Страница 202, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

46.7 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 1,6x + 3,5$. При каких значениях $x$ выполняется равенство:

a) $f(x) = -4,5$;

б) $f(x - 1) = 0,6x$;

в) $f(x) = 0,3$;

г) $f(x + 2) = 8,3x$?

Дана функция $f(x) = 1,6x + 3,5$. Для решения задачи необходимо подставить соответствующие выражения в равенства и найти $x$.

а) $f(x) = -4,5$

Подставляем в равенство данное выражение для функции $f(x)$:

$1,6x + 3,5 = -4,5$

Это линейное уравнение. Перенесем свободный член $3,5$ из левой части в правую с противоположным знаком:

$1,6x = -4,5 - 3,5$

$1,6x = -8$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $1,6$:

$x = \frac{-8}{1,6}$

Для удобства вычисления можно умножить числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{-80}{16}$

$x = -5$

Ответ: -5

б) $f(x - 1) = 0,6x$

Сначала найдем вид функции $f(x-1)$. Для этого в выражение $f(x) = 1,6x + 3,5$ вместо $x$ подставим $(x-1)$:

$f(x - 1) = 1,6(x - 1) + 3,5$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$f(x - 1) = 1,6x - 1,6 + 3,5$

$f(x - 1) = 1,6x + 1,9$

Теперь подставим это выражение в исходное равенство:

$1,6x + 1,9 = 0,6x$

Соберем все слагаемые с $x$ в левой части, а свободные члены - в правой:

$1,6x - 0,6x = -1,9$

$1x = -1,9$

$x = -1,9$

Ответ: -1,9

в) $f(x) = 0,3$

Подставляем в равенство данное выражение для функции $f(x)$:

$1,6x + 3,5 = 0,3$

Перенесем $3,5$ в правую часть уравнения:

$1,6x = 0,3 - 3,5$

$1,6x = -3,2$

Разделим обе части уравнения на $1,6$:

$x = \frac{-3,2}{1,6}$

$x = -2$

Ответ: -2

г) $f(x + 2) = 8,3x$

Сначала найдем вид функции $f(x+2)$. Для этого в выражение $f(x) = 1,6x + 3,5$ вместо $x$ подставим $(x+2)$:

$f(x + 2) = 1,6(x + 2) + 3,5$

Раскроем скобки и упростим:

$f(x + 2) = 1,6x + 1,6 \cdot 2 + 3,5$

$f(x + 2) = 1,6x + 3,2 + 3,5$

$f(x + 2) = 1,6x + 6,7$

Теперь подставим это выражение в исходное равенство:

$1,6x + 6,7 = 8,3x$

Перенесем слагаемое $1,6x$ в правую часть:

$6,7 = 8,3x - 1,6x$

$6,7 = 6,7x$

Разделим обе части уравнения на $6,7$:

$x = \frac{6,7}{6,7}$

$x = 1$

Ответ: 1

46.8 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2$. При каких значениях $x$ выполняется равенство:

а) $f(x) = 144$;

б) $f(x) = -10x$;

в) $f(x) = 100$;

г) $f(x) = 8x$?

а) f(x) = 144;
Согласно условию, функция задана формулой $f(x) = x^2$. Подставим это выражение в данное равенство:
$x^2 = 144$
Чтобы найти значения $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение имеет два корня, так как квадратный корень из положительного числа может быть как положительным, так и отрицательным.
$x = \pm\sqrt{144}$
$x_1 = 12$, $x_2 = -12$
Ответ: -12; 12.

б) f(x) = -10x;
Подставим в равенство $f(x) = x^2$:
$x^2 = -10x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду:
$x^2 + 10x = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Решим его, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 10) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:
$x_1 = 0$
или
$x + 10 = 0$, откуда $x_2 = -10$
Ответ: -10; 0.

в) f(x) = 100;
Подставим $f(x) = x^2$ в данное равенство:
$x^2 = 100$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $x$:
$x = \pm\sqrt{100}$
$x_1 = 10$, $x_2 = -10$
Ответ: -10; 10.

