Страница 18, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник часть 1, 2 Высоцкий, Ященко

33 Марина строила отрицание к утверждению «Завтра будет снег или завтра будет дождь». У неё получилось «Завтра будет солнечно». Верно ли построено отрицание? Объясните свой ответ.

Нет, Марина построила отрицание неверно.

Для объяснения используем основы математической логики. Исходное утверждение является сложным и состоит из двух простых высказываний, соединенных союзом «или».

Обозначим простые высказывания:

• A: «Завтра будет снег»
• B: «Завтра будет дождь»

Тогда исходное утверждение можно записать в виде логической формулы как дизъюнкцию (логическое «ИЛИ»): $A \lor B$.

Чтобы построить отрицание к этому выражению, нужно применить законы де Моргана. Отрицание дизъюнкции равносильно конъюнкции (логическому «И») отрицаний:

$\neg(A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B$

Переведем эту формулу обратно на естественный язык:

• $\neg A$: «Завтра не будет снега»
• $\neg B$: «Завтра не будет дождя»
• $\neg A \land \neg B$: «Завтра не будет снега и завтра не будет дождя»

Таким образом, правильное отрицание исходного утверждения звучит как: «Завтра не будет ни снега, ни дождя».

Утверждение Марины «Завтра будет солнечно» является лишь одним из частных случаев, когда не будет ни снега, ни дождя. Но погода может быть и другой, например, облачной, но без осадков. В этом случае утверждение «не будет ни снега, ни дождя» будет истинным, а утверждение «будет солнечно» — ложным. Поскольку правильное отрицание должно охватывать все случаи, когда исходное утверждение ложно, вариант Марины не является верным отрицанием.

Ответ: Нет, отрицание построено неверно. Правильным отрицанием было бы «Завтра не будет ни снега, ни дождя».

1 Как сформулировать отрицание к утверждению «$A \land B$»?

1 Утверждение «А и В» является логической конъюнкцией (логическим «И») двух высказываний А и В. В математической логике это записывается с помощью символа конъюнкции: $A \land B$.
Исходное утверждение $A \land B$ истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания, А и В, истинны одновременно. Если хотя бы одно из них ложно, то и вся конъюнкция ложна.
Отрицание утверждения, которое обозначается символом $\neg$ («не»), должно быть истинным во всех случаях, когда исходное утверждение ложно. Следовательно, отрицание $\neg(A \land B)$ будет истинным, если А ложно, или если В ложно, или если и А, и В ложны.
Это правило формально описывается одним из законов де Моргана:
$\neg(A \land B) \equiv (\neg A) \lor (\neg B)$
Здесь $\lor$ — это символ дизъюнкции (логическое «ИЛИ»).
Таким образом, чтобы сформулировать отрицание к утверждению «А и В», нужно заменить союз «и» на союз «или» и применить отрицание к каждому из исходных высказываний.
Например, пусть есть утверждение: «Сегодня холодно (А) и идет снег (В)».
Его отрицанием будет: «Сегодня не холодно (не А) или не идет снег (не В)».

Ответ: Отрицанием к утверждению «А и В» является утверждение «не А или не В».

2 Как сформулировать отрицание к утверждению «$A \lor B$»?

Чтобы сформулировать отрицание к утверждению «А или В», необходимо использовать одно из правил математической логики, известное как закон де Моргана. Этот закон описывает, как преобразуются логические операции при отрицании.

Логическое объяснение

Утверждение «А или В» (называемое дизъюнкцией) является истинным, если истинно хотя бы одно из составляющих его утверждений: А, В, или оба сразу. Ложным оно будет только в одном-единственном случае: когда и А, и В являются ложными одновременно.

Отрицание некоторого утверждения — это новое утверждение, которое истинно тогда и только тогда, когда исходное утверждение ложно. Следовательно, отрицание для «А или В» должно быть истинным именно в том случае, когда ложны и А, и В.

Утверждение, которое говорит, что «А ложно» и одновременно «В ложно», записывается как «не А и не В».

Таким образом, отрицанием для «А или В» является утверждение «не А и не В».

Формальное правило (Закон де Моргана)

В математической логике утверждение «А или В» записывается с помощью знака дизъюнкции: $A \lor B$. Отрицание обозначается символом $ \neg $.

Закон де Моргана для дизъюнкции выглядит следующим образом:

$ \neg(A \lor B) \equiv (\neg A) \land (\neg B) $

Где:

• $ \lor $ — это логическое «ИЛИ» (дизъюнкция).
• $ \land $ — это логическое «И» (конъюнкция).
• $ \neg $ — это логическое «НЕ» (отрицание).
• $ \equiv $ — знак логической эквивалентности (равносильности).

