Страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

34 Являются ли отрицаниями друг друга утверждения A и B?

а) A: «Андрей пишет ручкой или Андрей пишет карандашом»,
B: «Андрей пишет фломастером».

б) A: «Задуманное число больше 10 или задуманное число меньше 10»,
B: «Задуманное число равно 10».

в) A: «Треугольник $ABC$ равнобедренный и тупоугольный»,
B: «Треугольник $ABC$ неравнобедренный и остроугольный».

а) Два утверждения являются отрицаниями друг друга, если одно из них истинно тогда и только тогда, когда другое ложно. Они должны охватывать все возможные варианты и не пересекаться.

Утверждение A: «Андрей пишет ручкой или Андрей пишет карандашом».
Утверждение B: «Андрей пишет фломастером».

Отрицанием утверждения A будет: «Неверно, что Андрей пишет ручкой или карандашом». По законам де Моргана для логических выражений отрицание дизъюнкции (ИЛИ) есть конъюнкция (И) отрицаний: «Андрей не пишет ручкой И Андрей не пишет карандашом».
Это отрицание не совпадает с утверждением B. Например, если Андрей пишет мелом, то утверждение A ложно, и утверждение B тоже ложно. Поскольку оба утверждения могут быть одновременно ложными, они не являются отрицаниями друг друга.
Ответ: Нет.

б) Утверждение A: «Задуманное число больше 10 или задуманное число меньше 10».
Утверждение B: «Задуманное число равно 10».

Пусть задуманное число это $x$. Тогда утверждение A можно записать в виде $x > 10$ или $x < 10$, что эквивалентно $x \neq 10$.
Утверждение B можно записать как $x = 10$.
Утверждения $x \neq 10$ и $x = 10$ являются отрицаниями друг друга, так как для любого числа $x$ одно из них обязательно истинно, а другое обязательно ложно. Они полностью покрывают числовую прямую и не пересекаются.
Ответ: Да.

в) Утверждение A: «Треугольник ABC равнобедренный и тупоугольный».
Утверждение B: «Треугольник ABC неравнобедренный и остроугольный».

Отрицанием утверждения A («P и Q») является утверждение «не P или не Q».
Таким образом, отрицание A звучит так: «Треугольник ABC не является равнобедренным ИЛИ он не является тупоугольным».
Утверждение B: «Треугольник ABC неравнобедренный и остроугольный».
Эти два утверждения не являются эквивалентными. Например, рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник.
Утверждение A для него ложно (он не тупоугольный).
Утверждение B для него тоже ложно (он равнобедренный).
Поскольку оба утверждения могут быть одновременно ложными, они не являются отрицаниями друг друга.
Ответ: Нет.

35 Монету бросили 2 раза. Для каких элементарных исходов истинно утверждение «$\neg (A \land B)$»?

а) А: «При первом броске выпал орёл»,

В: «При втором броске выпала решка».

б) А: «Оба раза монета упала одной и той же стороной»,

В: «При втором броске выпала решка».

Выпишите эти элементарные исходы.

Указание. Легче сначала выписать элементарные исходы, при которых истинно утверждение «$A \land B$».

Для решения задачи сначала определим все возможные элементарные исходы при бросании монеты 2 раза. Обозначим «орёл» как О, а «решку» как Р. Тогда множество всех элементарных исходов $S$ = {ОО, ОР, РО, РР}, где первая буква обозначает результат первого броска, а вторая — второго. Всего существует 4 элементарных исхода.

Нам нужно найти исходы, для которых истинно утверждение «не (A и B)». Это то же самое, что найти все исходы, для которых утверждение «A и B» ложно. Следуя указанию, сначала определим исходы, при которых утверждение «A и B» истинно, а затем выберем все остальные исходы из множества $S$.

а) A: «При первом броске выпал орёл», B: «При втором броске выпала решка».

Событию A соответствуют исходы, начинающиеся с О: {ОО, ОР}.
Событию B соответствуют исходы, заканчивающиеся на Р: {ОР, РР}.

