Страница 191, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

44.6 Найдите значения аргумента, которым соответствует заданное значение функции $y = -x^2$:

а) $-9$;

б) $-\frac{1}{4}$;

в) $0$;

г) $-1$.

Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли графику функции $y = x^2$ заданная точка:

Чтобы найти значения аргумента ($x$), которым соответствует заданное значение функции $y = -x^2$, необходимо для каждого случая подставить данное значение $y$ в уравнение функции и решить его относительно $x$.

а)

Подставляем $y = -9$ в уравнение функции:

$-9 = -x^2$

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$9 = x^2$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей. Уравнение будет иметь два решения:

$x = \pm\sqrt{9}$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$

Ответ: $3; -3$.

б)

Подставляем $y = -\frac{1}{4}$ в уравнение функции:

$-\frac{1}{4} = -x^2$

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$\frac{1}{4} = x^2$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$

$x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -\frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}$.

в)

Подставляем $y = 0$ в уравнение функции:

$0 = -x^2$

Умножим обе части на $-1$:

$0 = x^2$

Извлекая квадратный корень, получаем единственное решение:

$x = 0$

Ответ: $0$.

г)

Подставляем $y = -1$ в уравнение функции:

$-1 = -x^2$

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$1 = x^2$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей. Уравнение имеет два решения:

$x = \pm\sqrt{1}$

$x_1 = 1$, $x_2 = -1$

Ответ: $1; -1$.

44.7 а) $A(2; 4);$

б) $B(3; 6);$

в) $C(4; 8);$

г) $D(-3; 9).$

а) A(2; 4)

Так как вопрос в задаче не указан, наиболее вероятным является проверка принадлежности точек графику функции $y = x^2$. Чтобы проверить, принадлежит ли точка графику, нужно подставить ее координаты в уравнение функции. Для точки $A(2; 4)$ имеем $x=2$ и $y=4$.

Подставляем значения в уравнение $y = x^2$:

$4 = 2^2$

$4 = 4$

Получено верное равенство, следовательно, точка $A(2; 4)$ принадлежит графику функции $y=x^2$.

Ответ: да, принадлежит.

б) B(3; 6)

Проверим принадлежность точки $B(3; 6)$ графику функции $y=x^2$. Подставим ее координаты $x=3$ и $y=6$ в уравнение:

$6 = 3^2$

$6 = 9$

Получено неверное равенство, следовательно, точка $B(3; 6)$ не принадлежит графику функции $y=x^2$.

Ответ: нет, не принадлежит.

в) C(4; 8)

Проверим принадлежность точки $C(4; 8)$ графику функции $y=x^2$. Подставим ее координаты $x=4$ и $y=8$ в уравнение:

$8 = 4^2$

$8 = 16$

Получено неверное равенство, следовательно, точка $C(4; 8)$ не принадлежит графику функции $y=x^2$.

Ответ: нет, не принадлежит.

г) D(-3; 9)

Проверим принадлежность точки $D(-3; 9)$ графику функции $y=x^2$. Подставим ее координаты $x=-3$ и $y=9$ в уравнение:

$9 = (-3)^2$

$9 = 9$

Получено верное равенство, следовательно, точка $D(-3; 9)$ принадлежит графику функции $y=x^2$.

Ответ: да, принадлежит.

44.8 a) $R(0.5; 0.25);$

б) $S(1.2; 2.4);$

в) $E(1.5; 3);$

г) $F(-2.5; 6.25).$

Поскольку в задании не указана функция, будем исходить из наиболее вероятного предположения, что необходимо проверить принадлежность точек графику функции $y=x^2$. Точка принадлежит графику функции, если ее координаты удовлетворяют уравнению функции.