Это правило гласит: отрицание дизъюнкции равносильно конъюнкции отрицаний. Проще говоря, чтобы построить отрицание для «А или В», нужно взять отрицание от каждого из утверждений (А и В) и заменить союз «или» на союз «и».

Пример из жизни

Рассмотрим исходное утверждение: «В выходные я буду читать книгу или смотреть фильм».

Здесь можно выделить два простых утверждения:

• А = «В выходные я буду читать книгу»
• В = «В выходные я буду смотреть фильм»

Исходное утверждение имеет вид «А или В».

Чтобы сформулировать его отрицание, применим правило «не А и не В»:

1. Отрицаем А: «В выходные я не буду читать книгу» (это $ \neg A $).
2. Отрицаем В: «В выходные я не буду смотреть фильм» (это $ \neg B $).
3. Заменяем «или» на «и».

В результате получаем отрицание: «В выходные я не буду читать книгу и не буду смотреть фильм».

Это означает, что ни одно из этих двух действий не будет выполнено.

Ответ: Отрицанием к утверждению «А или В» является утверждение «не А и не В».

3 Что можно сказать о высказываниях $A$ и $B$, если высказывание «не $(A \text{ и } B)$» ложно?

Чтобы определить, что можно сказать о высказываниях A и B, проанализируем данное условие с точки зрения математической логики.

1. У нас есть составное высказывание «не (A и B)». В логике это записывается как отрицание конъюнкции: $\neg (A \land B)$, где $\land$ обозначает логическое "И".

2. По условию задачи, это высказывание $\neg (A \land B)$ является ложным.

3. Операция отрицания («не») меняет истинностное значение высказывания на противоположное. Если отрицание некоторого высказывания ложно, то само это высказывание должно быть истинным. Следовательно, из ложности $\neg (A \land B)$ мы делаем вывод, что высказывание $(A \land B)$ истинно.

4. Теперь рассмотрим конъюнкцию $(A \land B)$. Высказывание, являющееся конъюнкцией (логическим "И") двух других высказываний, истинно тогда и только тогда, когда оба этих высказывания истинны.

5. Таким образом, если $(A \land B)$ истинно, то это означает, что высказывание A истинно и высказывание B тоже истинно.

Ответ: Оба высказывания, A и B, являются истинными.

4 Что можно сказать о высказываниях $A$ и $B$, если высказывание «$\neg (A \land B)$» истинно?

Введем обозначения для логических операций, используемых в задаче:

• Логическое "И" (конъюнкция) — $A \land B$. Это высказывание истинно только тогда, когда истинны и $A$, и $B$.
• Логическое отрицание "НЕ" — $\neg A$. Это высказывание истинно, если $A$ ложно, и ложно, если $A$ истинно.

По условию, высказывание «не (A и B)» является истинным. В символьной записи это выглядит так: $\neg(A \land B) = \text{истина}$.

Операция отрицания («не») инвертирует значение истинности выражения. Если отрицание некоторого выражения истинно, то само это выражение должно быть ложным. Следовательно, из того, что $\neg(A \land B)$ истинно, мы заключаем, что выражение $(A \land B)$ ложно:

$A \land B = \text{ложь}$

Теперь проанализируем, в каких случаях конъюнкция $(A \land B)$ является ложной. Для этого рассмотрим таблицу истинности для операции "И":

Из таблицы видно, что результат $A \land B = \text{ложь}$ имеет место в трех из четырех возможных случаев:

1. Когда $A$ истинно, а $B$ ложно.
2. Когда $A$ ложно, а $B$ истинно.
3. Когда и $A$, и $B$ ложны.

Единственный случай, который невозможен при заданном условии, — это когда оба высказывания, $A$ и $B$, истинны одновременно. Таким образом, мы можем утверждать, что как минимум одно из высказываний ($A$ или $B$) является ложным.

Этот же результат можно получить, применив один из законов де Моргана, который гласит, что $\neg(A \land B)$ логически эквивалентно $(\neg A \lor \neg B)$, где $\lor$ — это операция логического "ИЛИ" (дизъюнкция). Поскольку $\neg(A \land B)$ истинно, то и эквивалентное ему выражение $(\neg A \lor \neg B)$ тоже истинно. Дизъюнкция ("ИЛИ") истинна, если хотя бы одно из составляющих ее высказываний истинно. Это означает, что либо $\neg A$ истинно (т.е. $A$ ложно), либо $\neg B$ истинно (т.е. $B$ ложно), либо они оба истинны (т.е. и $A$, и $B$ ложны). Это полностью подтверждает наш предыдущий вывод.

Ответ: Если высказывание «не (A и B)» истинно, то это означает, что высказывания A и B не могут быть истинными одновременно. По крайней мере одно из них (A или B, или оба сразу) должно быть ложным.