Страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

1 Какие из графов на рисунке 5 являются деревьями?

а) б) в) г) д) Рисунок 5

В теории графов дерево — это связный ациклический граф. Это означает, что граф является деревом, если он удовлетворяет двум ключевым условиям:

1. Связность: между любыми двумя вершинами графа существует путь.
2. Ацикличность: в графе нет циклов (замкнутых путей, где начальная и конечная вершины совпадают).

Эквивалентное условие для графа с $V$ вершинами и $E$ рёбрами: граф является деревом, если он связный и при этом $E = V - 1$.

Проанализируем каждый из представленных графов:

а)

Данный граф является связным, так как все "периферийные" вершины соединены с центральной, а значит, и друг с другом через неё. Циклы в графе отсутствуют. Следовательно, он удовлетворяет определению дерева. Проверим по формуле: число вершин $V = 7$, число рёбер $E = 6$. Равенство $E = V - 1$ выполняется ($6 = 7 - 1$).
Ответ: является деревом.

б)

Этот граф также является связным — от любой вершины можно дойти до любой другой. Замкнутых путей (циклов) в нём нет. Таким образом, это дерево. Проверим по формуле: число вершин $V = 12$, число рёбер $E = 11$. Равенство $E = V - 1$ выполняется ($11 = 12 - 1$).
Ответ: является деревом.

в)

Этот граф, представляющий собой простую цепь (путь), является связным и не содержит циклов. Следовательно, это дерево. Проверка по формуле: число вершин $V = 3$, число рёбер $E = 2$. Равенство $E = V - 1$ выполняется ($2 = 3 - 1$).
Ответ: является деревом.

г)

На рисунке изображены две отдельные, не связанные между собой части (компоненты связности). Поскольку не от каждой вершины можно добраться до каждой другой, граф является несвязным. По определению, дерево должно быть связным, поэтому этот граф не является деревом. Такой тип графа называется лесом.
Ответ: не является деревом.

д)

Этот граф является связным, однако он содержит цикл — замкнутый контур, соединяющий внешние вершины. По определению, дерево должно быть ациклическим. Наличие цикла означает, что данный граф не является деревом.
Ответ: не является деревом.

2 Является ли деревом граф дорог в вашем населённом пункте? Постройте в тетради часть этого графа в обоснование своего ответа.

Для ответа на этот вопрос, сначала определим, что такое "дерево" в теории графов. Граф является деревом, если он удовлетворяет двум условиям:
1. Он связный, то есть из любой его вершины можно добраться в любую другую.
2. Он не содержит циклов, то есть нет замкнутых путей, которые начинаются и заканчиваются в одной и той же вершине, проходя по разным ребрам.

Теперь рассмотрим граф дорог в населенном пункте. В таком графе вершинами являются перекрестки, а ребрами – участки дорог между ними.

Граф дорог в практически любом населенном пункте (городе, поселке) не является деревом. Хотя он, как правило, является связным (можно проехать от любой точки до любой другой), он почти всегда содержит циклы.

Циклы в дорожной сети — это обычное явление. Например, любой городской квартал, образованный пересекающимися улицами, представляет собой цикл в графе дорог. Кольцевые дороги также являются очевидными примерами циклов. Наличие циклов позволяет выбирать альтернативные маршруты, что критически важно для транспортной системы. Если бы граф дорог был деревом, то существовал бы только один-единственный путь между любыми двумя перекрестками. Это означало бы, что любая авария или ремонт на одной из дорог могли бы полностью отрезать часть населенного пункта.

В качестве обоснования построим упрощенную схему части дорожного графа, типичную для любого города. Пусть у нас есть четыре перекрестка, которые мы обозначим как вершины графа $A$, $B$, $C$ и $D$. Эти перекрестки образуют типичный городской квартал и соединены дорогами (ребрами графа) следующим образом:

• Дорога 1 соединяет перекресток $A$ и перекресток $B$.
• Дорога 2 соединяет перекресток $B$ и перекресток $C$.
• Дорога 3 соединяет перекресток $C$ и перекресток $D$.
• Дорога 4 соединяет перекресток $D$ и перекресток $A$.

