Номер 4, страница 159 - гдз по физике 7 класс учебник Громов, Родина

Глава 5. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Параграф 44. Сообщающиеся сосуды. Вопросы - номер 4, страница 159.

Условие.

4. Докажите закон сообщающихся сосудов, используя формулу (44.1).

Решение.

4. Решение

Закон сообщающихся сосудов гласит, что в сообщающихся сосудах, заполненных однородной жидкостью, свободные поверхности жидкости устанавливаются на одном и том же уровне, если давление над этими поверхностями одинаково.

Для доказательства этого закона воспользуемся формулой гидростатического давления, которая, как правило, и является основной в данном разделе физики и, предположительно, обозначена как (44.1):

$p = \rho g h$

где $\text{p}$ — гидростатическое давление, создаваемое столбом жидкости, $\rho$ — плотность жидкости, $\text{g}$ — ускорение свободного падения, а $\text{h}$ — высота столба жидкости.

Рассмотрим систему из двух сообщающихся сосудов произвольной формы, в которые налита однородная жидкость плотностью $\rho$. Предположим, что система находится в состоянии равновесия. Давление над поверхностью жидкости в обоих сосудах одинаково и равно атмосферному давлению, $p_{атм}$.

Выберем в жидкости произвольный горизонтальный уровень, расположенный ниже уровня соединения сосудов. Возьмём на этом уровне две точки: точку 1 в левом сосуде и точку 2 в правом сосуде.

Согласно закону Паскаля, в покоящейся жидкости давление на одном и том же горизонтальном уровне одинаково. Следовательно, давления в точках 1 и 2 должны быть равны:

$p_1 = p_2$

Полное давление в точке 1 складывается из атмосферного давления $p_{атм}$ на свободную поверхность и гидростатического давления столба жидкости высотой $h_1$ над этой точкой:

$p_1 = p_{атм} + \rho g h_1$

Аналогично, полное давление в точке 2 равно сумме атмосферного давления и гидростатического давления столба жидкости высотой $h_2$ над этой точкой:

$p_2 = p_{атм} + \rho g h_2$

Так как $p_1 = p_2$, мы можем приравнять правые части этих выражений:

$p_{атм} + \rho g h_1 = p_{атм} + \rho g h_2$

Вычтем из обеих частей уравнения атмосферное давление $p_{атм}$:

$\rho g h_1 = \rho g h_2$

Поскольку жидкость однородна ($\rho$ — константа, не равная нулю) и ускорение свободного падения $\text{g}$ также отлично от нуля, мы можем разделить обе части уравнения на $\rho g$:

$h_1 = h_2$

Полученное равенство означает, что высоты столбов жидкости в левом и правом сосудах одинаковы. Это справедливо для любой пары сообщающихся сосудов. Таким образом, мы доказали, что свободные поверхности однородной жидкости в сообщающихся сосудах устанавливаются на одном уровне.

Ответ: Равенство уровней однородной жидкости в сообщающихся сосудах является прямым следствием того, что давление в покоящейся жидкости на одном горизонтальном уровне одинаково. Используя формулу гидростатического давления $p = \rho g h$, мы приравниваем полные давления на произвольном горизонтальном уровне в разных сосудах ($p_{атм} + \rho g h_1 = p_{атм} + \rho g h_2$). После алгебраических упрощений получаем, что высоты столбов жидкости должны быть равны ($h_1 = h_2$), что и доказывает закон сообщающихся сосудов.