Номер 38.8, страница 142 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 38. Внутренняя энергия. Глава 6. Тепловые явления - номер 38.8, страница 142.

38.8 [917] По условиям предыдущей задачи определите:

а) в какой колбе внутренняя энергия воздуха увеличилась, в какой — уменьшилась;

б) в какой колбе внутренняя энергия воздуха больше изменилась относительно первоначального значения, а в какой — меньше;

в) в каком манометре механическая работа по подъёму жидкости больше;

г) за счёт какой энергии совершалась механическая работа по подъёму жидкостей в манометрах.

а) в какой колбе внутренняя энергия воздуха увеличилась, в какой — уменьшилась;

Решение:
Внутренняя энергия идеального газа, каким можно считать воздух, является функцией его температуры. Согласно формуле изменения внутренней энергии $ \Delta U = \frac{i}{2} \nu R \Delta T $, где $ i $ — число степеней свободы, $ \nu $ — количество вещества, $ R $ — универсальная газовая постоянная, а $ \Delta T $ — изменение температуры.

В колбе, которую нагревают, температура воздуха $ T $ увеличивается ($ \Delta T > 0 $), следовательно, его внутренняя энергия $ U $ тоже увеличивается ($ \Delta U > 0 $).

В колбе, которую охлаждают, температура воздуха уменьшается ($ \Delta T < 0 $), что приводит к уменьшению его внутренней энергии ($ \Delta U < 0 $).

Ответ: Внутренняя энергия воздуха увеличилась в нагреваемой колбе и уменьшилась в охлаждаемой колбе.

б) в какой колбе внутренняя энергия воздуха больше изменилась относительно первоначального значения, а в какой — меньше;

Решение:
Для анализа используем первый закон термодинамики: $ Q = \Delta U + A $, где $ Q $ — количество теплоты, переданное газу, $ \Delta U $ — изменение его внутренней энергии, $ A $ — работа, совершённая газом.

1. Для нагреваемой колбы: газу сообщается теплота ($ Q_1 > 0 $). Газ расширяется и совершает положительную работу ($ A_1 > 0 $). Изменение внутренней энергии: $ \Delta U_1 = Q_1 - A_1 $. Часть подводимой теплоты идёт на совершение работы, а остальная часть — на увеличение внутренней энергии.

2. Для охлаждаемой колбы: от газа отводится теплота ($ Q_2 < 0 $). Газ сжимается, то есть внешние силы совершают над ним работу, а работа самого газа отрицательна ($ A_2 < 0 $). Изменение внутренней энергии: $ \Delta U_2 = Q_2 - A_2 $.

Предположим для сравнения, что в обоих случаях модуль переданной теплоты одинаков: $ |Q_1| = |Q_2| = Q $.

Тогда для нагреваемой колбы модуль изменения внутренней энергии равен $ |\Delta U_1| = Q - A_1 $.

Для охлаждаемой колбы, выразим модуль изменения внутренней энергии. Из $ \Delta U_2 = Q_2 - A_2 $, где все величины отрицательны, следует $ -|\Delta U_2| = -|Q_2| - (-|A_2|) = |A_2| - |Q_2| $. Так как температура падает, $ \Delta U_2 < 0 $, что означает $ |A_2| < |Q_2| $. Следовательно, $ |\Delta U_2| = |Q_2| - |A_2| = Q - |A_2| $.

Таким образом, мы сравниваем величины $ |\Delta U_1| = Q - A_1 $ и $ |\Delta U_2| = Q - |A_2| $. Чтобы определить, какая из них больше, нужно сравнить работы $ A_1 $ и $ |A_2| $.

В нагреваемой колбе на совершение работы "помогает" рост давления, в то время как в охлаждаемой колбе работа совершается при падающем давлении. Как показано в пункте (в), при прочих равных условиях (в частности, при одинаковом по модулю изменении температуры), смещение жидкости в манометре, а значит и изменение объёма газа, будет больше в случае охлаждения. Это означает, что $ |A_2| > A_1 $.

Следовательно, $ Q - A_1 > Q - |A_2| $, что означает $ |\Delta U_1| > |\Delta U_2| $.