а) Проверим, принадлежит ли точка $R(0,5; 0,25)$ графику функции $y=x^2$.
Для этого подставим координаты точки в уравнение. Абсцисса точки $x=0,5$, ордината $y=0,25$.
Вычисляем значение функции при $x=0,5$:
$y = (0,5)^2 = 0,25$.
Полученное значение $y=0,25$ совпадает с ординатой точки $R$. Следовательно, точка принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

б) Проверим, принадлежит ли точка $S(1,2; 2,4)$ графику функции $y=x^2$.
Абсцисса точки $x=1,2$, ордината $y=2,4$.
Вычисляем значение функции при $x=1,2$:
$y = (1,2)^2 = 1,44$.
Полученное значение $y=1,44$ не совпадает с ординатой точки $S$, так как $1,44 \neq 2,4$. Следовательно, точка не принадлежит графику функции.
Ответ: нет, не принадлежит.

в) Проверим, принадлежит ли точка $E(1,5; 3)$ графику функции $y=x^2$.
Абсцисса точки $x=1,5$, ордината $y=3$.
Вычисляем значение функции при $x=1,5$:
$y = (1,5)^2 = 2,25$.
Полученное значение $y=2,25$ не совпадает с ординатой точки $E$, так как $2,25 \neq 3$. Следовательно, точка не принадлежит графику функции.
Ответ: нет, не принадлежит.

г) Проверим, принадлежит ли точка $F(-2,5; 6,25)$ графику функции $y=x^2$.
Абсцисса точки $x=-2,5$, ордината $y=6,25$.
Вычисляем значение функции при $x=-2,5$:
$y = (-2,5)^2 = 6,25$.
Полученное значение $y=6,25$ совпадает с ординатой точки $F$. Следовательно, точка принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

44.9 a) K($\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$);

б) P($\frac{2}{3}$; $\frac{4}{9}$);

в) L($-\frac{5}{7}$; $\frac{25}{49}$);

г) M($-\frac{11}{12}$; $-\frac{121}{144}$).

Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли графику функции $y = -x^2$ заданная точка:

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции $y = -x^2$, необходимо подставить координаты $x$ и $y$ заданной точки в уравнение функции. Если в результате подстановки мы получим верное числовое равенство, то точка принадлежит графику, в противном случае — не принадлежит.

а) Проверим точку $K(\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$.
Подставим в уравнение функции $y = -x^2$ координаты точки: $x = \frac{1}{2}$ и $y = \frac{1}{4}$.
$\frac{1}{4} = -(\frac{1}{2})^2$
$\frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$
Равенство неверное. Следовательно, точка K не принадлежит графику функции.
Ответ: не принадлежит.

б) Проверим точку $P(\frac{2}{3}; \frac{4}{9})$.
Подставим в уравнение функции $y = -x^2$ координаты точки: $x = \frac{2}{3}$ и $y = \frac{4}{9}$.
$\frac{4}{9} = -(\frac{2}{3})^2$
$\frac{4}{9} = -\frac{4}{9}$
Равенство неверное. Следовательно, точка P не принадлежит графику функции.
Ответ: не принадлежит.

в) Проверим точку $L(-\frac{5}{7}; \frac{25}{49})$.
Подставим в уравнение функции $y = -x^2$ координаты точки: $x = -\frac{5}{7}$ и $y = \frac{25}{49}$.
$\frac{25}{49} = -(-\frac{5}{7})^2$
$\frac{25}{49} = -(\frac{25}{49})$
$\frac{25}{49} = -\frac{25}{49}$
Равенство неверное. Следовательно, точка L не принадлежит графику функции.
Ответ: не принадлежит.

г) Проверим точку $M(-\frac{11}{12}; -\frac{121}{144})$.
Подставим в уравнение функции $y = -x^2$ координаты точки: $x = -\frac{11}{12}$ и $y = -\frac{121}{144}$.
$-\frac{121}{144} = -(-\frac{11}{12})^2$
$-\frac{121}{144} = -(\frac{121}{144})$
$-\frac{121}{144} = -\frac{121}{144}$
Равенство верное. Следовательно, точка M принадлежит графику функции.
Ответ: принадлежит.

44.10 а) $A(-1; -1)$;

б) $B(-2; 4)$;

в) $C(4; -16)$;

г) $D(-3; -6)$.

