Страница 179, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Сформулируйте определение алгебраической дроби.

1. Алгебраическая дробь (также называемая рациональной дробью) — это выражение вида $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ являются многочленами. Многочлен $P$ называется числителем, а многочлен $Q$ — знаменателем дроби.

Ключевое свойство алгебраической дроби заключается в том, что её знаменатель не может быть равен нулю ($Q \neq 0$), так как операция деления на ноль не определена. Множество всех значений переменных, при которых знаменатель дроби не обращается в ноль, называется областью допустимых значений (ОДЗ) алгебраической дроби.

Например, выражения $\frac{x+y}{x-y}$, $\frac{a^2+1}{a-3}$ и $\frac{5c}{b^2+1}$ являются алгебраическими дробями. Для дроби $\frac{a^2+1}{a-3}$ областью допустимых значений являются все числа, кроме $a=3$.

Следует отметить, что любой многочлен можно представить в виде алгебраической дроби, знаменатель которой равен 1. Например, многочлен $x^2 + 2x - 3$ можно записать как $\frac{x^2+2x-3}{1}$.

Ответ: Алгебраическая дробь — это выражение вида $\frac{P}{Q}$, в котором числитель $P$ и знаменатель $Q$ являются многочленами, причем знаменатель $Q$ не может быть тождественно равен нулю.

2. Используя переменные $a$ и $b$, запишите алгебраическую дробь, у которой числитель представляет собой трёхчлен, а знаменатель — одночлен.

Задача требует составить алгебраическую дробь, используя переменные $a$ и $b$. Дробь должна удовлетворять двум условиям.

Во-первых, числитель (верхняя часть дроби) должен быть трёхчленом. Трёхчлен — это многочлен, который состоит из суммы или разности трёх слагаемых (одночленов). Примеры трёхчленов с переменными $a$ и $b$: $a^2 + 2ab + b^2$, или $a - b + 5$.

Во-вторых, знаменатель (нижняя часть дроби) должен быть одночленом. Одночлен — это выражение, состоящее из одного члена, который является произведением чисел, переменных и их степеней. Примеры одночленов с переменными $a$ и $b$: $ab$, $7a^2$, $-5b^3$.

Теперь соберём дробь, соответствующую этим требованиям. Выберем для числителя, например, трёхчлен $a^2 + ab + b^2$. Для знаменателя выберем, например, одночлен $ab$.

В результате получим алгебраическую дробь, которая удовлетворяет условиям задачи: $$ \frac{a^2 + ab + b^2}{ab} $$

Это один из бесконечного множества возможных правильных ответов. Другим примером может быть дробь $\frac{a+b+1}{5a^2b}$.

Ответ: $\frac{a^2 + ab + b^2}{ab}$

3. Что значит «сократить алгебраическую дробь»?

Сократить алгебраическую дробь — это значит разделить ее числитель и знаменатель на их общий множитель, который должен быть отличен от нуля. В результате этого действия получается новая дробь, тождественно равная исходной на ее области допустимых значений (ОДЗ), но имеющая более простой вид.

В основе сокращения дробей лежит основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение, то значение дроби не изменится. Для алгебраической дроби вида $\frac{A}{B}$ это можно записать так:

$\frac{A \cdot C}{B \cdot C} = \frac{A}{B}$ (при $B \neq 0$ и $C \neq 0$).

Сокращение дроби представляет собой применение этого свойства для перехода от более сложной дроби к более простой.

Порядок действий при сокращении алгебраической дроби следующий:

1. Разложить на множители числитель и знаменатель дроби. Для этого используются такие приемы, как вынесение общего множителя за скобки, применение формул сокращенного умножения (например, разность квадратов, квадрат суммы/разности), метод группировки.

2. Найти общие множители в числителе и знаменателе.

3. Разделить (сократить) числитель и знаменатель на все найденные общие множители.

Пример 1: Сократить дробь $\frac{a^2 - 9}{2a + 6}$.

Сначала разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, а в знаменателе вынесем общий множитель за скобки:

$\frac{a^2 - 9}{2a + 6} = \frac{(a-3)(a+3)}{2(a+3)}$

Видно, что общим множителем является выражение $(a+3)$. Сократим на него числитель и знаменатель:

$\frac{(a-3)(a+3)}{2(a+3)} = \frac{a-3}{2}$

Важно отметить, что данное равенство справедливо только при условии, что сокращаемый множитель не равен нулю: $a+3 \neq 0$, то есть $a \neq -3$.

