Страница 201, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

46.2 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 5x + 6$. Найдите:

а) $f(\frac{1}{4})$, $f(-3)$, $f(0,5)$, $f(6\frac{2}{5})$;

б) $f(p)$, $f(-2p)$, $f(\frac{3}{5}p)$, $-f(5p)$;

в) $f(a + 1)$, $f(5 - a)$, $f(a) - 6$, $f(\frac{a}{10}) - 3$;

г) $f(a - 3) + 1$, $f(a + 4) - 2$, $f(1 - 2a)$, $-f(\frac{a + 6}{5})$.

Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 5x + 6$. Для нахождения значения функции от заданного аргумента необходимо подставить этот аргумент в формулу функции вместо $x$ и выполнить вычисления.

а)

1. Находим $f(\frac{1}{4})$. Подставляем $x = \frac{1}{4}$:
$f(\frac{1}{4}) = 5 \cdot \frac{1}{4} + 6 = \frac{5}{4} + 6 = 1,25 + 6 = 7,25$.

2. Находим $f(-3)$. Подставляем $x = -3$:
$f(-3) = 5 \cdot (-3) + 6 = -15 + 6 = -9$.

3. Находим $f(0,5)$. Подставляем $x = 0,5$:
$f(0,5) = 5 \cdot 0,5 + 6 = 2,5 + 6 = 8,5$.

4. Находим $f(6\frac{2}{5})$. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $6\frac{2}{5} = \frac{32}{5}$. Подставляем $x = \frac{32}{5}$:
$f(6\frac{2}{5}) = f(\frac{32}{5}) = 5 \cdot \frac{32}{5} + 6 = 32 + 6 = 38$.

Ответ: $7,25; -9; 8,5; 38$.

б)

1. Находим $f(p)$. Подставляем $x = p$:
$f(p) = 5 \cdot p + 6 = 5p + 6$.

2. Находим $f(-2p)$. Подставляем $x = -2p$:
$f(-2p) = 5 \cdot (-2p) + 6 = -10p + 6$.

3. Находим $f(\frac{3}{5}p)$. Подставляем $x = \frac{3}{5}p$:
$f(\frac{3}{5}p) = 5 \cdot (\frac{3}{5}p) + 6 = 3p + 6$.

4. Находим $-f(5p)$. Сначала найдем $f(5p)$, подставив $x = 5p$, а затем возьмем результат с противоположным знаком:
$f(5p) = 5 \cdot (5p) + 6 = 25p + 6$.
$-f(5p) = -(25p + 6) = -25p - 6$.

Ответ: $5p + 6; -10p + 6; 3p + 6; -25p - 6$.

в)

1. Находим $f(a + 1)$. Подставляем $x = a+1$:
$f(a + 1) = 5(a + 1) + 6 = 5a + 5 + 6 = 5a + 11$.

2. Находим $f(5 - a)$. Подставляем $x = 5-a$:
$f(5 - a) = 5(5 - a) + 6 = 25 - 5a + 6 = 31 - 5a$.

3. Находим $f(a) - 6$. Сначала найдем $f(a) = 5a + 6$, а затем вычтем 6:
$f(a) - 6 = (5a + 6) - 6 = 5a$.

4. Находим $f(\frac{a}{10}) - 3$. Сначала найдем $f(\frac{a}{10})$, а затем вычтем 3:
$f(\frac{a}{10}) = 5 \cdot \frac{a}{10} + 6 = \frac{a}{2} + 6$.
$f(\frac{a}{10}) - 3 = (\frac{a}{2} + 6) - 3 = \frac{a}{2} + 3$.

Ответ: $5a + 11; 31 - 5a; 5a; \frac{a}{2} + 3$.

г)

1. Находим $f(a - 3) + 1$. Сначала найдем $f(a - 3)$, а затем прибавим 1:
$f(a - 3) = 5(a - 3) + 6 = 5a - 15 + 6 = 5a - 9$.
$f(a - 3) + 1 = (5a - 9) + 1 = 5a - 8$.