Для каждого пункта необходимо найти коэффициент пропорциональности $k$ для функции вида $y=kx$, зная, что ее график проходит через заданную точку. Для этого нужно подставить координаты точки $(x; y)$ в уравнение функции и решить его относительно $k$.

а)

Дана точка $A(-1; -1)$. Подставляем ее координаты $x = -1$ и $y = -1$ в уравнение функции $y = kx$:

$-1 = k \cdot (-1)$

Чтобы найти $k$, разделим обе части уравнения на $-1$:

$k = \frac{-1}{-1} = 1$

Ответ: $k=1$.

б)

Дана точка $B(-2; 4)$. Подставляем ее координаты $x = -2$ и $y = 4$ в уравнение функции $y = kx$:

$4 = k \cdot (-2)$

Чтобы найти $k$, разделим обе части уравнения на $-2$:

$k = \frac{4}{-2} = -2$

Ответ: $k=-2$.

в)

Дана точка $C(4; -16)$. Подставляем ее координаты $x = 4$ и $y = -16$ в уравнение функции $y = kx$:

$-16 = k \cdot 4$

Чтобы найти $k$, разделим обе части уравнения на $4$:

$k = \frac{-16}{4} = -4$

Ответ: $k=-4$.

г)

Дана точка $D(-3; -6)$. Подставляем ее координаты $x = -3$ и $y = -6$ в уравнение функции $y = kx$:

$-6 = k \cdot (-3)$

Чтобы найти $k$, разделим обе части уравнения на $-3$:

$k = \frac{-6}{-3} = 2$

Ответ: $k=2$.

44.11 a) $K(\frac{1}{2}; -\frac{1}{4});$

б) $N(-\frac{7}{13}; -\frac{49}{169});$

в) $E(1,5; -3);$

г) $M(1,6; 2,56).$

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, нужно подставить ее координаты $(x; y)$ в уравнение функции. Если получится верное равенство, то точка принадлежит графику, если неверное — не принадлежит. Судя по координатам точек и фоновому изображению графика (парабола с ветвями вниз), проверка будет производиться для функции $y = -x^2$.

а) Проверим точку $K(\frac{1}{2}; -\frac{1}{4})$.

Подставляем $x = \frac{1}{2}$ и $y = -\frac{1}{4}$ в уравнение $y = -x^2$:
$-\frac{1}{4} = -(\frac{1}{2})^2$
$-\frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$
Равенство верное, значит, точка $K$ принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

б) Проверим точку $N(-\frac{7}{13}; -\frac{49}{169})$.

Подставляем $x = -\frac{7}{13}$ и $y = -\frac{49}{169}$ в уравнение $y = -x^2$:
$-\frac{49}{169} = -(-\frac{7}{13})^2$
$-\frac{49}{169} = -(\frac{49}{169})$
$-\frac{49}{169} = -\frac{49}{169}$
Равенство верное, значит, точка $N$ принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

в) Проверим точку $E(1,5; -3)$.

Подставляем $x = 1,5$ и $y = -3$ в уравнение $y = -x^2$:
$-3 = -(1,5)^2$
$-3 = -2,25$
Равенство неверное, так как $-3 \neq -2,25$. Значит, точка $E$ не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.

г) Проверим точку $M(1,6; 2,56)$.

Подставляем $x = 1,6$ и $y = 2,56$ в уравнение $y = -x^2$:
$2,56 = -(1,6)^2$
$2,56 = -2,56$
Равенство неверное, так как $2,56 \neq -2,56$. Значит, точка $M$ не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.

44.12 Постройте график функции $y = x^2$. С помощью графика найдите:

а) значения функции при $x = -2, x = 2$;

б) значения аргумента при $y = 4$;

в) значения $x$, если $y < 4, y > 4$;

г) значения $y$, если $0 < x < 2$.

Для решения задачи построим график функции $y = x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Для построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

• при $x = 0$, $y = 0^2 = 0$
• при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$
• при $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$
• при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$
• при $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$

Соединив эти точки плавной линией, получим график параболы. Далее, используя этот график, ответим на вопросы.