Пример 2: Сократить дробь $\frac{12x^2y - 18xy^2}{8x^2 - 12xy}$.

Разложим на множители числитель и знаменатель, вынося общие множители за скобки в каждом из них:

Числитель: $12x^2y - 18xy^2 = 6xy(2x - 3y)$

Знаменатель: $8x^2 - 12xy = 4x(2x - 3y)$

Подставим разложения в дробь:

$\frac{6xy(2x - 3y)}{4x(2x - 3y)}$

Общими множителями здесь являются $2$, $x$ и выражение в скобках $(2x - 3y)$. Сократим на них:

$\frac{6xy(2x - 3y)}{4x(2x - 3y)} = \frac{3 \cdot 2 \cdot x \cdot y \cdot (2x - 3y)}{2 \cdot 2 \cdot x \cdot (2x - 3y)} = \frac{3y}{2}$

Это сокращение возможно при выполнении условий $x \neq 0$ и $2x-3y \neq 0$, при которых знаменатель исходной дроби не обращается в ноль.

Ответ: Сократить алгебраическую дробь — это разделить ее числитель и знаменатель на их общий ненулевой множитель. Эта операция упрощает дробь, сохраняя ее значение для всех допустимых значений переменных.

41.15 a) $\frac{x^2 - 9}{3x + 9}$;

б) $\frac{y^2 - 144}{12y - y^2}$;

в) $\frac{4 - d^2}{3d + 6}$;

г) $\frac{c^2 - 5c}{25 - c^2}$.

а) Для того чтобы упростить дробь $\frac{x^2 - 9}{3x + 9}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.

Числитель $x^2 - 9$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$.

В знаменателе $3x + 9$ можно вынести за скобки общий множитель 3.
$3x + 9 = 3(x + 3)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{(x - 3)(x + 3)}{3(x + 3)}$.

Сократим общий множитель $(x+3)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$).
$\frac{(x - 3)\cancel{(x + 3)}}{3\cancel{(x + 3)}} = \frac{x - 3}{3}$.

Ответ: $\frac{x-3}{3}$

б) Упростим дробь $\frac{y^2 - 144}{12y - y^2}$.

Числитель $y^2 - 144$ — это разность квадратов.
$y^2 - 144 = y^2 - 12^2 = (y - 12)(y + 12)$.

В знаменателе $12y - y^2$ вынесем за скобки общий множитель $y$.
$12y - y^2 = y(12 - y)$.

Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{(y - 12)(y + 12)}{y(12 - y)}$.

Заметим, что выражения $(y - 12)$ и $(12 - y)$ являются противоположными, так как $(12 - y) = -(y - 12)$. Заменим выражение в знаменателе:
$\frac{(y - 12)(y + 12)}{-y(y - 12)}$.

Сократим общий множитель $(y - 12)$ (при условии $y \neq 12$ и $y \neq 0$):
$\frac{\cancel{(y - 12)}(y + 12)}{-y\cancel{(y - 12)}} = \frac{y + 12}{-y} = -\frac{y + 12}{y}$.

Ответ: $-\frac{y+12}{y}$

в) Упростим выражение $\frac{4 - d^2}{3d + 6}$.

Числитель $4 - d^2$ — это разность квадратов.
$4 - d^2 = 2^2 - d^2 = (2 - d)(2 + d)$.

В знаменателе $3d + 6$ вынесем за скобки общий множитель 3.
$3d + 6 = 3(d + 2)$.

Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(2 - d)(2 + d)}{3(d + 2)}$.

Так как $(2 + d) = (d + 2)$, мы можем сократить этот общий множитель (при $d \neq -2$):
$\frac{(2 - d)\cancel{(2 + d)}}{3\cancel{(d + 2)}} = \frac{2 - d}{3}$.

Ответ: $\frac{2-d}{3}$

г) Упростим дробь $\frac{c^2 - 5c}{25 - c^2}$.

В числителе $c^2 - 5c$ вынесем общий множитель $c$ за скобки.
$c^2 - 5c = c(c - 5)$.

Знаменатель $25 - c^2$ — это разность квадратов.
$25 - c^2 = 5^2 - c^2 = (5 - c)(5 + c)$.

Запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем:
$\frac{c(c - 5)}{(5 - c)(5 + c)}$.

Выражения $(c - 5)$ и $(5 - c)$ противоположны, так как $(c - 5) = -(5 - c)$. Сделаем замену в числителе:
$\frac{-c(5 - c)}{(5 - c)(5 + c)}$.

Сократим общий множитель $(5 - c)$ (при $c \neq 5$ и $c \neq -5$):
$\frac{-c\cancel{(5 - c)}}{\cancel{(5 - c)}(5 + c)} = \frac{-c}{5 + c} = -\frac{c}{c+5}$.

Ответ: $-\frac{c}{c+5}$

41.16 a) $ \frac{15a^4b^2 - 15a^2}{45a^4b + 45a^3} $

B) $ \frac{17a^3b + 17a^4c}{51a^2b^2 - 51a^4c^2} $

б) $ \frac{18a^4b - 72a^2b}{48ab^2 - 24a^2b^2} $

г) $ \frac{36a^3b^2c - 36a^3b^3}{48ab^5 - 48ab^3c^2} $

а) $\frac{15a^4b^2 - 15a^2}{45a^4b + 45a^3}$

Для упрощения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель $15a^2$ за скобки:
$15a^4b^2 - 15a^2 = 15a^2(a^2b^2 - 1)$.
Выражение в скобках $a^2b^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$a^2b^2 - 1 = (ab)^2 - 1^2 = (ab-1)(ab+1)$.
Таким образом, числитель равен $15a^2(ab-1)(ab+1)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $45a^3$ за скобки:
$45a^4b + 45a^3 = 45a^3(ab+1)$.

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{15a^2(ab-1)(ab+1)}{45a^3(ab+1)}$.

Теперь сократим общие множители. Сокращаем числовые коэффициенты $15$ и $45$ на $15$, получаем $\frac{1}{3}$. Сокращаем степени переменной $a$: $\frac{a^2}{a^3} = \frac{1}{a}$. Сокращаем общий множитель в скобках $(ab+1)$.

После сокращения всех общих множителей получаем:
$\frac{1 \cdot (ab-1)}{3 \cdot a} = \frac{ab-1}{3a}$.

Ответ: $\frac{ab-1}{3a}$

б) $\frac{18a^4b - 72a^2b}{48ab^2 - 24a^2b^2}$

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $18a^2b$:
$18a^4b - 72a^2b = 18a^2b(a^2 - 4)$.
Выражение в скобках $a^2 - 4$ является разностью квадратов: $a^2 - 2^2 = (a-2)(a+2)$.
Итак, числитель равен $18a^2b(a-2)(a+2)$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $24ab^2$:
$48ab^2 - 24a^2b^2 = 24ab^2(2 - a)$.
Заметим, что $2 - a = -(a - 2)$. Тогда знаменатель можно записать как $-24ab^2(a-2)$.

Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{18a^2b(a-2)(a+2)}{-24ab^2(a-2)}$.

Сокращаем общие множители: $\frac{18}{-24} = -\frac{3}{4}$, $\frac{a^2}{a}=a$, $\frac{b}{b^2}=\frac{1}{b}$, и $(a-2)$.

В результате получаем:
$-\frac{3 \cdot a \cdot (a+2)}{4 \cdot b} = -\frac{3a(a+2)}{4b}$.

Ответ: $-\frac{3a(a+2)}{4b}$

в) $\frac{17a^3b + 17a^4c}{51a^2b^2 - 51a^4c^2}$

Упростим дробь, разложив ее числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель $17a^3$ за скобки:
$17a^3b + 17a^4c = 17a^3(b + ac)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $51a^2$ за скобки:
$51a^2b^2 - 51a^4c^2 = 51a^2(b^2 - a^2c^2)$.
Выражение в скобках является разностью квадратов $b^2 - (ac)^2$, которую можно разложить как $(b-ac)(b+ac)$.
Таким образом, знаменатель равен $51a^2(b-ac)(b+ac)$.

Запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем:
$\frac{17a^3(b + ac)}{51a^2(b-ac)(b+ac)}$.

Сократим общие множители: $\frac{17}{51} = \frac{1}{3}$, $\frac{a^3}{a^2}=a$, и $(b+ac)$.