2. Находим $f(a + 4) - 2$. Сначала найдем $f(a + 4)$, а затем вычтем 2:
$f(a + 4) = 5(a + 4) + 6 = 5a + 20 + 6 = 5a + 26$.
$f(a + 4) - 2 = (5a + 26) - 2 = 5a + 24$.

3. Находим $f(1 - 2a)$. Подставляем $x = 1 - 2a$:
$f(1 - 2a) = 5(1 - 2a) + 6 = 5 - 10a + 6 = 11 - 10a$.

4. Находим $-f(\frac{a + 6}{5})$. Сначала найдем $f(\frac{a + 6}{5})$, а затем возьмем результат с противоположным знаком:
$f(\frac{a + 6}{5}) = 5 \cdot \frac{a + 6}{5} + 6 = (a + 6) + 6 = a + 12$.
$-f(\frac{a + 6}{5}) = -(a + 12) = -a - 12$.

Ответ: $5a - 8; 5a + 24; 11 - 10a; -a - 12$.

46.3 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = -3x + 2$. Найдите:

а) $f(0), f(\frac{2}{3}), f(-3), f(-\frac{1}{2});$

б) $f(-x), -f(x), f(2x), f(x - 2);$

в) $f(x^2), (f(x))^2, f((x - 1)^2), (f(-x^2) - 1)^2;$

г) $f(-x^3), f(2x^3), f((2x)^3), (f(2x))^3.$

Дана функция $f(x) = -3x + 2$.

а) f(0), f(2/3), f(-3), f(-1/2);

Для нахождения значений функции подставляем соответствующее значение аргумента вместо $x$ в формулу функции.

1. Найдем $f(0)$:
$f(0) = -3 \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2$

2. Найдем $f(\frac{2}{3})$:
$f(\frac{2}{3}) = -3 \cdot (\frac{2}{3}) + 2 = -2 + 2 = 0$

3. Найдем $f(-3)$:
$f(-3) = -3 \cdot (-3) + 2 = 9 + 2 = 11$

4. Найдем $f(-\frac{1}{2})$:
$f(-\frac{1}{2}) = -3 \cdot (-\frac{1}{2}) + 2 = \frac{3}{2} + 2 = 1.5 + 2 = 3.5 = \frac{7}{2}$

Ответ: $f(0) = 2$; $f(\frac{2}{3}) = 0$; $f(-3) = 11$; $f(-\frac{1}{2}) = \frac{7}{2}$.

б) f(-x), -f(x), f(2x), f(x - 2);

1. Для нахождения $f(-x)$ подставим $-x$ вместо $x$ в формулу функции:
$f(-x) = -3(-x) + 2 = 3x + 2$

2. Для нахождения $-f(x)$ умножим всё выражение для $f(x)$ на $-1$ :
$-f(x) = -(-3x + 2) = 3x - 2$

3. Для нахождения $f(2x)$ подставим $2x$ вместо $x$ в формулу функции:
$f(2x) = -3(2x) + 2 = -6x + 2$

4. Для нахождения $f(x - 2)$ подставим $x - 2$ вместо $x$ в формулу функции:
$f(x - 2) = -3(x - 2) + 2 = -3x + 6 + 2 = -3x + 8$

Ответ: $f(-x) = 3x + 2$; $-f(x) = 3x - 2$; $f(2x) = -6x + 2$; $f(x - 2) = -3x + 8$.