а) значения функции при $x = -2, x = 2$

Чтобы найти значение функции при $x = -2$, находим на оси абсцисс (оси $Ox$) точку $x = -2$. Из этой точки проводим вертикальную линию вверх до пересечения с графиком функции. Из точки пересечения проводим горизонтальную линию к оси ординат (оси $Oy$) и находим соответствующее значение $y$. Для $x = -2$ получаем $y = 4$.
Аналогично, для $x = 2$ находим на оси $Ox$ точку $x = 2$, поднимаемся до графика и движемся к оси $Oy$. Получаем, что при $x = 2$ значение функции также равно 4. Это свойство чётной функции, какой и является парабола $y = x^2$.
Ответ: при $x = -2$ $y=4$; при $x = 2$ $y=4$.

б) значения аргумента при $y = 4$

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых $y = 4$, находим на оси ординат (оси $Oy$) точку $y = 4$. Проводим через эту точку горизонтальную прямую $y = 4$. Эта прямая пересекает параболу в двух точках. Опускаем из этих точек перпендикуляры на ось абсцисс (ось $Ox$) и находим соответствующие значения $x$. Получаем $x = -2$ и $x = 2$.
Ответ: $x = -2$ и $x = 2$.

в) значения $x$, если $y < 4, y > 4$

Чтобы найти значения $x$, при которых $y < 4$, находим на графике все точки, у которых ордината (координата $y$) меньше 4. Эти точки лежат на части параболы, расположенной ниже прямой $y=4$. Эта часть параболы соответствует значениям $x$, заключенным между точками пересечения, то есть между -2 и 2. Таким образом, $y < 4$ при $-2 < x < 2$.
Чтобы найти значения $x$, при которых $y > 4$, находим на графике точки, у которых ордината больше 4. Эти точки лежат на частях параболы, расположенных выше прямой $y=4$. Эти части соответствуют значениям $x$, которые меньше -2 или больше 2. Таким образом, $y > 4$ при $x < -2$ или $x > 2$.
Ответ: $y < 4$ при $x \in (-2; 2)$; $y > 4$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$.

г) значения $y$, если $0 < x < 2$

Чтобы найти значения $y$, соответствующие интервалу $0 < x < 2$, рассмотрим на оси $Ox$ этот интервал. Соответствующая ему часть графика - это дуга параболы, начинающаяся в точке $(0,0)$ и заканчивающаяся в точке $(2,4)$ (концевые точки не включаются). Значения $y$ для этой дуги изменяются от 0 до 4. Так как на интервале $(0; 2)$ функция $y=x^2$ строго возрастает, то значения $y$ будут строго между $y(0)=0$ и $y(2)=4$. Таким образом, если $0 < x < 2$, то $0 < y < 4$.
Ответ: $0 < y < 4$.

44.13 Постройте график функции $y = -x^2$. С помощью графика найдите:

а) значения функции при $x = -1, x = 1$;

б) значения аргумента при $y = -1$;

в) значения $x$, если $y < -1, y > -1$;

г) значения $y$, если $-1 < x < 0$.

Используя выделенную цветом часть графика функции $y = x^2$, найдите наибольшее и наименьшее значения функции и ответьте на вопрос, какому промежутку оси абсцисс соответствует выделенная часть:

Сначала построим график функции $y = -x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в начале координат, точке (0, 0). График симметричен относительно оси Oy. Для построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

• при $x = 0, y = -0^2 = 0$ → (0; 0)
• при $x = 1, y = -1^2 = -1$ → (1; -1)
• при $x = -1, y = -(-1)^2 = -1$ → (-1; -1)
• при $x = 2, y = -2^2 = -4$ → (2; -4)
• при $x = -2, y = -(-2)^2 = -4$ → (-2; -4)

Соединив эти точки плавной линией, получим график параболы $y = -x^2$. Теперь, используя этот (воображаемый) график, ответим на вопросы.