После сокращения получаем:
$\frac{a}{3(b-ac)}$.

Ответ: $\frac{a}{3(b-ac)}$

г) $\frac{36a^3b^2c - 36a^3b^3}{48ab^5 - 48ab^3c^2}$

Для упрощения выражения разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель $36a^3b^2$:
$36a^3b^2c - 36a^3b^3 = 36a^3b^2(c - b)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $48ab^3$:
$48ab^5 - 48ab^3c^2 = 48ab^3(b^2 - c^2)$.
Выражение в скобках $b^2 - c^2$ является разностью квадратов и раскладывается как $(b-c)(b+c)$.
Знаменатель равен $48ab^3(b-c)(b+c)$.

Чтобы упростить сокращение, представим множитель в числителе $(c-b)$ как $-(b-c)$.
Дробь примет вид: $\frac{-36a^3b^2(b-c)}{48ab^3(b-c)(b+c)}$.

Сократим общие множители. Коэффициенты: $\frac{-36}{48} = -\frac{3}{4}$. Переменные: $\frac{a^3}{a} = a^2$ и $\frac{b^2}{b^3} = \frac{1}{b}$. Также сокращаем множитель $(b-c)$.

Собирая оставшиеся множители, получаем:
$\frac{-3a^2}{4b(b+c)} = -\frac{3a^2}{4b(b+c)}$.

Ответ: $-\frac{3a^2}{4b(b+c)}$

41.17 Найдите значение выражения:

a) $\frac{a^3 - 8}{a^2 + 2a + 4}$;

В) $\frac{x^3 + 1}{x^2 - x + 1}$;

б) $\frac{1 - 5y + 25y^2}{125y^3 + 1}$;

г) $\frac{4t^2 + 2t + 1}{8t^3 + 1}$.

а)

Для упрощения дроби $\frac{a^3 - 8}{a^2 + 2a + 4}$ разложим числитель на множители.

Числитель $a^3 - 8$ представляет собой разность кубов $a^3 - 2^3$. Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Применив формулу, получаем: $a^3 - 8 = a^3 - 2^3 = (a - 2)(a^2 + a \cdot 2 + 2^2) = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)$.

Теперь подставим разложенный числитель в исходную дробь: $\frac{(a - 2)(a^2 + 2a + 4)}{a^2 + 2a + 4}$

Сократим общий множитель $(a^2 + 2a + 4)$ в числителе и знаменателе. $\frac{(a - 2)\cancel{(a^2 + 2a + 4)}}{\cancel{a^2 + 2a + 4}} = a - 2$.

Ответ: $a - 2$.

б)

Для упрощения дроби $\frac{1 - 5y + 25y^2}{125y^3 + 1}$ разложим знаменатель на множители.

Знаменатель $125y^3 + 1$ представляет собой сумму кубов $(5y)^3 + 1^3$. Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Применив формулу, получаем: $125y^3 + 1 = (5y)^3 + 1^3 = (5y + 1)((5y)^2 - 5y \cdot 1 + 1^2) = (5y + 1)(25y^2 - 5y + 1)$.

Теперь подставим разложенный знаменатель в исходную дробь. Для удобства перепишем числитель как $25y^2 - 5y + 1$. $\frac{25y^2 - 5y + 1}{(5y + 1)(25y^2 - 5y + 1)}$

Сократим общий множитель $(25y^2 - 5y + 1)$ в числителе и знаменателе. $\frac{\cancel{25y^2 - 5y + 1}}{(5y + 1)\cancel{(25y^2 - 5y + 1)}} = \frac{1}{5y + 1}$.

Ответ: $\frac{1}{5y + 1}$.

в)

Для упрощения дроби $\frac{x^3 + 1}{x^2 - x + 1}$ разложим числитель на множители.

Числитель $x^3 + 1$ представляет собой сумму кубов $x^3 + 1^3$. Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применив формулу, получаем: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x + 1)(x^2 - x + 1)$.

Теперь подставим разложенный числитель в исходную дробь: $\frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{x^2 - x + 1}$

Сократим общий множитель $(x^2 - x + 1)$ в числителе и знаменателе. $\frac{(x + 1)\cancel{(x^2 - x + 1)}}{\cancel{x^2 - x + 1}} = x + 1$.