в) f(x²), (f(x))², f((x - 1)²), (f(-x²) - 1)²;

1. Для нахождения $f(x^2)$ подставим $x^2$ вместо $x$ в формулу функции:
$f(x^2) = -3(x^2) + 2 = -3x^2 + 2$

2. Для нахождения $(f(x))^2$ возведем в квадрат всё выражение для $f(x)$:
$(f(x))^2 = (-3x + 2)^2 = (-3x)^2 + 2(-3x)(2) + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$

3. Для нахождения $f((x - 1)^2)$ подставим $(x-1)^2$ вместо $x$ в формулу функции:
$f((x-1)^2) = -3(x-1)^2 + 2 = -3(x^2 - 2x + 1) + 2 = -3x^2 + 6x - 3 + 2 = -3x^2 + 6x - 1$

4. Для нахождения $(f(-x^2) - 1)^2$ сначала найдем $f(-x^2)$, затем вычтем 1 и возведем в квадрат:
$f(-x^2) = -3(-x^2) + 2 = 3x^2 + 2$
$f(-x^2) - 1 = (3x^2 + 2) - 1 = 3x^2 + 1$
$(f(-x^2) - 1)^2 = (3x^2 + 1)^2 = (3x^2)^2 + 2(3x^2)(1) + 1^2 = 9x^4 + 6x^2 + 1$

Ответ: $f(x^2) = -3x^2 + 2$; $(f(x))^2 = 9x^2 - 12x + 4$; $f((x - 1)^2) = -3x^2 + 6x - 1$; $(f(-x^2) - 1)^2 = 9x^4 + 6x^2 + 1$.

г) f(-x³), f(2x³), f((2x)³), (f(2x))³;

1. Для нахождения $f(-x^3)$ подставим $-x^3$ вместо $x$ в формулу функции:
$f(-x^3) = -3(-x^3) + 2 = 3x^3 + 2$

2. Для нахождения $f(2x^3)$ подставим $2x^3$ вместо $x$ в формулу функции:
$f(2x^3) = -3(2x^3) + 2 = -6x^3 + 2$

3. Для нахождения $f((2x)^3)$ сначала упростим аргумент $(2x)^3 = 8x^3$, а затем подставим в функцию:
$f((2x)^3) = f(8x^3) = -3(8x^3) + 2 = -24x^3 + 2$

4. Для нахождения $(f(2x))^3$ сначала найдем $f(2x)$, а затем возведем результат в куб:
$f(2x) = -3(2x) + 2 = -6x + 2$
$(f(2x))^3 = (-6x + 2)^3 = (-6x)^3 + 3(-6x)^2(2) + 3(-6x)(2^2) + 2^3 = -216x^3 + 3(36x^2)(2) - 72x + 8 = -216x^3 + 216x^2 - 72x + 8$

Ответ: $f(-x^3) = 3x^3 + 2$; $f(2x^3) = -6x^3 + 2$; $f((2x)^3) = -24x^3 + 2$; $(f(2x))^3 = -216x^3 + 216x^2 - 72x + 8$.

46.4 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2$. Найдите:

а) $f(-6)$, $-f(6)$, $f(0)$, $f(4\frac{1}{3})$;

б) $f(3a)$, $f(-\frac{1}{3}a)$, $-f(a)$, $2f(a)$;

в) $f(x + 2)$, $f(5 - x)$, $f(2x + 3)$, $f(3x - 1)$;

г) $f(x) - 1$, $f(-2x) + 1$, $2f(x) + 3$, $-f(-x) + 3$.

Дана функция $f(x) = x^2$. Для нахождения требуемых значений необходимо подставить соответствующий аргумент в функцию или выполнить указанные с ней преобразования.

а)

Вычисляем значения функции для заданных числовых аргументов:

$f(-6) = (-6)^2 = 36$

$-f(6) = -(6^2) = -36$

$f(0) = 0^2 = 0$

Для вычисления $f(4\frac{1}{3})$ переведем смешанное число в неправильную дробь: $4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$.

$f(4\frac{1}{3}) = f(\frac{13}{3}) = (\frac{13}{3})^2 = \frac{169}{9} = 18\frac{7}{9}$

Ответ: $36; -36; 0; 18\frac{7}{9}$.

б)

Подставляем выражения с переменной $a$ в качестве аргумента в функцию $f(x) = x^2$:

$f(3a) = (3a)^2 = 9a^2$

$f(-\frac{1}{3}a) = (-\frac{1}{3}a)^2 = \frac{1}{9}a^2$

$-f(a) = -(a^2) = -a^2$

$2f(a) = 2 \cdot f(a) = 2a^2$

Ответ: $9a^2; \frac{1}{9}a^2; -a^2; 2a^2$.