г) f(x) = 8x?
Подставим в равенство $f(x) = x^2$:
$x^2 = 8x$
Перенесем член $8x$ в левую часть уравнения:
$x^2 - 8x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 8) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:
$x_1 = 0$
или
$x - 8 = 0$, откуда $x_2 = 8$
Ответ: 0; 8.

46.9 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2$. При каких значениях $x$ выполняется равенство:

a) $f(x - 2) = 64$;

б) $f(2x) = 49$;

в) $f(x + 1) = 81$;

г) $f(-3x) = 121?

Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2$. Для нахождения требуемых значений $x$ для каждого равенства, мы подставим соответствующее выражение (аргумент функции) в определение функции и решим полученное уравнение.

а) Для равенства $f(x - 2) = 64$:
Заменяем $x$ на $(x-2)$ в $f(x)=x^2$, получаем $f(x-2) = (x-2)^2$.
Решаем уравнение: $(x - 2)^2 = 64$.
Извлекаем квадратный корень из обеих частей: $x - 2 = \pm\sqrt{64}$, что равносильно $x - 2 = \pm8$.
Это дает нам два решения:
1. $x - 2 = 8 \implies x = 8 + 2 = 10$.
2. $x - 2 = -8 \implies x = -8 + 2 = -6$.
Ответ: $x=10$ или $x=-6$.

б) Для равенства $f(2x) = 49$:
Заменяем $x$ на $2x$: $f(2x) = (2x)^2 = 4x^2$.
Решаем уравнение: $4x^2 = 49$.
Делим обе части на 4: $x^2 = \frac{49}{4}$.
Извлекаем квадратный корень: $x = \pm\sqrt{\frac{49}{4}} = \pm\frac{7}{2}$.
Решения: $x = 3.5$ и $x = -3.5$.
Ответ: $x=3.5$ или $x=-3.5$.

в) Для равенства $f(x + 1) = 81$:
Заменяем $x$ на $(x+1)$: $f(x+1) = (x+1)^2$.
Решаем уравнение: $(x + 1)^2 = 81$.
Извлекаем квадратный корень: $x + 1 = \pm\sqrt{81}$, что равносильно $x + 1 = \pm9$.
Это дает нам два решения:
1. $x + 1 = 9 \implies x = 9 - 1 = 8$.
2. $x + 1 = -9 \implies x = -9 - 1 = -10$.
Ответ: $x=8$ или $x=-10$.

г) Для равенства $f(-3x) = 121$:
Заменяем $x$ на $(-3x)$: $f(-3x) = (-3x)^2 = 9x^2$.
Решаем уравнение: $9x^2 = 121$.
Делим обе части на 9: $x^2 = \frac{121}{9}$.
Извлекаем квадратный корень: $x = \pm\sqrt{\frac{121}{9}} = \pm\frac{11}{3}$.
Решения: $x = \frac{11}{3}$ и $x = -\frac{11}{3}$.
Ответ: $x=\frac{11}{3}$ или $x=-\frac{11}{3}$.

46.10 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2$. При каких значениях $x$ вы-полняется равенство:

a) $f(x - 9) = f(x + 5);$

б) $f(2x - 7) = f(2x + 3);$

в) $f(x - 1) = f(x - 7);$

г) $f(1 + 3x) = f(3x + 5)?$

Дана функция $f(x) = x^2$. Равенство $f(A) = f(B)$ для этой функции означает $A^2 = B^2$. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$. Будем решать каждый пункт, рассматривая эти два случая.

а) Для равенства $f(x - 9) = f(x + 5)$ получаем уравнение $(x - 9)^2 = (x + 5)^2$.

Рассмотрим два возможных случая:

1) Аргументы функций равны: $x - 9 = x + 5$.
Упрощая, получаем $-9 = 5$. Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

2) Аргументы функций являются противоположными числами: $x - 9 = -(x + 5)$.
Раскрываем скобки: $x - 9 = -x - 5$.
Переносим слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую: $x + x = 9 - 5$.
Приводим подобные члены: $2x = 4$.
Находим $x$: $x = 2$.

Ответ: $x=2$.

б) Для равенства $f(2x - 7) = f(2x + 3)$ получаем уравнение $(2x - 7)^2 = (2x + 3)^2$.