а) значения функции при $x = -1, x = 1$;
Находим на оси абсцисс (оси x) точки $x = -1$ и $x = 1$. Из этих точек мысленно проводим вертикальные линии до пересечения с графиком. Из точек пересечения проводим горизонтальные линии до оси ординат (оси y). Для обоих значений $x$ получаем одно и то же значение $y$.
При $x = -1$, точка на графике (-1, -1), следовательно, $y = -1$.
При $x = 1$, точка на графике (1, -1), следовательно, $y = -1$.
Ответ: при $x = -1$ $y = -1$; при $x = 1$ $y = -1$.

б) значения аргумента при $y = -1$;
Находим на оси ординат (оси y) точку $y = -1$. Проводим через нее горизонтальную прямую $y = -1$. Эта прямая пересекает параболу в двух точках. Находим абсциссы этих точек, опустив из них перпендикуляры на ось x.
Точки пересечения имеют координаты (-1, -1) и (1, -1). Соответствующие значения аргумента: $x = -1$ и $x = 1$.
Ответ: $x = -1, x = 1$.

в) значения $x$, если $y < -1, y > -1$;
Для $y < -1$: на графике это части параболы, которые лежат ниже прямой $y = -1$. Это происходит, когда $x$ находится левее точки $x = -1$ или правее точки $x = 1$. Таким образом, $y < -1$ при $x < -1$ или $x > 1$.
Для $y > -1$: на графике это часть параболы, которая лежит выше прямой $y = -1$. Это "арка" параболы между точками (-1, -1) и (1, -1). Это условие выполняется для всех $x$ в интервале от -1 до 1. Таким образом, $y > -1$ при $-1 < x < 1$.
Ответ: $y < -1$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$; $y > -1$ при $x \in (-1; 1)$.

г) значения $y$, если $-1 < x < 0$.
Рассмотрим часть графика, где абсцисса $x$ изменяется в интервале от -1 до 0 (не включая концы). При $x = -1$ значение функции $y = -1$, а при $x = 0$ значение функции $y = 0$. На интервале $(-1, 0)$ функция $y = -x^2$ монотонно возрастает. Следовательно, значения функции будут находиться строго между значениями на концах этого интервала.
Ответ: $-1 < y < 0$.

Используя выделенную цветом часть графика функции $y = x^2$, найдите наибольшее и наименьшее значения функции и ответьте на вопрос, какому промежутку оси абсцисс соответствует выделенная часть:

Для решения этой задачи необходимо видеть изображение графика с выделенной частью, которое в условии отсутствует. Решение зависит от того, какой именно участок параболы $y = x^2$ выделен.

В качестве примера предположим, что на графике функции $y = x^2$ (парабола с ветвями вверх и вершиной в точке (0, 0)) выделена часть, соответствующая промежутку по оси абсцисс от -2 до 1, то есть $x \in [-2, 1]$.

1. Промежуток оси абсцисс:
   По нашему предположению, выделенная часть соответствует промежутку $x \in [-2, 1]$.
2. Наибольшее и наименьшее значения функции:
   Функция $y = x^2$ имеет наименьшее значение в своей вершине ($x = 0$). Поскольку точка $x = 0$ входит в наш промежуток $[-2, 1]$, наименьшее значение функции на этом промежутке будет $y_{наим} = 0^2 = 0$.
   Наибольшее значение на отрезке для данной параболы достигается на том конце отрезка, который наиболее удален от вершины ($x=0$). Сравним значения функции на концах промежутка $x=-2$ и $x=1$:
   $y(-2) = (-2)^2 = 4$
   $y(1) = 1^2 = 1$
   Наибольшее из этих значений равно 4. Следовательно, $y_{наиб} = 4$.

Ответ: Так как конкретная выделенная часть графика не указана, дать однозначный ответ невозможно. Если предположить, что выделен участок, соответствующий $x \in [-2, 1]$, то промежуток оси абсцисс — это $[-2, 1]$, наименьшее значение функции на нем равно 0, а наибольшее — 4.