Утверждение «A и B» (пересечение событий $A \cap B$) истинно для исходов, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. Таким исходом является только ОР.

Следовательно, утверждение «не (A и B)» (дополнение к пересечению, $S \setminus (A \cap B)$) будет истинно для всех элементарных исходов, кроме ОР.

Искомые исходы: ОО, РО, РР.

Ответ: ОО, РО, РР.

б) A: «Оба раза монета упала одной и той же стороной», B: «При втором броске выпала решка».

Событию A соответствуют исходы, где обе буквы одинаковы: {ОО, РР}.
Событию B, как и в предыдущем пункте, соответствуют исходы, заканчивающиеся на Р: {ОР, РР}.

Утверждение «A и B» ($A \cap B$) истинно для исходов, общих для событий A и B. Таким исходом является только РР.

Следовательно, утверждение «не (A и B)» ($S \setminus (A \cap B)$) будет истинно для всех остальных элементарных исходов, кроме РР.

Искомые исходы: ОО, ОР, РО.

Ответ: ОО, ОР, РО.

36 Монету бросили 3 раза. Для каких элементарных исходов истинно утверждение «$\neg (C \lor D)$»?

a) C: «При первом броске выпала решка»,

D: «При втором броске выпал орёл».

b) C: «Первые два раза монета упала одной и той же стороной»,

D: «При третьем броске выпал орёл».

Выпишите эти элементарные исходы.

Указание. Легче сначала выписать элементарные исходы, при которых истинно утверждение «$C \lor D$».

Для решения задачи сначала определим все возможные элементарные исходы при трёхкратном броске монеты. Обозначим выпадение орла буквой «О», а решки — буквой «Р». Всего существует $2^3 = 8$ элементарных исходов. Запишем их в виде множества $\Omega$ (пространство элементарных исходов):
$\Omega = \{ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР\}$

Нам нужно найти элементарные исходы, для которых истинно утверждение «не ($C$ или $D$)». Это событие является противоположным (дополнением) к событию «$C$ или $D$», которое в теории множеств обозначается как объединение $C \cup D$.
Следовательно, искомое событие — это $\overline{C \cup D}$. По законам де Моргана это эквивалентно событию «не $C$ и не $D$» ($\overline{C} \cap \overline{D}$).
Как предложено в указании, мы сначала найдём множество исходов для события «$C$ или $D$», а затем выберем все исходы из $\Omega$, которые в это множество не вошли.

а)

Событие $C$: «При первом броске выпала решка». Множество исходов для $C$:
$C = \{РОО, РОР, РРО, РРР\}$.

Событие $D$: «При втором броске выпал орёл». Множество исходов для $D$:
$D = \{ООО, ООР, РОО, РОР\}$.

Теперь найдём множество исходов для события «$C$ или $D$» ($C \cup D$), объединив исходы для $C$ и $D$:
$C \cup D = \{РОО, РОР, РРО, РРР, ООО, ООР\}$.

Искомые исходы — это те, для которых утверждение «$C$ или $D$» ложно. Это все исходы из $\Omega$, которые не принадлежат множеству $C \cup D$:
$\overline{C \cup D} = \Omega \setminus (C \cup D) = \{ОРО, ОРР\}$.
Эти исходы соответствуют утверждению «не $C$ и не $D$», то есть «при первом броске выпал орёл И при втором броске выпала решка».
Ответ: ОРО, ОРР.

б)

Событие $C$: «Первые два раза монета упала одной и той же стороной». Это исходы, которые начинаются с «ОО» или «РР». Множество исходов для $C$:
$C = \{ООО, ООР, РРО, РРР\}$.

Событие $D$: «При третьем броске выпал орёл». Это исходы, которые заканчиваются на «О». Множество исходов для $D$:
$D = \{ООО, ОРО, РОО, РРО\}$.

Найдём множество исходов для события «$C$ или $D$» ($C \cup D$):
$C \cup D = \{ООО, ООР, РРО, РРР, ОРО, РОО\}$.