Ответ: $x + 1$.

г)

Рассмотрим выражение $\frac{4t^2 + 2t + 1}{8t^3 + 1}$. Разложим на множители знаменатель.

Знаменатель $8t^3 + 1$ представляет собой сумму кубов $(2t)^3 + 1^3$. Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применив формулу, получаем: $8t^3 + 1 = (2t)^3 + 1^3 = (2t + 1)((2t)^2 - 2t \cdot 1 + 1^2) = (2t + 1)(4t^2 - 2t + 1)$.

Подставим разложенный знаменатель в исходную дробь: $\frac{4t^2 + 2t + 1}{(2t + 1)(4t^2 - 2t + 1)}$

Числитель $4t^2 + 2t + 1$ и множитель в знаменателе $4t^2 - 2t + 1$ не совпадают. Проверим, можно ли разложить на множители числитель. Дискриминант квадратного трехчлена $4t^2 + 2t + 1$ равен $D = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$, числитель не разлагается на линейные множители с действительными коэффициентами.

Общих множителей у числителя и знаменателя нет, следовательно, дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{4t^2 + 2t + 1}{8t^3 + 1}$.

41.18 a) $\frac{(x+y)^2}{x^2-y^2};$

б) $\frac{(d+2)^2}{7d^2+14d};$

в) $\frac{(m-n)^2}{m^2-n^2};$

г) $\frac{6pq-18p}{(q-3)^2}.$

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{(x + y)^2}{x^2 - y^2}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

Числитель $(x + y)^2$ можно записать как произведение $(x + y)(x + y)$.

Знаменатель $x^2 - y^2$ является разностью квадратов и раскладывается по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ как $(x - y)(x + y)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь: $\frac{(x + y)(x + y)}{(x - y)(x + y)}$

Видно, что в числителе и знаменателе есть общий множитель $(x + y)$. Сократим на него (при условии, что $x + y \neq 0$): $\frac{\cancel{(x + y)}(x + y)}{(x - y)\cancel{(x + y)}} = \frac{x + y}{x - y}$

Ответ: $\frac{x + y}{x - y}$

б)

Рассмотрим дробь $\frac{(d + 2)^2}{7d^2 + 14d}$. Для ее сокращения разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $(d + 2)^2$ — это $(d + 2)(d + 2)$.

В знаменателе $7d^2 + 14d$ можно вынести за скобки общий множитель $7d$: $7d^2 + 14d = 7d(d + 2)$.

Запишем дробь с разложенными на множители частями: $\frac{(d + 2)(d + 2)}{7d(d + 2)}$

Сократим общий множитель $(d + 2)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $d + 2 \neq 0$ и $d \neq 0$): $\frac{\cancel{(d + 2)}(d + 2)}{7d\cancel{(d + 2)}} = \frac{d + 2}{7d}$

Ответ: $\frac{d + 2}{7d}$

в)

Чтобы сократить дробь $\frac{(m - n)^2}{m^2 - n^2}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.

Числитель $(m - n)^2$ равен $(m - n)(m - n)$.

Знаменатель $m^2 - n^2$ — это разность квадратов, которая раскладывается как $(m - n)(m + n)$.

Подставим полученные выражения в дробь: $\frac{(m - n)(m - n)}{(m - n)(m + n)}$

Сократим дробь на общий множитель $(m - n)$ (при условии, что $m - n \neq 0$): $\frac{\cancel{(m - n)}(m - n)}{\cancel{(m - n)}(m + n)} = \frac{m - n}{m + n}$

Ответ: $\frac{m - n}{m + n}$

г)

Рассмотрим дробь $\frac{6pq - 18p}{(q - 3)^2}$. Для ее сокращения разложим числитель на множители.

В числителе $6pq - 18p$ вынесем за скобки общий множитель $6p$: $6pq - 18p = 6p(q - 3)$.

Знаменатель $(q - 3)^2$ можно записать как $(q - 3)(q - 3)$.

Запишем дробь в новом виде: $\frac{6p(q - 3)}{(q - 3)(q - 3)}$

Сократим на общий множитель $(q - 3)$ (при условии, что $q - 3 \neq 0$): $\frac{6p\cancel{(q - 3)}}{\cancel{(q - 3)}(q - 3)} = \frac{6p}{q - 3}$

Ответ: $\frac{6p}{q - 3}$

41.19 а) $\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a + b}$;

б) $\frac{(p - q)^2}{p^2 - 2pq + q^2}$;

В) $\frac{x - y}{x^2 - 2xy + y^2}$;

Г) $\frac{m^2 + 2mn + n^2}{(m + n)^2}$.