в)

Подставляем алгебраические выражения в качестве аргумента в функцию $f(x) = x^2$ и упрощаем, используя формулы сокращенного умножения $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:

$f(x+2) = (x+2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$

$f(5-x) = (5-x)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot x + x^2 = 25 - 10x + x^2$

$f(2x+3) = (2x+3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$

$f(3x-1) = (3x-1)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 - 6x + 1$

Ответ: $x^2 + 4x + 4; 25 - 10x + x^2; 4x^2 + 12x + 9; 9x^2 - 6x + 1$.

г)

Выполняем преобразования, используя определение функции $f(x) = x^2$:

$f(x) - 1 = x^2 - 1$

$f(-2x) + 1 = (-2x)^2 + 1 = 4x^2 + 1$

$2f(x) + 3 = 2(x^2) + 3 = 2x^2 + 3$

$-f(-x) + 3 = -((-x)^2) + 3 = -(x^2) + 3 = 3 - x^2$

Ответ: $x^2 - 1; 4x^2 + 1; 2x^2 + 3; 3 - x^2$.

46.5 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = -x^2$. Найдите:

а) $f(-10)$, $-f(10) - 1$, $f(8) + 1$, $f(6) + f(8)$;

б) $f(-a)$, $-f(a)$, $f(5a)$, $-5f(a)$;

в) $f(b - 1)$, $f(b^2 - 1)$, $f((b - 1)^2)$, $f(b^2) - 1$;

г) $f(-x^3)$, $f(2x^3)$, $f((2x)^3)$, $-2f(x^3)$.

Дана функция $f(x) = -x^2$. Для нахождения значений выражений будем подставлять соответствующий аргумент вместо $x$ в формулу функции.

а)
Вычислим значение каждого выражения:
$f(-10) = -(-10)^2 = -(100) = -100$.
Для выражения $-f(10) - 1$ сначала найдем $f(10) = -(10)^2 = -100$. Тогда $-f(10) - 1 = -(-100) - 1 = 100 - 1 = 99$.
Для выражения $f(8) + 1$ сначала найдем $f(8) = -(8)^2 = -64$. Тогда $f(8) + 1 = -64 + 1 = -63$.
Для выражения $f(6) + f(8)$ найдем $f(6) = -(6)^2 = -36$ и $f(8) = -(8)^2 = -64$. Тогда $f(6) + f(8) = -36 + (-64) = -100$.
Ответ: $f(-10) = -100$; $-f(10) - 1 = 99$; $f(8) + 1 = -63$; $f(6) + f(8) = -100$.

б)
Упростим каждое выражение, подставляя аргумент в функцию $f(x) = -x^2$:
$f(-a) = -(-a)^2 = -(a^2) = -a^2$.
Для выражения $-f(a)$ сначала найдем $f(a) = -(a)^2 = -a^2$. Тогда $-f(a) = -(-a^2) = a^2$.
$f(5a) = -(5a)^2 = -(25a^2) = -25a^2$.
Для выражения $-5f(a)$ сначала найдем $f(a) = -a^2$. Тогда $-5f(a) = -5(-a^2) = 5a^2$.
Ответ: $f(-a) = -a^2$; $-f(a) = a^2$; $f(5a) = -25a^2$; $-5f(a) = 5a^2$.