Искомые исходы — это те, которые не входят в $C \cup D$:
$\overline{C \cup D} = \Omega \setminus (C \cup D) = \{ОРР, РОР\}$.
Эти исходы соответствуют утверждению «не $C$ и не $D$», то есть «первые два раза монета упала разными сторонами И при третьем броске выпала решка».
Ответ: ОРР, РОР.

37 Постройте отрицание к утверждению:

a) «При бросании игрального кубика выпало менее пяти, но более трёх очков»;

б) «При бросании игрального кубика выпало менее пяти или более трёх очков»;

в) «В данном треугольнике два угла равны и в нём нет двух равных сторон»;

г) «В данном треугольнике два угла равны или в нём нет двух равных сторон»;

д) «Натуральное число при делении на 3 даёт остаток 1 или 2»;

е) «Натуральное число делится на 3 и сумма его цифр тоже делится на 3».

Для построения отрицания к утверждениям используются законы логики, в частности, законы де Моргана:

• Отрицанием конъюнкции (союз «и») является дизъюнкция отрицаний: $\neg(A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B$.
• Отрицанием дизъюнкции (союз «или») является конъюнкция отрицаний: $\neg(A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B$.

Также используются отрицания для операций сравнения:

• Отрицание «меньше» ($<$) — это «больше или равно» ($\ge$).
• Отрицание «больше» ($>$) — это «меньше или равно» ($\le$).

а) «При бросании игрального кубика выпало менее пяти, но более трёх очков»

Исходное утверждение является конъюнкцией (союз «но» эквивалентен союзу «и») двух высказываний. Пусть $x$ — число выпавших очков.

A: «выпало менее пяти очков» ($x < 5$).

B: «выпало более трёх очков» ($x > 3$).

Утверждение: $A \land B$. Это условие выполняется только для $x=4$.

Отрицанием будет дизъюнкция отрицаний: $\neg A \lor \neg B$.

$\neg A$: «выпало не менее пяти очков», то есть «пять или более очков» ($x \ge 5$).

$\neg B$: «выпало не более трёх очков», то есть «три или менее очков» ($x \le 3$).

Соединив их союзом «или», получаем отрицание.

Ответ: При бросании игрального кубика выпало не менее пяти или не более трёх очков.

б) «При бросании игрального кубика выпало менее пяти или более трёх очков»

Исходное утверждение является дизъюнкцией двух высказываний. Пусть $x$ — число выпавших очков.

A: «выпало менее пяти очков» ($x < 5$), что соответствует $\{1, 2, 3, 4\}$.

B: «выпало более трёх очков» ($x > 3$), что соответствует $\{4, 5, 6\}$.

Утверждение: $A \lor B$. Объединение этих множеств даёт $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, то есть любое возможное значение на кубике. Следовательно, исходное утверждение всегда истинно (тавтология).

Отрицанием будет конъюнкция отрицаний: $\neg A \land \neg B$.

$\neg A$: «выпало не менее пяти очков» ($x \ge 5$).

$\neg B$: «выпало не более трёх очков» ($x \le 3$).

Соединив их союзом «и», получаем утверждение, которое никогда не может быть истинным (противоречие), так как не существует числа, которое одновременно больше или равно 5 и меньше или равно 3.

Ответ: При бросании игрального кубика выпало не менее пяти и не более трёх очков.

в) «В данном треугольнике два угла равны и в нём нет двух равных сторон»

Это конъюнкция двух утверждений.

A: «В данном треугольнике два угла равны».

B: «в нём нет двух равных сторон».

Согласно свойству равнобедренного треугольника, утверждение A истинно тогда и только тогда, когда истинно утверждение «в нём есть две равные стороны», которое является отрицанием утверждения B ($\neg B$). Таким образом, исходное утверждение имеет вид $A \land \neg A$ (или $\neg B \land B$), что является логическим противоречием (всегда ложно).

Отрицанием противоречия является тавтология (всегда истинное утверждение). Построим его по правилу $\neg(A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B$.

$\neg A$: «В данном треугольнике неверно, что два угла равны» (т.е. все углы различны).

