемых. Этот закон позволяет раскрывать скобки в алгебраических выражениях.

Пример: если $a=5$, $b=2$, $c=3$.

Левая часть: $a(b+c) = 5(2+3) = 5 \cdot 5 = 25$.

Правая часть: $ab + ac = 5 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = 10 + 15 = 25$.

Ответ: Распределительный закон умножения относительно сложения.

б) Равенство $a + 0 = a$ описывает свойство нуля как нейтрального элемента для операции сложения. Ноль также называют аддитивной единицей. Это означает, что прибавление нуля к любому числу не изменяет это число. Это одно из основных свойств арифметических операций.

Пример: если $a = -8$, то $-8 + 0 = -8$.

Ответ: Свойство нуля как нейтрального элемента при сложении (свойство аддитивной единицы).

в) Равенство $a \cdot 1 = a$ описывает свойство единицы как нейтрального элемента для операции умножения. Единицу также называют мультипликативной единицей. Это означает, что умножение любого числа на единицу не изменяет это число. Это также является одним из фундаментальных свойств чисел.

Пример: если $a = 15$, то $15 \cdot 1 = 15$.

Ответ: Свойство единицы как нейтрального элемента при умножении (свойство мультипликативной единицы).

г) Равенство $a + (-a) = 0$ выражает свойство существования противоположного элемента для операции сложения. Для любого числа $a$ существует число $-a$, называемое противоположным к $a$ (или аддитивно обратным), такое, что их сумма равна нулю (нейтральному элементу по сложению). Это свойство является основой для определения операции вычитания.

Пример: для числа $a=42.2$ противоположным является $-42.2$, и их сумма $42.2 + (-42.2) = 0$.

Ответ: Свойство существования противоположного (аддитивно обратного) элемента.