а)

Чтобы упростить данную дробь, необходимо заметить, что числитель $a^2 + 2ab + b^2$ является полным квадратом суммы двух выражений $a$ и $b$.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Заменим числитель дроби на соответствующий квадрат суммы:

$$ \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a + b} = \frac{(a + b)^2}{a + b} $$

Теперь сократим полученную дробь на общий множитель $(a + b)$, при условии, что $a + b \neq 0$:

$$ \frac{(a + b)(a + b)}{a + b} = a + b $$

Ответ: $a+b$.

б)

Рассмотрим дробь $\frac{(p - q)^2}{p^2 - 2pq + q^2}$. Знаменатель $p^2 - 2pq + q^2$ представляет собой полный квадрат разности выражений $p$ и $q$.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$.

Подставим это выражение в знаменатель исходной дроби:

$$ \frac{(p - q)^2}{p^2 - 2pq + q^2} = \frac{(p - q)^2}{(p - q)^2} $$

Так как числитель и знаменатель дроби равны (при условии, что $p - q \neq 0$), то их частное равно единице.

$$ \frac{(p - q)^2}{(p - q)^2} = 1 $$

Ответ: $1$.

в)

Чтобы упростить дробь $\frac{x - y}{x^2 - 2xy + y^2}$, обратим внимание на знаменатель. Выражение $x^2 - 2xy + y^2$ является полным квадратом разности $x$ и $y$.

Используем формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Заменим знаменатель на квадрат разности:

$$ \frac{x - y}{x^2 - 2xy + y^2} = \frac{x - y}{(x - y)^2} $$

Сократим дробь на общий множитель $(x - y)$, при условии, что $x - y \neq 0$:

$$ \frac{x - y}{(x - y)(x - y)} = \frac{1}{x - y} $$

Ответ: $\frac{1}{x-y}$.

г)

Рассмотрим дробь $\frac{m^2 + 2mn + n^2}{(m + n)^2}$. Числитель $m^2 + 2mn + n^2$ представляет собой полный квадрат суммы выражений $m$ и $n$.

Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$.

Подставим это выражение в числитель исходной дроби:

$$ \frac{m^2 + 2mn + n^2}{(m + n)^2} = \frac{(m + n)^2}{(m + n)^2} $$

Поскольку числитель и знаменатель дроби идентичны (при условии, что $m + n \neq 0$), значение дроби равно 1.

$$ \frac{(m + n)^2}{(m + n)^2} = 1 $$

Ответ: $1$.

41.20 а) $ \frac{1-2p}{1-4p+4p^2} $;

б) $ \frac{9-6x+x^2}{x-3} $;

в) $ \frac{c^2-18c+81}{c-9} $;

г) $ \frac{5-2m}{4m^2-20m+25} $.

Чтобы упростить дробь $\frac{1-2p}{1-4p+4p^2}$, необходимо разложить знаменатель на множители.
Знаменатель $1-4p+4p^2$ представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В данном случае $a=1$ и $b=2p$. Проверим, соответствует ли этому средний член: $2 \cdot 1 \cdot (2p) = 4p$.
Следовательно, знаменатель можно записать как $(1-2p)^2$.
Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:
$\frac{1-2p}{(1-2p)^2}$
Сократим дробь на общий множитель $(1-2p)$, при условии, что $1-2p \neq 0$, то есть $p \neq \frac{1}{2}$.
$\frac{1-2p}{(1-2p)(1-2p)} = \frac{1}{1-2p}$.
Ответ: $\frac{1}{1-2p}$.

Чтобы упростить дробь $\frac{9-6x+x^2}{x-3}$, необходимо разложить числитель на множители.
Числитель $9-6x+x^2$ можно переписать в более привычном виде: $x^2-6x+9$. Это выражение является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Здесь $a=x$ и $b=3$. Проверка среднего члена: $2 \cdot x \cdot 3 = 6x$.
Значит, числитель равен $(x-3)^2$.
Подставим разложенный числитель в дробь:
$\frac{(x-3)^2}{x-3}$
Сократим дробь на общий множитель $(x-3)$, при условии, что $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.
$\frac{(x-3)(x-3)}{x-3} = x-3$.
Ответ: $x-3$.