Рассмотрим два возможных случая:

1) $2x - 7 = 2x + 3$.
Упрощая, получаем $-7 = 3$. Это неверное равенство, решений нет.

2) $2x - 7 = -(2x + 3)$.
Раскрываем скобки: $2x - 7 = -2x - 3$.
Переносим слагаемые: $2x + 2x = 7 - 3$.
Приводим подобные члены: $4x = 4$.
Находим $x$: $x = 1$.

Ответ: $x=1$.

в) Для равенства $f(x - 1) = f(x - 7)$ получаем уравнение $(x - 1)^2 = (x - 7)^2$.

Рассмотрим два возможных случая:

1) $x - 1 = x - 7$.
Упрощая, получаем $-1 = -7$. Это неверное равенство, решений нет.

2) $x - 1 = -(x - 7)$.
Раскрываем скобки: $x - 1 = -x + 7$.
Переносим слагаемые: $x + x = 1 + 7$.
Приводим подобные члены: $2x = 8$.
Находим $x$: $x = 4$.

Ответ: $x=4$.

г) Для равенства $f(1 + 3x) = f(3x + 5)$ получаем уравнение $(1 + 3x)^2 = (3x + 5)^2$.

Рассмотрим два возможных случая:

1) $1 + 3x = 3x + 5$.
Упрощая, получаем $1 = 5$. Это неверное равенство, решений нет.

2) $1 + 3x = -(3x + 5)$.
Раскрываем скобки: $1 + 3x = -3x - 5$.
Переносим слагаемые: $3x + 3x = -1 - 5$.
Приводим подобные члены: $6x = -6$.
Находим $x$: $x = -1$.

Ответ: $x=-1$.

46.11 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 3x - 2, & \text{если } x < -3; \\ -2x + 5, & \text{если } x \ge -3. \end{cases}$

Вычислите:

а) $f(1)$;

б) $f(-3)$;

в) $f(-4)$;

г) $f(0)$.

Данная функция является кусочно-заданной. Это означает, что для разных значений аргумента $x$ используются разные формулы. Чтобы вычислить значение функции $f(x)$ для конкретного числа, нужно сначала определить, какому из интервалов принадлежит это число, а затем подставить его в соответствующее выражение.

Функция задана следующим образом:

$f(x) = \begin{cases} 3x - 2, & \text{если } x < -3 \\ -2x + 5, & \text{если } x \ge -3 \end{cases}$

а) f(1)

Значение аргумента $x = 1$. Сравним это значение с пороговым значением -3. Поскольку $1 \ge -3$, мы должны использовать вторую формулу: $f(x) = -2x + 5$.

Подставим $x=1$ в это выражение:

$f(1) = -2 \cdot 1 + 5 = -2 + 5 = 3$

Ответ: 3

б) f(-3)

Значение аргумента $x = -3$. Сравним это значение с пороговым значением -3. Поскольку $-3 \ge -3$ (условие нестрогое), мы должны использовать вторую формулу: $f(x) = -2x + 5$.

Подставим $x=-3$ в это выражение:

$f(-3) = -2 \cdot (-3) + 5 = 6 + 5 = 11$

Ответ: 11

в) f(-4)

Значение аргумента $x = -4$. Сравним это значение с пороговым значением -3. Поскольку $-4 < -3$, мы должны использовать первую формулу: $f(x) = 3x - 2$.

Подставим $x=-4$ в это выражение:

$f(-4) = 3 \cdot (-4) - 2 = -12 - 2 = -14$

Ответ: -14

г) f(0)

Значение аргумента $x = 0$. Сравним это значение с пороговым значением -3. Поскольку $0 \ge -3$, мы должны использовать вторую формулу: $f(x) = -2x + 5$.

Подставим $x=0$ в это выражение:

$f(0) = -2 \cdot 0 + 5 = 0 + 5 = 5$

Ответ: 5

46.12 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} x + 5,7, & \text{если } x < -1,3; \\ -5, & \text{если } x \ge -1,3. \end{cases}$

Вычислите:

а) $f(-5)$; б) $f(-20)$; в) $f(0)$; г) $f(1,273)$.

Данная функция является кусочно-заданной. Это означает, что формула для вычисления значения функции зависит от того, в какой области находится ее аргумент $x$.