Физически это можно объяснить так: в нагреваемой колбе подводимая энергия расходуется и на увеличение внутренней энергии, и на совершение работы. В охлаждаемой колбе над газом совершается работа, которая частично компенсирует отвод тепла. Поэтому при одинаковом количестве переданной теплоты изменение внутренней энергии (и температуры) будет больше в нагреваемой колбе.

Ответ: Внутренняя энергия больше изменилась в нагреваемой колбе, а меньше — в охлаждаемой.

в) в каком манометре механическая работа по подъёму жидкости больше;

Решение:
Вопрос предполагает сравнение двух отдельных систем: колба с манометром, которую нагревают, и такая же система, которую охлаждают. Механическая работа по подъёму жидкости в U-образном манометре идёт на увеличение её потенциальной энергии и пропорциональна квадрату разности уровней $ h $: $ A_{мех} \propto h^2 $. Таким образом, задача сводится к сравнению $ h_1 $ (нагрев) и $ h_2 $ (охлаждение).

Из уравнения состояния идеального газа $ \frac{pV}{T} = \text{const} $:

1. Нагрев: $ \frac{p_0 V_0}{T_0} = \frac{p_1 V_1}{T_1} $. Давление и объём увеличиваются: $ p_1 = p_0 + \rho g h_1 $, $ V_1 > V_0 $.

2. Охлаждение: $ \frac{p_0 V_0}{T_0} = \frac{p_2 V_2}{T_2} $. Давление и объём уменьшаются: $ p_2 = p_0 - \rho g h_2 $, $ V_2 < V_0 $.

Предположим, что изменения температуры одинаковы по модулю: $ T_1 = T_0 + \Delta T $, $ T_2 = T_0 - \Delta T $. Тогда изменение произведения $ pV $ также должно быть одинаково по модулю: $ |p_1 V_1 - p_0 V_0| = |p_2 V_2 - p_0 V_0| $.

Рассмотрим изменение $ pV $:

При нагреве: $ \Delta(pV)_1 = p_1 V_1 - p_0 V_0 = (p_0 + \Delta p_1)(V_0 + \Delta V_1) - p_0 V_0 \approx p_0 \Delta V_1 + V_0 \Delta p_1 $.

При охлаждении: $ \Delta(pV)_2 = p_2 V_2 - p_0 V_0 = (p_0 - \Delta p_2)(V_0 - \Delta V_2) - p_0 V_0 \approx - p_0 \Delta V_2 - V_0 \Delta p_2 $.

Здесь $ \Delta p \propto h $ и $ \Delta V \propto h $. Из-за перекрёстного члена $ \Delta p \Delta V $, который положителен в обоих случаях, для достижения одинакового по модулю изменения $ pV $ требуется, чтобы $ h_2 > h_1 $. То есть при охлаждении разность уровней в манометре устанавливается больше, чем при нагреве на ту же разность температур.

Поскольку $ A_{мех} \propto h^2 $, то работа по подъёму жидкости будет больше в манометре, соединённом с охлаждаемой колбой.

Ответ: Механическая работа по подъёму жидкости больше в манометре, соединённом с охлаждаемой колбой.

г) за счёт какой энергии совершалась механическая работа по подъёму жидкостей в манометрах.

Решение:
Механическая работа по подъёму жидкости (увеличение её потенциальной энергии) совершается за счёт разных источников энергии в двух случаях.

1. В нагреваемой колбе: газ, получая тепло от внешнего источника, расширяется и выталкивает жидкость в манометре. Таким образом, работа совершается расширяющимся газом. Энергия для совершения этой работы поступает от внешнего теплового источника (например, от рук, греющих колбу). Часть этой тепловой энергии преобразуется в механическую работу.

2. В охлаждаемой колбе: газ сжимается, и его давление падает ниже атмосферного. Внешнее атмосферное давление, действующее на открытый конец манометра, оказывается больше давления газа в колбе и совершает работу, перемещая жидкость. Таким образом, работа по подъёму жидкости совершается за счёт энергии атмосферы. Охлаждение газа лишь создаёт необходимое для этого условие (разность давлений).

В обоих случаях процесс приводится в движение за счёт теплообмена, который изменяет состояние газа в колбе.

Ответ: В случае нагреваемой колбы работа совершается за счёт энергии, полученной газом от внешнего источника тепла. В случае охлаждаемой колбы работа совершается за счёт энергии атмосферного воздуха (атмосферного давления).