Чтобы упростить дробь $\frac{c^2-18c+81}{c-9}$, разложим числитель на множители.
Числитель $c^2-18c+81$ — это полный квадрат разности. Применим формулу $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В этом выражении $a=c$ и $b=9$. Проверка среднего члена: $2 \cdot c \cdot 9 = 18c$.
Следовательно, числитель можно представить как $(c-9)^2$.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{(c-9)^2}{c-9}$
Сократим дробь на общий множитель $(c-9)$, при условии, что $c-9 \neq 0$, то есть $c \neq 9$.
$\frac{(c-9)(c-9)}{c-9} = c-9$.
Ответ: $c-9$.

Чтобы упростить дробь $\frac{5-2m}{4m^2-20m+25}$, разложим на множители знаменатель.
Знаменатель $4m^2-20m+25$ является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Здесь $a=2m$ и $b=5$. Проверка среднего члена: $2 \cdot (2m) \cdot 5 = 20m$.
Таким образом, знаменатель равен $(2m-5)^2$.
Подставим разложенный знаменатель в дробь:
$\frac{5-2m}{(2m-5)^2}$
Обратим внимание, что числитель $5-2m$ и выражение в скобках в знаменателе $2m-5$ — противоположные выражения, то есть $5-2m = -(2m-5)$.
Вынесем минус за скобки в числителе:
$\frac{-(2m-5)}{(2m-5)^2}$
Теперь сократим дробь на общий множитель $(2m-5)$, при условии, что $2m-5 \neq 0$, то есть $m \neq \frac{5}{2}$.
$\frac{-(2m-5)}{(2m-5)(2m-5)} = \frac{-1}{2m-5} = -\frac{1}{2m-5}$.
Ответ: $-\frac{1}{2m-5}$.

41.21 а) $\frac{x^2 - 4x + 4}{3x - 6}$;

б) $\frac{a^2 + 2a + 1}{-a^2 - a}$;

в) $\frac{4 - 4x}{x^2 - 2x + 1}$;

г) $\frac{3q^2 + 24q}{q^2 + 16q + 64}$.

а)

Дана дробь $\frac{x^2 - 4x + 4}{3x - 6}$.

Для того чтобы упростить дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Числитель $x^2 - 4x + 4$ представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=x$ и $b=2$, поэтому:

$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$.

В знаменателе $3x - 6$ вынесем за скобки общий множитель 3:

$3x - 6 = 3(x-2)$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{(x-2)^2}{3(x-2)}$

Сократим общий множитель $(x-2)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$):

$\frac{(x-2)(x-2)}{3(x-2)} = \frac{x-2}{3}$.

Ответ: $\frac{x-2}{3}$.

б)

Дана дробь $\frac{a^2 + 2a + 1}{-a^2 - a}$.

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $a^2 + 2a + 1$ является полным квадратом суммы. Применим формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь переменные соответствуют $a$ и $b=1$:

$a^2 + 2a + 1 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = (a+1)^2$.

В знаменателе $-a^2 - a$ вынесем за скобки общий множитель $-a$:

$-a^2 - a = -a(a+1)$.

Подставим разложенные выражения в исходную дробь:

$\frac{(a+1)^2}{-a(a+1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+1)$ (при условии, что $a+1 \neq 0$, то есть $a \neq -1$, а также $a \neq 0$ из-за множителя $-a$ в знаменателе):

$\frac{(a+1)(a+1)}{-a(a+1)} = \frac{a+1}{-a} = -\frac{a+1}{a}$.

Ответ: $-\frac{a+1}{a}$.

в)

Дана дробь $\frac{4 - 4x}{x^2 - 2x + 1}$.

Разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе $4 - 4x$ вынесем за скобки общий множитель 4:

$4 - 4x = 4(1 - x)$.

Знаменатель $x^2 - 2x + 1$ является полным квадратом разности $(x-1)^2$:

$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{4(1 - x)}{(x-1)^2}$.

Чтобы можно было сократить, заметим, что $1 - x = -(x - 1)$. Перепишем числитель:

$4(1 - x) = -4(x - 1)$.