Графически это можно представить так:

A --------- B
| |
| |
D --------- C

В этом графе существует очевидный цикл: начав движение из точки $A$, можно проехать по маршруту $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$ и вернуться в исходную точку. Наличие хотя бы одного такого цикла означает, что весь граф дорог населенного пункта не является деревом.

Ответ: Нет, граф дорог в моем (и практически любом) населенном пункте не является деревом, так как он содержит циклы (например, кварталы, образованные пересекающимися улицами, или кольцевые развязки), что нарушает обязательное для дерева условие отсутствия циклов.

3 Нарисуйте в тетради какое-нибудь дерево, в котором 7 вершин, причём степень 1 имеют ровно:

a) 2 вершины;

б) 4 вершины;

в) 6 вершин.

а)

Требуется построить дерево с $n=7$ вершинами, в котором ровно 2 вершины имеют степень 1. Дерево с $n$ вершинами всегда имеет $n-1$ рёбер. В нашем случае количество рёбер $m = 7 - 1 = 6$. Согласно лемме о рукопожатиях, сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу рёбер: $\sum \text{deg}(v) = 2m$. Для нашего дерева сумма степеней вершин составляет $2 \times 6 = 12$.

По условию, две вершины имеют степень 1. Остальные $7-2=5$ вершин должны иметь степень не меньше 2 (поскольку в связном графе с более чем двумя вершинами не может быть вершин степени 0, а вершины степени 1 являются листьями, которых по условию ровно две). Обозначим степени этих пяти вершин как $d_i$, где $i=1...5$. Сумма степеней всех вершин: $2 \times 1 + \sum_{i=1}^{5} d_i = 12$. Следовательно, сумма степеней оставшихся пяти вершин: $\sum_{i=1}^{5} d_i = 10$.

Наиболее простой вариант — это когда все пять степеней равны 2. В этом случае набор степеней вершин дерева: $\{1, 1, 2, 2, 2, 2, 2\}$. Такое дерево существует и представляет собой граф-путь (или цепь) из 7 вершин.

Ответ: Можно нарисовать 7 вершин, расположенных в один ряд, и соединить каждую соседнюю пару вершин ребром. В результате получится граф-цепь, у которого две концевые вершины имеют степень 1, а пять промежуточных вершин — степень 2.

б)

Требуется построить дерево с $n=7$ вершинами, в котором ровно 4 вершины имеют степень 1. Как и в предыдущем пункте, дерево имеет 6 рёбер, а сумма степеней всех вершин равна 12.

По условию, четыре вершины имеют степень 1. Оставшиеся $7-4=3$ вершины должны иметь степень не меньше 2. Пусть их степени $d_1, d_2, d_3$. Сумма степеней всех вершин: $4 \times 1 + d_1+d_2+d_3 = 12$. Отсюда $d_1+d_2+d_3 = 8$.

Нам нужно найти три целых числа, каждое не меньше 2, с суммой 8. Возможный набор степеней для этих трёх вершин — $\{3, 3, 2\}$. Таким образом, искомое дерево может иметь набор степеней вершин $\{1, 1, 1, 1, 2, 3, 3\}$.

Такое дерево можно построить следующим образом: возьмём три вершины (назовём их внутренними) и соединим их в цепь. Центральная вершина в этой цепи будет иметь степень 2, а две крайние — пока что степень 1. У нас осталось 4 вершины, которые должны быть листьями. Присоединим по две из этих вершин к каждой из крайних вершин внутренней цепи. В результате степень крайних вершин внутренней цепи станет $1+2=3$. Таким образом, в полученном графе одна вершина имеет степень 2, две вершины — степень 3, и четыре вершины (листья) — степень 1, что удовлетворяет условию.

Ответ: Можно нарисовать три вершины в ряд, соединив центральную с двумя крайними. Затем к каждой из этих двух крайних вершин присоединить по две новые вершины.

в)

Требуется построить дерево с $n=7$ вершинами, в котором ровно 6 вершин имеют степень 1. Дерево по-прежнему имеет 7 вершин, 6 рёбер, и сумма степеней всех вершин равна 12.

По условию, шесть вершин имеют степень 1. Оставшаяся $7-6=1$ вершина должна иметь степень не меньше 2. Пусть её степень равна $d$. Сумма степеней всех вершин: $6 \times 1 + d = 12$. Отсюда $d = 6$.