в)
Найдем значения выражений, выполнив подстановку в функцию $f(x) = -x^2$:
$f(b - 1) = -(b - 1)^2 = -(b^2 - 2b + 1) = -b^2 + 2b - 1$.
$f(b^2 - 1) = -(b^2 - 1)^2 = -( (b^2)^2 - 2 \cdot b^2 \cdot 1 + 1^2 ) = -(b^4 - 2b^2 + 1) = -b^4 + 2b^2 - 1$.
$f((b - 1)^2) = -((b - 1)^2)^2 = -(b - 1)^4$.
Для выражения $f(b^2) - 1$ сначала найдем $f(b^2) = -(b^2)^2 = -b^4$. Тогда $f(b^2) - 1 = -b^4 - 1$.
Ответ: $f(b - 1) = -b^2 + 2b - 1$; $f(b^2 - 1) = -b^4 + 2b^2 - 1$; $f((b - 1)^2) = -(b - 1)^4$; $f(b^2) - 1 = -b^4 - 1$.

г)
Выполним преобразования для каждого выражения:
$f(-x^3) = -(-x^3)^2 = -(x^6) = -x^6$.
$f(2x^3) = -(2x^3)^2 = -(4x^6) = -4x^6$.
$f((2x)^3) = f(8x^3) = -(8x^3)^2 = -(64x^6) = -64x^6$.
Для выражения $-2f(x^3)$ сначала найдем $f(x^3) = -(x^3)^2 = -x^6$. Тогда $-2f(x^3) = -2(-x^6) = 2x^6$.
Ответ: $f(-x^3) = -x^6$; $f(2x^3) = -4x^6$; $f((2x)^3) = -64x^6$; $-2f(x^3) = 2x^6$.

46.6 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2$. Найдите:

а) $f(-5)$, $f(7) + 1$, $f(5) - 4$, $f(7) - f(5)$;

б) $f(2x + 5)$, $f(2x) + 5$, $2f(x) + 5$, $2f(x + 5)$;

в) $f(x^2)$, $f(x^2 - 2)$, $f(x^2) - 2$, $f((x - 2)^2)$;

г) $f(-x^3)$, $3f(x^3)$, $f(3x^3)$, $(-f(3x))^3$.

а) Поочередно вычисляем значения каждого выражения, используя определение функции $f(x) = x^2$:

$f(-5) = (-5)^2 = 25$.
$f(7) + 1 = 7^2 + 1 = 49 + 1 = 50$.
$f(5) - 4 = 5^2 - 4 = 25 - 4 = 21$.
$f(7) - f(5) = 7^2 - 5^2 = 49 - 25 = 24$.
Ответ: $25; 50; 21; 24$.

б) Находим значения выражений, подставляя в функцию $f(x) = x^2$ соответствующие аргументы и упрощая:

$f(2x + 5) = (2x + 5)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 + 20x + 25$.
$f(2x) + 5 = (2x)^2 + 5 = 4x^2 + 5$.
$2f(x) + 5 = 2 \cdot (x^2) + 5 = 2x^2 + 5$.
$2f(x + 5) = 2 \cdot (x + 5)^2 = 2(x^2 + 10x + 25) = 2x^2 + 20x + 50$.
Ответ: $4x^2 + 20x + 25; 4x^2 + 5; 2x^2 + 5; 2x^2 + 20x + 50$.

в) Выполняем подстановку в функцию $f(x) = x^2$ и упрощаем:

$f(x^2) = (x^2)^2 = x^4$.
$f(x^2 - 2) = (x^2 - 2)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 2 + 2^2 = x^4 - 4x^2 + 4$.
$f(x^2) - 2 = (x^2)^2 - 2 = x^4 - 2$.
$f((x - 2)^2) = ((x - 2)^2)^2 = (x - 2)^4$.
Ответ: $x^4; x^4 - 4x^2 + 4; x^4 - 2; (x - 2)^4$.

г) Находим значения выражений для функции $f(x) = x^2$:

$f(-x^3) = (-x^3)^2 = x^6$.
$3f(x^3) = 3 \cdot (x^3)^2 = 3x^6$.
$f(3x^3) = (3x^3)^2 = 3^2 \cdot (x^3)^2 = 9x^6$.
$(-f(3x))^3 = (-( (3x)^2 ))^3 = (-(9x^2))^3 = (-9)^3 \cdot (x^2)^3 = -729x^6$.
Ответ: $x^6; 3x^6; 9x^6; -729x^6$.