Дробь теперь выглядит так:

$\frac{-4(x - 1)}{(x-1)^2}$

Сократим дробь на $(x-1)$ (при условии, что $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$):

$\frac{-4(x - 1)}{(x-1)(x-1)} = \frac{-4}{x-1}$.

Ответ: $\frac{-4}{x-1}$.

г)

Дана дробь $\frac{3q^2 + 24q}{q^2 + 16q + 64}$.

Разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе $3q^2 + 24q$ вынесем за скобки общий множитель $3q$:

$3q^2 + 24q = 3q(q + 8)$.

Знаменатель $q^2 + 16q + 64$ является полным квадратом суммы. Применим формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a=q$ и $b=8$:

$q^2 + 16q + 64 = q^2 + 2 \cdot q \cdot 8 + 8^2 = (q+8)^2$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{3q(q + 8)}{(q+8)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(q+8)$ (при условии, что $q+8 \neq 0$, то есть $q \neq -8$):

$\frac{3q(q + 8)}{(q+8)(q+8)} = \frac{3q}{q+8}$.

Ответ: $\frac{3q}{q+8}$.

41.22 а) $\frac{y^2 - x^2}{x^2 - 2xy + y^2}$;

б) $\frac{16c^2 - 1}{16c^2 - 8c + 1}$;

в) $\frac{b^2 - 49}{49 - 14b + b^2}$;

г) $\frac{4n^2 - 4nm + m^2}{4n^2 - m^2}$.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{y^2 - x^2}{x^2 - 2xy + y^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.Числитель $y^2 - x^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.$y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)$.Знаменатель $x^2 - 2xy + y^2$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.Таким образом, дробь принимает вид: $\frac{(y - x)(y + x)}{(x - y)^2}$.Поскольку $(x - y)^2 = (-(y - x))^2 = (y - x)^2$, мы можем переписать знаменатель:$\frac{(y - x)(y + x)}{(y - x)^2}$.Теперь сократим общий множитель $(y - x)$:$\frac{y + x}{y - x}$.Ответ: $\frac{y + x}{y - x}$

б) Чтобы упростить выражение $\frac{16c^2 - 1}{16c^2 - 8c + 1}$, разложим числитель и знаменатель на множители.Числитель $16c^2 - 1$ — это разность квадратов: $(4c)^2 - 1^2 = (4c - 1)(4c + 1)$.Знаменатель $16c^2 - 8c + 1$ — это полный квадрат разности: $(4c)^2 - 2 \cdot 4c \cdot 1 + 1^2 = (4c - 1)^2$.Подставим разложенные выражения в дробь:$\frac{(4c - 1)(4c + 1)}{(4c - 1)^2}$.Сократим общий множитель $(4c - 1)$:$\frac{4c + 1}{4c - 1}$.Ответ: $\frac{4c + 1}{4c - 1}$

в) Чтобы упростить выражение $\frac{b^2 - 49}{49 - 14b + b^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.Числитель $b^2 - 49$ — это разность квадратов: $b^2 - 7^2 = (b - 7)(b + 7)$.Знаменатель $49 - 14b + b^2$ перепишем в стандартном виде $b^2 - 14b + 49$. Это полный квадрат разности: $b^2 - 2 \cdot b \cdot 7 + 7^2 = (b - 7)^2$.Подставим разложенные выражения в дробь:$\frac{(b - 7)(b + 7)}{(b - 7)^2}$.Сократим общий множитель $(b - 7)$:$\frac{b + 7}{b - 7}$.Ответ: $\frac{b + 7}{b - 7}$

г) Чтобы упростить выражение $\frac{4n^2 - 4nm + m^2}{4n^2 - m^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.Числитель $4n^2 - 4nm + m^2$ — это полный квадрат разности: $(2n)^2 - 2 \cdot 2n \cdot m + m^2 = (2n - m)^2$.Знаменатель $4n^2 - m^2$ — это разность квадратов: $(2n)^2 - m^2 = (2n - m)(2n + m)$.Подставим разложенные выражения в дробь:$\frac{(2n - m)^2}{(2n - m)(2n + m)}$.Сократим общий множитель $(2n - m)$:$\frac{2n - m}{2n + m}$.Ответ: $\frac{2n - m}{2n + m}$