$\neg B$: «Неверно, что в нём нет двух равных сторон» (т.е. в нём есть две равные стороны).

Ответ: В данном треугольнике неверно, что два угла равны, или в нём есть две равные стороны.

г) «В данном треугольнике два угла равны или в нём нет двух равных сторон»

Это дизъюнкция двух утверждений.

A: «В данном треугольнике два угла равны».

B: «в нём нет двух равных сторон».

Как и в предыдущем пункте, $A \iff \neg B$. Исходное утверждение можно представить в виде $A \lor \neg A$ (или $\neg B \lor B$), что является тавтологией (всегда истинно).

Отрицанием тавтологии является противоречие. Построим его по правилу $\neg(A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B$.

$\neg A$: «В данном треугольнике нет двух равных углов».

$\neg B$: «В нём есть две равные стороны».

Ответ: В данном треугольнике нет двух равных углов и в нём есть две равные стороны.

д) «Натуральное число при делении на 3 даёт остаток 1 или 2»

Это дизъюнкция двух утверждений.

A: «Натуральное число при делении на 3 даёт остаток 1».

B: «Натуральное число при делении на 3 даёт остаток 2».

Утверждение $A \lor B$ означает, что остаток от деления на 3 не равен 0, то есть число не делится на 3.

Отрицанием будет конъюнкция отрицаний: $\neg A \land \neg B$.

$\neg A$: «остаток от деления на 3 не равен 1».

$\neg B$: «остаток от деления на 3 не равен 2».

Утверждение «остаток не равен 1 и не равен 2» означает, что он должен быть равен 0 (так как при делении на 3 возможны только остатки 0, 1, 2). Если остаток равен 0, то число делится на 3 нацело.

Ответ: Натуральное число делится на 3.

е) «Натуральное число делится на 3 и сумма его цифр тоже делится на 3»

Это конъюнкция двух утверждений.

A: «Натуральное число делится на 3».

B: «сумма его цифр тоже делится на 3».

Согласно признаку делимости на 3, утверждения A и B эквивалентны ($A \iff B$). То есть, они всегда либо оба истинны, либо оба ложны. Поэтому исходное утверждение $A \land B$ эквивалентно просто утверждению A (или B).

Следовательно, отрицание утверждения $A \land B$ эквивалентно отрицанию $\neg A$.

$\neg A$: «Натуральное число не делится на 3».

Можно прийти к этому же выводу, формально применив правило де Моргана $\neg(A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B$. Так как $\neg A$ эквивалентно $\neg B$, то дизъюнкция «($\neg A$) или ($\neg B$)» эквивалентна просто $\neg A$.

Ответ: Натуральное число не делится на 3.

38 Приведите пример, показывающий, что следующее высказывание не является истинным. Сформулируйте отрицание. Является ли отрицание истинным высказыванием?

а) «Любое натуральное число является простым или составным».

б) «Любой треугольник является тупоугольным или остроугольным».

а) «Любое натуральное число является простым или составным».

Данное высказывание является ложным. Чтобы доказать это, достаточно привести один пример (контрпример), который ему противоречит.

Пример:
Рассмотрим натуральное число 1. По определению, простое число — это натуральное число, большее 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя. Число 1 не больше 1, следовательно, оно не является простым. Составное число — это натуральное число, большее 1, которое не является простым. Так как 1 не больше 1, оно не является и составным. Таким образом, число 1 — это натуральное число, которое не является ни простым, ни составным, что опровергает исходное утверждение.

Отрицание:
Отрицанием для высказывания вида «Все А являются Б или В» является высказывание «Существует А, которое не является ни Б, ни В». Таким образом, отрицание исходного высказывания звучит так: «Существует натуральное число, которое не является ни простым, ни составным».

Истинность отрицания:
Это отрицание является истинным высказыванием. Как показано в примере выше, такое число существует — это число 1.

Ответ: Контрпример: число 1. Отрицание: «Существует натуральное число, которое не является ни простым, ни составным». Отрицание является истинным.

б) «Любой треугольник является тупоугольным или остроугольным».