Функция определена следующим образом:

$f(x) = \begin{cases} x + 5,7, & \text{если } x < -1,3 \\ -5, & \text{если } x \ge -1,3 \end{cases}$

Для каждого значения $x$ мы должны сначала определить, выполняется ли условие $x < -1,3$ или $x \ge -1,3$, а затем использовать соответствующую формулу.

а) $f(-5)$

Нам нужно найти значение функции при $x = -5$. Сравним это значение с $-1,3$.

Поскольку $-5 < -1,3$, мы используем первую формулу: $f(x) = x + 5,7$.

Подставим $x = -5$ в эту формулу:

$f(-5) = -5 + 5,7 = 0,7$.

Ответ: $0,7$.

б) $f(-20)$

Нам нужно найти значение функции при $x = -20$. Сравним это значение с $-1,3$.

Поскольку $-20 < -1,3$, мы снова используем первую формулу: $f(x) = x + 5,7$.

Подставим $x = -20$ в эту формулу:

$f(-20) = -20 + 5,7 = -14,3$.

Ответ: $-14,3$.

в) $f(0)$

Нам нужно найти значение функции при $x = 0$. Сравним это значение с $-1,3$.

Поскольку $0 > -1,3$, выполняется условие $x \ge -1,3$. Следовательно, мы используем вторую формулу: $f(x) = -5$.

Эта формула не зависит от $x$, значение функции постоянно и равно $-5$ для всех $x$ в этой области.

$f(0) = -5$.

Ответ: $-5$.

г) $f(1,273)$

Нам нужно найти значение функции при $x = 1,273$. Сравним это значение с $-1,3$.

Поскольку $1,273 > -1,3$, выполняется условие $x \ge -1,3$. Следовательно, мы снова используем вторую формулу: $f(x) = -5$.

$f(1,273) = -5$.

Ответ: $-5$.

46.13 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < -4,5; \\ -4x + 7, & \text{если } x \ge -4,5. \end{cases}$

Вычислите:

а) $f(-5)$;

б) $f(-4)$;

в) $f(3)$;

г) $f(-4,5)$.

Дана кусочно-заданная функция:

$f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < -4,5 \\ -4x + 7, & \text{если } x \ge -4,5 \end{cases}$

Для вычисления значения функции в заданной точке необходимо сначала определить, какому из условий удовлетворяет аргумент $x$, а затем подставить его в соответствующую этому условию формулу.

а) Чтобы вычислить $f(-5)$, определим, какое из условий выполняется для $x = -5$.

Сравниваем $-5$ и $-4,5$. Так как $-5 < -4,5$, используем первую формулу: $f(x) = x^2$.

Подставляем значение $x = -5$ в эту формулу:

$f(-5) = (-5)^2 = 25$.

Ответ: 25

б) Чтобы вычислить $f(-4)$, определим, какое из условий выполняется для $x = -4$.

Сравниваем $-4$ и $-4,5$. Так как $-4 > -4,5$, выполняется условие $x \ge -4,5$. Следовательно, используем вторую формулу: $f(x) = -4x + 7$.

Подставляем значение $x = -4$ в эту формулу:

$f(-4) = -4 \cdot (-4) + 7 = 16 + 7 = 23$.

Ответ: 23

в) Чтобы вычислить $f(3)$, определим, какое из условий выполняется для $x = 3$.

Сравниваем $3$ и $-4,5$. Так как $3 > -4,5$, выполняется условие $x \ge -4,5$. Следовательно, используем вторую формулу: $f(x) = -4x + 7$.

Подставляем значение $x = 3$ в эту формулу:

$f(3) = -4 \cdot 3 + 7 = -12 + 7 = -5$.

Ответ: -5

г) Чтобы вычислить $f(-4,5)$, определим, какое из условий выполняется для $x = -4,5$.

Условие $x \ge -4,5$ является нестрогим и включает случай равенства. Так как $-4,5 = -4,5$, используем вторую формулу: $f(x) = -4x + 7$.

Подставляем значение $x = -4,5$ в эту формулу:

$f(-4,5) = -4 \cdot (-4,5) + 7 = 18 + 7 = 25$.

Ответ: 25