Следовательно, мы ищем дерево, у которого одна вершина имеет степень 6, а остальные шесть вершин — степень 1. Такое дерево существует и называется графом-звездой $K_{1,6}$. Для его построения нужно взять одну вершину в качестве центральной и соединить её рёбрами со всеми остальными шестью вершинами.

Ответ: Можно нарисовать одну центральную вершину и шесть других вершин вокруг неё. Затем соединить центральную вершину ребром с каждой из шести других вершин. Центральная вершина будет иметь степень 6, а остальные шесть — степень 1.

1 Что такое дерево?

Термин "дерево" имеет несколько основных значений в разных областях, от биологии до информатики.

В биологии дерево — это многолетнее растение с ярко выраженным одревесневшим главным стеблем, который называется стволом. Ствол сохраняется на протяжении всей жизни растения и на некоторой высоте от земли обычно ветвится, образуя крону.

Основные части дерева и их функции:

• Корневая система: закрепляет дерево в почве, поглощает воду и минеральные вещества.
• Ствол: является опорой для кроны и обеспечивает транспортировку веществ между корнями и листьями.
• Крона: совокупность ветвей и листьев в верхней части растения, где происходит ключевой процесс фотосинтеза.

Деревья играют важнейшую роль в биосфере Земли, производя кислород, служа средой обитания для множества организмов и участвуя в глобальных климатических процессах. Примерами могут служить дуб, берёза, сосна, ель, секвойя.

Ответ: В биологии дерево — это многолетнее растение с твёрдым, одревесневшим стволом и ветвями, образующими крону.

В математике, а точнее в теории графов, дерево — это связный ациклический граф. Это одно из фундаментальных понятий, которое нашло широкое применение в информатике для моделирования различных иерархических структур.

Формально, дерево определяется как граф $G = (V, E)$, где $V$ — это множество вершин (узлов), а $E$ — множество ребер (связей), который удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

• Граф $G$ связный (между любыми двумя вершинами существует путь) и не содержит циклов.
• Граф $G$ является связным, и при этом количество его рёбер на единицу меньше количества вершин: $|E| = |V| - 1$.
• Между любой парой вершин в графе $G$ существует ровно один уникальный простой путь.
• Граф $G$ не содержит циклов, но добавление любого нового ребра между несмежными вершинами создаёт ровно один цикл.

Ответ: В теории графов дерево — это связный граф без циклов.

В программировании дерево — это рекурсивная структура данных, имитирующая древовидную структуру с набором связанных узлов. Она используется для представления иерархических данных.

Основные термины, связанные с этой структурой:

• Корень (root): самый верхний узел, не имеющий родительского узла. У дерева может быть только один корень.
• Узел (node): элемент дерева, хранящий данные и ссылки на своих потомков.
• Лист (leaf): узел, у которого нет потомков (дочерних узлов).
• Родитель (parent) и потомок (child): два узла, соединенные ребром. Узел на верхнем уровне иерархии является родителем, на нижнем — потомком.

Существует множество видов деревьев, оптимизированных для различных задач: бинарные деревья, деревья поиска (например, АВЛ-деревья), B-деревья. Они применяются для организации файловых систем, представления структуры документов (например, DOM в веб-разработке), в алгоритмах поиска и сортировки, а также в синтаксическом анализе кода.

Ответ: В программировании дерево — это иерархическая структура данных, состоящая из связанных узлов, где выделяется один корневой узел, а каждый другой узел (кроме корня) имеет ровно одного родителя.

Понятие "дерево" также используется в переносном значении для описания различных систем и схем, имеющих ветвящуюся, иерархическую структуру.

• Генеалогическое древо (родословное древо): схема, отображающая родственные связи между людьми в нескольких поколениях.
• Дерево решений: графический метод в теории управления и машинном обучении для визуализации процесса принятия решений и их возможных последствий.
• Дерево как материал (древесина): В повседневной речи под "деревом" часто понимают материал, получаемый из стволов срубленных деревьев, который широко используется в строительстве, производстве мебели, бумаги и т.д.

Ответ: В переносном смысле дерево — это любая структура или схема, имеющая иерархическое, ветвящееся строение, например, генеалогическое древо или дерево решений.