Страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

24 У правильного тетраэдра (треугольной пирамиды) четыре вершины. Вершины помечены числами 1, 2, 3 и 4. Тетраэдр бросают два раза. Постройте дерево этого случайного опыта. Отметьте в этом дереве цепи, изображающие элементарные события, благоприятствующие событию:

а) «в первый раз выпало 3 очка»;

б) «в первый раз выпало чётное число очков»;

в) «сумма выпавших очков делится на 3».

Случайный опыт заключается в двукратном бросании правильного тетраэдра, грани которого пронумерованы числами 1, 2, 3 и 4. Построим дерево этого случайного опыта. Первый бросок имеет 4 возможных исхода: 1, 2, 3 или 4. Для каждого из этих исходов второй бросок также имеет 4 возможных исхода. Общее число элементарных событий (исходов) равно $4 \times 4 = 16$.

Дерево случайного опыта выглядит следующим образом (каждая конечная цепь представляет собой одно элементарное событие в виде пары чисел (результат 1-го броска, результат 2-го броска)):

• 1-й бросок: 1
  • 2-й бросок: 1 → (1, 1)
  • 2-й бросок: 2 → (1, 2)
  • 2-й бросок: 3 → (1, 3)
  • 2-й бросок: 4 → (1, 4)
• 1-й бросок: 2
  • 2-й бросок: 1 → (2, 1)
  • 2-й бросок: 2 → (2, 2)
  • 2-й бросок: 3 → (2, 3)
  • 2-й бросок: 4 → (2, 4)
• 1-й бросок: 3
  • 2-й бросок: 1 → (3, 1)
  • 2-й бросок: 2 → (3, 2)
  • 2-й бросок: 3 → (3, 3)
  • 2-й бросок: 4 → (3, 4)
• 1-й бросок: 4
  • 2-й бросок: 1 → (4, 1)
  • 2-й бросок: 2 → (4, 2)
  • 2-й бросок: 3 → (4, 3)
  • 2-й бросок: 4 → (4, 4)

Этому событию благоприятствуют все цепи, которые начинаются с ветви "1-й бросок: 3". На дереве это все исходы, где первое число в паре равно 3.

Благоприятствующие цепи (элементарные события):

• (3, 1)
• (3, 2)
• (3, 3)
• (3, 4)

Ответ: Благоприятствующими являются 4 цепи, соответствующие исходам (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4).

Чётные числа, которые могут выпасть в первый раз, это 2 и 4. Этому событию благоприятствуют все цепи, которые начинаются с ветвей "1-й бросок: 2" и "1-й бросок: 4".

Благоприятствующие цепи (элементарные события):

• исходы, начинающиеся с 2: (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)
• исходы, начинающиеся с 4: (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)

Ответ: Благоприятствующими являются 8 цепей, соответствующие исходам (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4).

Для каждого из 16 элементарных событий найдём сумму очков и проверим, делится ли она на 3. Возможные суммы лежат в диапазоне от $1+1=2$ до $4+4=8$. Нас интересуют суммы, равные 3 или 6.

• Сумма равна 3: $1+2=3$, $2+1=3$. Исходы: (1, 2) и (2, 1).
• Сумма равна 6: $2+4=6$, $3+3=6$, $4+2=6$. Исходы: (2, 4), (3, 3) и (4, 2).

Благоприятствующие цепи (элементарные события):

• (1, 2)
• (2, 1)
• (2, 4)
• (3, 3)
• (4, 2)

Ответ: Благоприятствующими являются 5 цепей, соответствующие исходам (1, 2), (2, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2).

25 У стрелка в тире 5 пуль для пневматического ружья. Если стрелок попал в мишень, то больше он не стреляет, а если промахнулся, то продолжает стрелять, пока остаются пули. Постройте дерево этого случайного опыта. Отметьте в этом дереве событие:

а) «стрелок попал в мишень»;

б) «для поражения мишени понадобилось не более трёх пуль»;

в) «всего было сделано 2 выстрела».

Для построения дерева случайного опыта обозначим исход «попадание» буквой П, а исход «промах» — буквой Н. Стрельба продолжается до первого попадания или до тех пор, пока не закончатся все 5 пуль.

Дерево этого случайного опыта выглядит следующим образом:

• 1-й выстрел:
  • П (Попадание. Конец опыта)
  • Н (Промах)
    • 2-й выстрел:
      • П (Попадание. Конец опыта)
      • Н (Промах)
        • 3-й выстрел:
          • П (Попадание. Конец опыта)
          • Н (Промах)
            • 4-й выстрел:
              • П (Попадание. Конец опыта)
              • Н (Промах)
                • 5-й выстрел:
                  • П (Попадание. Конец опыта)
                  • Н (Промах. Конец опыта, пули закончились)

Каждый путь от начала дерева до его конца представляет собой один элементарный исход. Всего возможны следующие исходы:

• П — попадание с первого выстрела.
• НП — промах, затем попадание.
• ННП — два промаха, затем попадание.
• НННП — три промаха, затем попадание.
• ННННП — четыре промаха, затем попадание.
• ННННН — пять промахов.

Теперь отметим на этом дереве события.

Это событие наступает, если в последовательности выстрелов есть хотя бы одно попадание. Этому соответствуют все пути на дереве, которые заканчиваются исходом П. Единственный исход, не входящий в это событие, — это ННННН (пять промахов подряд).

Ответ: Этому событию соответствует множество элементарных исходов: $\{\text{П}, \text{НП}, \text{ННП}, \text{НННП}, \text{ННННП}\}$.

Это событие означает, что стрелок попал в мишень с первой, второй или третьей попытки. Следовательно, этому событию соответствуют исходы, где попадание произошло на первом, втором или третьем шаге.

Ответ: Этому событию соответствует множество элементарных исходов: $\{\text{П}, \text{НП}, \text{ННП}\}$.

Это событие означает, что опыт завершился ровно на втором шаге. Такое возможно только в одном случае: первый выстрел — промах (Н), а второй — попадание (П). После этого стрельба прекращается.

Ответ: Этому событию соответствует элементарный исход: $\{\text{НП}\}$.