Данное высказывание является ложным.

Пример:
Рассмотрим прямоугольный треугольник, то есть треугольник, у которого один из углов равен $90^\circ$. По определению, остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые (меньше $90^\circ$). Прямоугольный треугольник не является остроугольным, так как один из его углов не меньше, а равен $90^\circ$. По определению, тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов тупой (больше $90^\circ$). Прямоугольный треугольник не является тупоугольным, так как у него нет угла больше $90^\circ$. Следовательно, прямоугольный треугольник является контрпримером.

Отрицание:
Отрицанием исходного высказывания является: «Существует треугольник, который не является ни тупоугольным, ни остроугольным».

Истинность отрицания:
Это отрицание является истинным высказыванием, поскольку такие треугольники существуют — это все прямоугольные треугольники.

Ответ: Контрпример: любой прямоугольный треугольник. Отрицание: «Существует треугольник, который не является ни тупоугольным, ни остроугольным». Отрицание является истинным.

39 Даны два высказывания $A$ и $B$. Истинно или ложно высказывание $\text{«не } (A \text{ или } B)\text{»}$?

a) A: «А. С. Пушкин — поэт»,

B: «А. С. Пушкин писал рассказы в прозе».

б) A: «У кошки 4 лапы»,

B: «У паука 6 ног».

в) A: «Река Волга впадает в Чёрное море»,

B: «Река Амазонка впадает в Красное море».

Для решения задачи необходимо определить истинность каждого из высказываний А и В, а затем, используя правила логики, найти истинность выражения «не (А или В)».

Логическое выражение «не (А или В)» можно записать в виде формулы $\neg(A \lor B)$. Это выражение истинно только в том случае, когда выражение в скобках $(A \lor B)$ ложно. В свою очередь, выражение $(A \lor B)$ (дизъюнкция или логическое «ИЛИ») ложно только тогда, когда оба высказывания, А и В, ложны. Во всех остальных случаях выражение $\neg(A \lor B)$ будет ложным.

а)

Определим истинность каждого высказывания:
A: «А. С. Пушкин — поэт» — истинно (И).
B: «А. С. Пушкин писал рассказы в прозе» — истинно (И).

Теперь вычислим значение логического выражения $\neg(A \lor B)$.
1. Вычисляем дизъюнкцию (логическое «ИЛИ»): $A \lor B$. Она истинна, так как оба высказывания истинны.
$И \lor И = И$.
2. Применяем отрицание (логическое «НЕ»): $\neg(И)$. Отрицание истинного высказывания ложно.
$\neg(И) = Л$.
Таким образом, высказывание «не (А или В)» ложно.
Ответ: ложно.

б)

Определим истинность каждого высказывания:
A: «У кошки 4 лапы» — истинно (И).
B: «У паука 6 ног» — ложно (Л), так как у пауков 8 ног.

Теперь вычислим значение логического выражения $\neg(A \lor B)$.
1. Вычисляем дизъюнкцию (логическое «ИЛИ»): $A \lor B$. Она истинна, так как высказывание А истинно.
$И \lor Л = И$.
2. Применяем отрицание (логическое «НЕ»): $\neg(И)$. Отрицание истинного высказывания ложно.
$\neg(И) = Л$.
Таким образом, высказывание «не (А или В)» ложно.
Ответ: ложно.

в)

Определим истинность каждого высказывания:
A: «Река Волга впадает в Чёрное море» — ложно (Л), так как она впадает в Каспийское море.
B: «Река Амазонка впадает в Красное море» — ложно (Л), так как она впадает в Атлантический океан.

Теперь вычислим значение логического выражения $\neg(A \lor B)$.
1. Вычисляем дизъюнкцию (логическое «ИЛИ»): $A \lor B$. Она ложна, так как оба высказывания ложны.
$Л \lor Л = Л$.
2. Применяем отрицание (логическое «НЕ»): $\neg(Л)$. Отрицание ложного высказывания истинно.
$\neg(Л) = И$.
Таким образом, высказывание «не (А или В)» истинно.
Ответ: истинно.